Tài liệu giáo trình cơ học lý thuyết , chương 7 ppt

-85-
Chơng 7
Chuyển động tổng hợp của điểm
7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động tơng đối và
chuyển động kéo theo.
Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đợc tạo thành khi điểm
tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình
sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o
1
x
1
y
1
z
1
gắn
trên vật A. Vật A lại chuyển động
trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem
hình 7.1).
x
y
z
O
x
1

y
1

z

1

M
A
r
r
o

z
1

o
1

y
1

x
1

k
1

j
1

i
1

Chuyển động của điểm M so

với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của
chuyển động tuyệt đối ký hiệu là :
a
v
r

và
a
w
r
.
Hình 7.1
Chuyển động của điểm M so với hệ động o
1
x
1
y
1
z
1
gọi là chuyển động
tơng đối ký hiệu là
và .
r
v
r
r
w
r

Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M
chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo
theo của điểm M và ký hiệu là :
e
v
r
và
e
w
r
.
Nh vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của
hai chuyển động tơng đối và kéo theo của nó.
Thí dụ : Con thuyền chuyển động với vận tốc
u
r
so với nớc. Dòng nớc
chảy với vận tốc v
r
so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ
sông là chuyển động tuyệt đối . Chuyển động của con thuyền so với mặt nớc là
chuyển động tơng đối với vận tốc
.uv
r
r
r
=
Chuyển động của dòng nớc so với

-86-
bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển động kéo theo
.
vv
e
rr
=
Theo định nghĩa trên ta thấy, để xét chuyển động tơng đối ta xem hệ
động nh cố định. Khi đó phơng trình chuyển động viết dới dạng véc tơ nh
sau :
11111111
kzjyixMOr
r
r
r
r
r
++==
. (7-1)
ở đây
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k

r
là các véc tơ đơn vị trên các hệ động. Khi xét chuyển
động tơng đối nh ở trên đã nói các véc tơ
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
đợc xem nh không đổi.
Còn các toạ độ x
1
, y
1
, z
1
là các hàm của thời gian.
x
1
= x
1
(t) ; y
1
= y
1

(t) ; z
1
= z
1
(t).
Muốn xét chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ
động khi đó phơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là phơng
trình chuyển động kéo theo. Ta có :
111111010
kzjyixrrrOMr
r
r
r
rr
r
r
+++=+==
(7-2).
Trong phơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ
x
1
, y
1
, z
1
là không đổi, còn
1
i
r
,

1
j
r
,
1
k
r
là các véc tơ biến đổi theo thời gian.
)t(rr
00
r
r
=
;
)t(ii
r
r
=
;
)t(jj
r
r
=
;
)t(kk
r
r
=
.
7.2. Định lý hợp vận tốc.

Xét điểm M chuyển động tơng
đối trong hệ động o
1
x
1
y
1
z
1
với vận tốc
; Hệ động chuyển động trong hệ cố
định oxyz kéo theo điểm M chuyển
động với vận tốc kéo theo
(xem hình
7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta
thiết lập phơng trình chuyển động
tuyệt đối của điểm M. Ta có :
r
v
r
e
v
r

r
o


r
a

x
y
z
O
x
1

y
1

z
1

M
c
1

c
2


v
e

v
r

v
1

r
o
1

Hình 7.2
111111010
kzjyixr)t(rrr
r
r
r
r
r
r
r
+++=+=
(7-3)

-87-
Phơng trình này giống phơng trình (7-2) nhng cần lu ý là mọi tham
số của phơng trình đều là các hàm của thời gian.
Đạo hàm bậc nhất theo thời gian phơng trình (7-3) ta đợc :






++

+++==
1
1
1
1
1
1
111
0
a
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
kd
z
dt

jd
y
dt
id
x
dt
rd
dt
rd
v
rrr
r
r
r
r
r
r

Trong kết quả tìm đợc, nhóm số hạng thứ nhất








+++
dt
kd

z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
111
0
r
rr
r

chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7-2) (phơng
trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo
e
v
r
.
Nhóm các số hạng còn lại :






+
1

1
1
1
1
1
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
rrr

là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7.1) (phơng trình
chuyển động tơng đối ) do đó đợc thay thế bằng vận tốc tơng đối
r
v
r
.
Thay các kết quả vừa tìm đợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc :
rea
vvv
r
r
r
+=
.

Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối
bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc tơng đối :

rea
vvv
r
r
r
+
=
. (7-4)
7.3. Định lý hợp gia tốc
Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời
gian phơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (phơng trình 7.3). Ta có :








++

+++===
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
2
a
2
a
k

dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
dt
vd
dt
rd
w
rrr
r
r
r
r
r

r
r


-88-








++
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2
111111
r
r

r

Trong kết quả tìm đợc nhóm các số hạng thứ nhất :








+++
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
2
dt
kd
z
dt
jd
y

dt
id
x
dt
rd
r
rr
r

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.2) ( phơng trình
chuyển động kéo theo ) có thể thay bằng gia tốc kéo theo
e
w
r
.
Nhóm các số hạng thứ hai :








+
1
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
rrr

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.1) ( phơng trình
chuyển động tơng đối ) có thể thay bằng gia tốc tơng đối
r
w
r
.
Nhóm các số hạng còn lại :

+
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2
111111
r
rr

đợc gọi là gia tốc quay hay gia tốc Koriolit ký hiệu là
.
k
w
r
Thay các kết quả tìm đợc vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đợc :
krea
wwww
rrrr

++=
.
Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc.
Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng
tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc tơng đối và gia tốc Koriolit.
krea
wwww
rrrr
++=
. (7.5)
7.4. Gia tốc Koriolit.
Gia tốc Koriolit
k
w
r
đợc xác định theo biểu thức :








+=
dt
kd
dt
dz
dt

jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2w
111111
k
r
r
r
r


-89-
Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
sẽ quay

theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong trờng hợp hệ
động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không
và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn đợc gọi là gia tốc
quay. Gia tốc Koriolit biểu diễn ảnh hởng chuyển động quay của hệ động đến
gia tốc của điểm.
Nếu vận tốc góc của hệ động (vận tốc góc kéo theo ) là
thì khi hệ động
quay quanh trục o
e

1
với vận tốc góc
e
thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
các véc tơ đơn vị
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển
động quay quanh trục o
1
. (xem hình 7.3).

z
x
y
A
O
k
1
j
1
i
1
v
A

e


Ta có :
1e
1
i
dt
id
r
r
r
ì=
1e
1
j

dt
jd
r
r
r
ì=

1e
1
k
dt
kd
r
r
r
ì=
Thay các kết quả biểu thức trên vào biểu
thức của
ta đợc :
k
w
r
Hình 7.3

++=
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2w
111111
k
r
r
r
r


() ()()

++= kx
dt
dz
jx
dt
dy
ix
dt
dx
2
C
1
C
1
C
1
r
r
r
r
r
r

re1
1
1
1
1

1
e
v2k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
x2
r
r
rrr
r
ì=








++=

Nh vậy gia tốc Koriolit bằng hai lần tích hữu hớng giữa vận tốc góc kéo
theo và véc tơ vận tốc tơng đối.

