Tài liệu Toán 12 ôn tập hệ thống phương trình mũ - lôgarit doc

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 1 - Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MŨ-PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Kieán thöùc cần nhớ
1 – Các tính chất của lũy thừa.
1.1
( )
−
= = = ≠
0 1 n
n
1
a 1, a a, a a 0
a
1.2
+ −
= =
m
m n m n m n
n
a
a .a a , a
a

1.3
(
)
(
)

= =
m n
n m m.n
a a a
1.4
( )
 
= =
 
 
n
n
n
n n
n
a a
a b a.b ,
b b

1.5 =
m
m
n
n
a a

2 –Các tính chất của hàm số mũ.
Cho hàm số
=
x

y a

(
)
< ≠
0 a 1

2.1 Tập xác định D = R.
2.2 Tập giá trị : T = (0; +∞).
2.3 Hàm số
=
x
y a
đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
2.4
= ⇔ =
x t
a a x t

2.5
> < <
 
⇒ > ⇒ <
 
> >
 
x t x t
a 1 0 a 1
x t ; x t
a a a a

Lý thuyết.
Phương trình mũ đơn giản nhất có dạng.
(1)
(
)
= ⇔ = < ≠
f(x) g(x)
a a f(x) g(x) 0 a 1

(2)
(
)
= ⇔ = < ≠ >
f(x)
a
a b f(x) log b 0 a 1, b 0

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:
1. Phương pháp đ
ưa
(biến đổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến đổi về dạng :
=
f(x) g(x)
a a

Lưu ý các công thức:
+ −
= =

x
x y x y x y
y
a
a .a a , a
a
,
( )
 
= =
 
 
x
x
x
x x
x
a a
a b a.b ,
b
b
,
( )
−
= = = ≠
0 1 x
x
1
a 1, a a, a a 0
a

Bài tập: Giải các phương trình sau:
−
+
 
= =
 
 
2
2
x 2x
x 3x
1
1) 2 16 2) 1
5

− −
= =
2
x
x x x 2
2
3) 3 .5 225 4) 10 1

2
3
7 12
1 1
5)2 1 6)5
5 125

x x
x x x
−
− +
   
= =
   
   

1 2
7)2 .5 0,2.10
x x x
− −
=

( )
2 2
4
6 6 1
5
1
8)2 .3 . 6
6
x x x
− − −
 
=
 
 

1
9 8 lg9
9) .
4 27 lg27
x x
−
   
=
   
   

1 1
10)5 10 .2 .5
x x x x
− − +
=

2 1
2
11)5 5 5
x
x
− +
=
5 17
7 3
12)32 0,25.128
x x
x x
+ +

− −
=

( ) ( )
4 2
4
2
4
2
12) 5 . 0,2 125. 0,04
x
x
x
x
x
x
−
−
+
−
+
=

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 2 -
Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
1
5 2cos 1 cos
2
13)4 7.4 4 0

x x+ +
− − =

1 2
14)4 .5 5.20
x x x
+ −
=

( )
1
3
15) 2 4 . 0.125 4. 2
x x
x
=
−
 
=
 
 
2x 7
1
1
6
6x
x
1
16) .4 8
2

Dạng 1.2 Biến đổi về dạng :
(
)
= ⇔ = < ≠ >
f(x)
a
a b f(x) log b 0 a 1, b 0

Bài tập : Giải các phương trình sau.
4
1 2 3
2
1)5.4 2 16 3
x
x x
+
+ −
− − =

(
)
2( 1)
1
2) 2 3.2 7
x
x
+
−

− =

3 3 1 1
3)2 .3 3 .3 192
x x x x− −
− =

2
2 3 1
3
4)3 9 27 675
x
x x− −
− + =


Dạng 1.3 Biến đổi về dạng:
( ) ( )
. .
f x g x
m a n b
=
(
,
m n R
∈
)
Sau
đ
ó

đư
a v
ề
d
ạ
ng
( )
( )
( )
f x
f x
g x
a n a n
b m b m
 
= ⇔ =
 
 

