Tài liệu giáo trình cơ học lý thuyết , chương 11 docx

-135Phần 3

Động lực học

Chơng 11
Các định luật của niu-tơn và phơng trình vi phân
chuyển động
11.1. Các khái niệm cơ bản

Động lực là phần tổng quát của cơ học. Động lực học nghiên cứu chuyển
động của vật thể dới tác dụng của lực. Động lực học thiết lập các định luật liên
hệ giữa lực tác dụng với những đặc trng động học và áp dụng các định luật đó
có thể giải các bài toán kỹ thuật.
Vật thể trong động lực học đợc xét dới dạng mô hình : chất điểm, cơ hệ,
vật rắn.
Chất điểm là một điểm hình học có mang khối lợng. Chất điểm là mô
hình đơn giản nhất và cơ bản nhất của vật thể trong động lực học.
Cơ hệ là tập hợp nhiều chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn nhau.
Vật rắn là cơ hệ đặc biệt khi khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ trong
đó luôn luôn không đổi.
Khác với tĩnh học, lực trong động lực học có thể là không đổi, có thể biến
đổi cả về độ lớn và phơng chiều.
Lực phụ thuộc vào thời gian nh lực kéo đầu máy, phụ thuộc vào vị trí của
vật nh lực hấp dẫn, lực đàn hồi của lò xo, phụ thuộc vào vận tốc nh lực cản của
không khí. Một cách tổng quát trong động lực học lực là một hàm của thời gian,
r r r r
vị trÝ vµ vËn tèc. Ta cã : F = F(t, r , v ) .
Trong động lực học các lực đợc phân chia thành nội lực, ngoài lực hay
r r
hoạt lực và phản lực liên kết. Nội lực ký hiệu là Fi . Fi là lực tác động tơng hỗ

-136giữa các chất điểm trong một cơ hệ.
r
Ngoại lực ký hiệu Fe là các lực do chất điểm hay vật thể ngoài hệ tác dụng
r
vào hệ. Phản lực liên kết ký hiệu N là lực tác dụng do các vật gây liên kết lên cơ
hệ khảo sát. Hoạt lực là các lực tác dụng lên cơ hệ không kể phản lực liên kết,
r
thờng ký hiệu là Fa
Để khảo sát chuyển ®éng cđa vËt bao giê cịng chän tr−íc mét hƯ quy
chiếu. Hệ quy chiếu không phụ thuộc vào thời gian gọi là hệ quy chiếu quán
tính, ngợc lại hệ quy chiÕu phơ thc vµo thêi gian gäi lµ hƯ quy chiếu không
quán tính .
11.2. Các định luật của Niu -Tơn

Cơ sở lý luận của động lực học chủ yếu là các định luật của NIU - TON.
I-sác Niu Tơn (1643-1727) là nhà bác học lỗi lạc đà đặt nền móng cho cơ
học cổ điển và đà xây dựng lý thuyết cơ học hoàn thiện cân đối. Vì thế cơ học cổ
điển còn gọi là cơ học Niu - Tơn.
Sau đây giới thiệu các định luật của Niu - Tơn và xem nh là hệ tiền đề
của cơ học.
Định luật 1(Định luật quán tính)
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều.
Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều là trạng thái chuyển
động theo quán tính. Khi chuyển động theo quán tính chất ®iĨm sÏ cã :
r
r
v = const vµ w = 0 .
Định luật 2 (định luật cơ bản của động lực học )

Dới tác dụng của lực chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc cùng phơng
chiều với lực (hình 9-1)
r
r
F = m.W

v
M
F
W

H×nh 11.1


-137m là hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào lợng vật chất có trong chất điểm.
Theo định luật này lực là nguyên nhân làm cho chất điểm chuyển động có
gia tèc.

r
r
BiĨu thøc (11-1) cho thÊy : NÕu lùc F kh«ng đổi m càng lớn W càng nhỏ
và ngợc lại, điều đó chứng tỏ kkối lợng m là số do quán tÝnh cđa vËt (tÝnh ú
cđa vËt)
Tõ hƯ thøc (11-1) nÕu lực là trọng lợng của vật sẽ có :P = mg. ở đây g
đợc gọi là gia tốc trọng trờng.
Hệ thức (11-1) gọi là phơng trình cơ bản của động lực học.
Định luật 3 (định luật về tính độc lập tác dụng của lực)
Dới tác dụng đồng thời của một hƯ lùc chÊt ®iĨm sÏ chun ®éng víi gia
tèc b»ng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm thu đợc khi nó chịu tác dụng
độc lập từng lực một .

r r
r
r
w = w 1 + w 2 + ..... + w n .

