Tính toán kết cấu khung phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

TÍNH TỐN KẾT CẤU KHUNG PHẲNG BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
CALCULATION OF FLAT FRAME STRUCTURES BY FINITE ELEMENT METHOD
ThS Phạm Thị Thúy
Trường Đại học Hàng Hải Việt Nam
Email:

ThS Vũ Thị Phương Thảo
Trường Đại học Hàng Hải Việt Nam
Email:
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:02/12/2020
Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020
Ngày bài báo được duyệt đăng: 28/12/2020

Tóm tắt:
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn các dây kéo căng cần trục được mơ hình
bằng các phần tử thanh. Cột, cột treo cần, cần trục được coi như là phần tử khung phẳng
(phần tử chịu uốn+ kéo (nén) đồng thời). Đối trọng cần, trọng lượng cẩu, tháp cần cẩu mô
tả bằng khối lượng tập trung, coi cần cẩu tháp bị ngàm tại chân cột. Bỏ qua ảnh hưởng
của cản kết cấu. Sử dụng các mơ đun tính tốn trong Matlab (trị riêng và tích phân số
trực tiếp) để giải phương trình dao động riêng của cần cẩu tháp kể đến/không kể đến
ảnh hưởng của vết nứt xuất hiện trong mơ hình. Kết quả tính tốn được so sánh để kiểm
chứng.
Từ khóa: Cần cẩu tháp, phần tử hữu hạn, vết nứt, dao động riêng.
Summary:
Using the finite element method, the crane tensioners are modeled with bar elements.
Columns, pole suspensions, cranes are considered as flat frame elements (elements
subject to bending + pulling (compression) simultaneously). The weight of the crane,
the crane weight, the tower crane is described by the concentrated mass, considering
the tower crane is mounted at the foot of the column. Neglect the effect of structural
bumpers. Using the calculation modules in Matlab (eigenvalue and direct integral) to solve

the individual oscillation equation of the tower crane regardless of the effect of the crack
appearing in the model. Calculation results are compared for verification.
Key words: Tower crane, finite element, cracks, individual oscillation.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 21
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ


Key words: Tower crane, finite element, cracks, individual oscillation.

1.Nghiên cứu dao động của dầm phẳng
1.1 Dao động của dầm phẳng có khối lượng
Xét một dầm đồng chất, tiết diện khơng đổi, đầu bên trái ngàm, đầu bên
phải tự do mang khối lượng m (hình 3.1).

Hình 3.1. Dầm ngàm – tự do mang khối lượng m.
3
4

Xét trường hợp m = ρ A (ρ - khối lượng riêng của dầm, A – diện tích mặt
cắt ngang của dầm) hai tần số riêng đầu tiên [Khang] là.
=
λ1 1.320,
=
ω1 1.742

EI
EI
, λ2 4060,
=
=

ω2 16.48
4
ρ AL
ρ AL4

Từ mơ hình của dầm (hình 3.1) ta chia dầm thành n phần tử (n = 10) có
cùng chiều dài Le = L/n. Tại mỗi nút (số nút = n+1) đánh số bậc tự do từ 1 đến
33 (số bậc tự do =3*(n+1) (hình 3.2). Sau đó khảo sát ảnh hưởng của kết quả
tính trị riêng λ1, λ2 đối với số lượng phần tử và so với giải tích (bảng 3.1).

Hình 3.2. Sơ đồ rời rạc – đánh số nút – kí hiệu bậc tự do của từng phần tử theo
mơ hình PTHH.
Bảng 3.1. Ảnh hưởng của số lượng phần tử lên kết quả tính hai trị riêng đầu
STT
1
2

Ne = 2
Ne = 4
Ne = 6
Ne = 8
Ne = 10
1.3203
1.3203
1.3203
1.3203
1.3203
4.0774
4.0613
4.0603

4.0601
4.0601
Nhận xét: Đối với tần số riêng đầu tiên ảnh hưởng của số lượng phần tử

không nhiều. Tuy nhiên, đối với tần số thứ 2 thì khi tăng số lượng phần tử thì
giá TẠP
trị trị
22
CHÍriêng
KHOA λ
HỌC
2 gần

với kết quả giải tích [Khang].

QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ

1.2. Dao động của khung phẳng khơng có vết nứt [CALFEM]
Xét một khung phẳng một đầu ngàm và một đầu gối tựa (hình 3.a). Số


1
2

1.3203
1.3203
1.3203
1.3203
1.3203
4.0774

4.0613
4.0603
4.0601
4.0601
Nhận xét: Đối với tần số riêng đầu tiên ảnh hưởng của số lượng phần tử

không nhiều. Tuy nhiên, đối với tần số thứ 2 thì khi tăng số lượng phần tử thì
giá trị trị riêng λ2 gần với kết quả giải tích [Khang].
1.2. Dao động của khung phẳng khơng có vết nứt [CALFEM]
Xét một khung phẳng một đầu ngàm và một đầu gối tựa (hình 3.a). Số
liệu của khung phẳng cho trong (bảng 3.2). Khung được chia làm 4 phần tử. Số
phần tử và số bậc tự do được đánh số như (hình 3.b)

2m

8

11
7

9

14
10

12

15

13

5

3m

4

6

2
3

1

a)

b)
Hình 3.3. Mơ hình khung phẳng.

a) mơ hình khung, b) mơ hình phần tử hữu hạn.
Bảng 3.2. Thơng số hình học và vật liệu của khung phẳng [CALFEM].
Tên gọi
Mơ đun đàn hồi (N/m2)
Diện tích mặt cắt ngang (m2)
Mơ men qn tính (m4)
Mật độ khối (kg/m3).
Bảng 3.3. Kết quả so sánh

Dầm đứng

3e10
0.1030e-2
0.171e-5
2500

Dầm ngang

3e10
0.0764e-2
0.0801e-5
2500

ω1 (Hz) ω2 (Hz) ω3 (Hz) ω3 (Hz)
ω5 (Hz)
ω6 (Hz)
CALFEM 6.9826 43.0756 66.5772 162.7453 230.2709 295.6136
Tính tốn 6.98257 43.07559 66.57718 162.74526 230.27091 295.61359
Nhận xét: Qua kết quả tính được so sánh như bảng 3.3 ta thấy kết quả tính
TẠP CHÍ KHOA HỌC 23

tần số đối với khung phẳng là khá phù hợp vàQUẢN
chấp
được.
LÝ VÀnhận
CÔNG NGHỆ
(Frame_CALFEM.m)


Tính tốn 6.98257 43.07559 66.57718 162.74526 230.27091 295.61359
Nhận xét: Qua kết quả tính được so sánh như bảng 3.3 ta thấy kết quả tính

tần số đối với khung phẳng là khá phù hợp và chấp nhận được.
(Frame_CALFEM.m)
1.3. Dao động của dầm phẳng có vết nứt
Xét một dầm phẳng có chiều dài L = 3m, đồng nhất, thiết diện khơng đổi
hình chữ nhật b×h= 0.2×0.2m, mơ đun đàn hồi E = 2.07×1011N/m2, và mật độ
khối ρ=7700kg/m3. [Crack identification in frame structures]

Hình 3.4. Mơ hình dầm ngàm – tự do có vết nứt.
Chia dầm phẳng thành 12 phần tử (n = 12), chiều dài một phần tử là
Le=0.25m và tổng số bậc tự do là 3(n+1) = 39 bậc tự do.
Bảng 3.4. So sánh ba tần số đầu tiên dầm ngàm – tự do khơng có vết nứt.
Nguồn trích dẫn
ω1 [rad/s]
ω2 [rad/s]
ω3 [rad/s]
P. G. Nikolakopoulos []
117.0
732.0
2029.0
Tính tốn
116.946
732.903
2052.372
Bảng 3.5. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt lên ba tần số đầu tiên của dầm phẳng ngàm
– tự do có một vết nứt tại vị trí xc = 0.125 m (tính từ gốc tọa độ).
Tần số tính tốn [rad/s]
a/h = 0.1
a/h = 0.3
a/h = 0.5
116.258

113.061
110.800
ω1
729.800
716.015
706.764
ω2
2046.147
2018.553
1999.015
ω3
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên ba tần số đầu tiên của dầm phẳng
ngàm – tự do có một vết nứt với độ sâu a/h = 0.5.
Tần số tính tốn [rad/s]
ω1
ω2
ω3