-90-
rek
v2w
r
r
r
ì
=
. ( 7.6)
Từ (7.6) ta có thể xác định độ lớn của gia tốc Koriolit theo biểu thức :
(
)
rerek
v.sinv.2w =
.
Ta thấy ngay gia tốc Koriolit bằng không trong trờng hợp sau :
- Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa là khi
e
= 0 ;
- Khi động điểm đứng yên trong hệ
động, nghĩa là khi
0v
r
=
r
;
- Khi chuyển động tơng đối theo
phơng dọc theo trục quay của chuyển động
kéo theo nghĩa là khi góc hợp giữa
e

r
và
r
v
r

bằng không hoặc bằng 180
0
.

e
v
r
r
w
k
Hình 7.4
Hình 7.4

e
w
K
M
v'
r

v
r
e

Theo (7.6) gia tốc Koriolit có phơng
vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ
e

r

và
có chiều sao cho khi nhìn từ mút của
nó xuống mặt phẳng đó sẽ thấy
r
v
r
e

r
quay
ngợc chiều kim đồng hồ đi một góc nhỏ
hơn 180
0
sẽ đến trùng với (xem hình 7.4).
r
v
r
Hình 7.5
Trong thực hành ta có thể xác định
phơng chiều của
nh sau :
k
w

r
Chiếu véc tơ vận tốc tơng đối
r
v
r
lên mặt phẳng vuông góc với trục quay
của chuyển động kéo theo. Sau đó quay hình chiếu
r
v
r
đó đi một góc 90
0
theo
chiều quay của
e

trong mặt phẳng trên (xem hình 7.5) ta sẽ xác định đợc
phơng chiều của gia tốc Koriolit.
Sau đây sẽ giới thiệu một số ví dụ vận dụng các định lý hợp vận tốc và
hợp gia tốc trong chuyển động tổng hợp của điểm.


-91-

Thí dụ 7.1: Tay quay OA của cơ cấu tay quay cu lit quay quanh trục O
vuông góc với mặt phẳng của cơ cấu. Đầu A của tay quay nối bằng khớp bản lề
với con trợt B. Con trợt B có thể trợt trong máng BC của cu lit. Máng BC có
thể chuyển động tịnh tiến lên xuống nhờ rãnh hớng dẫn
E. Xác định vận tốc, gia tốc của máng BC cũng nh vận
tốc gia tốc của con trợt so với cu lit BC.

A
E
D

C
B
O
Cho biết tay quay có chuyển động quay đều với
vận tốc góc n = 120 vòng/phút. Độ dài OA = 1 = 30cm
(xem hình 7.6).
Hình 7.6
Bài giải:
Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) và hệ cố định gắn với trục
quay O thì chuyển động của con trợt A trong máng là chuyển động tơng đối.
Chuyển động của máng tịnh tiến lên xuống là chuyển động kéo theo còn chuyển
động của A quay quanh O là chuyển động tuyệt đối.
Trớc hết ta có thể xác định đợc vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối
của điểm A.
Vận tốc của tay quay OA.
)s/rad(4
30
120.
30
n.
=

=

= .
r

B
3

C
3

B
1

C
1

A
1

x
r

E
D

B
A
3

O
A

w
r

w
r
v
r
v
r
v
r
e

w
r
e
a
Vị trí của cơ cấu đợc xác định bằng
góc quay của tay quay OA :
= t = 4t (rad).
Đầu A của tay quay thực hiện chuyển
động tròn tâm O bán kính OA = 1.
Vận tốc của điểm A : V
a
= .1 = 4.30
= 120 3,77 m/s.
H
ình 7.7

-92-
a
v

r
có phơng vuông góc với OA hớng theo chiều quay (xem hình 7.7).
a
v
r
chính là vận tốc tuyệt đối của điểm A : v
a
= v
A
.

Vì tay quay quay đều nên gia tốc điểm A chỉ có một thành phần pháp
tuyến.
n
AA
ww
rr
= về độ lớn
w
A
=
2
.1 = 16
2
.1
= 16
2
.30 4733 cm/s
2
;

= 47,33 m/s
2
Gia tốc có chiều hớng từ A vào O. Gia tốc tuyệt đối của điểm A là
A
w
r
A
w
r
.
Để tìm vận tốc của máng (vận tốc kéo theo) và vận tốc của con trợt A
trong máng (vận tốc tơng đối) ta áp dụng định lý hợp vận tốc. Ta có :
rea
vvv
r
rr
+=

