Tài liệu Đề luyện tập số 2: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.64 KB, 25 trang )
Đề luyện tập số 2: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
(Dưới đây là hướng dẫn giải cho các bài toán và đáp số bài toán, lời giải chi tiết
dành cho các em, có thể post lên diễn đàn để trao đổi về phương pháp, dạng bài)
Bài 1. Giải các phương trình chứa căn thức sau:
1,
3 5 3 4x x− = − +
- Điều kiện:
3x
≥
- Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng:
3 3 4 5x x− + + =
sau đó bình phương 2
vế, đưa về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta giải tiếp.
- Đáp số:
4x
=
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
- Đặt
2
1 0t x x= + + >
, pt đã cho trở thành:
( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x
t
=
− + + = ⇔
=
Với
2
1 :t x x x x= ⇔ + + =
vô nghiệm
Với
2
1 61
4 15 0
2
t x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
- Vậy phương trình có nghiệm:
1 61
2
x
− ±
=
3,
4 4
18 5 1x x− = − −
- Ta đặt
4 4
4 4
18 0; 1 0 17u x v x u v= − ≥ = − ≥ ⇒ + =
, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối
với u, v giải hệ này tìm được u, v suy ra x
- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4,
( )
( )
3 2 2 2 6 *x x x+ − = + +
- Điều kiện:
2x
≥
1
- Ta có:
( ) ( )
( )
3
8 3
* 2 3
3 2 6
3 2 6 4
x
x
x
x x
x x
=
−
⇔ − = ⇔
− + +
− + + =
- Đáp số:
108 4 254
3;
25
x
+
=
5,
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
- Điều kiện:
2
2
1
2 8 6 0
1
1 0
3
x
x x
x
x
x
= −
+ + ≥
⇔ ≥
− ≥
≤ −
- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình
- Xét với
1x ≥
, thì pt đã cho tương đương với:
( )
2 3 1 2 1x x x+ + − = +
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong
trường hợp này nghiệm
1x
=
- Xét với
3x
≤ −
, thì pt đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
2 3 1 2 1x x x− + + − − = − +
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong
trường hợp này là:
25
7
x = −
- Đáp số:
25
; 1
7
x
= − ±
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
ĐS:
9
0;
8
x
=
7,
3 3
4 3 1x x+ − − =
- Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được.
- Đáp số:
{ }
5;4x = −
8,
2 2 2
4 2 14
4 2 3 4 4 ;2 0;2;
3 3
x x x x t x x t x
− −
+ − = + − → = + − ⇒ = − ⇒ =
2
9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =
- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t
≥
+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =
+ = −
Suy ra
{ }
2
3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ =
- Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
1;2x =
10,
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
- Điều kiện:
0x
≥
- Đặt
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0
2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv
= +
= +
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
− − =
+ =
Giải ra ta được
4
3
x =
(thỏa mãn)
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
- Điều kiện:
1x ≥
- Khi đó:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
( )
2
3 2 1 3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x
⇔ − + − = − + −
⇔ − + − =
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm
1x
=
12,
3
2 1 1x x− = − −
- Điều kiện:
1x ≥
- Đặt
3
2 ; 1 0u x v x= − = − ≥
dẫn tới hệ:
3 2
1
1
u v
u v
= −
+ =
3
Thế u vào phương trình dưới được:
( ) ( )
1 3 0v v v− − =
- Đáp số:
{ }
1;2;10x =
13,
3
3
1 2 2 1x x+ = −
3
3
3
1 2
1 5
2 1 1;
2
1 2
y x
y x x y x
x y
+ =
− ±
→ = − ⇒ ⇒ = ⇒ =
+ =
14,
2 2
5 14 9 2 5 1x x x x x+ + − − − = +
ĐS:
9
1; ;11
4
x
= −
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x− + − =
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12
- Đáp số:
{ }
2x = −
16,
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
- Điều kiện:
2
5
3
x≤ ≤
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản.
Sau đó giải tiếp theo như đã học.
