Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương I (Phần 1) docx

Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
1
Chương I
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1 Phân Loại Tín Hiệu Và Hệ Thống
1.1.1 Đònh Nghóa
Một cách khái quát theo tính vật lý, tín hiệu là một hiện tượng được phát sinh
trong một môi trường nào đó. Các tín hiệu như âm thanh, hình ảnh và chuỗi số nhò
phân . . . luôn tồn tại quanh ta. Tín hiệu được phân ra làm hai loại là tín hiệu liên tục và
tín hiệu rời rạc.
1.1.2 Tín Hiệu Liên Tục (Continuous - Time Signal)
Tín hiệu có thời gian t liên tục trong khoảng (a, b), mà a có thể là -∞ và b có thể
là ∞. Tín hiệu liên tục có nhiều dạng, về mặt toán học ta có các hàm x
1
(t) = cos πt,
t
2
e)t(x
−
= , … , xem dạng tín hiệu x(t) có thời gian t liên tục được gọi là tín hiệu liên tục
ở hình 1.1a, với -∞ < t < ∞.
1.1.3 Tín Hiệu Rời Rạc (Dicrete - Time Signal)
Tín hiệu x(t) có thời gian t rời rạc được gọi là tín hiệu rời rạc ở hình 1.1b là dạng
của tín hiệu, chúng ta có thể ký hiệu là {x
n
} với n là số nguyên (n = 0, ±1, ±2, … ).
* Biến thời gian và biên độ
a. Tín hiệu tương tự : Là tín hiệu có biến thời gian liên tục và có biên độ liên tục
hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu liên tục là liên tục hình 1.2a.
b. Tín hiệu lượng tử : Là tín hiệu có biến thời gian liên tục và có biên độ (được

đònh) rời rạc hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu liên tục là rời rạc hình
1.2b.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)n(x
Hình 1.1b
n
)t(x
Hình 1.1a
t
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
2
c. Tín hiệu lấy mẫu : Là tín hiệu có biến thời gian rời rạc và có biên độ (được
đònh) liên tục hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục hình
1.2c.
d. Tín hiệu số : Là tín hiệu có biến thời gian rời rạc và có biên độ rời rạc hay nói
cách khác, là một hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc hình 1.2d.
1.1.4 Phân Loại Tín Hiệu
- Dạng sóng : Tín hiệu tam giác, sin, xung vuông, nấc, . . .
- Tần số : Tín hiệu hạ tần, âm tần, cao tần, siêu cao tần, . . .
- Liên tục : Tín hiệu liên tục biên độ và thời gian.
- Rời rạc : Tín hiệu rời rạc biên độ và thời gian.
- Tuần hoàn : Tín hiệu có dạng sóng lặp lại sau mỗi chu kỳ.
1.1.5 Phân Loại Hệ Thống
Một khối có quan hệ vào ra của tín hiệu vào và tín hiệu ra gọi là hệ thống. Quan
hệ tín hiệu qua hệ thống có hai loại cơ bản là tương tự và số và được phân ra hệ thống
như sau :
Biên đo
ä
Thời

g
ian
Hình 1.2a
Hình 1.2b
1
Biên đo
ä
Thời
g
ian
Hình 1.2c
1
Biên đo
ä
Thời
g
ian
Hình 1.2d
Biên đo
ä
Thời
g
ian
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
3
- Hệ thống có tín hiệu vào tương tự và tín hiệu ra tương tự gọi là hệ thống
tương tự hình 1.3a.
- Hệ thống có tín hiệu vào số và tín hiệu ra số gọi là hệ thống số hình 1.3b.
- Hệ thống có tín hiệu vào tương tự qua chuyển đổi ADC và tín hiệu ra số qua

