Báo cáo nghiên cứu khoa học TÍNH ỨNG SUẤT uốn CHÂN RĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

TÍNH ỨNG SUẤT UỐN CHÂN RĂNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
CALCULATING THE BENDING STRESS IN THE GEAR TOOTH
BY MEANS OF THE FINITE ELEMENT METHOD

NGUYỄN VĂN YẾN - NGUYỄN KHÁNH LINH
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Tính ứng suất uốn chân răng của bánh răng theo phương pháp truyền thống đơn giản, nhưng
kết quả tính toán có độ chính xác không cao. Tính ứng suất uốn trên răng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn phức tạp hơn, nhưng có độ chính xác cao hơn so với phương pháp truyền
thống. Trên cơ sở đó có thể thiết kế chính xác bộ truyền bánh răng, đảm bảo tính kinh tế. Bài
báo trình bày vấn đề sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán ứng suất uốn
chân răng của bộ truyền bánh răng.
ABSTRACT
Calculating the bending stress in gear tooth by the traditional methods is difficult to get high
calculation exactness. Calculating the bending stress on gear tooth by means of the finite
element method can increase the calculation exactness many times. In this way, we can
design gear teeth economically. This article describes the calculation bending stress on gear
teeth by means of the finite element method.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Từ trước đến nay, ứng suất uốn tại chân răng của bánh răng được tính toán theo
phương pháp truyền thống. Do hạn chế của các thiết bị tính, người ta đã đơn giản hoá các
công thức tính toán, sau đó dùng các hệ số để điều chỉnh độ chính xác của kết quả tính toán,
trong khi giá trị của các hệ số được xác định một cách gần đúng theo thực nghiệm hoặc kinh
nghiệm. Chính vì lý do đó, kết quả tính ứng suất bằng phương pháp truyền thống có độ chính
xác không cao, dẫn đến bộ truyền bánh răng được thiết kế thường là thừa bền, không đảm bảo
tính kinh tế.
Ứng suất chân răng của bánh răng sẽ được xác định chính xác, nếu như chúng ta giải

được bài toán cơ học vật rắn biến dạng của bánh răng chịu tải, có nghĩa là tìm được 15 ẩn hàm
đặc trưng cho trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị của răng bánh răng từ 15 phương
trình vi phân thỏa mãn các điều kiện biên. Việc đó rất khó khăn. Song có thể sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn để tìm dạng gần đúng của những hàm ẩn trên. Tức là có thể xác định
gần chính xác 15 ẩn hàm đặc trưng cho trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị của răng
bánh răng bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số đặc biệt để tìm dạng gần đúng của
một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Bằng cách giải các phương trình chuyển vị,
xác định biến dạng của vật thể tại các điểm, từ đó sẽ tính được ứng suất của vật chịu tải, kết
quả tính toán ứng suất có độ chính xác cao hơn so với các phương pháp tính truyền thống.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi đã thực hiện tính ứng suất uốn tại chân răng của
bánh răng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, mong muốn nhận được kết quả tính toán có độ
chính xác cao hơn, làm cơ sở để thiết kế bộ truyền bánh răng đủ bền và có tính kinh tế cao
hơn so với phương pháp tính truyền thống.


2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Cho đến nay, khi tính toán ứng suất uốn chân răng bánh răng, đa số các nước trên thế
giới đều sử dụng công thức [1, 2, 5, 7]:

F 

2 T1
YF K F K FV
b d W1 m

(1)

Trong đó, F là ứng suất uốn ở tiết diện chân răng của bánh răng.
T1 là mô men xoắn trên trục mang bánh răng dẫn số 1.

YF là hệ số dạng răng.
KF là hệ số tập trung tải trọng lên một phần của răng.
KFV là hệ số tải trọng động.
b là chiều rộng của bánh răng.
dW1 là đường kính vòng tròn lăn của bánh răng dẫn số 1.
m là mô đun của bánh răng.
Vẽ chính xác hình dạng của răng bánh răng, có thể thực hiện bằng cách viết phương
trình mô tả các đoạn biên dạng răng trong một hệ trục tọa độ thống nhất, sau đó vẽ đồ thị của
từng phương trình trong giới hạn đã được xác định. Phương trình mô tả các đoạn biên dạng
răng trong hệ toạ độ vuông góc Oxy có dạng như sau [6]:
Phương trình mô tả đoạn cung tròn đỉnh răng:
x = racos
y = rasin
(2)
 = /2  (/2+1).
Phương trình của đoạn biên dạng thân khai của răng:

x
y



cos 

 sin  x 2

sin 

cos  y 2

(3)