- Đáp số:
14
1;
3
x
=
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
- Điều kiện:
1 7x
≤ ≤
- Ta có:
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
( ) ( )
1 1 7 2 1 7x x x x x⇔ − − − − = − − −
1 2 5
4
1 7
x x
x
x x
− = =
⇔ ⇔
=
− = −
- Đáp số:
{ }
4;5x =
4
18,
( )
2
2
3 3
2 4 2 1 2
2 2
x x
x x x
+ +
+ = ⇔ + − =
- Đặt
3
1
2
x
y
+
+ =
( )
( )
2
2
2 1 3
2 1 3
x y
y x
+ = +
⇒
+ = +
- Đáp số:
3 17 5 13
;
4 4
x
− ± − ±
=
19,
( )
2
2
4 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x− + − = + ⇔ − − + + = +
- Đặt
( )
( )
2
2
2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 4 2 3
y x
y x
x x y
− = +
− = + ⇒
− − + + = −
- Đáp số:
15 97 11 73
;
8 8
x
− +
=
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
- Điều kiện:
1x ≤
- PT đã cho
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x x x⇔ − + + − − = +
- Đáp số:
3
; 1
5
x
= −
Bài 2. Giải các bất phương trình vô tỷ sau:
1,
2 2
( 3) 4 9x x x− − ≤ −
ĐS:
[
)
13
; 3;
6
x
∈∪ −∞ − ∪ ∞
2,
3 2 8 7x x x+ ≥ − + −
ĐS:
[ ] [ ]
4;5 6;7x∈ ∪
3,
2
2
2
1 1 4 4
3 3 3 1 4 4 3
1 1 4
x x
x x
x
x
− −
< ⇔ < ⇔ − > −
+ −
ĐS:
{ }
1 1
; \ 0
2 2
x
∈ −
5
4,
3 1 1
3 2 7 2 2
2
2 2
x x t x
x
x x
+ < + − → = + ≥
ĐS:
8 3 7 1 8 3 7
0; ;1 ;
2 4 2
x
− +
∈ ∪ ∪ ∞
÷ ÷
÷
÷ ÷
5,
1 3 4x x+ > − +
ĐS:
( )
0;x ∈ ∞
6,
2 2 2
5 10 1 7 2 2x x x x t x x+ + ≥ − − → = +
ĐS:
( ) ( )
{ }
1; ; 3 \ 1 2 2x ∈ ∞ ∪ −∞ − − ±
7,
2
8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤
ĐS:
1 1
;
2 4
x
∈ ∞ ∪
÷
8,
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x− + − < − + −
- Điều kiện:
4
5
x >
-
( )
( )
3 1
1
* 3 2 4 3 5 4 2 1
3 2 4 3 5 4 2 1
x
x
x x x x
x x x x
−
−
⇔ − − − < − − − ⇔ <
− + − − + −
Nếu
1 0x VT VP
≤ ⇒ ≥ ≥
: BPT vô nghiệm
Nếu
1 0x VT VP
> ⇒ < <
: BPT luôn đúng
- Đáp số:
( )
1;x ∈ ∞
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
1,
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
+ =
+ =
- đây là hệ đối xứng loại II
- Điều kiện:
0; 0x y≠ ≠
- Trừ vế theo vế ta được:
( )
1 1
2 4
2
x y
x y
xy
x y
=
− = − ⇔
÷
= −
Với
x y=
, hệ tương đương với
2
2 1x x
x
= ⇔ = ±
6
Với
2
2xy y
x
−
= − ⇒ =
, thế vào pt đầu được:
2 2
3 3 3
2
2 2
2 2
x y
x x
x
x x
x y
= → = −
− = ⇔ = ⇔
= − → =
- Vậy hệ có nghiệm:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ }
; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2x y = − − − −
2,
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3 2 12
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
3 2 8
x y x x
x x y x
x y x
x y x x
+ + =
+ + =
⇔
+ + − =
+ + + =
Đặt
2
3 2 ;u x y v x x= + = +
suy ra:
12 6 2
8 2 6
uv u u
u v v v
= = =
⇔ ∨
+ = = =
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số:
( ) ( ) ( )
3 11
; 2;6 , 1; , 2; 2 , 3,
2 2
x y
= − − −
÷ ÷
3,
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
+ =
− + =
- Đây là hệ đối xứng loại I đối với
2
x
và
2
y
- Đáp số:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2x y = ± − ± ± − ±
4,
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
− =
− − =
- Đây là hệ đẳng cấp bậc 2
- Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét
0x
≠
, đặt
y tx
=
Hệ trở thành:
( )
( )
2
2 2
3 2 16
1 3 2 8
x t
x t t
− =
− − =
- Giải hệ này tìm t, x
- Đáp số:
( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 1 , 2,1x y = − −
7
5,
5 2 7
5 2 7
