Tải bản đầy đủ (.pdf) (13 trang)

Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân đầy đủ ppt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.79 KB, 13 trang )

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx

2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
  


2.
3
1
2x dx

3.
2
1
1x dx


4.


2
3
(2sin 3 )x cosx x dx




5.
1
0
()
x
e x dx


6.
1
3
0
()x x x dx

7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


8.
2
3

1
(3sin 2 )x cosx dx
x




9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx


10.
2
2
3
1
()x x x x dx

11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


12.

3
3
1
x 1 dx( ).



13.
2
2
2
-1
x.dx
x 


14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x



15.
x2
5
2

dx
x2  


16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln



17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin




18.
4

2
0
tgx dx
x
.
cos


19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx






20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.




21.
2
2
1
dx
4x 8x


22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.



22.
2
0
dx
1xsin





II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
32
3
sin xcos xdx



2.
2
23
3
sin xcos xdx




3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx




3.
4
0
tgxdx



4.
4
6
cot gxdx



5.
6
0
1 4sin x cosxdx




6.
1
2
0
1x x dx

7.
1

2
0
1x x dx


8.
1
32
0
1x x dx

9.
1
2
3
0
1
x
dx
x 


10.
1
32
0
1x x dx

11.
2

3
1
1
1
dx
xx


12.
1
2
0
1
1
dx
x

13.
1
2
1
1
22
dx
xx




14.

1
2
0
1
1
dx
x 

15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x


16.
2
sin
4
x
e cosxdx



17.
2
4

sin
cosx
e xdx




18.
2
1
2
0
x
e xdx


19.
2
32
3
sin xcos xdx




20.
2
sin
4
x

e cosxdx



21.
2
4
sin
cosx
e xdx




22.
2
1
2
0
x
e xdx


23.
2
32
3
sin xcos xdx





24.
2
23
3
sin xcos xdx



25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx




26.
4
0
tgxdx


27.
4

6
cot gxdx




28.
6
0
1 4sin x cosxdx



29.
1
2
0
1x x dx


30.
1
2
0
1x x dx

31.
1
32
0

1x x dx


32.
1
2
3
0
1
x
dx
x 

33.
1
32
0
1x x dx


34.
2
3
1
1
1
dx
xx

35.

1
1 ln
e
x
dx
x



36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x

37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x



38.
2ln 1
1

e
x
e
dx
x


39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx



40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x


41.
2
1
11
x
dx
x


42.
1
0
21
x
dx
x 

43.
1
0
1x x dx


44.
1
0
1
1
dx
xx


45.
1
0
1
1
dx
xx


46.
3
1
1x
dx
x


46.
1
1 ln
e
x
dx
x



47.
1

sin(ln )
e
x
dx
x

48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x



49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x


50.
2
2
1 ln

ln
e
e
x
dx
xx



51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x

52.
1
23
0
5

x x dx

53.
 
2

4
0
sin 1 cos

x xdx

54.
4
2
0
4 x dx


55.
4
2
0
4 x dx

56.
1
2
0
1
dx
x


II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx


Tch phân ca
́
c ha
̀
m sô
́
dễ pha
́
t hiê
̣
n u va
̀
dv

@ Dng 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e











( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ee



   



   


   

   

   



@ Dng 2:
( )ln( )f x ax dx




Đt
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx















@ Dng 3:
sin
.




ax
ax
e dx
cosax




Ví d 1: tính cc tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x 


đă
̣
t
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x








b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x 

đă

̣
t
5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv
x









c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x


    
   
   

Tính I
1
1
2
0
1
dx
x



bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx

x

bằng phương pha
́
p tư
̀
ng phần : đă
̣
t
22
(1 )
ux
x
dv dx
x









Bài tập
1.
3
3
1
ln

e
x
dx
x

2.
1
ln
e
x xdx


3.
1
2
0
ln( 1)x x dx

4.
2
1
ln
e
x xdx


5.
3
3
1

ln
e
x
dx
x

6.
1
ln
e
x xdx


7.
1
2
0
ln( 1)x x dx

8.
2
1
ln
e
x xdx


9.
2
0

( osx)sinxx c dx



10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x



11.
2
2
1
ln( )x x dx

12.
3
2
4
tanx xdx




13.

2
5
1
ln x
dx
x

14.
2
0
cosx xdx



15.
1
0
x
xe dx

16.
2
0
cos
x
e xdx



III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1.