Với  = sa/(2ra) + inv(a)
Trong đó x2, y2 là toạ độ của điểm, có góc áp lực i, trên đường thân khai trong hệ trục
tọa độ vuông góc Ox2 y2, có trục Oy đi qua điểm chung của đường thân khai với vòng tròn cơ
sở bán kính rb:
x2 = rb sin(tgi) – rb tgi cos(tgi)
y2 = rb cos(tgi) – rb tgi sin(tgi)
i = a  f
Phương trình của đoạn cong chuyển tiếp chân răng, đó là hình bao của cung đỉnh dao
trong chuyển động cắt răng:

x
y



cos 

 sin  x 3

sin 

cos  y 3

(4)

Với
 = 2/z – e/r
Trong đó x3, y3 là tọa độ của điểm, ứng với góc xoay , thuộc đường cong chân răng

trong hệ tọa độ Ox3 y3, có trục Oy đi qua giữa rãnh răng:
x3 = (o cos + r2 2)cos2 + [d - o (sin - sin)]sin2 – r2 sin2
y3 = (o cos + r2 2)sin2 + [d - o (sin - sin)]cos2 – r2 cos2
r2 2 tg - (d - o sin) = 0
 =   /2
Phương trình của đoạn cung tròn chân răng:
x = rf cos


y = rf sin
 = /2 + 2  /2 + 3

(5)

Có thể xác định ứng suất tại một điểm của vật rắn biến dạng chịu tải bằng phương
pháp phần tử hữu hạn khi thực hiện các bước sau [3, 4]:
- Rời rạc hóa miền khảo sát. Chia miền khảo sát V thành những miền con Ve, còn gọi là các
phần tử. Số lượng phần tử, kích thước, hình dạng hình học của phần tử phải được xác định
rõ ràng.
- Chọn hàm xấp xỉ thích hợp. Nên chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản đối với tính toán,
nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ. Hàm xấp xỉ thường được chọn dưới dạng đa
thức.
- Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và véc tơ tải
phần tử {P}e.
- Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả là hệ thống phương trình
[ K ]{ q } = { P }. Với [ K ] là ma trận độ cứng tổng thể, { q } là véc tơ chuyển vị nút tổng
-

-

-

-

thể, và { P } là véc tơ tải tổng thể.
Áp đặt điều kiện biên của bài toán, giải hệ thống phương trình để xác định các ẩn số, là
chuyển vị qi của các nút.
Hoàn thiện việc tính toán. Từ kết quả tìm được khi giải hệ phương trình, tiếp tục tìm ứng
suất, biến dạng của tất cả các phần tử trong miền khảo sát.
3. KẾT QUẢ VÀ NHẬN XÉT
Kết quả nghiên cứu được trình bày trong bài báo thể hiện ở những nội dung sau:
Tính tọa độ các điểm của biên dạng
răng theo các công thức (2, 3, 4, 5), vẽ
F1
răng của bánh răng trong hệ tọa độ
Oxy, có trục Oy trùng với trục đối
F2
xứng của răng.
Tính tải trọng tác dụng lên răng.
Coi răng là hình lăng trụ dài vô hạn, vì
chiều dài của răng lớn hơn kích thước
tiết diện răng rất nhiều lần. Do đó có
thể áp dụng bài toán phẳng của lý
thuyết đàn hồi để tính. Sơ đồ tính toán
được chọn như hình 1.
Giải bài toán tính ứng suất chân răng
bằng phương pháp phần tử hữu hạn,
mô hình phẳng, phần tử hình chữ nhật:
Bước1: Chia răng thành 16 phần tử
với 34 nút, được đánh số như hình 2.

Hình 1: Mô hình tính toán
Thiết lập ma trận Boolean [b].
Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng
phần tử [K]e, ghép nối để xây dựng ma trận cứng tổng thể [ K ].
Bước 3: Xây dựng véc tơ tải phần tử [P]e, ghép nối để lập véc tơ tải tổng thể [ P ].
Bước 4: Áp đặt điều kiện biên, và xây dựng hệ phương trình để giải.
Bước 5: Giải hệ phương trình đại số, nhận được giá trị của 64 ẩn số qi (i=1 đến 64).
Bước 6: Tính ứng suất tại điểm B, là điểm nguy hiểm của chân răng, vết nứt thường xảy
ra ở đây.


-

Giải bài toán tính ứng suất chân răng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, mô hình phẳng,
phần tử hình tam giác: Các bước tiến hành tương tự như phần trên, ở đây răng được chia
thành 90 phần tử với 60 nút. Cách chia phần tử, đánh số nút trình bày trên hình 3.

x
Hình 2: Sơ đồ kết cấu, nút và phần tử

Hình 3: Sơ đồ phần tử tam giác, các nút

Hình 3 biểu diễn sơ đồ khối của chương trình để giải hai bài toán trên. Chương trình
được viết bằng ngôn ngữ Pascal.