x y
y x
+ + − =
+ + − =
5 2 5 2x y y x x y⇒ + + − = + + − ⇔ =
⇒
ĐS:
( ) ( )
; 11;11x y =
6,
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
3
1
1 3 0
2
1
2
1
5
1 1
5
1
1 0
1
2
x x y
x y
x y
x y
x
x y
x y
x
x
x
x
+ + − =
+ =
+ − = −
+ =
⇔ ⇔ ∨
=
+ − + =
=
+ − = −
⇒
ĐS:
( ) ( )
3
; 1;1 ; 2;
2
x y
= −
÷
7,
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 0
2 3 4 6
4 4 12 3
4 4 12 3
x y
xy x y
x y x y
x y x y
+ + =
+ + = −
⇔
+ + + =
+ + + =
⇒
ĐS:
( )
1 3 3 3
; 2; ; 2; ; 2; ; 6;
2 2 2 2
x y
= − − − − − −
÷ ÷ ÷ ÷
8,
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
3( )
3( )
3( )
7( )
2
2
2
5 2 0
x xy y x y
x xy y x y
x xy y x y
y
x xy y x y
x y x
x y yx− +
− + = −
− + = −
− + = −
⇔ ⇔
+ + = −
= ∨ =
=
⇒
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 0;0 ; 1;2 ; 1; 2x y = − −
9,
( )
3
3
1 1
1
1 0
2 1
2 1
x y
x y
y x
xy
y x
y x
− = −
− + =
÷
⇔
= +
= +
⇒
ĐS:
( ) ( )
1 5 1 5
; 1;1 ; ;
2 2
x y
− ± − ±
=
÷
÷
10,
( )
2
2 2
0 1
4
2 4
2
( 1) ( 1) 2
2
x y x y
x y x y
x y x y xy
xy
x x y y y
xy
+ = ∨ + = −
+ + + =
+ + + − =
⇔ ⇔
= −
+ + + + =
= −
⇒
ĐS:
( )
( ) ( )
( ) ( )
{ }
; 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2x y = − − − −
8
11,
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
+ + − + =
+ =
- Đặt
2 2
2 1 0
1
2 1
1 2
5
0
u x y
u v
u u
v v
u v
v x y
= + + ≥
− =
= = −
⇒ ⇒ ∨
= = −
+ =
= + ≥
- Đáp số:
( ) ( )
; 2; 1x y = −
12,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
4
1
1 4
1
1
1 2
2 1
3
x
y x
x
x y y x y
y
y
x
x y x y
y x
y x
y
+
+ + =
+
+ + + =
=
⇔ ⇔
+
+ + − =
+ − =
+ =
⇒
ĐS:
( ) ( ) ( )
{ }
; 1;2 ; 2;5x y = −
13,
2
2 2 2
2
2
1
1
7
7
1 7
1
1 13
1
13
13
x
x
x
x
y y
xy x y
y y
x
x y xy y
x
x
x
y y
y y
+ + =
+ + =
÷
+ + =
⇔ ⇔
+ + =
+ + =
+ − =
÷
⇒
ĐS:
( ) ( ) ( )
{ }
; 1;2 ; 2;5x y = −
14,
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
+ = +
− +
+ = +
− +
⇒
ĐS:
( ) ( ) ( )
{ }
; 0;0 ; 1;1x y =
15,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
36 25 60
36 25 60
36 25 60
y x x
y f x
z y y z f y
x f z
x z z
+ =
=
+ = ⇔ =
=
+ =
với
( )
2
2
60
36 25
t
f t
t
=
+
⇒
, , 0x y z ≥
nên xét hàm
( )
f t
trên miền
[
)
0;∞
, hàm này đồng biến
⇒
x y z= =
9
⇒
ĐS:
( ) ( )
5 5 5
; ; 0;0;0 ; ; ;
6 6 6
x y z
=
÷
16,
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
3 8
8 2
8 2
3 3 1
3 2
3 2
x
x x y y
x x y y
y
x
x y
x y
x y
−
− = +
− = +
=
⇔ ⇔
− = +
= +
= +
⇒
ĐS:
( ) ( )
4 78 78 4 78 78
; 3; 1 ; ; ; ;
13 13 13 13
x y
= ± ± − −
÷ ÷
÷ ÷
Bài 4. Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá:
1,
2 10 3 2 3 10
x x
x x= − ⇔ + =
2x→ =
là nghiệm duy nhất
2,
( ) ( ) ( )
3
5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6 3 1
3 3 3 3
x x
x x x
+ −
+ + − = ⇔ + =
÷ ÷
÷ ÷
- Do
5 2 6 5 2 6
1 0
3 3 3 3
+ −
> > >
nên hàm
5 2 6
3 3
x
+
÷
÷
đồng biến trên R, còn hàm
5 2 6
3 3
x
−
÷
÷
nghịch biến trên R.
Nếu
5 2 6
0 1
3 3
x
x
+
≥ ⇒ ≥ ⇒
÷
÷
PT vô nghiệm
Nếu
5 2 6
0 1
3 3
x
x
−
< ⇒ > ⇒
÷
÷
PT vô nghiệm
- Vậy PT đã cho vô nghiệm.
3,
( )
2 2
3 13 4 3 3 6 *x x x+ = − + +
- Nếu
3
4 3 0
4
x x≤ ⇒ − ≤ ⇒
PT vô nghiệm
10
- Nếu
3
4
x >
, ta có:
( ) ( )
2 2
* 3 13 3 6 4 3 0f x x x x⇔ = + − + − + =
Vì
( )
2 2
1 1 3
3 4 0,
4
3 13 3 6
f x x x
x x
′
= − − < ∀ >
÷
+ +
nên hàm f(x) đồng biến trên
khoảng
3
;
4
∞
÷
, mà
( )
1 0f =
do đó
1x
=
là nghiệm duy nhất.