(11-2)

r
w là gia tốc của chất điểm khi hệ lực cùng tác dụng đồng thời ;
r r r
w 1 , w 2 , w n lµ gia tốc của chất điểm khi nó chịu tác dụng từng lùc:
r r
r
F1 , F2 ,....Fn ®éc lËp .
Tõ hƯ (11-2) nếu nhân hai vế với khối lợng m sẽ đợc :
r
r
r
r
mw = mw 1 + mw 2 + ..... + mw n

Theo định luật hai thì :

n r
r
r r r
Do ®ã ta cã : mw = F1 + F2 + ..... + Fn = ∑ F

(11-3)

i =1

HƯ thøc (11-3) lµ phơng trình cơ bản của động lực học khi chất điểm
chịu một hệ lực tác dụng.
Định luật 4 (định luật tác dụng và phản tác dụng )


-138Lực tác dụng tơng hỗ giữa hai chất điểm là những lực cùng phơng, cùng
độ lớn và ngợc chiều.
Định luật này mô tả tác dụng tơng hỗ giữa hai chất điểm và là cơ sở
nghiên cứu cho động lực học của hệ.
Cần chú ý rằng hai lực tơng hỗ không phải là một cặp lực cân bằng vì
chúng đặt lên hai chất điểm khác nhau.
11-3. Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
và cơ hệ.

Xét chất điểm chuyển động trong hƯ quy chiÕu qu¸n tÝnh oxyz, d−íi t¸c
r r r
r
dơng cđa c¸c lùc F1 , F2 , F3 ,....Fn . Đối với chất điểm tự do các lực này là các hoạt
lực đặt lên chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả
hoạt lực và phản lực liên kết. Căn cứ vào phơng trình cơ bản của động lực học
ta có thể thành lập phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm dới các
dạng khác nhau.
11.3.1.Dạng véc tơ

r
Gọi véc tơ định vị của chất điểm là r ta có :
r
r d2r

r
w = 2 = &&
dt

Khi đó phơng trình cơ bản viết cho chÊt ®iĨm nh− sau :

r
d2 r n r
m 2 = F1
dt
i =1

(11-4)

Phơng trình vi phân (11-4) đợc gọi là phơng trình vi phân chuyển động
của chất điểm dới dạng véc tơ.
11.3.2. Dạng toạ độ Đề các
Chiếu phơng trình (9-4) lên các trục toạ độ oxyz sẽ đợc :


-139n

m&& = ∑ X i ;
x
i =1
n

m&& = ∑ Yi ;
y

(11-5)

i =1
n

m&& = Z i .
z
i =1

ở đây x, y, z là toạ độ của chất điểm trong hệ oxyz, còn Xi, Yi, Zi là hình
r
chiếu của lực Fi lên các trục ox, oy, oz.
Hệ phơng trình (11-5) đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển động
của chất điểm dới dạng toạ độ Đề các.
11.3.3. Dạng toạ độ tự nhiên
Gọi W, W, W là hình chiếu của gia tốc điểm và Fi, Fi, Fi là hình
chiếu của Fi lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên. Sau khi chiếu phơng trình (114) lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên ta đợc :
n



mw = m&& = ∑ Fiτ ;
s
i =1

v2 n η
mw = m = ∑ Fi ;
ρ i =1
η

(11-6)

n

mw = 0 = ∑ Fiβ .
β

i =1

Đối với cơ hệ chúng ta có thể tách một chất điểm trong hệ ra để xét. Gọi
r
hợp các ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k đợc tách ra là Fke và hợp các nội
r
lực tác dụng lên nó là Fki .
Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm viết dới dạng véc tơ :
r
r
r
m k w k = Fki + Fke
r
Trong đó mk và w k là khối lợng và gia tốc của chất điểm thứ k .


-140Khi xét tất cả các chất điểm ta sẽ thu đợc N phơng trình sau :
r
r
r
m1 w 1 = F1i + F1e ;

r

r
r
m 2 w 2 = F21i + F2 e ;

(11-7)

...........................
r
r
r
m n w n = Fni + Fne .
HÖ phơng trình (11-7) đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển động
của hệ dới dạng véc tơ. Nếu chiếu hệ phơng trình (11.7) lên các trục của hệ
toạ độ Đề các hoặc hệ toạ độ tự nhiên ta sẽ đợc hệ phơng trình vi phân chuyển
động của cơ hệ dới dạng toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự nhiên.
11-4. Hai bài toán cơ bản của động lực học