Lưu ý nhận dạng:
Lo
ạ
i này có hai c
ơ
s
ố
khác nhau. Hãy chuy
ể
n các s
ố

h
ạ
ng ch
ứ
a l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i c
ơ
s
ố
b
ằ
ng
nhau v
ề
cùng m
ộ
t v
ế
, sau
đ
ó bi
ế
n
đổ
i cho s

ố
m
ũ
c
ủ
a các l
ũ
y th
ừ
a
đ
ó b
ằ
ng nhau ,gi
ả
i nh
ư
d
ạ
ng 1,2.

Bài t
ậ
p: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
4 3 2
1)3 5 3 3

x x x x
+ + +
− = −
1 2 4 3
2)7.3 5 3 5
x x x x
+ + + +
− = −
2lg 4 1 lg4 lg4 1 lg 4
3)2 3.4 7 3.4
x x x x
− −
− = −
2 1 1
1 1
4)3.4 .9 6.4 .9
3 4
x x x x
+ + +
+ = −
2 2 2 2
1 1 2
5)2 3 3 2
x x x x
− − +
− = −
0,5 3,5 2 1
6)9 2 2 3
x x x x
+ + −

− = −

Dạng 1.4 Biến đổi về phương trình tích.

Bài tập : Giải các phương trình sau.
2 3 2 2 2 2
1)5 3 2.5 2.3 2) .2 8 2 2
x x x x x x
x x
+
= + + + = +

2 2 2 2 3
3) .6 6 .6 6 4)8 .2 2 0
x x x x x x
x x x x
− + − −
+ = + − + − =

5)3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6 6)12.3
x
+ 3.15
x
– 5
x + 1
= 20

2.Phương pháp đặt ẩn phụ (đưa về phương trình đại số bậc2,3 theo ẩn phụ)
Dạng 1.Biến đổi phương trình về dạng
2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n x p
+ + =
(1)
Lưu ý: Khi giải cần chú ý đến điều kiện xác định của (1)
Bước 1: Đặt t=a
( )
f x
,t>0. Ta có t
2
=(a
( )
f x
)
2
=a
2 ( )
f x

PT đã cho trở thành:
2
0 (*)
0
mt nt p

t

+ + =

>


Bước 2: Giải (*) tìm nghiệm t>0
Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a
( )
f x
=t để tìm x
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1))

Bài tập: Giải phương trình sau.
2 5 2
1)3 3
x x
+ +
=

2 2
1 3
2)9 36.3 3 0
x x− −
− + =

2 4
3)2.2 7.2 20
x x

− =

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 3 - Gv: Nguy
ễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
1
4)27 13.9 13.3 27 0
x x x+
− + − =

1 3
3
5)64 2 12 0
x x
+
− + =

1
3 3
2
6)8 2 12 0
x
x
+
− + =

(
)
(
)

10
5 10
7) 3 3 84
x x−
+ =

4 8 2 5
2
8)3 4.3 28 2log 2
x x+ +
− + =

2 1 2 2( 1)
9)3 3 1 6.3 3
x x x x
+ + +
= + − +

10)4
x + 1
-5
x +2
= 5
x
– 4
x
11)2
x
+ 2
x + 1

+ 2
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 2
+ 3
x +4

12)4
x +2
+ 11.2
2x
= 2.3
x +3
+ 10.3
x

Dạng 2.Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n x p
−
+ + =
(2)
Phương pháp:
Lưu ý: Khi giải cần chú ý đến điều kiện xác định của (2)
Bước 1: Đặt t=a
( )

f x
,t>0. Ta có
( )
( )
1 1
f x
f x
a
a t
−
= =

PT đã cho trở thành:
1
0 (*)
0
mt n p
t
t

+ + =



>

⇔
2
0 (*)
0

mt pt n
t

+ + =

>


Bước 2: Giải (*) tìm nghiệm t>0
Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a
( )
f x
=t để tìm x
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2))