- Đáp số:
1x
=
4,
4 4
1 17 2x x− + − =
- Điều kiện:
1 17x
≤ ≤
- Xét hàm
( )
4 4
1 17f x x x= − + −
có:
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1
0 9
4
1 17
f x x
x x
÷
′
= − = ⇔ =
÷
− −
Lập bảng biến thiên, nhận xét
( ) ( )
1 17 2f f= =
suy ra PT có 2 nghiệm là
{ }
1;17x =
- Đáp số:
{ }
1;17x =
5,
( )
( )
2
lg 6 lg 2 4x x x x− − + = + +
- Điều kiện:
3x >
- PT đã cho
( )
lg 3 4 0x x⇔ − + − =
4x→ =
là nghiệm duy nhất
6,
( )
( ) ( )
9 2 2 3 2 5 0 3 1 3 2 5 0 3 2 5 0 1
x x x x x
x x x x x+ − + − = ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ =
7,
( )
2 3
log 1 logx x+ =
- Điều kiện:
0x >
- Đặt
( )
3
2
log
3
log 1 0
1 2
t
t
t x
x
t x
x
=
=
⇔
= + ≥
+ =
nên:
( )
1 3
3 2 1 1 2 9
2 2
t
t
t
t
t x
= − ⇔ + = → = ⇒ =
÷
÷
÷
11
- Đáp số:
9x
=
8,
4 7 9 2
x x
x+ = +
. Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt. ĐS:
{ }
0;1x =
Bài 5. Giải các phương trình mũ sau:
1,
( ) ( )
2 2
3 3
2 3 2 3 14
x x
+ + − =
( )
2
3
2 3
x
t→ = +
. ĐS:
3x = ±
2,
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
. Chia 2 vế cho
3
2
2
x
x
t
→ =
÷
ĐS:
4x =
3,
( )
3
2
4 4
2 2
2
3
4
4
8 4.3 2 3 4 log 3
2 log 2
2
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
−
− −
+ +
=
−
= ⇔ = ⇔ = − ⇔
= − −
+
4,
2 2 2
1 2 2
9 10.3 1 0 3
x x x x x x
t
+ − + − + −
− + = → =
ĐS:
{ }
2; 1;0;1x = − −
5,
( ) ( ) ( )
2
0
3 2 9 .3 9.2 0 3 2 3 9 0
2
x x x x x x x
x
x
=
− + + = ⇔ − − = ⇔
=
6,
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x+
+ + − =
ĐS:
0x =
7,
1 1 1
2.81 7.36 5.16 0
x x x
− − −
− + =
ĐS:
5
2
9
log
4
x = −
8,
( ) ( )
2 2
2
1 1
2 1 1
2
2
1
3
2 .3 2 .3 1 log 2 .3 0
1 log 3
2
x x
x x x x x
x
x
− −
− − −
=
= ⇔ = ⇔ = ⇔
= −
9,
( )
( ) ( )
{ }
9
9
3 log 1
log 2
9 9 9
1
3 log 2 log 3 log 1 3;729
2
x
x
x x x x x
−
−
= ⇔ − = − ⇔ =
10,
( ) ( )
{ }
3 1 3 3
.3 27 .3 9 3 9 3 0 0;2; 3
x x x
x x x x x x x
+
+ = + ⇔ − − = ⇔ = ±
Bài 6. Giải các phương trình logarit sau:
1,
2
3 3
3
log log 1
x
x
x
+ =
12
- Điều kiện:
0
1
3
x
x
>
≠
- Đặt
3
logt x=
, ta biến đổi PT về dạng:
{ }
2
1
1 1; 2;0
1
t
t t
t
−
+ = ⇔ = −
+
- Đáp số:
1
;1;3
9
x
=
2,
5 5
log 5 log 25 3
x
x+ =
- Điều kiện:
0
5
x
x
>
≠
- Đặt
5
logt x=
, ta biến đổi PT về dạng:
( ) { }
1
2 3 0;2
1
t t
t
+ + = ⇔ =
−
- Đáp số:
{ }
1;25x =
3,
( ) ( )
{ }
3 2
3
2
2
2 2
2 4 3
2
2
3 2
0 2 1
0 4 3 1
3 1
log 3 log 3 2;3
3 0
0 4 3 1
2 4 3
x x x
x x
x
x
x x x
x
x
x x x
+ −
< + ≠
< − ≠
− =
− = − ⇔ ⇔ =
− >
< − ≠
+ = −
4,
( )
{ }
3 9 3
3
4 1
2 log log 3 1 log 1;4 ;81
1 log 3
x
x t x t x
x
− − = → = ⇒ = − ⇒ =
−
5,
( )
2
2
3 2
8 10
2 5 2
3 2
0 2 5 2 1
log log 2 0 0 8 10 1 3
2 8 10
x
x x
x x
x x x x
x x x
+
+ +
< + + ≠
+ − = ⇔ < + ≠ ⇔ =
+ − = +
13
6,
2 3
16 4
2
log 14log 40log 0
x x x
x x x− + =
- Điều kiện:
0
1 1
; ;2
16 4
x
x
>
≠
- Nhận xét
1x =
là nghiệm của pt đã cho, xét
1x ≠
ta đặt
log 2
x
t =
2 42 20 1 1
0 ; 2 4; .