Khởi động
Nhập số liệu của bộ
truyền bánh răng

Xây dựng véc tơ tải tổng thể và

véc tơ chuyển vị nút tổng thể

Tính toán và vẽ biên dạng
răng của bánh răng

Giải hệ phương trình,
tính các chuyển vị qi

Chia phần tử, đánh số
nút và số phần tử

Tính ứng suất tại các điểm
nút nguy hiểm của răng

Tính các ma trận
cứng phần tử [K]e

Ghi kết quả tính toán
vào file số liệu

Ghép nối vào ma trận
cứng tổng thể [ K ]

Kết thúc

Hình 4: Sơ đồ khối chương trình tính ứng suất chân răng


-

Áp dụng chương trình tính toán ứng suất chân răng theo phương pháp phần tử hữu hạn đã
thiết lập để tính toán một số truyền bánh răng cụ thể.Đồng thời để kiểm chứng đối chiếu,
chúng tôi đã sử dụng công thức (1) của phương pháp truyền thống, để tính ứng suất chân
răng của các bộ truyền bánh răng nêu trên. Kết quả tính toán theo 2 phương pháp của 17
bộ truyền bánh răng được trình bày trong phần phụ lục.

Qua khảo sát kết quả tính toán của 17 bộ truyền bánh răng cụ thể, ta nhận thấy:
Giá trị ứng suất uốn chân răng nhận được từ sử dụng chương trình tính theo phương pháp
phần tử hữu hạn, đều nhỏ hơn so với phương pháp tính truyền thống. Độ lệch lớn nhất là
25%, độ lệch nhỏ nhất là 0,5%, độ lệch trung bình khoảng 12% (có tính đến tần suất xuất
hiện của các độ lệch). Điều đó có thể giải thích: tính toán ứng suất theo phương pháp
phần tử hữu hạn có độ chính xác tương đối cao; tính ứng suất theo phương pháp truyền
thống có độ chính xác thấp hơn, để bù lại sai số tính toán, đồng thời đảm bảo an toàn cho
bánh răng được thiết kế, phương pháp truyền thống đã tăng giá trị của các hệ số tính toán,
dẫn đến làm tăng giá trị ứng suất chân răng.
- Kết quả tính toán ứng suất uốn chân răng của bánh răng, nhận được từ hai phương pháp
tính, sai khác nhau không nhiều. Điều đó chứng tỏ mức độ chính xác của cả hai phương
pháp tính nêu trên đều chấp nhận được. Tuy nhiên, nếu chúng ta sử dụng phương pháp
phần tử hữu hạn để xác định ứng suất chân răng của bánh răng, sẽ nhận được kết quả có
độ tin cậy cao hơn.
-

4. KẾT LUẬN
Tính ứng suất uốn chân răng của bánh răng bằng phương pháp phần tử hữu hạn phải
trải qua nhiều bước tính phức tạp, mất thời gian. Song kết quả tính toán nhận được có độ tin
cậy cao hơn, vì phần tử hữu hạn là phương pháp số đặc biệt, cho phép tính tương đối chính
xác ứng suất của vật rắn chịu tải. Áp dụng cách tính ứng suất uốn chân răng bằng phương
pháp phần tử hữu hạn, sẽ cho phép chúng ta thiết kế được những bộ truyền bánh răng có đủ
bền uốn và có tính kinh tế cao hơn so với phương pháp tính truyền thống.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]

Trịnh Chất, Cơ sở thiết kế máy và chi tiết máy, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1998.
Nguyễn Trọng Hiệp, Chi tiết máy, tập I, NXB Giáo dục, 1999.
Nguyễn Quốc Bảo, Trần Nhất Dũng, Phương pháp phần tử hữu hạn, lý thuyết và lập
trình, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2003.
Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1997.
Dr. Erney György, Fogaskerekek, Műszaki könyvkiadó, 1983.
Yen Nguyen Van, A fogaskerék fogalakjának rajzolása és vizsgálása, Budapesti
Műszaki Egyetem Gépelemek Tanszék Közleményei, 1993, 72.szám.
Dr. Zsáry Árpád, Gépelemek, II Kötek, Tankönyvkiadó, Budapest 1991.