ở đây
Aa
vv
r
r
=
đã biết cả độ lớn và phơng chiều.
e
v
r
là vận tốc của máng
chuyển động tịnh tiến lên xuống do đó có phơng thẳng đứng. Còn

là vận tốc
của con trợt dọc theo máng BC nên có phơng nằm ngang. Từ định lý hợp vận
tốc ta có thể nhận đợc một hình bình hành mà đờng chéo là
còn hai cạnh là
và . Dễ dàng tìm đợc các véc tơ vận tốc kéo theo
r
v
r
a
v
r
e
v
r
r
v
r
e
v
r
và nh trên hình
(7.7). Ta có :
r
v
r
)s/m(t.4sin.77,3sin.vv
Ae

==

)s/m(t.4cos.77,3cos.vv
Ar

==

Phơng chiều của các vận tốc
e
v
r
và
r
v
r
nh hình vẽ.
Để xác định gia tốc kéo theo và tơng đối (gia tốc của máng và gia tốc của
con trợt trong máng) ta áp dụng dịnh lý hợp gia tốc.

-93-
krea
wwww
rrrr
++=
.
Trong bài toán này hệ động chuyển động tịnh tiến nên
ta chỉ còn
biểu thức :
0w
k
=
r

rea
www
rrr
+=
.
ở đây gia tốc tuyệt đối đã đợc xác định. Gia tốc kéo theo
e
w
r
có phơng
thẳng đứng còn gia tốc tơng đối
r
w
r
có phơng năm ngang. Cũng dễ dàng nhận
thấy các véc tơ gia tốc kéo theo
e
w
r
và gia tốc tơng đối
r
w
r
là hai cạnh của hình
bình hành nhận gia tốc
làm đờng chéo (xem hình 7.7). Ta có :
a
w
r
t.4cos.33,47cos.ww

Ae

==

t.4sin.33,47sin.ww
Ar

==

Phơng chiều của gia tốc
e
w
r
và
r
w
r
nh trên hình vẽ 7.7 .
Kết quả trên cho thấy vận tốc, gia tốc của máng BC ( v
e,
w
ed
) và vận tốc,
gia tốc con trợt trong máng ( v
r
, w
r
) là hàm của thời gian. Ta có thể xác định
chúng tại các vị trí đặc biệt sau :
Khi

1
= 4t = 0 ta có v
e
= 0 ; v
r
= 3,77 m/s
W
e
= 47,33 m/s ; w
r
= 0
Khi
2
= 4t = / 2 ta có v
e
= 3,7 m / s ; v
r
= 0
w
e
= 0 m / s ; w
r
= 3,77 m / s

Thí dụ 7.2 : Động điểm M chuyển động bắt đầu từ đỉnh O của nón dọc
theo đờng sinh OC với vận tốc không đổi v
r
= 24 cm / s . Nón cũng đồng thời
quay bắt đầu cùng thời điểm xuất phát của điểm M theo quy luật = 0,125t
2

.
Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của động điểm M tại thời điểm t =
4 giây. (xem hình 7.8). Cho biết góc đỉnh nón là 60
0
.


-94-
Bài giải
Trong bài toán này chuyển động của điểm M dọc
theo đờng sinh OC là chuyển động tơng đối. Nh vậy
vận tốc tơng đối của điểm đã biết.
z
B
A

O

e

e
k
C
r
v
r
e
v
r
M

v
r
V
r
= 24 cm / s = 0,24 m / s có phơng chiều từ O
đến C.
a
Chuyển động quay của nón quanh trục AB với
quy luật = 0,125t
2
là chuyển động kéo theo.
Để xác định đợc vận tốc kéo theo của điểm ta
phải xác định vị trí của nó tại thời điểm t
1
trên nón.
Hình 7.8
Ta có OM = v
r
.t = 24.4 = 96 cm
Khoảng cách từ động điểm tại vị trí đang xét tới trục quay AB là :
MK = OM.sin30
0
= 96.0,5 = 48 cm.
z
B
A
C
M

v
r

w

e
k

r
e

r
e
O

w
k
w
n
e

y x
Vận tốc kéo theo tại thời điểm t
1
là :
t25,0
dt
d
e
=

= với t = t
1
= 4 giây

et1
= 0,25.4 = 1 rad / s ;
Gia tốc góc trong chuyển động kéo theo là :
)s/rad(25,0
d
t
d
2
2
2
e
=