Bài tập: Giải phương trình sau.
1)3
x +1
+ 18.3
− x
= 29
2)
2
2+ x
− 2
2− x
= 15
3)
5
x −1

+ 5.0, 2
x − 2
= 26
2
sin 2
3)2 2 15
x x−
− =

(
)
(
)
4) 5 24 5 24 10
x x
+ + − =

(
)
(
)
5) 7 48 7 48 14
x x
+ + − =

2
2 10 9
6)
4 2
x

x
−
+
=
2 2
1 1
7)10 10 99
x x+ −
− =

(
)
(
)
3
8) 3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =

(
)
(
)
2
9) 5 1 5 1 2
x x
x
+

− + + =

(
)
(
)
3
10) 5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =

(
)
(
)
11) 7 4 3 3 2 3 2 0
x x
− − − + =

(
)
(
)
+ + − =
x x
12) 2 3 2 3 14

(

)
(
)
13) 4 15 4 15 62
x x
+ + − =

(
)
(
)
tan tan
14) 3 2 2 3 2 2 6
x x
+ + − =

Dạng 3: Biến đổi về dạng m.a
2 f
(

x
)

+

n
.
(

a.b

)

f
(

x
)

+
p.b
2 f
(

x
)

=
0 . (m, n, p là các số thực)
(1)

Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1).
Bước 1: Chia cả hai vế của pt (1) cho
2 ( )
f x
b
(hoặc
2 ( )
f x
a

) ta được:

2 ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
.
. . . 0 . . 0
f x f x
f x f x f x f x
f x f x f x
a a b b a a
m n p m n p
b b b b b
   
+ + = ⇔ + + =
   
   

Phương trình này đả biết cách giải.
Bước 2: Đặt t=
( )
f x
a
b
 
 
 
,t>0. Ta có t
2
=

2 ( )
f x
a
b
 
 
 

PT đã cho trở thành:
2
0 (*)
0
mt nt p
t

+ + =

>


Bước 3: Giải (*) tìm nghiệm t>0
Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 4 -
Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình
( )
f x
a
b
 

 
 
=t để tìm x
Bước 5: Kết luận (nghiệm của (1))

Bài tập: Giải phương trình sau.
1)
x x x x
3.8 4.12 18 2.27 0
+ − − =
2)
x x x
8 18 2.27
+ =

2 4 2 2
3)3 45.6 9.2 0
x x x
+ +
+ − =

2 2 2
4)7.4 9.14 2.49 0
x x x
− + =

2 1 1
5)10 25 4,25.50
x x x
+ =

1 1 1
6)4 6 9
x x x
− − −
+ =

2 1
7)9 6 2
x x x
+
+ =

2 2 2
2 6 9 3 5 6 9
8)3 4.15 3.5
x x x x x x
− + + − − +
+ =

9)
3
x +1
– 2
2x + 1
– 12
x/2
= 0 10)125
x
+ 50

x
= 2
3x + 1


3.Phương pháp lôgarit hóa (lấy lôgarit hai vế với cơ số thích hợp)
Dạng tổng quát:
( ) ( ) ( )
. .
f x g x h x
a b c d
=

Trong phương trình có chứa cơ số khác nhau và số mũ khác nhau
Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b,hoặc c) hai vế
Ta được

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
log ( . . ) log
log log log log
( ) ( )log ( ) log log
f x g x h x
a a
f x g x h x
a a a a
a a a
a b c d
a b c d
f x g x b h x c d

=
⇔ + + =
⇔ + + =

Biết được
log ,log ,log
a a a
b c d
là các số thực. Giải phương trình ta thu đượcẩn x.
Bài tập: Giải phương trình sau.
x
7x 3x x
x 2
1) 3 .7 1 2) 3 .8 6
+
= =
3)
2
1
2 3
x x
−
=