24 TẠP CHÍ KHOA HỌC

QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ

xc = 0.875m
xc = 1.625m
114.320
116.307
729.065
710.197
2000.396
2043.668

xc = 2.875m
116.946
732.868
2051.722


ω3
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên ba tần số đầu tiên của dầm phẳng
ngàm – tự do có một vết nứt với độ sâu a/h = 0.5.
Tần số tính tốn [rad/s]
ω1
ω2
ω3

xc = 0.875m
xc = 1.625m
114.320
116.307
729.065
710.197
2000.396
2043.668

xc = 2.875m
116.946
732.868
2051.722

Bảng 3.7. Ảnh hưởng của số lượng vết nứt xc = (0.625, 1.625, 2.625) lên ba tần

số riêng đầu tiên của dầm phẳng ngàm – tự do có 3 vết nứt cùng độ sâu a/h=0.2
và 0.4.
Tỷ số độ sâu vết nứt
ω1 [rad/s]
ω2 [rad/s]
ω3 [rad/s]
a/h = 0.2
115.448
724.475
2036.730
a/h = 0.4
113.336
712.501
2014.026
Qua kết quả thu được ở trên ta thấy. Ba tần số riêng ban đầu của dầm
ngàm – tự do tính tốn được có kết quả gần với P. G. Nikolakopoulos. Tại vị trí
sát đầu ngàm tần số riêng thay đổi nhiều nhất. Khi độ sâu vết nứt tăng thì ba tần
số riêng ban đầu cũng giảm so với trường hợp dầm không có vết nứt.
1.4 Dao động của khung phẳng có vết nứt
Xét khung phẳng ngàm hai đầu hình 3.5 có các kích thước cơ bản như sau
b×h =0.008×0.016m và B×H = 0.15×0.2m. Mơ đun đàn hồi E = 2.07×1011N/m2.
Mật độ khối lượng ρ=7700kg/m3. Khung được chia làm 24 phần tử. (Frame2d.m
– PL3).

Hình 3.5. Mơ hình khung phẳng.
Bảng 3.8. So sánh tần số riêng của khung khơng có vết nứt.
ω1(Hz)
ω2(Hz)
ω3(Hz)
Tính

SAP
Tính
SAP
Tính
SAP
TẠP CHÍ KHOA HỌC 25
1
340.00
336.085 1508.673 1478.462 QUẢN
2093.967
2019.494
LÝ VÀ CÔNG
NGHỆ
Bảng 3.9. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt lên tần số dao động riêng của khung,
STT

yc= 0.0125m tại cột trái.


Hình 3.5. Mơ hình khung phẳng.
Bảng 3.8. So sánh tần số riêng của khung khơng có vết nứt.
ω1(Hz)
ω2(Hz)
ω3(Hz)
Tính
SAP
Tính
SAP
Tính
SAP

1
340.00
336.085 1508.673 1478.462 2093.967 2019.494
Bảng 3.9. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt lên tần số dao động riêng của khung,
STT

yc= 0.0125m tại cột trái.
Tần số (Hz)
ω1
ω2
ω3

0.1
338.326
1503.864
2085.675

0.2
333.976
1491.361
2064.903

a/h
0.3
327.515
1472.597
2036.041

0.4
319.2049

1448.227
2002.363

0.5
309.367
1419.252
1966.954

Bảng 3.10. Ảnh hưởng của số lượng vết nứt và độ sâu vết nứt lên các tần số dao
động riêng của khung, yc1 = 0.0125m cột trái (phần tử thứ 1), yc2 = 0.0125m cột
phải (phần tử thứ 24) và xc = 0.08725m (phần tử thứ 12).
Tần số (Hz)

a/h
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
336.612
327.811
314.670
297.603
277.057
ω1
1494.719
1459.005
1406.685
1339.817
1259.360

ω2
2077.140
2035.076
1976.583
1907.649
1833.624
ω3
Kết quả tính tốn khung phẳng khơng có vết nứt so với phần mềm SAP là

chấp nhận được (Bảng 3.8).Theo kết quả Bảng 3.9 – 3.10 ta thấy ba tần số riêng
ban đầu của khung phẳng thay đổi phụ thuộc vào độ sâu và số lượng vị trí vết
nứt xuất hiện trong khung.
1.5. Dao động của cần cẩu tháp
Xét dao động tự do của một cần cẩu tháp hình 3.5. Được mơ hình bằng
các phần tử khung phẳng và phần tử thanh được rời rạc và đánh số phần tử như
hình 3.6. Thơng số hình học của các phần tử được cho trong bảng 3.7.

