Tài liệu 4 đề toán ôn thi đại học Đại Học Sư Phạm Hà Nội docx

✤
✣
✜
✢
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
Đề thi : 4
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số: y = 2x
3
− 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1, trong đó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và
khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải hệ:





2 + 6y =
x
y
−
√
x − 2y


x +
√
x − 2y = x + 3y − 2
(Với x, y ∈ R).
2. Giải phương trình: sin 2x +
(1 + cos 2x)
2
2 sin 2x
= 2 cos 2x.
Câu III. (2 điểm)
1.Tính tích phân: I =

π

2
π

4
x cos x
sin
3
x
dx.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên (SBC)
vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc α. Tính thể
tích hình chóp S.ABC.
Câu IV. (2 điểm)
1. Tìm nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i)z
2

− 4(2 − i)z − 5 − 3i = 0.
2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
x
2
− xy
x + y
+
y
2
− yz
y + z
+
z
2
− zx
z + x
≥ 0
Câu V. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông
cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d : x + 7y − 31 = 0, điểm
N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; −3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB.
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :














x = t
y = −7 + 2t
z = 4
. Gọi ∆

là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x −3y + z = 0, (Q) : x + y −z + 4 = 0. Chứng minh
rằng hai đường thẳng ∆ và ∆

chéo nhau. Viết phương trình (dạng tham số) đường
vuông góc chung của hai đường thẳng ∆, ∆

.