Giải tích 1: Bài 5. Định lí về hàm khả vi và ứng dụng130
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (671.01 KB, 58 trang )
PGS. TS. Nguyễ n Xn Thảo
thao.n
GIẢI TÍCH I
BÀI 5
§10. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨN
(TIẾP THEO)
Đặt vấn đề
1 “Cấu trúc thế giới hoàn hảo nhất, được
bởi người thơng minh nhất. Khơng có gì xả
thế giới mà khơng có sự tham gia của lí th
đại, cực tiểu” – Euler
2 Tia sáng qua gương: Heron, cực tiểu đ
thế kỉ 1 trước công nguyên
1
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
sin
3 Tia sáng qua nước, Fermat 1657,
cos
cực tiểu thời gian
2. Công thức khai triển Taylor, Maclaurin
(k)
Định lí. f(x) có f (x) (k = 1, 2, ..., n) liên tục
có f(n + 1)(x) trong U 0 ( x0 )
f x
n
k 0
f
k
n 1
c
x
0 x x k f
x
0
n 1 !
k!
với c nào đó ở giữa x0 và x0 + (x x0), 0
Khi x0 = 0 ta có cơng thức Maclaurin.
2
PGS. TS. Nguyễ n Xn Thảo
thao.n
Ví dụ 1. Viết cơng thức Taylor f(x) = x4 tại x0
GIẢI
3
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
+) f (1) 1, f (1) 4x
3
f (1) 24 x x 1 24, f
x 1
(4)
4, f (1) 12 x
2
x 1
(n )
(1) 24 x 1 24, f
12,
(1) 0, n
5
c
1
f
f
k
5
x 1
x 1 ,
+)f x
k!
5!
k 0
4
k
c giữa 0 và 1.
f x
4
k 0
f
k
1
x 1k
k!
12
24
24
2
3
1 4 x 1
x 1
x 1
x
2!
3!
4!
2
3
4
1 4 x 1 6 x 1 4 x 1 x 1 .
4
PGS. TS. Nguyễ n Xn Thảo
thao.n
x
Ví dụ 2. Viết cơng thức Maclaurin f(x) = xe đ
Công thức Maclaurin của một số hàm
x2
e 1 x
2!
x
xn
ec
x n1, x , c gi
n ! n 1 !
n
xk
ec
x n 1, x
n 1 !
!
k
k 0
GIẢI
5
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
+) (ex )(k )(0) 1, k
n
x k
(e )
+) e
k
!
k 0
x
x2
1 x
2!
0
x n 1
e
c
(
)
x 0
x
n 1!
k
xn
ec
x n 1, x
n ! n 1 !
x3 x5
sin x x
3! 5!
x 2 n 1
1
2n 1 !
n
sin c 2n 2
2 x 2 n 2, x
2n 2 !
6
, c giữa 0 và
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
sin(c+(2n+2) )
( 1)k
2 x 2n 2
x 2k 1
2n 2 !
(2
1)!
k
k 0
n
GIẢI
7
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
+) (sinx) (0) sin( x k )
sin(k )
2 x 0
2
k 2j
0,
, k
j
( 1) , k 2 j 1
(k)
2n 1
+) sinx
k
(sinx) 0
x 0 k
(k )!
k 0
2n 2
(sinx)
c
2n 2
x 0
2n 2 !
sin c+(2n+2)
n
k
( 1)
2 2n 2
2k 1
x
x
2n 2 !
(2
1)!
k
k 0
8
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
2 n 1
x3 x5
x
n
x
1
2n 1!
3! 5!
sin c 2n 2
2n 2 !
2 x 2 n 2 , x
cosc 2n 1
2
4
2n
x x
n x
2
cos x 1 1
2n !
2n 1 !
2! 4!
x , c giữa 0 và x;
9
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
cos c 2n 1
n
2k
k x
2 x2n1, x
1
2k !
2n 1!
k0
1 2 1 2 3
1 x 1 x
x
x
2!
3!
1 n 1 n
x Rn
n!
1 2 n
n 1 n
1 c
ở đó Rn(x) =
x
n 1!
c giữa 0 và x
10
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
2
3
x
x
ln 1 x x
2
3
n
k 1 x
1
k 1
k
k
n
1
n
x
n
n 1
( 1)
1
n
n 1
x n 1
n 1
n 1 1 c
, x 1
Ví dụ 3. Tính gần đúng sin40 với sai số <
GIẢI
11
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
2
sin 40 sin
9
6
sin(c+7 )
sin( k ) (0) 2 k
2 7
2
( )
( )
9
7!
9
k!
k 0
7
2
7
9
0,7
Do sin(c 7 )
0,0000163
2
7!
7!
3
5
2 1 2
1 2
sin 40
0,64
9 3! 9
5! 9
sai số đã cho.
