Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2014 – 2015 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
:
z
DE CHINH

KỶ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI TINH CAP THPT
NĂM HỌC 2014-2015

MƠN: TỐN LỚP 11

;
THÚC

Thời gian lam bai: 180 phut
(Đề thi có 01 trang, gơm 5 câu)

Câu 1.
a) CHIải phương trình: 2cos4x + cos2x = Ï+ V3sin2x.

Cau 2.

b) Giải phương trinh: 8x° + 10x—-17 = 8/24? +30x-7.
a) Cho khai trién (1+ 2x)” =a, +ax+...+a,x”, v6in la s6 tự nhiên thỏa mãn
C,

C,

C

T

Cr

= 78. Tìm số lớn nhất trong các số đạ, đ,..... 4...

b) Cho tam giác ABC thỏa mãn C < 8 < 4< 90°. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=cos

sinf sin,
2
2

Câu 3. Trong mặt phắng (P) cho nửa đường trịn (Ĩ) đường kính 4C, điểm Ø di động trên nửa
đường trịn (Ĩ) với B khac A và C. Trên nửa đường thăng 4x vng góc với (?) lây điểm S$
sao cho Š4= 4C = a . Gọi 77, K lần lượt là chân đường cao hạ từ 44 xuống $8, $%C.
a) Chứng minh răng tam giác ⁄177K vng. Tính diện tích tam giác Š%C theo a biết
HK =

ax34
34

—

b) Xac dinh vi tri cua B trén nwa duong tron (O) sao cho tông diện tích các tam giác
SAB va C4B lớn nhat.

Câu 4. Cho dãy số (xa) xác định như sau:
x+2x+4

„.

*› =3 Và x„¡=—®S————
x -x,+6
nt
ox. CÁ
Với mơi sơ ngun dương ø, đặt y„ = >

i=l

VỚI n= 1,2...

1
—:
x;

.
lìm lim y„.

+

Câu 5. Cho x, y, z dương thỏa mãn 3xy + yz + 2zx = 6. Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức
P=

1

l+x°

+

4

4+y>

+

9

9427

.

- “Thí sinh khơng được sử dụng tải liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị khơng giải thích gi thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................SỐ bảo danh:............................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI TINH CAP THPT
NĂM HỌC 2014- 2015
MON: TOAN LOP 11

HUONG DAN CHAM

Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng và gọn đêu cho điêm tương ứng
Cầu

Nội dung

Phương trình đã cho tương đương với:

Điểm
0.5

cos’ 2x —3sin? 2x + cos2x— V3 sin2x =0
&

(cos2x— V3 sin 2x)(cos2x — V3 sin 2x +
cos2x— |3 sin2x = 0

&
Caula)

"

()<

0.5

(2)

1
tan2x=—=

© x=

v3

3.0d

1
Giai (2):

0.5

(1)

cos2x +3 sin 2x =—1

Giaid):

=0

pt

12

1

(2) @ sin} 2x+—
6

0.5

2

x= = +ka

|=--— &

2

0.5

7
—+kZ
2

Vậy: Nghiệm phương trình đã cho là:
xX=-T+k”:x=—“+kz:x=—+kz

3

12

Đặt Đ—24xˆ

5

2

6

2

0.5

8x°+10x-17=8y

+30x—7 = y (*), ta có hệ :

Cong vé theo vé (1) va (2) taco:

voi kEeZ

—24x°

›

+30x-7=y

3

()

0.5

(2)

(2x -— 2)? +8(2x-2)=y? +8y

0.5

Tu phuong trinh nay rut ra duoc: y = 2x — 2

"

.
1
Thé vao (*) ta duoc: 4x° —3x = 2 (3)

Cau lb |

2.5d

0.25

—
0:
d
.
3
—
Datx x=cost
voirs te[0;7]
taduoc:
cos3t=
51

"

7

370

Giai phuong trinh nay ta duoc: ƒ =—;f = 9!
.
7
Do 3 sé cosy

57
COS——

COS

naa

7

đúng 3 nghiệm là: x = cos—;

70

2.
7
2
Na
cố
`
,
đơi một phân biệt nên phương trình (3) có

57

x = cos —

9
ar

Ạ

9

wa?
ae

C7

C?