PHỤ LỤC
Kết quả tính toán ứng suất chân răng bằng hai phương pháp trên một số bộ truyền cụ thể
Bộ truyền thứ 1:
m = 1,0 mm
Z1 = 60

 = 200
Z2 = 300
X1 = 0
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:

Bộ truyền thứ 2:
m = 1,5 mm
 = 200
Z1 = 90
Z2 = 180
X1 = 0
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 3:
m = 1,5 mm
 = 200
Z1 = 100
Z2 = 200
X1 = 0,0
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 4:
m = 1,5 mm
 = 200
Z1 = 100
Z2 = 200
X1 = 0,059
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 5:
m = 5 mm
 = 200
Z1 = 20
Z2 = 40
X1 = 0,416

Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 6:
m = 1,0 mm
 = 200
Z1 = 100
Z2 = 500
X1 = 0,256
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 7:
m = 2,5 mm
 = 200
Z1 = 40
Z2 = 280
X1 = 0,228
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 8:
m = 2,0 mm
 = 200
Z1 = 100
Z2 = 300
X1 = 0,239
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:

w = 200
P = 10 kW
X2 = 0

F1 = 213,45 MPa
F1 = 212,37 MPa

 = 00
n = 1000 v/ph
 = 1,859

w = 200
P = 10 kW
X2 = 0
F1 = 222,63 MPa
F1 = 221,12 MPa

 = 00
n = 250 v/ph
 = 1,873

wt = 200
P = 10 kW
X2 = 0,0
F1 = 224,68 MPa
F1 = 223,69 MPa

 = 00
n = 200 v/ph
 = 1,882

wt = 200
P = 10 kW
X2 = -0,059

F1 = 225,02 MPa
F1 = 221,70 MPa

 = 00
n = 200 v/ph
 = 1,879

wt = 230
P = 10 kW
X2 = 0,225
F1 = 55,39 MPa
F1 = 44,72 MPa

 = 00
n = 600 v/ph
 = 1,445

w = 20,50
P = 10 kW
X2 = 0,732
F1 = 153,07 MPa
F1 = 145,10 MPa

 = 00
n = 500 v/ph
 = 1,843

w = 20,50
P = 14 kW
X2 = 0,234

F1 = 82,18 MPa
F1 = 76,19 MPa

 = 00
n = 400 v/ph
 = 1,739

wt = 20,50
P = 20 kW
X2 = 0,413
F1 = 143,85 MPa
F1 = 136,85 MPa

 = 00
n = 200 v/ph
 = 1,841


Bộ truyền thứ 9:
m = 2,5 mm
Z1 = 50

 = 200
Z2 = 150
X1 = 0,306
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 10:
m = 1,5 mm
 = 200

Z1 = 90
Z2 = 180
X1 = 0,363
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 11:
m = 1,5 mm
 = 200
Z1 = 100
Z2 = 200
X1 = 0,391
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 12:
m = 1,0 mm
 = 200
Z1 = 60
Z2 = 300
X1 = 0,345
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 13:
m = 1,0 mm
 = 200
Z1 = 50
Z2 = 200
X1 = 0,324
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 14:

m = 0,5 mm
 = 200
Z1 = 30
Z2 = 120
X1 = 0,437
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 15:
m = 2,0 mm
 = 200
Z1 = 40
Z2 = 80
X1 = 0,400
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 16:
m = 1,5 mm
 = 200
Z1 = 20
Z2 = 120
X1 = 0,509
Tính theo phương pháp truyền thống:
Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:
Bộ truyền thứ 17:
m = 3,0 mm
 = 200
Z1 = 25
Z2 = 150
X1 = 0,464
Tính theo phương pháp truyền thống:

Tính theo phương pháp phần tử hữu hạn:

wt = 210
P = 20 kW
X2 = 0,365
F1 = 120,61 MPa
F1 = 110,13 MPa

 = 00
n = 500 v/ph
 = 1,725

wt = 210
P = 10 kW
X2 = 0,542
F1 = 227,63 MPa
F1 = 208,24 MPa

 = 00
n = 250 v/ph
 = 1,776

wt = 210
P = 10 kW
X2 = 0,614
F1 = 230,19 MPa
F1 = 210,26 MPa

 = 00
n = 200 v/ph

 = 1,782

w = 210
P = 10 kW
X2 = 0,862
F1 = 215,86 MPa
F1 = 195,26 MPa

 = 00
n = 1000 v/ph
 = 1,744

w = 210
P = 4 kW
X2 = 0,514
F1 = 187,82 MPa
F1 = 170,48 MPa

 = 00
n = 800 v/ph
 = 1,726

wt = 220
P = 0,25 kW
X2 = 0,625
F1 = 146,53 MPa
F1 = 122,67 MPa

 = 00
n = 1450 v/ph

 = 1,570

wt = 220
P = 10 kW
X2 = 0,449
F1 = 208,73 MPa
F1 = 178,51 MPa

 = 00
n = 600 v/ph
 = 1,608

wt = 22,50
P = 1,5 kW
X2 = 0,763
F1 = 75,47 MPa
F1 = 60,39 MPa

 = 00
n = 1000 v/ph
 = 1,458

wt = 220
P = 7 kW
X2 = 0,774
F1 = 56,43 MPa
F1 = 46,57 MPa

 = 00
n = 500 v/ph

 = 1,534