1 4 1 2 1 2
2
t t x x
t t t
− + = ⇒ = = − ⇒ = =
− + +
- Đáp số:
1
;2;4
2
x
=
7,
( )
2
2
log 2 2log 4 log 8 *
x x
x
+ =
- Điều kiện:
0
1
;1
2
x
x
>
≠
- Đặt:
2
logt x=
, biến đổi được pt:
1 4 6
2 1 1
1 1
t t t
t t t
+ = ⇔ = + ⇔ =
+ +
- Đáp số:
2x =
8,
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
log 4 log 3 0 log 1 log 3 0 2x x x x x x x x+ − − + = ⇔ − + − = ⇔ =
9,
( ) ( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0 *x x x+ − − − − =
- Điều kiện:
1 3x< <
- Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
* log 1 log 3 log 1 0x x x⇔ + + − − − =
( ) ( ) ( )
2
1 17
1 3 1 4 0
2
x x x x x x
±
⇔ + − = − ⇔ − − = ⇔ =
14
- Đáp số:
1 17
2
x
+
=
10,
(
)
(
)
2 2
2 2
log 2 3log 2 5x x x x− − + + − =
- Đặt
(
)
(
)
2
2
2
2
log 2
1 1
3 5 2
log 2
u x x
u v u
u v v
v x x
= − −
+ = = −
⇒ ⇔
+ = =
= + −
- Đáp số:
7
4
x =
11,
1
3 3 3 3 3
28
log (3 1)log (3 3) 6 log (3 1) log ;log 10
27
x x x
t x
+
− − = → = − ⇒ =
Bài 7. Giải các bất phương trình mũ:
1,
2
2 2
2
2 2
1
9 2 3 3 0
3
x x
x x x x
t
−
− −
− ≤ → = >
÷
Đ/S:
1 2 1 2x− ≤ ≤ +
2,
2
2 1 2 1
3 3
3 2 5.6 0 3. 5. 2 0
2 2
x x
x x x+ +
− − ≤ ⇔ − − ≤
÷ ÷
Đ/S:
3
2
log 2x ≤
3,
2
2 4 2 1 0
2 1
x
x x
x
t+ > → = − >
−
Đ/S:
( )
( )
( )
2
0;log 4 2 2 1;x ∈ − ∪ ∞
4,
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0 2 0
x x x x
t
+
− + − = → = >
Đ/S:
{ }
1;0;1x = −
5,
2 2
2 2
2 2
2 4 2 2 1
2 4 2 2 1
2 4 2 2 1
1
( )
2 16.2 2 0
2 16.2 2
0
1
1
( )
2 16.2 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
x
I
x
x
II
− − − −
− − − −
− − − −
> −
− − ≤
− −
≤ ⇔
+
< −
− − ≥
Giải từng hệ bất phương trình (I), (II) ta có đáp số:
( )
( )
; 1 1 3;1 3x∈ −∞ − ∪ − −
15
6, Điều kiện:
1x ≥
Ta có:
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
x x x x x x x+ − − − − − −
+ ≤ + ⇔ − − − ≤
( )
(
)
2
1 1
2 2 2 1 0 1 2
x x
x
− −
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
Đáp số:
1 2x≤ ≤
Bài 8. Giải các bất phương trình logarit:
1,
( )
( ) ( )
1
2 2
1 1 0 1 1
log 2 2
2 1 0 2 1
x
x x
x
x x x x
+
+ > < + <
− > ⇔ ∨
− > + < − < +
2 3 0x⇔ − + < <
2,
2
4 2
(log 8 log )log 2 0
x
x x+ ≥
- Điều kiện:
0 1x
< ≠
- Ta có:
( ) ( )
2
4 2
(log 8 log )log 2 0 3log 2 log 2 1 log 2 0
x x x x
x x+ ≥ ⇔ + + ≥
1
log 2 0
1
log 2 1
1
2
x
x
x
x
>
≥
⇔ ⇔
≤ −
≤ <
- Đáp số:
{ }
1
; \ 1
2
x
∈ +∞
÷
3,
2
2 2
2
2 1 0 2 1
2 3
log 0
2 3 2 3
3 8
0 1 1
3 8 3 8
x
x x
x
x x
x
x x
−
− > < − <
+
< ⇔ ∨
+ +
+
< < >
+ +
5
3
2
x⇔ < <
4,
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x− + + − ≥
- Điều kiện:
2
1
2 3 1 0 1
2
x x x x− + > ⇔ > ∨ <
16
- Ta có: PT
( )
( )
2
2
2 2
1 1 1
log 2 3 1 log 1
2 2 2
x x x⇔ − − + + − ≥
( )
2
2
2
1
1 1 1
log 1 2
2 1 3 2
2 3 1
x
x
x
x
x x
−
−
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ <
−
− +
- Đáp số:
1 1
3 2
x≤ <
5, Ta có:
( ) ( )
2 2
3 1 1
2 2
log log 3 1 0 log 3 3x x− < ⇔ < − <
2 2
1 23 46
3 1 4 2
8 8 4
x x x⇔ < − < ⇔ < < ⇔ < <
6,
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2