7 5
4)5 7
x x
=

5)

2
x x
3 .2 1
=
6)
−
=
x 1
x
x
5 .8 500
7)
+
=
x x
x 1
5 . 8 100
8)
−
= +
6 x
7 x 2

4.Phương pháp sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số.
Dạng sử dụng tính đơn điệu
Thường biến đổi phương trình về dạng f(x)=g(x) hoặc f(x)=c
Vói trường hợp f(x)=g(x) chúng ta thường gặp x=a là nghiệm của phương trình ,còn với mọi x
≠
a thì f(x)>b
và f(x)<b. Nghĩa là với mọi x

≠
a không phải là nghiệm của phương trình f(x)=g(x) . Việc chứng minh f(x)>b
và g(x)<b dựa vào tính đơn điệu của hàm sốy=f(x) và y=g(x)

Giải phương trình :
a)
2
2 2 2
3 2 2
x x
x x
− +
= + −
1
) 6
5
x
b x
 
= +
 
 

Nhận xét: Thông thường để đánh giá các tam thức bậc hai ta thường biến đổi nó về dạng tổng các bình
phương. Ở đây ta biến đổi
( )
2
2
2 2 1 1
x x x

− + = − +

Giải: Vì
( )
2
1 0
x
− ≥
nên
( )
2
2
2 2 1 1 1
x x x
− + = − + ≥
.Suy ra
( )
2
2
1 1
2 2 1
3 3 3
x
x x
− +
− +
= ≥
(1)
Còn vế phải
( )

2
2
2 2 3 1 3
x x x
+ − = − − ≤
(2)
Từ (!) và (2) phương trình đả cho
( )
2
2 2
2
2
3 3
1 0 1
2 2 3
x x
x x
x x
− +

=

⇔ ⇔ − = ⇔ =

+ − =



Vậy phương trình đả cho có nghiệm duy nhất x=1.
Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit

- 5 -
Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
b)Nhận xét: Hàm số y=
1
5
x
 
 
 
nghich biến trên R, còn y=x+6 đồng biến trên R. Nếu dùng đồ thị ta thấy hai đồ
thị này cắt nhau tại nhiều nhất một điểm , nên phương trình đả cho có nhiều nhất một nghiệm.
Giải: Dể nhận x=-1 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất
Thật vậy, xét hàm số y=
1
5
x
 
 
 
,ta có f(x) nghịch biến trên R
Do đó :
Với x>-1 thì f(x)<f(-1) hay
1
5
x
 
 
 
<5 (1)
x+6>-1+6=5 (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy x>-1 không thỏa mãn phương trình đã cho ,Nghĩa là x>-1 không phải là nghiệm
cuủa phương trình đã cho.
Tương tự: Với x<-1 thì f(x)>f(-1) hay
1
5
x
 
 
 
>5 ; x+6<5
Nên x<-1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho,
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x=-1

Bài tập: Giải các phương trình sau.
1)3
x
+ 4
x
= 5
x
2)2
x
= 1 + 3
x/2
3)
(
)
(
)
(

)
xxx
52323 =++−

→VN(a=
23 −
,b=
23 +
,c=
5
. Ta có a < c < b, xÐt TH x=0, x>0, x<0→ VT>VP )
4)
x
xx
23232 =






++






−
5)1 + 2

6x
+ 2
4x
= 3
4x

6)2
x + 1
= 3
x/2
+ 5 7)1 + 2.2
x
+ 3.3
x
= 6
x
8)
x
x
x
cos
2
cos
1
cos =+

9)
8944
296213
22

++=−
+++−
xx
xxxx
10)2
x + 1
– 4
x
= x – 1
11)
2
3
2 6 9
4
x
x x
 
= − + −
 
 
12)
2
os 2
3 3
c x
x
= +
13)
2
2

1
2
x x
x
x
−
= +
14)
24
16 2 2
x x
x
−
− = +

15)9
x
+ 2(x - 2)3
x
+ 2x – 5 = 0


5.Một số cách giải khác:
PP: Nếu f(x) liên tục và đơn điệu trên K thì
∀
x, y
∈
K ta có f(x) = f(y)
⇔
x = y.