=

Hình 7.9
Các véc tơ
e
và
e
biểu diễn trên hình vẽ (7.9).
Các véc tơ vận tốc kéo theo
e
v
r

và vận tốc tơng đối là tại thời điểm t
r
v
r
1
=
4s đợc biểu diễn trên hình 7.8.
Về độ lớn vận tốc kéo theo xác định đợc :
v
e
= MK .
e
= 48,1 cm / s 0,48 m / s .

-95-
áp dụng định lý hợp vận tốc ta có :
rea
vvv
r
r
r
+
=

Về độ lớn vận tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t
1
là :
)s/m(5364,0)s/cm(64,532448vvVV
222
r

2
eMa
==+=+== .
Để xác định gia tốc tuyệt đối của M, từ định lý hợp gia tốc ta có :
kreMa
wwwww
r
r
r
r
r
++
=
=

Chuyển động kéo theo là chuyển động tròn nên
r
e
n
ee
www
rr
r
+= .
Trong đó :
có phơng chiều hớng từ M về K (xem hình 7.9), có độ
lớn :
.
n
e

w
r
)s/cm(481.48.MKw
22
e
n
e
===
r
e
w
r
có phơng chiều trùng với phơng chiều
e
v
r
có độ lớn :
)s/cm(1225,0.48.MKw
22
e
r
e
=== .
Gia tốc tơng đối
trong trờng hợp này bằng không còn gia tốc
Koriolit
có phơng chiều nh trên hình vẽ. Có độ lớn :
r
w
r

k
w
r
w
k
= 2
e
. v
r
.sin30
0
= 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s
2
).
Chiếu biểu thức trên lên hai trục Mxy nh trên hình ta có :
w
x
= w
e
r
+ w
k
= 12 + 24 = 36 cm / s
2
= 0,36 m/ s
2
.
w
y
= w

e
n
= 48 cm / s
2
= 0,48 m / s
2
.
Gia tốc tuyệt đối của điểm
)s/cm(c604836www
2222
y
2
xM
=+=+=
.
Phơng và chiều của w
M
có thể xác định bằng các góc chỉ phơng xác
định nh sau :
()
6,0
w
w
xwcos
M
x
M
== ;
()
8,0

w
w
ywcos
M
y
M
==

Thí dụ 7.3. : Cơ cấu điều chỉnh ly tâm biểu diễn nh hình vẽ 7.10. Tại

-96-
thời điểm đang xét quả cầu quay quanh điểm treo O cùng với thanh OM với vận
tốc góc và gia tốc góc

1
= 2 rad / s và
1
= 0,2 rad / s
2
. Cơ cấu quay quanh trục
thẳng đứng với vận tốc góc và gia tốc góc

2
=4 rad / s và
2
= o,8 rad / s
2
. Xác
định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của quả cầu M tại thời điểm đó. Cho
biết kích thớc của cơ cấu tại vị trí đang xét là :

l = 40 cm ; e = 5 cm ;
= 30
0
.
Bài giải

z
e

C

v
e

M
v
r

R

2


l
l


1

e

o

2

1

v
M
= v
A

Trong bài toán này, chuyển động của cơ cấu quay
quanh trục thẳng đứng là chuyển động kéo theo. Vận tốc góc
kéo theo

e
=
2
= 4 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động
kéo theo là

e
=
2
= 0,8 rad / s
2
.
Chuyển động của quả cầu M quay quanh O là chuyển
động tơng đối.Vận tốc góc trong chuyển động tơng đối là