0
2 1
x x
x
− + − −
≥
−
- Điều kiện:
1
2 1 0
2
x x− > ⇔ >
- Khi đó BPT
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2 0x x⇔ − + − − ≥
( )
3 3
log 1 log 2 1 1x x⇔ − + − ≥
( )
1 2 1 3 ,(*)x x⇔ − − ≥
+ Xét với
1x ≥
, thì
( )
2
* 2 3 2 0 2x x x⇔ − − ≥ ⇔ ≥
+ Xét với
1
1
2
x< <
, thì
( )
2
* 2 3 4 0x x⇔ − + ≤
: Vô nghiệm
- Đáp số:
2x ≥
Bài 9. Giải các hệ phương trình mũ, logarit:
1,
( ) ( )
2 2
ln(1 ) ln(1 )
ln(1 ) ln(1 )
2 10 0
12 20 0
x x y y
x y x y
x y x y
x xy y
+ − = + −
+ − + = −
⇔
− − =
− + =
17
0
2 10
x y
x y
x y x y
=
⇔ ⇔ = =
= ∨ =
2,
( ) ( ) ( )
{ }
2 2
2 2
1 1
3 3
10
10
0, 0 ; 3;1 ; 1;3
log log 1 0
3
x y
x y
x y x y
x y
xy
+ =
+ =
⇔ > > ⇔ =
+ + =
=
3,
( )
( )
2 5
2 2
3
3 .2 972
log 3 .2 log 2 .3
log 2
3
x y
x y
x y
x y
=
=
⇔
− =
− =
2 2
log 3 2 5log 3
5
2
3
y x
x
y
x y
+ = +
=
⇔ ⇔
=
− =
4,
2 2
2
2 4 1
2 4 2 1
x y
x y x y+
+ =
+ + =
- Đặt
2 0; 4 0
x y
u v= > = >
hệ trở thành:
2 2
1
1
u v
u v uv
+ =
+ + =
- hệ đối xứng loại 1 đối với u,
v
- Giải hệ dẫn tới vô nghiệm. Vậy hệ vô nghiệm
5,
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−
+ − + = +
+ − + = +
- Từ hệ suy ra:
2 1 2 1
1 2 2 3 1 2 2 3
x y
x x x y y y
− −
− + − + + = − + − + +
( ) ( )
1 1f x f y⇔ − = −
Trong đó
( )
2
1 3
t
f t t t= + + +
đồng biến trên R nên suy ra
1 1x y x y− = − ⇔ =
- Thế vào phương trình đầu ta được:
2 1
1 2 2 3
x
x x x
−
− + − + =
, phương trình này có
nghiệm duy nhất x = 1 (sd pp hàm số)
- Vậy
( ) ( )
; 1;1x y =
6, Điều kiện:
0; 0x y x y+ > − >
18
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
13
lg 1 lg13
10
lg lg 3lg2
8
x y
x y
x y x y
x y x y
+ − =
+ =
⇔
+ = − +
+ = −
( ) ( )
( )
2 2
8 9
13
5 10
5
1 7
8
5 10
x y x
x y x y
x y x y
x y y
+ = =
+ + − =
⇔ ⇔ ⇔
+ = −
− = =
7,
( )
( )
( )
( )
3
5
27 .3 5
27 .3 5
3log
5
y x
y x
x y
x y
x y
x y x y
x y
−
−
−
+ =
+ =
⇔
+ = −
+ =
( )
( )
3
3
3
3
5 5
27.5 .3 5
3 4
27 27
5 1
5
5
x y
x y
y x
x y
x y
x y x
x y y
x y
x y
−
−
−
−
−
=
=
− = =
÷
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = =
+ =
+ =
8,
1
2 2 1
2 1 1
1 2 2 1
x
x x
y y
y
+
+ +
= − + +
+ = − +
- Đặt
1
1 0; 2 2
x
u y v
+
= + ≥ = ≥
, hệ trở thành:
( )
( )
2
2
1
1 2
v u u
u v v
= −
= − +
Thế (1) vào (2) được:
( )
( )
2
4 3 2
2 1 0 1 1 0 1u u u u u− + = ⇔ − + = ⇔ =
Suy ra
0v =
(không thỏa mãn)
- Vậy hệ vô nghiệm
Bài 10. Tìm tham số m để phương trình:
1,
2
4
1x x m+ − =
có nghiệm
- Điều kiện
0x ≥
- Đặt
2
0t x= ≥
, pt đã cho thành:
( )
4 4
1f t t t m= + − =
PT đã cho có nghiệm
( )
f t m⇔ =
có nghiệm
0t ≥
19
0 1m
⇔ < ≤
2,
4
4
13 1 0x x m x− + + − =
có đúng một nghiệm
- Ta có:
4 4
4 4
13 1 0 13 1x x m x x x m x− + + − = ⇔ − + = −
( )
( )
4
3 2
4
1
1
4 6 9 1 , 1
13 1
x
x
x x x m
x x m x
≤
≤
⇔ ⇔
− − = −
− + = −
- PT đã cho có đúng 1 nghiệm
( )
1⇔
có đúng 1 nghiệm thảo mãn
1x
≤
⇔
đồ thị hàm số
3 2
4 6 9y x x x= − −
với
(
]
;1x ∈ −∞
giao với đường thẳng
1y m= −
tại đúng 1 điểm.
