Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2014 2015 sở GDĐT gia lai

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Môn: Toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút

Câu 1. (2,0 điểm)
A=

x +1
x −1
2
−
−
2 x −2 2 x +2
x −1

x ≥ 0, x ≠ 1
, với
.

Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)
y = 2x + 3
y = x2
Cho hàm số
có đồ thị là (P) và đường thẳng ∆ có phương trình
a. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng ∆
b. Viết phương trình của đường thẳng d biết rằng d song song với ∆ và tiếp xúc với
(P).
Câu 3. (2,0 điểm)
x2 − 2mx + m2 − m+ 3 = 0
Cho phương trình
, với x là ẩn số, m là tham số.
a. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm
x1, x2
b. Giả sử
là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2
2
Q = x1 + x2 − 4x1x2
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Các đường cao BD và CE c ủa tam
D ∈ AC , E ∈ AB
giác ABC cắt nhau tại H (
).
a. Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp
BM = CH

b. Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh
.
·
ACB
= α 0 AB = x
c. Giả sử
,
. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và
cung nhỏ AB theo α và x.
Câu 5. (1,0 điểm)
 x2 + y2 = 5
 2
 x + xy + 1 = 2x + y
Giải hệ phương trình
.

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Môn: Toán học

BÀI GIẢI

Câu 1. (2,0 điểm)
A=

Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A

x +1

=
=

x −1

2 x−2 2 x+2

x ≥ 0, x ≠ 1
Với
, ta có
=

−

A=

( x + 1)( x + 1)

x +1

−

−

2
x −1

x −1

2( x − 1) 2( x + 1)
−

( x − 1)( x − 1)

x ≥ 0, x ≠ 1
, với
.
−

2
x −1

−

4( x + 1)

2( x − 1)( x + 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1)
x+ 2 x + 1

−

x− x + 1

−

4( x + 1)

2( x − 1)( x + 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1)
−2
x−1

b. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
x ≥ 0, x ≠ 1
Với
, ta có A nguyên khi và chỉ khi
x− 1
Suy ra
là ước của – 2 , từ đó suy ra tiếp
 x − 1= −2  x = −1 khong thoa dieu kien


 x − 1= −1 ⇔  x = 0
 x − 1= 1
x = 2


 x − 1= 2
x = 3

−2
x−1

nguyên

x = 0; x = 2; x = 3
Vậy x nhận các giá trị
Câu 2. (2,0 điểm)
y = 2x + 3
y = x2
Cho hàm số
có đồ thị là (P) và đường thẳng ∆ có phương trình
a. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng ∆
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng ∆ là
 x = −1
⇔
x2 = 2x + 3 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0  x = 3
x = −1⇒ y = 1 x = 3 ⇒ y = 9
Với
;

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017
Môn: Toán học

Vậy (P) cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm phân biệt

N(−1;1)

M (3;9)

và
y = 2x + b
b≠ 3
b. Đường thẳng d song song với ∆ phương trình có dạng
với
x2 = 2x + b

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) phương trình
∆ = 4 + 4b ∆ = 0 ⇔ 4 + 4b = 0 b = −1
Ta có
;
y = 2x − 1
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là

có nghiệm kép

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Môn: Toán học

Câu 3. (2,0 điểm)
x 2 − 2mx + m2 − m + 3 = 0

Cho phương trình
, với x là ẩn số, m là tham số.
a. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm
∆ = 4m− 12 ∆′ = m− 3
Ta có
;(
)
∆ ≥ 0 ⇔ m≥ 3
Phương trình đã cho có nghiệm khi
m≥ 3
Vậy
x1, x2
b. Giả sử
là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2
2
Q = x1 + x2 − 4x1x2
đạt giá trị lớn nhất.
 x2 + x2 = 2m
1
2

2
 x1x2 = m − m+ 3
m≥ 3
Với
, theo Viet ta có
Q = x12 + x22 − 4x1x2 = (x1 + x2)2 − 6x1x2
Theo biểu thức
= −2m2 + 6m− 18 = − m2 − m2 + 2.3m− 9− 9

= −m2 − (m− 3)2 − 9

m= 0

m= 3

Nhận thấy khi
hoặc
m= 0
m= 3
Với
bị loại ;
nhận

thì Q đạt giá trị lớn nhất bằng – 18

m= 3
Vậy Q lớn nhất bằng – 18 khi
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Các đường cao BD và CE c ủa tam
D ∈ AC , E ∈ AB
giác ABC cắt nhau tại H (
).
a. Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp
Hình vẽ

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017
Môn: Toán học

·
·
BD ⊥ AC ⇒ BDC
= 900 CE ⊥ AB ⇒ CEB
= 900
Ta có
;
Suy ra tứ giác BCED nội tiếp đường tròn đường kính BC.

BM = CH
b. Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh
.
Ta cần chứng minh BMCH là hình bình hành
CH ⊥ AB BM ⊥ AB
Ta có
;
(gói nt chắn nửa đường tròn lấy đường kính AM)
CH / / BM
Suy ra
(1)
BH ⊥ AC CM ⊥ AC
Ta có
;
(gói nt chắn nửa đường tròn lấy đường kính AM)
BH / /CM

Suy ra
(2)
CH = BM
Từ (1) và (2) suy ra BMCH là hình bình hành suy ra
CH = BM
Vậy
·
ACB
= α 0 AB = x
c. Giả sử
,
. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nh ỏ
AB theo α và x.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
·
·
ACB
= ·AOI = IOB
=α0
Ta có
x
x
IO =
IA
=
∆OIA
2tanα 0
2sinα 0
;
vì

vuông tại I
Diện tích tam giác OAB là
1
x2
SOAB = AB .OI =
2
4tanα 0
(đơn vị diện tích)
Diện tích hình quạt tròn OanB là
π .OA2.2α 0
π .α .x2
SOAnB =
=
3600
720sin2 α 0
(đơn vị diện tích)

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Môn: Toán học

Diện tích hình viên phân AnB là
SAnB = SOAnB − SOAB

π .α . x 2
x2
x2 
π .α
1 
=
−
= 
−
÷
2 0
0
2 0
4  180sin α
720sin α
4tan α
tan α 0 
Câu 5. (1,0 điểm)

(đơn vị diện tích)

 x2 + y2 = 5
(1)
 2
 x + xy + 1 = 2x + y (2)

Giải hệ phương trình
.
Từ phương trình (2)
x2 + xy + 1 = 2x + y ⇔ x2 − 2x + 1+ xy − y = 0

 x − 1= 0
(3)
⇔

⇔ (x − 1)2 + y(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)(x+ y − 1) = 0
 x + y − 1= 0 (4)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình
 x2 + y2 = 5  x = 1
x = 1
⇔
hoac 

 x = 1
y = 2
 y = −2
Từ (1) và (4) ta có hệ phương trình
 x2 + y2 = 5  x + y = 1  x = −1
x = 2
⇔
⇔
hoac 

 x + y = 1
y = 2
 y = −1
 xy = 2
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (1; 2), (1; –2), (2; –1), (–1; 2)

Trang | 5

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
năm 2017
Môn: Toán học

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm trong việc ôn luy ện h ọc
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại
-

kết quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 5