12
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
Ví dụ 4. Tính gần đúng e với sai số < 0,00
Ví dụ 5 a)(K53).
x 2 ax 4 sin2 x
, x0
1. Tìm a để f x x 2 ln 1 x 2
0,
x0
(a
khả vi tại x = 0.
x 2 ax 4 ln(1 x 2 )
,x
2. Tìm a để f x
x 3 e 2 x 1
0,
x0
13
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
(a
khả vi tại x = 0.
b) (K57) 1) Tính f (0), ở đó
1 1 x 4 cos( x 2 )
, x0
f ( x ) x 4 ln 1 2x 2
x 0
0,
GIẢI
14
(0)
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
4
2
x
x
+)
ln 1 2
x 4 2 x 2 2 x 6 , x 0.
1 2
2
x (x )
+) 1 x 1 x
2!
11
1
1
4
x
4
4 2
1 x (1 x ) 1
2 2 ( x 4 )2
2
2!
4
x
1 8
1
x (x8 )
2 8
4
8
x2 x4
x
x
( x 4 ) cos( x 2 ) 1
cos x 1
2! 4!
2! 4!
1 x 4 cos( x 2 )
15
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
4
8
x
x
x4 1 8
8
8
1
x ( x ) 1
( x )
2 8
2! 4!
f ( x ) f (0)
1 1 x 4 cos x
+)f (0) lim
lim
x 0
x 0 x 5 ln 1 2 x 2
x0
lim
x 0
1 [1 ( x 7 )]
2x 7
lim
x 0
(x7 )
2x 7
0.
2) Khai triển Maclaurin hàm số y x sin x đế
4
6
x
x
(x 2
o( x 7 )
3! 5!
16
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
x2 x4
c)(K63) 1) CMR : cosx 1 2 24 , x (0; 2 )
2) Khai triển Maclaurin của hàm số : y 1
o( x 2 ).
d)(K64) 1) Khai triển Maclaurin hàm số y ln
2 8 3
(2 x 2 x x
đến x 3.
3
2) Cho f ( x ) e
x2
. Tính f (999) (0).
GIẢI 1)
17
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
n
x2 x3
n 1 x
+) ln 1 x x 1
2
3
n
n 1
x
n
1
,x 1
n 1
(n 1)(1 c )
x 2 x3
x
(x3 )
2
3
(2 x )2 (2 x )3
+)ln(1 2x ) 2 x
(x3 )
2
3
3
8
x
2x 2x 2
( x 3 ).
3
2)
18
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
x (k )
c
e
e
(
)
(0)
xk
x n1, x , c giữ
+) e x
n 1 !
k!
k 0
n
n
1 k
ec
x
x n 1, x
n 1 !
k
!
k 0
+) e
500
x2
c2
500
1 2k e
(x )
( x 2 )501, x
501!
k!
k 0
c2
1 2k e
x
x1002 , x
501!
k!
k 0
f (999) (0) 0.
3. Quy tắc L'Hospital, ứng dụng khai triển
hạn
19
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
a) Quy tắc L'Hospital
0
Định lí L'Hospital 1.(Dạng ) f(x), g(x) khả
0
U x0 , f(x0) = g(x0) = 0, g'(x) 0 trong U
0
0
f x
lim
A
x x0 g x
f x
lim
A
x x0 g x
Định lí L'Hospital 2. (Dạng ) f(x), g(x) kh
U x0 \{x0 }, lim f x , lim g x , g
x x0
0
trong U
0
x x0
f x
f x
A lim
x0 , xlim
x x0 g x
x0 g x
20
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
Chú ý.
Quy tắc L'Hospital vẫn đúng khi thay x
Có thể áp dụng nhiều lần quy tắc L'Ho
Quy tắc L'Hospital chỉ là điều kiệ
không là điều kiện cần.
Đối với 5 dạng vơ định cịn lại, vẫn dù
Quy tắc L'Hospital bằng cách biến đổi về các
0
vô định hay . Chẳng hạn :
0
21
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
11
1 1 0
.
1 1
1 1 0
x cos x
Ví dụ 1. lim
x
3x
tan x x
Ví dụ 2. lim
x 0 x sin x
ex
Ví dụ 3. lim 2009
x + x
Ví dụ 4. lim x ln x, > 0
x 0
22
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
x
Ví dụ 5. lim
1
x 1 x 1 ln x
2x
Ví dụ 6. lim ln x
x 0
1
x
x
Ví dụ 7. lim tan
x
2x 1
Ví dụ 8. lim x
x x 1
x 0
sin x
Ví dụ 9 (K50) 1. lim arctan x
2. lim 1 sin x
x
2
x 0
cot x
(1)
23
(1)
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
3. lim 1 cos x
tan x
(1)
x 0
4. lim 1
x 1
cos x
x 2
2
5. lim arctan x
x
(1)
x
(e
2
)
Ví dụ 10 (K52).
1) lim sin x cos2 x
tan2 x
x
2
cot 2 x
2) lim cos x sin x
2
x 0
24
(
(e
PGS. TS. Nguyễ n Xuân Thảo
thao.n
3) lim sin x sin 1 x
x
2
(0
4) lim cos x 1 cos x 1
Ví dụ 11.
a (K53)
(0
x
1. lim
x
2
sin x 3 sin x
2
cos x
2
cot x
2. lim cos x
x 0
25
1
( )
12
(e
1
2)