- Xét hàm
3 2
4 6 9y x x x= − −
với
(
]
;1x ∈ −∞
, lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp
số của bài toán là:
1 11 10m m
− < − ⇔ >
3,
( )
( )
2
2 1
2
log 4 log 2 2 1 0x mx x m+ + − + =
có nghiệm
- Ta có:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 1 2 2
2
log 4 log 2 2 1 0 log 4 log 2 2 1x mx x m x mx x m+ + − + = ⇔ + = − +
( ) ( )
2
2
1
2 2 1 0
2
4 2 2 1
2 2 1 2 1 0
x m
x m
x mx x m
f x x m x m
> −
− + >
⇔ ⇔
+ = − +
= + − + − =
- PT đã cho có nghiệm
( )
f x⇔
có nghiệm
1
2
x m> −
0
1
1 2
0
2
9
0
4
1
1 2
2
m m
m
m
m m
′
∆ =
− > −
≤
⇔ ⇔
′
>
∆ >
′
− + ∆ > −
Bài 11. Tìm tham số m để bất phương trình:
1,
( )
2
1
2
log 3 1
m
m
x
+
+
+ >
đúng với mọi
x R∈
20
- Ta có:
2,
.2 2 3 1
x x
m m− − ≤ +
có nghiệm
- Đặt
2
2 3 0 2 3
x x
t t= − ≥ ⇒ = +
, hệ trở thành:
( )
( ) ( )
2
2
1
3 1 *
2
t
m t t m m f t
t
+
+ − ≤ + ⇔ ≤ =
+
- BPT đã cho có nghiệm
( )
*⇔
có nghiệm
0t
≥
( )
0
1
ax
2 3 2
t
m m f t m
≥
⇔ ≤ ⇔ ≤
−
3,
(
)
2
2 2 1 (2 ) 0m x x x x− + + + − ≤
có nghiệm
0;1 3x
∈ +
- Đặt
2
2 2t x x= − +
, với
[ ]
0;1 3 1;2x t
∈ + ⇒ ∈
. Hệ trở thành:
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 2 0 , *
1
t
m t t m f t
t
−
+ + − ≤ ⇔ ≤ =
+
- BPT đã cho có nghiệm
0;1 3x
∈ +
( )
*⇔
có nghiệm
[ ]
1;2t ∈
[ ]
( )
1;2
2
ax
3
m m f t m⇔ ≤ ⇔ ≤
Bài 12. Tìm tham số m để hệ phương trình:
1,
2 0
1
x y m
x xy
− − =
+ =
có nghiệm duy nhất
- Ta có:
( )
2
2 0
2 1
1
y x m
x y m
x x m x
x xy
= −
− − =
⇔
− = −
+ =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2 1 0
2 1
y x m y x m
x x
f x x m x
x x m x
= − = −
⇔ ≤ ⇔ ≤
= − − − =
− = −
- Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
f(x) có duy nhất một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng 1,
(*)
21
Vì
( )
2
2 4 0,m m∆ = − + > ∀
nên f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt; do đó (*) xảy ra khi
và chỉ khi
( )
f 1 2 0 2a m m= − ≤ ⇔ ≥
- Đáp số
2m
≥
2,
2 1 2 1
2
7 7 2010 2010
( 2) 2 3 0
x x x
x
x m x m
+ + + +
− + ≤
− + + + ≥
có nghiệm
- Điều kiện:
1x
≥ −
- Ta có:
2 1 2 1
7 7 2010 2010
x x x
x
+ + + +
− + ≤
( ) ( )
2 1 2 1
7 1005 2 1 7 1005 2 1
x x x
x x x
+ + + +
⇔ + + + ≤ + + +
( ) ( )
2 1 2 1f x x f x⇔ + + ≤ + +
(*)
Trong đó
( )
7 1005
t
f t t= +
, dễ thấy
( )
f t
là hàm đồng biến trên R
Do đó
( )
* 2 1 2 1 1x x x x⇔ + + ≤ + + ⇔ ≤
- Hệ đã cho có nghiệm
2
( 2) 2 3 0x m x m⇔ − + + + ≥
có nghiệm
[ ]
1;1x∈ −
2
2 3
: ( )
2
x x
m g x
x
− +
⇔ ≥ =
−
có nghiệm
[ ]
1;1x∈ −
[ ]
1;1
min ( ) 2
x
m g x m
∈ −
⇔ ≥ ⇔ ≥ −
3,
( ) ( )
2 2
2
1 1 2
1
m y
x n
m nxy x y
+ + + =
+ + =
có nghiệm với mọi
n R
∈