13
26 TẠP CHÍ KHOA HỌC
6

7
4

QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ

3

14

5
8

9

10

11

12


các phần tử khung phẳng và phần tử thanh được rời rạc và đánh số phần tử như
hình 3.6. Thơng số hình học của các phần tử được cho trong bảng 3.7.

13

5

7

6

14
8

4

12

11

10

9

3
2
1
17

a) Đánh
số phần tử n = 14 phần tử.
16

18
23
20
21

19

24

22

13

15

29

26

14
27

25

30

33

38

35

32
28

31

36

34

39

37

11
10

12
8

7

9
5

4

6
2
3

1

b) Đánh số bậc tự do phần tử (39 bậc tự do)
Hình 3.6. Mơ hình phần tử
2.Một số kết quả thu được
Trường hợp 1: Cần cẩu tháp được mô tả bởi (12 phần tử khung phẳng + 2 phần
tử thanh) (Town_crane2D_V2.m - PL3)
Bảng 3.8. Tần số dao động riêng của cầu tháp khi xuất hiện một vết nứt ở phần
tử thứ 1 (a/h = 0.5, yc = 5.5m – giữa phần tử thứ nhất).
Tần số riêng [Hz]
ω1
ω2
ω3

Khơng có vết nứt
1.9752
3.3847
6.4219

Có vết nứt
1.7769
3.2938
6.3372

TẠP CHÍ KHOA HỌC 27
QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ


Bảng 3.8. Tần số dao động riêng của cầu tháp khi xuất hiện một vết nứt ở phần
tử thứ 1 (a/h = 0.5, yc = 5.5m – giữa phần tử thứ nhất).
Tần số riêng [Hz]
Khơng có vết nứt
Có vết nứt
1.9752
1.7769
ω1
3.3847
3.2938
ω2
6.4219
6.3372
ω3
Bảng 3.9. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt lên tần số dao động riêng của cần cẩu

tháp (a/h = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 tại vị trí yc = 1m nằm ở cột)
Tần số riêng
[Hz]
ω1
ω2
ω3

0.1
1.9658
3.3783
6.4139

0.2
1.9396
3.3613
6.3929

a/h
0.3
1.8958
3.3347
6.3603

0.4
1.8287
3.2985
6.3160

0.5
1.7287

3.2527
6.2598

Bảng 3.10. Ảnh hưởng của số lượng và vị trí vết nứt, lên tần số dao động riêng
của cần cẩu tháp với cùng tỉ số độ sâu vết nứt a/h = 0.5. Cố định vị trí thứ nhất
yc = 1m nằm ở phần tử thứ 1 và thay đổi vị trí thứ hai nằm ở trong phần tử thứ 8)
Tần số riêng
[Hz]
ω1
ω2
ω3

Thay đổi vị trí xc của vết nứt thứ hai trong phần tử thứ 8
xc = 1m
xc = 2m
xc = 4m
xc = 6m
xc = 8m
1.6853
1.6873
1.6910
1.6945
1.6979
3.1649
3.1758
3.1956
3.2126
3.2267
6.0514
6.0859

6.1474
6.1971
6.2333

3.7.KHOA
Sự thay
28Hình
TẠP CHÍ
HỌC

đổi tỉ số tần số riêng đầu tiên gây ra bởi sự thay đổi vị trí một

QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ

vết nứt có độ sâu a/h = 0.5 trên E2


Hình 3.7. Sự thay đổi tỉ số tần số riêng đầu tiên gây ra bởi sự thay đổi vị trí một
vết nứt có độ sâu a/h = 0.5 trên E2

Hình 3.8. Sự thay tỉ số đổi tần số riêng thứ 2 gây ra bởi sự thay đổi vị trí một vết
nứt có độ sâu a/h = 0.5 trên E2.