Bài tập: Giải các phương trình sau.
1)
3 2 2
5 2 5
x x
x
+
+ + =
2)
( )
2
2
1
2 2 1
x x x
x
− −
− = −

( )
2 2
2
1
3)4 2 1
x x x
x
+ −
− = +

( )

2
2 2
1
1
4)4 2 2
x
x x x
+
+ −
− =

(
)
(
)
5) 5 3 5 3 4
x x
x
− + + =









Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 6 -

Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cần nhớ:
Cho
0, 1
a a
> ≠
;
1 2
0, 0, 0
x x x
> > >
:
Đn: log
b
a
x b x a
= ⇔ =

Chú ý:
(
)
(
)
( ) ( )
a
log x
x
a
1 x a x 0

2 x log a x R
= ∀ >
= ∀ ∈

Tính chất

(
)
( )
1 2 1 2
1
1 2
2
1) log 1, log 1 0 2) log . log log
3) log log log 4) log log ,
log
5) log 0 1
log
a a a a a
a a a a a
b
a
b
a x x x x
x
x x x x R
x
x
x b
a

α
α α
= = = +
= − = ∀ ∈
= < ≠

Chú ý:
1 1
log ; log log , 0
log
α
α
α
= = ≠
a a
a
b
b x x
a

Lý thuyết:
Đ
a s
ố
ph
ươ
ng trình logarit c
ơ
b
ả

n
đề
u bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng.
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
b
a
a a
log f x b f x a
f x 0 hoaëc g x 0
log f x log g x
f x g x
+ = ⇔ =

> >


+ = ⇔

=



Chú ý:
Khi

không s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c t
ươ
ng
đườ
ng nh
ớ

đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n

để
hàm s
ố
lôgarit có ngh
ĩ
a (c
ơ
s
ố
ph
ả
i
l
ớ
n h
ơ
n 0 và khác 1, bi
ể
u th
ứ
c l
ấ
y lôgarit ph
ả
i d
ươ
ng)
Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:
Dạng 1:
Bi

ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
=
a a
log f x log g x

Lưu ý:
Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ
ng trình

(
)
(
)
=
a a
log f x log g x
.
Cách 1:

Đ
K c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( ) 0
( ) 0
f x
g x
>


>

, sau
đ
ó gi
ả
i ph

ươ
ng trình
(
)
(
)
= ⇔ =
a a
log f x log g x f(x) g(x)

Cách 2:
Bi
ế
n
đổ
i :
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )

> >

= ⇔

=



a a
f x 0 hoaëc g x 0
log f x log g x
f x g x

Chú ý: 'Cách 2' th
ườ
ng d
ể
m
ắ
c sai l
ầ
m nên
khuyến khích
các em gi
ả
i theo ''cách 1''
Bài tập:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
Toán 12 Ôn t
ậ
p h
ệ

th
ố
ng ph
ươ
ng trình m
ũ
-lôgarit
- 7 -
Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
(
)
2
3
1) log x 2x 1
+ =

(
)
3 3
2) log x log x 2 1
+ + =

(
)
(
)
2
3) lg x 2x 3 lg x 3
+ − = −

( ) ( )
2
2 1
2
1
4) log x 1 log x 4 0
2
− + + =

( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
5) log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + − =

6)
(
)
( )
2
3 3
log 5 log 2 5
x x x
− − = +
7)
(
)

2 2
log 4 log 2 4
x x
+ = + −

8)
(
)
(
)
(
)
3 3 3
2
log 2 2 log 2 1 log 2 6
x x x
+
− + + = −
9)
(
)
(
)
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
+ − − − − =