5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.


b
a
dx
bxax ))((
1

3.



1
0
3
1
1

dx
x
xx
4.
dx
x
xx



1
0
2
3
1
1

5.


1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.



1
0
22
)3()2(
1
dx
xx

7.



2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.




0
1
2

23
23
9962
dx
xx
xxx

9.


3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.



1
0
2
32
)1(
dx
x
x

n
n

11.



2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.


2
1
4
)1(
1
dx
xx

13.



2
0
2
4
1
dx
x
14.


1
0
4
1
dx
x
x

15.
dx
xx


2
0
2
22
1
16.



1
0
32
)1(
dx
x
x

17.


4
2
23
2
1
dx
xxx
18.



3
2
3
2
23
333
dx

xx
xx

19.



2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.


1
0
3
1
1
dx
x

21.




1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.



1
0
2
4
1
2
dx
x
x

23.



1
0

6
4
1
1
dx
x
x

24.
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx




25.
1
2
0
1
dx
xx

26.

27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin


2.

2
0
32
cossin

xdxx

3.
dxxx


2
0
54
cossin

4.


2
0
33
)cos(sin

dxx

5.


2
0
44
)cos(sin2cos

dxxxx
6.


2
0
22

)coscossinsin2(

dxxxxx

7.

2
3
sin
1


dx
x
8.


2
0
441010
)sincoscos(sin

dxxxxx

9.


2
0
cos2


x
dx
10.


2
0
sin2
1

dx
x

11.


2
0
2
3
cos1
sin

dx
x
x
12.

3

6
4
cos.sin


xx
dx

13.


4
0
22
coscossin2sin

xxxx
dx
14.


2
0
cos1
cos

dx
x
x


15.


2
0
cos2
cos

dx
x
x
16.


2
0
sin2
sin

dx
x
x

17.


2
0
3
cos1

cos

dx
x
x
18.


2
0
1cossin
1

dx
xx

19.


2
3
2
)cos1(
cos


x
xdx
20.





2
2
3cos2sin
1cossin


dx
xx
xx

21.

4
0
3

xdxtg
22.
dxxg

4
6
3
cot




23.

3
4
4


xdxtg
24.


4
0
1
1

dx
tgx

25.


4
0
)
4
cos(cos


xx

dx
26.



2
0
5cos5sin4
6cos7sin

dx
xx
xx

27.



2
0
sin1 dxx
28.


4
0
13cos3sin2

xx
dx


29.


4
0
4
3
cos1
sin4

dx
x
x
30.



2
0
cossin
2sin2cos1

dx
xx
xx

31.



2
0
cos1
3sin

dx
x
x
32.


2
4
sin2sin


xx
dx

33.

4
0
2
3
cos
sin

dx
x

x
34.


2
0
32
)sin1(2sin

dxxx

35.


0
sincos dxxx
36.


3
4
3
3
3
sin
sinsin


dx
xtgx

xx

37.


2
0
cossin1

xx
dx
38.


2
0
1sin2

x
dx

39.

2
4
53
sincos


xdxx

40.


4
0
2
cos1
4sin

x
xdx

41.


2
0
3sin5

x
dx
2.

6
6
4
cossin


xx

dx

43.


3
6
)
6
sin(sin



xx
dx
4.


3
4
)
4
cos(sin



xx
dx

45.


3
4
6
2
cos
sin


x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6






47.


3
0
3
)cos(sin

sin4

xx
xdx
48.



0
2
2
)sin2(
2sin

x
x

49.

2
0
3
sin

dxx
50.

2
0
2

cos

xdxx

51.


2
0
12
.2sin

dxex
x
52.
dxe
x
x
x



2
0
cos1
sin1


53.



4
6
2cot
4sin3sin


dx
xgtgx
xx
54.


2
0
2
6sin5sin
2sin

xx
xdx

55.

2
1
)cos(ln dxx
56.

3

6
2
cos
)ln(sin


dx
x
x

57.
dxxx


2
0
2
cos)12(

58.


0
2
cossin xdxxx

59.

4
0

2

xdxxtg
60.


0
22
sin xdxe
x

61.

2
0
3sin
cossin
2

xdxxe
x
62.


4
0
)1ln(

dxtgx


63.