Từ phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động
lực học có hai bài toán cơ bản sau đây :
- Bài toán cơ bản thứ nhất: Cho biết chuyển động của chất điểm xác định
lực đà gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận.
- Bài toán cơ bản thứ hai: Cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và điều
kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài
toán này gọi là bài toán nghịch.
Sau đây giới thiệu cách giải hai bài toán cơ bản nói trên.
Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phơng trình vi phân của chuyển
động chất điểm. Từ phơng trình vi phân ta xác định đợc lực tác dụng lên từng
chất điểm. Điều cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm điều này
đà đợc giải quyết trong động học.
Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phơng trình vi phân

sau đó tích phân phơng trình vi phân tìm đợc. Để tìm dạng chuyển động cụ thể
ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động.
Nếu phơng trình vi phân viết dới dạng toạ độ Đề các sau khi lấy tích ph©n hai


-141lần sẽ xuất hiện 6 hằng số tích phân, nghĩa là các nghiêm x, y, z thu đợc là các
hàm của thời gian và 6 hằng số tích phân đó :
x=f1(t,C1,C2....C6)
y= f2(t,C1,C2....C6)
z= f3(t,C1,C2....C6)
Các hằng số tích phân trên đợc xác định từ các điều kiện ban đầu ;
Khi t=0 x=x0 ; y=y0;

z=z0 ;

& & & & & &
x = x 0 ; y = y0 ; z = z0

ThÝ dô 11-1:
Chất điểm có khối lợng m chuyển động theo đờng enlip x=acoskt và
y=bsinkt hÃy tìm lực tác dụng lên chất điểm (hình 11-2).
Bài giải :
Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ
nhất. Căn cứ vào phơng trình chuyển động

y
b
O

v

F

M
r

x=acoskt
y=bsinkt
Hình 11.2
Xác định đợc :

&& = ak 2 cos kt = − k 2 x ;
x
&& = bk 2 sin kt = k 2 y ;
y
Ta có phơng trình vi phân chuyển động nh sau :

&&m = Fx = mk 2 x
x

&&m = Fy = −mk 2 y
y
Lùc t¸c dụng lên chất điểm sẽ là F với :

F = Fx2 + Fy2 = mk 2 x 2 + y 2 = mk 2 r

a

x

-142-

r
Các góc chỉ phơng của F là :
cos(F, x ) =
cos( F, y) =

Fx x
=
F
r
Fy
F

=

y
r

Mặt khác ta cũng có :

cos(r, x ) =

x
r

cos(r, y) =

y
r

r
DƠ dµng nhËn thÊy F cùng phơng nhng ngợc chiều với véc tơ định vị
r
r cđa chÊt ®iĨm.
r
r
Ta cã : F = −mkr .
ThÝ dơ 11-2 : Để phân loại hạt ngời ta cho hạt đi qua một sàng dao động
ngang có nhiều lỗ. Biết rằng vận tốc của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ
r
v 0 (hình 11-3). Hạt có hình dạng cầu, bán kính R. Bỏ qua lực cản của không khí
xác định độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ đợc.


-143Bài giải:



R

vo

Để hạt rơi qua lỗ sàng trọng

y

tâm của hạt tại vị trí bất đầu chạm
b

mép bên kia của lỗ phải nằm dới

x

mặt phẳng ngang của sàng. Để giải

Hình

quyết đợc điều kiện đó ta xác
định quÃng đờng hạt đi đợc theo phơng ngang (phơng ox) khi tâm hạt rơi
xuống đợc một đoạn x=R. Lực tác dụng lên hạt coi nh đà biết đó là trọng
lợng bản thân của nó. Bài toán ở đây thuộc loại bài toán cơ bản thứ hai.
Chọn hệ toạ độ oxy gắn với sàng (hình 11-3) coi sàng đứng yên còn hạt
chuyển động so với sàng. Lực tác dụng lên hạt có :
Fy = 0 Fx = +mg.
Phơng trình vi phân chuyển động của hạt viết ®−ỵc :

m&& = mg ;
x

hay

&& = g ;
x

m&& = 0 ;
y

hay

&& = 0 ;
y

Tích phân hai vế phơng trình trên ta đợc :
gt 2
+ C1 t + C 2
2

&
x = gt + C

x=

&
y = C3

y = C3 t + C 4

Để xác định hằng số tích phân ta dựa vào ®iỊu kiƯn ®Çu ®· cho cđa chun
®éng.
& &
Khi t = 0 x = x 0 suy ra C1=0

x=x0 suy ra C4=0.
Thay vào nghiệm đà tìm đợc ta có :
x=

gt 2
2

y = v0 t


-144Phơng trình quỹ đạo thu đợc :