10)
(
)
(
)
x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6
+ − = −
11)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2 2
2
log x 1 log x 1 log 7 x 1
− + + − − =

12)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0

− − − + =
13)
( )
1 4
4
1
log x 3 1 log
x
− = +

14)
3 1
3
log ( 2) log 2 1 0
x x
− + − =

2 3
1
15)2log 36 log( 1) log( 6) log3 log 2
3
x x x− + + = + + +
1
16) (lg lg 2) lg( 2 1) lg6
2
x x+ + + =
3 3
3 3
17)2log 1 log
7 1

x x
x x
− −
+ =
− −

2
18)log 1 3log 1 log 1 2
x x x
+ + − = − −

2
3 1 9
3
19)log (2 54) log ( 3) 2log ( 4)
x x x
− + + = −

2
20)log(3 12 19) log(3 4) 1
x x x
+ + − + =

3 3 3
21) log ( 5) log 2 log 3 20 0
x x
− − − − =

log(2 19) log(3 20)
22) 1

logx
x x
− − −
= −

2 2
1
23) log( 10 25) log( 6 3) 2log( 5) log 3
2
x x x x x
− + + − + = − +

24)
(
)
(
)
9 3
log x 8 log x 26 2 0
+ − + + =

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn số phụ
( Đưa pt lôgarit về phương trình đại số bậc 2,3 và giải theo ẩn phụ).
Biến đổi và đặt ẩn số phụ thích hợp.
L
ư
u ý:
Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức
log f( )
a

x
có nghĩa là f(x)>0. Cần chú ý đến đặc điểm chủa
phương trình đang xét ( chứa căn bậc hai hoặc chứa ẩn ở mẩu) khi đó cần đặt đk cho phương trình có nghĩa.
Các phép biến đổi càn chú ý:
2
log 2 log
n
a a
x n x
= điều kiện x
≠
0
Bài t
ậ
p:
Giải các phương trình sau.
1)4 logx 3 logx
− = 2)
(
)
(
)
2
2
2
log 4 log 2 5
x x
− =
3)
2

2
2
log 3.log 2 0
x x
− + =

2
2 1
2
2
4)log x 3log x log x 2
+ + =

2
2 2
2
log x-log x 2
5) 1
log x 1
−
=
+

log(6 ) 1
6)
2 3log(6 ) 1
x
x
−
=

− −

1
3 3
7) log (3 1)log (3 3) 6
x x
+
− − =

2 6 2
8)log x logx log 3 9
− = −

Toán 12 Ôn tập hệ thống phương trình mũ-lôgarit
- 8 -
Gv: Nguyễn Phan Anh Hùng-THPT Hương Giang
3
9)log(10 )log(0,1 ) logx 3
x x
= −

2 2
4 4
10)4log ( ) 2log x 1 0
x
− + + =

2 2
1
11)log (100 ) log (10 ) 14 log

x x
x
+ = +

2
2 2
2
6
12)log ( 7) 5 log x
7
log ( )
x
x
x
+ = − −
+

2 2
2 0,5 2 2 2
2
13)(log x 2log )(3log x 1) 2log x .log
4 2
x
+ − =

2
9 3 3
14)2log x log x.log ( 2 1 1)
x
= + −

2 4
15) 1 log x 4log x 3 4
+ + − =

Dạng 3:
Ph
ươ
ng pháp m
ũ
hóa.
Bài t
ậ
p: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
2 3
1) log x log x 1
+ =

3 5
2)log ( 1) log (2 1) 2
x x
+ + + =

3 5
3) log x log x log15
+ =

2 5
4)log x log ( 5)
x
= +

Dạng 4:
Ph
ươ
ng trình lôgarit nhi
ề
u c
ấ
p.
Ph
ươ
ng pháp:H
ạ
t
ừ
ng c
ấ
p m
ộ
t t
ừ
ngoài vào theo tính ch
ấ
t
log f ( ) ( )

c
a
x c f x a
= ⇔ =

Bài t
ậ
p:Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
1) log(log(log(logx))) 0
=

