Phuơng trình, bất phuơng trình logarit, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ, logarit

195
BÀI 2.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT. HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
A. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
Đặt điều kiện cho
logf(x)
là:
0a1
f(x) 0
<≠
⎧
⎨
>
⎩

1. Dạng cơ bản:
b
0a1
logf(x) b
f(x) a
<≠
⎧
⎪
=⇔
⎨
=
⎪

⎩

2. Đưa về cùng cơ số:
Biến đổi phương trình về dạng:
aa
log f(x) log g(x) (*)=

Ta có:
0a1
(*)
f(x) g(x) 0
<≠
⎧
⇔
⎨
=>
⎩

3. Đặt ẩn số phụ:
Đặt t = log x để đưa phương trình logarit về phương trình đại số
đối với t.
4. Đoán nhận nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với phương trình
logarit và sử dụng các công thức sau:
. Nếu a > 1 thì:
aa
log f(x) log g(x) f(x) > g(x) > 0>⇔

aa

log f(x) log g(x) f(x) g(x) > 0≥⇔≥

. Nếu 0 < a < 1 thì:
aa
log f(x) log g(x) 0 f(x) < g(x)
>⇔<

aa
log f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)≥⇔<≤

Tổng quát ta có:
[]
aa
a0
log f(x) log g(x) f(x) 0,g(x) 0
(a 1) f(x) g(x) 0
⎧
>
⎪
>⇔>>
⎨
⎪
−−>
⎩


196
[]
aa
0a1

log f(x) log g(x) f(x) 0, g(x) 0
(a 1) f(x) g(x) 0
⎧
<≠
⎪
≥⇔>>
⎨
⎪
− −≥
⎩

II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm tất cả m để phương trình:
mm
(2 x) (2 x) 22
++ −=
là hệ
quả của phương trình:
3
2
2
log (9 x )
3
log (3 x)
−
=
−
(1)
(ĐH Bách Khoa TPHCM năm 1994)

Giải
Điều kiện
3
3
9x 0
x9
3x0
x2
x2
⎧
−>
⎧
⎪
<
⎪
−> ⇔
⎨⎨
≠
⎪
⎪⎩
≠
⎩

332
(1) 9 x (3 x) 9x 27x 18 0⇔ −=− ⇔ − +=
x1⇔ =
Thế x = 1 vào phương trình:
mm
(2 x) (2 x) 22
++ −=

ta được:
mm
(2 x) (2 x) 22
++ −=
(2)
Đặt
m
2
t(21)=+

( )
( 2 1)( 2 1) 1+ −=

2
1
(2) t 2 2 t 2 2t 1 0
t
⇔ += ⇔ − +=
t21
t21
⎡
= +
⇔
⎢
= −
⎢
⎣

m

2
m
t21:(21) 21 1m2
2
= ++=+⇔=⇔=
m
1
2
1
t 2 1:(2 1) 2 1 (2 1)
21
−
=− + =−= = +
+
m
1m2
2
⇔ =− ⇔ =−

Vậy
m2m 2= ∨=−


197
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
2
2
2
log (x 9x 8)

2
log (3 x)
−+
<
−
(*)
(ĐH Tổng hợp TPHCM năm 1964)
Giải
Điều kiện
2
x1x8
x9x80
x1
x3
3x0
⎧
<∨ >
⎧
−+>
⎪
⇔⇔<
⎨⎨
<
−>
⎪
⎩
⎩

2
3x21 log(3x)0⇒−>>⇒ − >

22
222
(*) log (x 9x 8) 2log (3 x) log (3 x)⇔−+<−=−

22
1
x9x8(3x) 3x10x
3
⇔−+<− ⇔+>⇔>−

So với điều kiện
1
x1
3
⇒− < <

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình:
x
1
log x 2
4
⎛⎞
−≥
⎜⎟
⎝⎠

(ĐH Huế năm 1998)

Giải
Điều kiện
0x1 1
x
4
1
x0
x1
4
<≠
⎧⎧
>
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−>
⎪⎪
≠
⎩⎩

2
xxx
11
log x 2 log x log x
44
⎛⎞ ⎛⎞
−≥⇔ −≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

2
2
1
x,x1
1
x,x1
4
4
1
(x 1) x x 0
(x 1)(4x 4x 1) 0
4
⎧
>≠
⎧
⎪
>≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎛⎞
⎪⎪
−−−≥
−−+≤
⎜⎟
⎩
⎪
⎝⎠
⎩

2
1
x,x1
11
x,x1x
4
44
1
(x 1) x x 0
x10 x1
4
⎧
>≠
⎧⎧
⎪
>≠ >
⎪⎪⎪
⇔⇔⇔
⎨⎨⎨
⎛⎞
⎪⎪⎪
−−−≤
−≤ <
⎩⎩
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
1
x1

4
⇔ <<

198
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình:
22
1x 1y
1x 1y
log 1 2y y ) log (1 2x x ) 4 (1)
log (1 2y) log (1 2x) 2 (2)
+−
+−
⎧
−+ + ++ =
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎩

(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997)
Giải
Điều kiện
0,1 y 1 x 1
01x1 y1
−≠ >−
⎧⎧
⇔
⎨⎨