2x
g

y = v0

Khi x=R th× y = b − R = v 0

2R
g

2R
g

Suy ra b = R + v 0

Để hạt chắc chắn rơi qua lỗ ta phải có :

b R + v0

2R
g

Thí dụ 11.3 :
Một chất điểm có khối lợng m chuyển động trong mặt phẳng ngang dới
r

r
r
tác dụng của lực hút về tâm O là F = k 2 mr . ở đây r là véc tơ định vị còn k là
hệ số tỷ lệ. HÃy tìm phơng trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho

&
&
biết tại thời điểm ban đầu t0 = 0 , x0 = 1 , y0 = 0 , x = 0 , y = v 0 (hình 11-4)
Bài giải:
Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Phơng trình vi phân chuyển
động của chất điểm viết dới dạng véc tơ :
r
r
mW = k 2 m r
chọ hệ toạ độ oxy nh hình vẽ ta có thể thiết lập phơng trình vi phân dới
dạng toạ độ Đề các nh sau :

m&& = k mx
x
2

m&& = − k 2 my
y

y

M

y
F

O

Khư khèi l−ỵng m ë hai vế
phơng trình trên ta đợc :
Hình 11.4

l
x

x


-145-

&& = − k 2 x = 0
x
&& = − k 2 y = 0
y
Nghiệm tổng quát của hai phơng trình có dạng:
x=c1coskt + c2sinkt
y=c3coskt + c4sinkt
Các hằng số tích phân c1, c2, c3, c4 đợc xác định từ các ®iỊu kiƯn ®Çu cđa
chun ®éng.
Ki t =t0 = 0 cã :
x = x0 = l = C1;

&
x = 0 = kC 2

y = y0 = 0 = C3;

&
y = v 0 = kC 4

Suy ra :
C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; và C4 = v0/k
Phơng trình chuyển ®éng chÊt ®iĨm ®−ỵc viÕt :
x=lcoskt;

y = (v0sinkt)/k

Khư t trong phơng trình trên sẽ tìm đợc phơng trình quỹ đạo dạng

x2
y2
+ 2
=1
l2 v0 / k 2
Đây là phơng trình đờng enlip nhận các trục ox, oy là trục
Thí dụ 11-4: Con lắc toán học gồm chất điểm M có khối lợng m treo vào
đầu sợi dây không dÃn và không trọng lợng, chuyển động trong mặt phẳng
thẳng đứng. Xác định phản lực N của dây (hình
vẽ 11-5). Cho biết lúc đầu con lắc ở vị trí M0 và


có vận tốc v0
Bài giải :
h

o

N



Xét chuyển động của chất điểm M. Các
M


P

Hình 11.5

Mo
vo

→


-146lực tác dụng lên nó gồm P và N. Có thể thiết lập phơng trình vi phân viết dới
dạng tọa độ t nhiên nh său :

m&& = P sin = −mg sin ϕ
s
m

(a)

V2

= − P cos ϕ + N = − mg cos ϕ + N (b)
ρ

Thay lϕ = s vào phơng trình (a)
Ta đợc :

&&
ml = mg sin ϕ

hay :

g
&&
ϕ + sin ϕ = 0
l

XÐt dao ®éng lµ nhá lÊy sinϕ ≈ ϕ, ta cã

&&
ϕ + k 2 = 0

(c)

Trong đó : k 2 =

g
l

Nghiệm tổng quát của phơng trình này là : = Asin(kt + )
A, là hằng số đợc xác định bằng điều kiện đầu của chuyển động .

Để tìm N căn cứ vào phơng trình (b).
Ta có :
mv 2
N=
+ mg cos
l
2

Để tÝnh v ta chó ý :

d 2 ϕ d ω d d
d
=
=
=
dt
dt d dt
d

Thay kết quả trên vào phơng tr×nh ( c) ta cã :

g
&&
ϕ + sin ϕ = 0 ta cã :
l
ω

dω
g
= − sin ϕ

dt
l

g
ωdω = − cos ϕ + c
l


-147Hằng c đợc xác định từ điều kiện ban đầu. Gọi góc ban đầu và vận tốc
góc ban đầu kà ϕ0 vµ ω0 ta sÏ cã :
2
2
ω0 g
v0 g
c=
− cos ϕ 0 = 2 − cos ϕ 0
2l
l
2
l

Thay c vµo biểu thức (c) ta đợc :
2
v0 g
2g
= cos + 2 − cos ϕ 0 ;
l
l
l
2

2
v 2 = l 2 ω2 = v 0 + 2gl(cos ϕ − cos 0

Cuối cùng nhận đợc :
N = P(

2
v0
+ 3 cos ϕ − 2 cos ϕ 0 )
gl

Nh− vËy ph¶n lùc N phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và vị trí của điểm M.
Kết quả này cũng đúng cho cả khi dao động là không nhỏ.