BÁO CÁO TIỂU LUẬN MÔN MATLAB Chủ đề TÌM HIỂU NÉN ẢNH BẰNG GIẢI THUẬT PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ RIÊNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ VÀ TRUYỀN THÔNG

---------

BÁO CÁO TIỂU LUẬN
MƠN: MATLAB
Chủ đề:
TÌM HIỂU NÉN ẢNH BẰNG
GIẢI THUẬT PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ RIÊNG
Giảng viên: Th.s. Vũ Thúy Hằng
Sinh viên thực hiện:
1. Vũ Đình Cường
2. Hồng Quang Vinh
3. Nguyễn Bùi Bảo
4. Nguyễn Cơng Trình
5. Đinh Lương Bình
Lớp : Kỹ thuật Y sinh
Khóa: 13

Thái Nguyên, tháng 10, năm 2016
1


MỞ ĐẦU
Mục đích của việc nén ảnh số là mã hoá các dữ liệu ảnh về một
dạng thu gọn, tối thiểu hoá cả số bit dùng để biểu diễn ảnh lẫn các sai
khác do quá trình nén gây ra. Tầm quan trọng của vấn đề nén ảnh có
thể thấy rõ qua các số liệu cụ thể: với một bức ảnh trắng đen kích
thước 512x512 pixels, mỗi pixel được biểu diễn bởi 8 bits (biểu diễn

một trong 256 giá trị mức xám), cần khoảng 256 Kbytes dữ liệu. Với
ảnh màu cần gấp ba lần con số này. Với các dữ liệu video, cần 25
frames trên một giây, như vậy một đoạn video chỉ 30s phải cần đến
540MB dữ liệu, một con số quá lớn. Do đó vấn đề nén ảnh là hết sức
cần thiết.
Nói chung, các phương pháp nén ảnh chủ yếu được phân thành 2
nhóm: nhóm khơng tổn hao và nhóm có tổn hao. Các phương pháp nén
ảnh khơng tổn hao cho phép biểu diễn ảnh với chất lượng hoàn toàn
ngang bằng với ảnh gốc. Các phương pháp này dựa trên các giải thuật
nén được áp dụng cho tất cả các đối tượng dữ liệu nói chung chứ khơng
chỉ riêng dữ liệu ảnh, ví dụ mã Huffman, mã số học, mã Golomb, ... Tuy
nhiên, các phương pháp này không lợi dụng được những đặc tính riêng
của dữ liệu ảnh và tỷ lệ nén rất thấp. Do đó, trong thực tế, các phương
pháp nén có tổn hao là các phương pháp được sử dụng chủ yếu. Với
các phương pháp này, luôn có sự đánh đổi giữa dung lượng ảnh với
chất lượng ảnh.

2


PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ RIÊNG
(SVD)
I, Cơ sở lý thuyết
Phương pháp phân tích trị riêng (SVD – Singular Value
Decomposition) là một đề tài rất được quan tâm của đại số tuyến
tính. Phương pháp này có nhiều ứng dụng thực tế, một trong số đó là
ứng dụng trong kỹ thuật nén ảnh. Đặc điểm quan trọng của phương
pháp này là nó có thể áp dụng cho bất kỳ ma trận thực m x n nào.
Nội dung của nó là: phân tích một ma trận A cho trước thành 3 ma
trận U, S, V, sao cho:

A = USV

(4.1)

T

trong đó U và V là các ma trận trực giao và S là ma trận đường
chéo. Ma trận U là ma trận gồm các vector riêng trái của A, ma trận
V là ma trận gồm các vector riêng phải của A và ma trận S là ma
trận đường chéo, mỗi phần tử đường chéo là một trị riêng của A. Các
trị riêng được sắp trên đường chéo chính theo thứ tự sau:

s1 > s
=

2

> ... > s r > s

r +1

= ... = s

0
với r là hạng của ma trận A và p = min{m,n}.

3

p

 Để tìm các ma trận S, U, V, ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm ma trận V. Nhân T A vào hai vế của (4.1), ta có:
AT .A = (USVT )T USVT = V.ST .UT .U.S.V T
= V.ST .S.V T
= V.S2.V

T

Do UT.U=I. Như vậy, để tìm ma trận S và V, ta chỉ cần tìm các
trị riêng và các vector riêng của AT .A vì từ (4.1) ta thấy các trị riêng
của AT .A chính là bình phương các phần tử của S cịn các vector
riêng của AT .A chính là các cột của V.
Bước 2: Tìm ma trận U. Nhân hai về của (4.1) với AT và sử dụng: VTV
=I
ta cũng có :
AAT

= U.S2 .U

T

Vậy các cột của U chính là các vector riêng của T AA Cuối cùng, ta
phân tích ma trận A dưới dạng như sau:
σ1

VT1
…

…
σr

A=(u1 … ur … um)
…

VTr
…

0

VTn

A và S là các ma trận kích thước mxn, U là ma trận mxm và V là ma
trận nxn.