- Đk cần: Giả sử hệ có nghiệm với mọi
n R
∈
thì hệ có nghiệm với
0n
=
Với
0n
=
hệ trở thành:
( )
{ }
2
2
2
0
0
1 1
0;1
1
1
1
m
m
x
x
m
m
x y
m x y
=
=
+ =
⇔ ∨ ⇒ =
=
=
+ =
- ĐK đủ:
22
+ TH1: Xét
0m
=
, hệ trở thành:
( )
2
2
1 1
1
y
n
nxy x y
+ =
⇒
+ =
vô nghiệm
+ TH2: Xét
1m
=
, hệ trở thành:
( )
2 2
2
1
1 1
;
0
0
y
x
x n
n
y
nxy x y
= ±
+ + =
⇔ ∀
=
+ =
Vậy
1m
=
hệ luôn có nghiệm với mọi
n R
∈
Bài 13. Chứng minh rằng hệ
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x
= −
−
= −
−
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều
kiện x > 0, y > 0
Giải: Từ hệ suy ra :
( ) ( )
2 2
1 1
x y
x y
e e f x f y
x y
− = − ⇔ =
− −
Với
( ) ( )
( )
2 3
2
1
0 1
1
1
t t
t
f t e f t e t
t
t
′
= − ⇒ = + > ∀ >
−
−
suy ra hàm
( )
f t
là hàm
đồng biến trên
( )
1;∞
do đó
( ) ( )
f x f y x y= ⇔ =
Nên:
( )
2 2
2007 2007 0
1 1
x x
x x
e g x e
x x
= − ⇔ = + − =
− −
Ta có:
( )
( )
( )
( )
3 5
2 2
1 3
; 0, 1
1 1
x x
x
g x e g x e x
x x
′ ′′
= − = + > ∀ >
− −
( )
g x
′
⇒
đồng biến trên
( )
1;∞
, mà
( ) ( )
1
lim ; lim
x
x
g x g x
+
→+∞
→
′ ′
= −∞ = +∞
nên
( )
0g x
′
=
có
duy nhất một nghiệm
0
x
; mà
( ) ( )
1
lim ; lim
x
x
g x g x
+
→+∞
→
= −∞ = +∞
⇒
( )
0g x =
có đúng 2 nghiệm (đpcm)
Bài 14. Xác định m để bpt:
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
9 2 .6 1 .4 0
x x x x x x
m a m
− − −
− − + + ≥
nghiệm đúng
với mọi x thỏa mãn
1x ≥
Giải: Ta có:
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
9 2 1 .6 1 .4 0
x x x x x x
m m
− − −
− − + + ≥
23
( ) ( )
2 2
2 2
9 3
2 1 1 0
4 2
x x x x
m m
− −
⇔ − − + + ≥
÷ ÷
Đặt
2
2
3 3
2 2
x x
t t
−
= ⇒ ≥
÷
vì
1x ≥
, bpt trở thành:
( ) ( ) ( )
2
2 1 1 0 *t m t m− − + + ≥
.
Vậy bpt đã cho đúng với mọi x thỏa mãn
( )
1 *x ≥ ⇔
đúng với
3
2
t∀ ≥
( )
2
2 1 3
,
2 1 2
t t
f t m t
t
+ +
⇔ = ≥ ∀ ≥
−
( )
3
2
min 3
t
f t m m
≥
⇔ ≥ ⇔ ≤
Bài 15. Xác định m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:
( ) ( )
2 2
3 3 3 3
log .log 2 3 log 2log 2 3 2 0x x x m x x x m− + − − − + + =
.
Giải: Điều kiện:
0x
>
Ta có:
( ) ( )
2 2
3 3 3 3
log .log 2 3 log 2log 2 3 2 0x x x m x x x m− + − − − + + =
( )
( )
( )
2
3 3
2
8
log 2 log 2 3 0
( ) 2 3 3 0 (*)
m
x
x x x m
f x x x
=
⇔ − − + − = ⇔
= − + − =
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt
( )
*⇔
có 2 nghiệm phân biệt dương khác 8
( )
3
3 2 0
3 3 0 log 2 1
8 51 3 0
m
m
m
c
m
a
f
′
∆ = − >
⇔ = − > ⇔ < <
= − ≠
Đáp số:
3
log 2 1m< <
Đính chính: Trong đề bài cũ có một số đề không chính xác, trong phần hướng dẫn
giải này đã chỉnh sửa lại phù hợp hơn. Rất mong các em thông cảm.
24
HocmaiHocmai.vn
25