4
0
2
)cos2(sin

xx
dx
64.



2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(

dx
xx
xx

65.
2
2
sin 2 sin7



x xdx


66.
2
44
0
cos (sin cos )

x x x dx


67.
2
3
0
4sin
1 cos

x
dx
x

68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.


V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:


b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa


) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[



+) R(x,
22
xa 
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos

+) R(x,
n

dcx
bax


) §Æt t =
n
dcx
bax



+) R(x, f(x)) =

 xxbax
2
)(
1
Víi
(

 xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =

 xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax 
1


+) R(x,
22
xa 
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[



+) R(x,
22
ax 
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[





+) R
 
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ;
n
i
)
§Æt x = t
k

1.


32
5
2
4xx
dx
2.


2
3
2

2
1xx
dx

3.



2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.


2
1
3
1xx
dx

5.


2
1
2

2008dxx
6.


2
1
2
2008x
dx

7.


1
0
22
1 dxxx
8.


1
0
32
)1( dxx

9.



3

1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.



2
2
0
1
1
dx
x
x

11.


1
0
32
)1( x
dx
12.



2
2
0
32
)1( x
dx

13.


1
0
2
1 dxx
14.


2
2
0
2
2
1 x
dxx

15.



2
0
2cos7
cos

x
xdx
16.


2
0
2
coscossin

dxxxx

17.


2
0
2
cos2
cos

x
xdx
18.




2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx

19.


7
0
3
2
3
1 x
dxx
20.


3
0
23
10 dxxx

21.



1
0
12x
xdx
22.


1
0
2
3
1xx
dxx

23.


7
2
112x
dx
24.
dxxx


1
0
815

31


25.


2
0
5
6
3
cossincos1

xdxxx
26.


3ln
0
1
x
e
dx

27.



1
1

2
11 xx
dx
28.


2ln
0
2
1
x
x
e
dxe

29.


1
4
5
2
8412 dxxx
30.


e
dx
x
xx

1
lnln31

31.



3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx


4
0
23
2

33.



0
1

3
2
)1( dxxex
x
34.


3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x

35.


3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x

tgx
x
x
36.


2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe

37.


3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.


2
0

2
cos1
cos

x
xdx

39.
dx
x
x



7
0
3
3
2
40.


a
dxax
2
0
22


VI. MT S TCH PHN C BIT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi
đó:



aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(

Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn
f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:


2
3
2
3
)(



dxxf

+) Tính




1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a],
khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:




1
1
2
)1ln( dxxx




2
2
2
)1ln(cos


dxxxx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a,
a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf
0
)(


Ví dụ: Tính



1
1
24
1xx
dxx

2
2
2
cos
4 sin




xx
dx
x



Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a,
a], khi đó:





aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:




3
3
2
21
1
dx
x
x





2
2
1
5cos3sinsin


dx
e
xxx
x

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2

], thì


2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf

Ví dụ: Tính



2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x



2
0
cossin
sin

dx
xx
x

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:




00

)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf

Ví dụ: Tính



0
sin1
dx
x
x




0
cos2
sin
dx
x
xx

Bài toán 6:


b
a
b

a
dxxfdxxbaf )()(





bb
dxxfdxxbf
00
)()(

Ví dụ: Tính



0
2
cos1
sin
dx
x
xx



4
0
)1ln(4sin


dxtgxx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu
kì T thì:



TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(





TnT
dxxfndxxf
00
)()(

Ví dụ: Tính



2008
0
2cos1 dxx


Các bài tập áp dụng:
1.




1
1
2
21
1
dx
x
x
2.



4
4
4
357
cos
1


dx
x
xxxx


3.



1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.




2
2
2
sin4
cos


dx
x
xx

5.





2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0




7.



2
2
5
cos1
sin



dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2





ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.




3
3
2
1dxx
2.


2
0
2
34 dxxx

3.


2
0
2
dxxx



1
0
dxmxx
4.


2

2
sin


dxx

5.





dxxsin1
6.


3
6
22
2cot


dxxgxtg

7.

4
3
4
2sin



dxx
8.



2
0
cos1 dxx

9.



5
2
)22( dxxx
10.


3
0
42 dx
x

11.




3
2
3
coscoscos


dxxxx
12.
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trc hoành , trc tung và đường thẳng x = 2


Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trc hoành , trc tung và đường thẳng x = 2



TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

×