<+ ≠ <
⎩⎩

22
1x 1y
(1) log (1 y) log (1 x) 4
+−
⇔ −+ +=

1x 1y
log (1 y) log (1 x) 2 (3)
+−
⇔ −+ +=
Đặt
1x 1y
1x
11
t log (1 y) , log (1 x)
log (1 y) t
+−
+
= −+= =
−

2
1
(3) t 2 t 2t 1 0
t
⇔ +=⇔ − +=

2
(t 1) 0 t 1⇔ −=⇔=
1x
log (1y)1 1y1x x y(x 1)
+
⇔ −=⇔−=+⇔=− >−

Thay y = - x vào phương trình (2):
1x 1x
log (1 2x) log (1 2x) 2
++
− ++=

222
1x
log (14x) 14x (1x)(x 0)
+
⇔ −=⇔−=+ ≠

2
22
5x 2x 0 5x 2 0 x y
55
⇔ +=⇔+=⇔=−⇒=

Vậy nghiệm của hệ:
2
x
5
2

y
5
⎧
= −
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩


199
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
2.1. Giải bất phương trình:
xx
2
log (7.10 5.25 ) 2x 1−>+
(ĐH Thủy Sản 1999).

2.2. Giải hệ phương trình:
xy
yx
33
432
log (x y) 1 log (x y)
+
⎧
⎪

=
⎨
⎪
−=− +
⎩

(Học Viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1999).

2.3. Giải hệ phương trình:
22
33
x y (log y log x) (2 xy) (1)



xy16 (2)
−= − +
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

(ĐH Ngoại Thương năm 1999).

2.4. Giải bất phương trình:
3
a
a

log (35 x )
3
log (5 x)
−
>
−
(a là tham số > 0, khác 1)
(ĐH Y DƯC TPHCM)


200
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT

2.1.
xx
2
log (7.10 5.25 ) 2x 1−>+
xx 2x1
22
log (7.10 5.25 ) log 2
+
⇔−>

x2x2x1
2x x x 2x
7.10 5.5 2
5.5 7.2 .5 2.2 0
+
⇔−>
⇔ −+<

2x x
55
5. 7 2 0
22
⎛⎞ ⎛⎞
⇔ −+<
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
(1)
Đặt
x
5
t0
2
⎛⎞
= >
⎜⎟
⎝⎠

2
2
(1) 5t 7t 2 0 t 1
5
⇔ −+<⇔<<
x0 1x0
25 5 5 5 5
52 2 2 2 2
−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞

⇔< < ⇔ < <
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

1x0
⇔ −< < (vì
5
a1
2
= > )

2.2.
xy
yx
33
432
(I)
log(x y) 1 log(x y)
+
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−=− +
⎩

xy
5
yx

2
3333
44
3
log (x y) log 3 log (x y) log
xy
+
⎧
⎪
=
⎪
⇔
⎨
⎪
−= − +=
⎪
+
⎩

22
xy5
xy5
(1)
yx2
yx2
3
xy x y 3 (2)
xy
x y (3)
xy

⎧
⎧
+=
⎪
+=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔−= ⇔ −=
⎨⎨
+
⎪⎪
>
⎪⎪
>
⎪⎪
⎩
⎩


201
Giải (
∆
): Đặt
x
t
y
=

2
1
t
15
(1) t 2t 5t 2 0
2
t2
t2
⎡
=
⎢
⇔+ = ⇔ − + = ⇔
⎢
=
⎢
⎣

22 2
1x1
t: y2x
2y2
(2) x 4x 3 3x 3 VN
=⇒=⇔=
⇔− =⇔− =

t = 2
x
2x2y
y

⇒=⇔=

22 2
y1 x2
(2) 4y y 3 y 1
y1 x2(loại)
==
⎡⎡
⇔−=⇔=⇔ ⇒
⎢⎢
=− =− <
⎣⎣

Vậy
x2
y1
=
⎧
⎨
=
⎩
là nghiệm của hệ.

2.3.
22
33
x y (log y log x)(2+xy) (1)
(I)
x y 16 (2)
−= −

⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

(1) có điều kiện:
x0
xy 2 0
y0
>
⎧
⇒+>
⎨
>
⎩

. Nếu x > y: (1)
VT 0
(1) VN
VP 0
>
⎧
⇒⇒
⎨
<
⎩

. Nếu x < y:

VT 0
(1) (1) VN
VP 0
<
⎧
⇒⇒
⎨
>
⎩

Vậy x = y (từ (1))
Thế vào (2):
33
2x 16 x 8 x 2 y 2=⇔=⇔=⇒=
(I)⇒ có nghiệm
x2
y2
=
⎧
⎨
=
⎩


202
2.4.
3
a
a
log (35 x )

3
log (5 x)
−
>
−
(*)
(0 a 1)
< ≠

Điều kiện
3
3
3
x353,27
35 x 0
x35
x5
5x0
⎧
⎧
<
−>
⎪⎪
⇔⇔<
⎨⎨
<
−>
⎪
⎪
⎩

⎩
∼

(*)
3
3
5x
5x
5x a
log (35 x ) 5 x 1
3log(35x)3
log a.log (5 x)
−
−
−
−⇒−>
⇔ >⇔ − >
−

33
323
2
3
35 x (5 x)
35 x 125 75x 15x x
x5x602x3 35
2x3
⇔−>−
⇔−> − + −
⇔−+<⇔<<<

⇒<<