C,

5

Cc"

C,+2—*+3—44+..4+n—+
Cc

0,5

70

3x = cos —

9

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x = S05

Tacó:

0,5

57

= 9

7

x= cos

=78

3Z

x= cos

70

0.25

0.5

> n+(n—-1)+(n—-2)+...4+1= 78
n(n+1)

=78 on +n-156=0

>n=12

0.5


0.5

Voi n=12 két hop voi gia thiét ta duoc: a, =C5.2" voik=0,],...,12
2

Xét a,,, >a, Sk

>k<7

Da

Tương
tự ta có: a, >a) >...> A, >a,


0.5

(2)

0.5

Từ (1) va (2) ta duoc: Max(dy.@)5....)) = dg = 2°C,,
P=

cos

A-B

.A.B

]

A-B

2

2

sin —sin — = —.cos

2

2

A-B

cos

0.5
— COs

2

A+B

=

2

1
,A-B
1
A-B
A+B
=—cos
——.cos
COS
=
2
2
2
2
2
1
1
= 7 + qleos(A — B)-(cos4+ cosB)|
Chung minh dugc:

cos4+cosB < cos(A-— B) (1)

n2A+sin2B
C4u 2b | That vay: cos(A— B)= “ ; Tsine’
2 5đ
2sin(A + B)

Do đó (1) được chứng minh.
1

4

đều hoặc vng cân tại A

1

MinP = 1

đạt được khi A4BC

S

(do 0
0.5

"

cos A= 0)

sinC

hoac 4 sin B

sinC

sinc

sinØ _ 1

=>

——=l

tam giác

đêu hoặc vuông cân tại A

0,5

0.5

¬

: đường trịn)

_ BC LSA (vi SAL (ABC))

0,75

: Lại có: AK 1 SC (gt)
=> AK | (SBC) => AK 1 KH
=> AAKH vuôngtạiH

0,75

' => BC
1 (S4B) > BC
L 4H

A

3.0d

0.5

: Ta có: BC L AB (góc nội tiêp chăn nửa

k

Câu3a

sind
in B
= a
COSA + sm
.cosB
sinC
sinC

sin A =]

Suy ra: P >—. Dau băng xây ra khi

Vậy:

0.5

C
h

AS4C vuông tạiA và AC = AS = a > AK = > 2
ASHK vuông tai Hnén: AH? = AK? — KH? = =
AS⁄1B vuông tại A >

AB

>=

1
AH’

_
4S

7
Sa

0,25

2

0.25
= 4p? = 84
9

2

0.25

2

- 4B? =%=5C=S
AABC vuông tại B > BC? = AC?

0.25


ASBC

— BCBS
a26
5

vudng taiB

> Shogo =

0.5

Dat ACB=a voi 0° 2

1+
Đặt S = Scop + Syrup ————
Xét:T =(1+cosa)sina

Cau3b |

2.0d |

0.25

.

0.5

có:

025

T° =(1+cosa)’ sin’a = (1+ cosay
(1— cosa)

"

Ap dung bat dang thitc cô s¡ cho 4 số dương :
(1+ cosa) +(1+ cosa) + (1+ cosa) +3(1- cosa) = 4N3T?
'
<â6>41377

ơr<33

05
.

cú = khi cosa =~ = a= 60"

Vy: Điểm
B thuộc nửa duong tron (O) va ACB = 60° .
Xp

x

+4)(x,-2

x -x,+6

0.25

nén bang qui nap chimg minh duoc

Xu
— X„ =
2.0d

0.5

2 = Sa — ty =2
= 7) (1)

Do x, =3

Câu 4

2

(x,- 2)

x, >2

>0 > (x,) la day tang (2)

x -x, +6

Gia su day (x,,)bi chan trên => 3ø > 3 dé limx, =a
3

+2a+4

q =

BS a

a —-a+6
limx, = +00 (3)

Do do:

Từ (1) suy ra :
>

X„iT2

“

=

voimoineN "

4044 =0

1

1
—=
x,-2
x +4

=

»

3+4

=|-

©

1

>

x +4

;

0.25

. Khi đó:

a=2

=

(loại)
1

x,-2

—

0.5
1
x,,,-2

0.5

4

—-

Tu (3) va (4) suy ra: limy, =1

0.5

Đặt x = a, y= 2b,z

= 3e
,

a,b,c > 0

Từ giả thiệt suy ra:
ee ek
Từ giả thiệt (*)

LL.
=> tén tai AABC

A

Cau 5
2.0đ

ab+bc+ca=1

B

(*) Khi đó: P=

1

l+a

C

24...

A4

2
2
2
2
2
24...
4
9
fl
. A
9
<2—-SInˆ—+sin—=—-—| ——sin— | <—
2
2
4
\2
2
4

sin

=1
22>

B=C

9

Vay: MaxP = 4

dat duoc khi a =

1

14+b

st

1

le

A
B
C
sao cho: a = tan—;b = tan—;c = tan—

P=cos’ —+cos’ —+ cos’ — =2-sin’ —+sin—.cos

¬
Dau bang xay ra khi:

st

5

05
0,5

B-C
0.5
°

A

a= tan— =—=
2
B
b=c=-~V3

...
3

0.5