bai tap nguyen ham - tich phan

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++−
ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x
+
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3

2
3

3. f(x) =
2
1
x
x
−
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x
−
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3

5. f(x) =
43
xxx
++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3 2
32

7. f(x) =
x
x
2
)1(
−
ĐS. F(x) =
Cxxx
++−
ln4
8. f(x) =
3
1
x
x
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx
++
2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx
+−
3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx
+−−
cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos

2
x
e
x
−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+

13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
+−
x
x

3. f’(x) = 4
xx
−
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8
2
−−
xxx
4. f’(x) = x -

2
1
2
+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++
x
x
x

5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
1
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2

=−==
fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số. Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)
dxxudt )('
=⇒
 I =
∫ ∫
=
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
−
dxx )15(

2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
−
25
4.
∫
−
12x
dx
5.
∫
+
xdxx
72
)12(
6.
∫
+
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1

2
∫
+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx
11.
dx
x

x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxxcossin
4
14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx

2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
21.
∫
−
3
x
x
e
dxe
22.

∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
−
dxx .1
2
24.
∫
−
2
4 x
dx
25.
∫
−
dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx
27.

∫
−
2
2
1 x
dxx
28.
∫
++
1
2
xx
dx
29.
∫
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
∫
−
31.
∫
+
1
x
e
dx
32.

dxxx .1
23
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−=
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxxcos
3.
∫
+
xdxx sin)5(
2
4.
∫
++
xdxxx cos)32(

2
5.
∫
xdxx 2sin
6.
∫
xdxx 2cos
7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxxln
10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
12.
∫
dxe

x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin
16.
∫
+
dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe
x
cos.
18.
∫
dxex
x
2

3
19.
∫
+
dxxx )1ln(
2
20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxxlg
22.
∫
+
dxxx )1ln(2
23.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2

2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫

4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.
2

3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫
10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫
12.
3

3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x

− −
∫
15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −

∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
∫
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx
x

.
cos
π
∫
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫
21.
2

2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
∫
23.
2
0
dx
1 xsin
π
+
∫
24.
∫
−
++
1
1

2
)12( dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx

∫






+
2
1
32
11
29.
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx

30.
∫
e
e
x
dx

1
1

31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫









−
8
1
3 2
3
1
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3

x
dx
cosx
π
+
∫
4.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2

0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
10.
1
3 2
0

1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +

∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
3
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.

2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
18.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
19.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫

20.
2
sin
4

x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π

∫

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6

cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫

32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x

dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+

∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx

x+ −
∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −

∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln

e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

51.

2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
0
5x x dx+
∫
53.
( )
2
4
0
sin 1 cosx xdx
π
+
∫
126.
∫
+
32
5
2

4xx
dx
54.
4
2
0
4 x dx−
∫
55.
4
2
0
4 x dx−
∫
56.
1
2
0
1
dx
x+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
0
1

32

58.
∫
−
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1+
∫
61.
1
0
x 1 xdx−
∫

62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
65.

6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫

66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cos x
π
+
∫
67.
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2

4
0
cos 2xdx
π
∫
69.
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cos x
π
π
+ +
+
∫

70.
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
. 71.
dxxx )sin(cos
4
0
44

∫
−
π
72.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x

74.
∫
−
2

0
sin25
cos
π
dx
x
x
75.
0
2
2
2 2
2 3
x
dx
x x
−
+
+ −
∫
76.
1
2
1
2 5
dx
x x
−
+ +
∫

77.
2
3 2
0
cos x sin xdx
π
∫

4
78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0

x 1 x dx−
∫
81.
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫

82.
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
83.
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
84.
4

0
1
dx
cos x
π
∫
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫

86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
87.
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π

− +
∫
88.
3
4
0
tg x
dx
cos 2x
∫
89.
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π
+
+
∫

90.
∫
+
2
0
22
sin4cos

2sin
π
dx
xx
x
91.
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
93.
∫
3

4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx

94.
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
95.
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x

xx
96.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
97.
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
98.
∫
+
2
0
sin

cos)cos(
π
xdxxe
x
99.
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
100.
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
∫
+
−
4
0
2
2sin1

sin21
π
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx−
∫
103.
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
104.
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
105.
1
2

0
1
dx
x x 1− +
∫
106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
108.
2
2
2
2
0
x

dx
1 x−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
111.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
112.
1

5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+

∫
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
117.
∫
++
−
0

1
2
22xx
dx
118.
∫
++
1
0
311 x
dx
119.
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
x x +

∫
121.
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
122.
3
5 2
0
1x x dx+
∫
123.
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
124.
7
3
3
0

1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
125.
2
2 3
0
1x x dx+
∫

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
5
@ Dạng 1
sin
( )
ax

ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 
 
∫
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
 
 
   
 
⇒
 
   
= =
 

   
 
   
   
 
∫
@ Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=


⇒
 
=



=

∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Đặt
ax ax
sin sin
cos
u e du ae dx
ax ax
dv dx v dx
ax cosax
 
= =
 
⇒
   

 
= =
   
 
   
 
∫

Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +
∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x


=


=

+

b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx
x −
∫
đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x

=


=


−

c/
1 1 1 1
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
=
+
∫
bằng phương pháp đổi biến số

Tính I
2
=
1
2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=



=

+

Bài tập
1.
3
3

1
ln
e
x
dx
x
∫
2.
1
ln
e
x xdx
∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
4.
2
1
ln
e
x xdx
∫
5.
3
3

1
ln
e
x
dx
x
∫
6.
1
ln
e
x xdx
∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
8.
2
1
ln
e
x xdx
∫
9.
2
0

( osx)sinxx c dx
π
+
∫
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫
11.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
12.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
13.
2

5
1
ln x
dx
x
∫
14.
2
0
cosx xdx
π
∫
15.
1
0
x
xe dx
∫
16.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
6
1)
∫

1
0
3
. dxex
x
2)
∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3)
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx
4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx

5)

∫
e
xdxx
1
ln
6)
∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
∫
3
1
.ln.4 dxxx
8)
∫
+
1
0
2
).3ln(. dxxx

9)
∫
+
2

1
2
.).1( dxex
x
10)
∫
π
0
.cos. dxxx
11)
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
12)
∫
+
2
0
2
.sin).2(
π
dxxxx
13)
2
5
1

ln x
dx
x
∫
14)
2
2
0
x cos xdx
π
∫
15)
1
x
0
e sin xdx
∫
16)
2
0
sin xdx
π
∫
17)
e
2
1
x ln xdx
∫
18)

3
2
0
x sin x
dx
cos x
π
+
∫
19)
2
0
x sin x cos xdx
π
∫
20)
4
2
0
x(2 cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x

+
∫
22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
23)
e
2
1
(x ln x) dx
∫
24)
2
0
cos x.ln(1 cos x)dx
π
+
∫

25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x

dx
x +
∫
26)
1
2
0
xtg xdx
∫
27)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
28)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
∫
e
dx
x
x

1
ln
30)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
31)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
∫
+−
−

5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx

x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
5.
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
∫
++
1
0
22
)3()2(
1

dx
xx
7.
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9.

∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
∫
++
−
2
1

24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13.
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
14.
∫
+

1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
16.
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
∫
+−

4
2
23
2
1
dx
xxx
18.
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19.
∫
+
−
2
1
4
2
1
1

dx
x
x
20.
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
7