Hình 3.9. Sự thay tỉ số đổi tần số riêng thứ 3 gây ra bởi sự thay đổi vị trí một vết
nứt có độ sâu a/h = 0.5 trên E2.

TẠP CHÍ KHOA HỌC 29
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ

Nhận xét: khi xuất hiện vết nứt trong cần cẩu tháp nói chung tần số dao động

Hình 3.9. Sự thay tỉ số đổi tần số riêng thứ 3 gây ra bởi sự thay đổi vị trí một vết
nứt có độ sâu a/h = 0.5 trên E2.
Nhận xét: khi xuất hiện vết nứt trong cần cẩu tháp nói chung tần số dao động
riêng của cần cẩu tháp giảm. Sự suy giảm tần số riêng phụ thuộc vào độ sâu vết
nứt (a/h) nếu a/h càng lớn thì tần số giảm càng nhiều, số lượng vết nứt và vị trí
vết nứt. Tuy nhiên, có những vị trí khơng làm thay đổi một trong các tần số, còn
các tần số khác thay đổi:
+ Trên E2 tại ví trí khoảng 40m đến 60m tần số thứ nhất khơng đổi Hình
3.7. tần số thứ 2 khơng thay đổi tại vị trí 15m (Hình 3.8), cịn tần số thứ 3 khơng
thay đổi khi vị trí vết nứt tại 12m (Hình 3.9).
3. Kết luận
+ Xây dựng một số chương trình tính tốn tần số riêng của dầm, khung
phẳng có/khơng có nứt. Kết quả tính tốn được so sánh kiệm nghiệm với kết quả
đã có.
+ Xây dựng chương trình tính tần số dao động của cần cẩu tháp. Khảo sát
sự ảnh hưởng của tham số vết nứt lên các tần số riêng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] LIỆU
Tạ Văn
Đĩnh:
Phương pháp tính,NXB Giáo dục.
TÀI
THAM
KHẢO
Trần
Thanh
Hải,pháp
Chuẩn

đốn vết
nứtdục.
dầm đàn hồi bằng phương pháp đo dao
[1] Tạ[2]
Văn
Đĩnh:
Phương
tính,NXB
Giáo
[2] Trần
Thanh
Hải,
Chuẩn
đốn
vết nứt
dầm
hồi2012.
bằng phương pháp đo dao động, Luận văn
động,
Luận
văn
tiến sĩ
cơ học,
Viện
cơđàn
học,
tiến sĩ cơ học, Viện cơ học, 2012.

[3] Nguyễn Tiếm Khiêm, Cơ sở động lực học cơng trình, Nhà xuất bản Đại học

[3] Nguyễn Tiếm Khiêm, Cơ sở động lực học cơng trình, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội,
2004.Quốc gia Hà Nội, 2004.

[4] Nguyễn
Văn Khang,
Daotrong
động
thuật,
xuất học
bản và
khoa
học và
kỹ
[4] Nguyễn
Văn Khang,
Dao động
kỹtrong
thuật,kỹ
Nhà
xuất Nhà
bản khoa
kỹ thuật,
2004.
thuật,
[5] Đinh
Văn2004.
Phong, Phương pháp số trong cơ học, Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, 2005.
[6]. Chu
Phương
pháp phần

hạn.
khoa
kỹ thuật.
Hà Nội
[5] Quốc
Đinh Thắng.
Văn Phong,
Phương
pháp tử
sốhữu
trong
cơNhà
học,xuất
Nhàbản
xuất
bảnhọc
Khoa
học kỹ
1997.

thuật, 2005.

[7]. CALFEM A finite element toolbox to MATLAB Version 3.3. Copyright © 1999 by Structural
[6]. Chu
Quốc
Thắng.Printed
Phương
pháp phần
hữu hạn.
Nhà xuất bản khoa học kỹ

Mechanics,
LTH,
Sweden.
by JABE
Offset,tửLund,
Sweden.

thuật.
30
TẠPHà
CHÍ Nội
KHOA1997.
HỌC

QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ

[7]. CALFEM A finite element toolbox to MATLAB Version 3.3. Copyright ©
1999 by Structural Mechanics, LTH, Sweden. Printed by JABE Offset, Lund,