r
=
1
= 2 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động tơng đối
là
r
=
1
= 0,2 rad / s
2
.
Hình 7.10
Quỹ đạo chuyển động tơng đối của M là đờng tròn bán kính 1 và tâm 0
Quỹ đạo chuyển động kéo theo của M là đờng tròn nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục quay AB và có bán kính :
CM = R = e+1sin30
0
= 5+40.0,5 = 25 cm.
Vận tốc tuyệt đối của điểm M đợc xác định nh sau :
reMa
vvvv
r
r
rr
+==
;
v
e
= R.
e

= 25.4 = 100 cm / s
v
e
có phơng tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động kéo theo , hớ theo
chiều quay của cơ cấu ; V
r
tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động tơng đối có
nghĩa là vuông


-97-
góc với thanh OM hớng theo chiều quay của

r
, có trị số V
r
= l.r =
40.2 = 80 cm/s

Nh vậy hai véc tơ và
e
v
r
r
v
r
vuông góc với nhau vì vậy độ lớn vận tốc
tuyệt đối xác định đợc :
)s/cm(12880100vvv
222

r
2
eM
=+=+= .
Phơng chiều của V
M
xác định nh trên hình vẽ 7.10.
Vì chuyển động tơng đối và chuyển động kéo theo đều là chuyển động
tròn nên biểu thức gia tốc tuyệt đối của điểm M ta có thể viết :
n
r
r
rk
e
n
e
r
M
wwwwww
r
r
rrrr
++++= . (a)
Sau đây xác định độ lớn và phơng chiều của các thành phần gia tốc ở vế phải .
W
e
t
= R .
e
= 25 . 0,8 = 20 cm / s

2
. W
e
t
cùng phơng chiều với vận tốc
kéo theo .
n
e
w
r
= R.
2
2
= 25.16 = 400cm/s
2
. Hớng từ M vào C
w
r
r
= 1 .
r
= 40 . 0,2 = 8 cm / s
2
.
r
r
w
r
hớng theo chiều của v
r

.
w
r
n
= 1 .
2
r
= 40 . 4 = 160 cm / s
2.

n
r
w
r
hớng từ M vào O
w
k
= 2
e
. v
r
sin(
et
v
r
) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s
2
ở đây góc <
()
0

re
60v, =
r
r
C
R
M
w
K

w

r


r

e

e

r
w
n
e

w
n
r

w
t
c

Z
x


O

nên sin(

e
,v
r
) = 0,866.
Phơng chiều của
xác định theo phơng pháp
thực
O hành sẽ tìm thấy nh ở hình vẽ (7.11) .
k
w
r
y
Để xác định gia tốc tuyệt đối
M
w
r
ta chiếu phơng
trình (a) lên 3 trục xyz chọn nh hình vẽ.

Với cách chọn hệ trục trên ta thấy gia tốc
k
w
r
và
r
e
w
r

nằm trên trục x các gia tốc
n
e
w
r
,
r
r
w
r
,
n
r
w
r
năm trong mặt
phẳng yMz.
Hình 7.11
Kết quả chiếu lên các trục thu đợc :w
x

= - w
k
- w
e
n
= -

-98-
554 - 20 = -574 cm / s
2
.
w
y
= w
e
r
. cos30
0
- w
r
n
. sin30
0
- w
e
n
;
= 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s
2
;

Cuối cùng ta có :
(
)
(
)
(
)
=++=++=
222
2
z
2
y
2
xM
142473574wwww
= 869 cm / s
2
= 8,69 m / s
2
Để xác định phơng chiều của M ta phải xác định các góc chỉ phơng của
chúng đối với các trục :
()
869
574
w
w
xwcos
M
x

M

==
;
()
869
473
w
w
ywcos
M
y
M

==
()
869
142
w
w
zwcos
M
z
M
== .