4


II. Ứng dụng SVD để nén ảnh số.
Bằng cách phân tích ma trận ảnh A dưới dạng A=USV T , ta có
thể biểu diễn xấp xỉ ma trận A bằng ít phần tử hơn. Nếu hạng của
ma trận A là rA=s1u1vT1 + s2u2vT2 + … + srurvTr + sr+1ur+1vTr+1 + …
(4.2)
Hơn nữa, các trị riêng được sắp xếp theo thứ tự giảm dần, do
đó những số hạng phía sau sẽ có ít ảnh hưởng đến ảnh và có thể bỏ
đi các số hạng này.
MATLAB có hàm svd để thực hiện nhân tử hoá ma trận A thành
USVT

>> [U,S,V] = svd(A)
Chúng ta có thể sử dụng hàm này kết hợp với phương trình
(4.2) để viết một hàm nén ảnh dùng giải thuật SVD. Ví dụ hàm

svdcompr. Cú pháp của nó là:
>> im = svdcompr (infile,singvals,outfile)
trong đó infile và outfile là tên các file ảnh gốc và ảnh nén,
singvals là số các trị riêng lớn nhất được giữ lại.

5


Ta có hàm svdcompr() :
function [im] = svdcompr (infile,singvals,outfile)
% IMCOMPR (infile,singvals,outfile)
% Image compression based on Singular Value Decomposition.
% Written by Luigi Rosa – L’Aquila - Italia
% infile is input file name present in the current directory
% singvals is the number of largest singular values (positive
integer)
% outfile is output file name which will be created
% Compression ratio is equal to k(n+m+k) / n*m
% where k is the number of singular values (singvals)
% and [n,m]=size(input_image)
%*****************************************************
if (exist(infile)==2)
a = imread(infile);
figure('Name','Input image');
imshow(a);
else

warndlg('The file does not exist.',' Warning ');
im=[];
return
end
if isrgb(a)
6


if isa(a(:,:,1),'uint8')
red = double(a(:,:,1));
green = double(a(:,:,2));
blue = double(a(:,:,3));
[u,s,v] = svds(red, singvals);
imred = uint8(u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(green, singvals);
imgreen = uint8(u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(blue, singvals);
imblue = uint8(u * s * transpose(v));
im(:,:,1) = imred;
im(:,:,2) = imgreen;
im(:,:,3) = imblue;
imwrite(im, outfile);
figure('Name','Output image');
imshow(im);
return;
end
if isa(a(:,:,1),'uint16')
red = double(a(:,:,1));
green = double(a(:,:,2));
blue = double(a(:,:,3));

[u,s,v] = svds(red, singvals);
imred = uint16(u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(green, singvals);
imgreen = uint16(u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(blue, singvals);
imblue = uint16(u * s * transpose(v));
im(:,:,1) = imred;
im(:,:,2) = imgreen;
im(:,:,3) = imblue;
imwrite(im, outfile);
figure('Name','Output image');
7


imshow(im);
return;
end
if isa(a(:,:,1),'double')
red = double(a(:,:,1));
green = double(a(:,:,2));
blue = double(a(:,:,3));
[u,s,v] = svds(red, singvals);
imred = (u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(green, singvals);
imgreen = (u * s * transpose(v));
[u,s,v] = svds(blue, singvals);
imblue = (u * s * transpose(v));
im(:,:,1) = imred;
im(:,:,2) = imgreen;
im(:,:,3) = imblue;

imwrite(im, outfile);
figure('Name','Output image');
imshow(im);
return;
end
end
if isgray(a)
dvalue=double(a);
[u,s,v] = svds(dvalue, singvals);
if isa(a,'uint8')
im = uint8(u * s * transpose(v));
end
if isa(a,'uint16')
im = uint16(u * s * transpose(v));
end
if isa(a,'double')
im = (u * s * transpose(v));
end
imwrite(im, outfile);
figure('Name','Output image');
imshow(im);
return;
end

8


III. Ví dụ :
1. Ví dụ 1 :

Thực hiện giải thuật nén SVD dùng hàm svdcompr: Trong ví
dụ này ta chỉ giữ lại 30 số hạng đầu tiên trong phương trình
(4.2).
in = imread(‘2.bmp’) ;
out=svdcompr(‘2.bmp’,30,’svd.bmp’);
imshow(in),figure, imshow(out);

9


2. Ví dụ 2:

close all
[A,map]=imread(‘lena.gif’);
B=im2double(A,’indexed’);
imshow(B,map)
[u,s,v]=svd(B);
C=zeros(size(B));
for j=1:k
C=C+s(j,j)*u(:,j)*v(:,j).’;
end
C=floor(C);
imshow(C,map)
k=find(C<1);
C(k)=1;
set(gcf,’Unit’,’inches’,’Paperposition’,[0,0,2,1])
print -djpeg ’lenak.jpg’ .

Dưới đây là kết quả của đoạn chương trình trên với các
giá trị k (số vòng lặp, cũng là số trị b riêng được giữ lại) khác

10


nhau:

Hình 4.10.
Trong hình vẽ 4.9, hình b ứng với số trị riêng giữ lại là 5,
ảnh này tiết kiệm được 99,9% dung lượng so với ảnh gốc
nhưng chất lượng kém, chỉ thấy được dạng ảnh mà không
thấy rõ các chi tiết. Nếu giữ lại 60 trị riêng lớn nhất, chất
lượng ảnh đã đạt gần với ảnh gốc (hình e) và ta tiết kiệm
được khoảng 84% dung lượng. Khi tăng số lần lặp lên 100,
chất lượng ảnh rất tốt (hình f) mà vẫn tiết kiệm được 55% so
với ảnh gốc.

11