2
3 4 3
2)log (log (log ( 3))) 0
x
− =

4 3 3
1
3)log (2log (1 log(1 3log x)))
2
+ + =

3 1 1
2 2
4)log (log x 3log x 5) 0

− + =

Dạng 5:
Bi
ế
n
đổ
i v
ề
ph
ươ
ng trìn tích.
Bài t
ậ
p:Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
3
3 3
1)3 log x 6 6 log x
x x+ = +

2
2 4
2)2 log x 2 4 4log x
x x+ = +

2 2

1 1
3)log (4 ) log(4 ).log( ) 2log ( )
2 2
x x x x
− + − + = +

2 2 2 2
6 1
6
4) log 5 2 3 log (5 2 3) 2
x x x x x x x x
− − − − − = +

Dạng 6:
Ph
ươ
ng pháp s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u.
Chú ý d
ạ
ng: log log

a a
u u v v
− = −
có d
ạ
ng f(u)=f(v)
⇔
u=v,trong
đ
ó f(x) là hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n (ngh
ị
ch bi
ế
n)
trên TX
Đ
c
ủ
a nó và ph
ươ
ng pháp
đ
ánh giá hai v
ế

c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Bài t
ậ
p:Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
2
1) log x 3
x
= −

2
2) log( 6) 4 log( 2)
x x x x
+ − − = + +

1
3
3)log 4
x x
= −

2
2

3
2
3
4)log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +

2
5)log( 12) log( 3) 5
x x x x
− − + = + +

2 2
3 3
6)log ( 1) log x 2
x x x x
+ + − = −

2
2
1
2
3
1
7)log 2

2 1
x x
x x
x x
+ +
= − +
− +

Toán 12 Ôn t
ậ
p h
ệ
th
ố
ng ph
ươ
ng trình m
ũ
-lôgarit
- 9 - Gv: Nguy
ễ
n Phan Anh Hùng-THPT H
ươ
ng Giang
G
ợ
i ý: 3)
Đ
i
ề

u ki
ệ
n xác
đị
nh: x>0
Nh
ậ
n th
ấ
y x=3 là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1). Ta ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m này duy nh
ấ
t.
Th
ậ
t v
ậ
y
3
x
∀ >

ta có.
•
1 1
3 3
log x log 3 1
< = −
(do y=log
1
3
x là hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
(
)
0;
+∞
(*)
•
x-4>3-4=-1 (**)
So sánh (*),(**) suy ra
3
x
∀ >

đề
u không th

ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình 3) nên không ph
ả
i là nghi
ệ
m.
Làm t
ươ
ng t
ự
: 0<x<3 c
ủ
ng không ph
ả
i là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh

ấ
t x=3.
G
ợ
i ý: 7) Ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế
t l
ạ
i

2 2 2 2
1 1
3 3
2 2 2 2
1 1
3 3
log ( 1) log (2 1) ( 1) (2 1)
log ( 1) ( 1) log (2 1) (2 1)
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + − − + = + + − − +
⇔ + + − + + = − + − − +

Ph
ươ
ng trình này có d

ạ
ng f(u)=f(v) v
ớ
i f(t)=
1
3
log
t t
−
ta có
( )
1
'( ) 1 0 0;
ln3
f t t
t
= − − < ∀ ∈ +∞
nên f(t) ngh
ị
ch
bi
ế
n trên K. Vì v
ậ
y f(u)=f(v)
⇔
u=v
⇔
2 2
0

1 2 1
2
x
x x x x
x
=

+ + = − + ⇔

=


V
ậ
y x=0,x=2 là nghi
ệ
m.