chuyển đổi DAC gọi là hệ thống chuyển đổi tương tự – số hình 1.3c.
1.2 Tín Hiệu Rời Rạc
1.2.1 Biểu Diễn Tín Hiện
a. Biểu Diễn Toán Học
Xét hàm x(n) với n là phần tử nguyên.
- Ký hiệu tín hiệu rời rạc :
+
∞
<
<
∞
−= nnxx )}({
- Lấy mẫu tín hiệu : Từ tín hiệu tương tự x(t),
lấy mẫu tín hiệu tương tự này ta sẽ có tín hiệu x(n) = x(nTs), với Ts là chu kỳ
lấy mẫu, Ts = 1/Fs, với Fs là tần số lấy mẫu và x(nTs) được viết là x(n) hình
1.2 biểu diễn dạng tín hiệu lấy mẫu.



≤≤
=
lại còn
toán thức biểu
n
NnN
nx
0
)(
21
Ví dụ 1.1 :

Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.
Giải : như hình 1.4





≤≤−
=
lại còn
1
n0
4n0
4
n
)n(x
b. Biểu diễn đồ thò
Hệ thống tương tự
x
a
(t) y
a
(t)
Hình 1.3a
x
a
(t)
y
a
(t)

Hình 1.3c
Hệ thống so
á
x
d
(n) y
d
(n)
Hình 1.3b
x
d
(n) y
d
(n)
Hệ thống so
á
ADC DAC
Vào Ra
)n(x
n
Hình 1.4
1
-1 0 1 2 3 4 5 6
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
4
Để minh hoạ theo kiểu nhìn trực quan, ta có thể vẽ đồ thò của hàm đã giải như ví
dụ 1.1 như hình 1.4
c. Biểu diễn dãy số
Chúng ta không để ở dạng chung (một tổng hay tích) mà khai triển các giá trò

của ví dụ 1.1 như sau :
), }1n(x),n(x),1n(n{ ,)n(x
+
−
=
↑
=

0, ,
4
1
,
2
1
,
4
3
1, 0 , },{ ,)n(x
↑ : chỉ mẫu tại n = 0.
1.2.2 Một Số Dãy Cơ Bản
đây, ta biểu diễn dãy hàm tín hiệu đưới dạng rời rạc.
a. Tín hiệu xung đơn vò (unit Impulse) : hình 1.5
Xung đơn vò là chuỗi thời gian δ được xác đònh bởi



≠
=
=δ
0n0

0n1
)n(
với
với
, n ∈ T(1.1)
T có thể là trục thời gian bất kỳ, rời rạc, vô hạn. Tương ứng, xung đơn vò thuộc về
tập hợp
l
N
, l
+
, hay l
Hình 1.5
)(n
δ
… -1 0 1 …
n
)(nu
Hình 1.6
… -1 0 1 2 3 …
n
)(nx
n
Hình 1.7
… -1 0 1 2 3 4 5 …
… -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
)(nx
n
Hình 1.9
)(nrect

N
Hình 1.8
… -1 0 1 2 3 … N-1 …
n
)
8
2
sin()( nnx
π
=
n
Hình 1.10 , ω = 2π/8
1
0
8
…
…
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
5
b. Tín hiệu hàm bước đơn vò (Step Signal) : hình 1.6



<
≥
=
00
01
)(

n
n
nu
(1.2)
mối qua hệ giữa tín hiệu nhảy bậc đơn vò và tín hiệu xung đơn vò :
∑
−∞=
=
n
k
knu )()(
δ
(1.3)
và ngược lại :
)1()()( −−= nunun
δ
(1.4)
c. Tín hiệu hàm dốc đơn vò (Ramp Signal) : hình 1.7



<
≥
=
0n0
0nn
)n(u
r
với
với

(1.5)
d. Tín hiệu chữ nhật : hình 1.8



<
−≤≤
=
với
với
0n0
1Nn01
)n(rect
N
(1.6)
e. Tín hiệu hàm số mũ (Exponential Signal) : hình 1.9 là khi 0 < a < 1



<
≥
=
0 n với
0 n với
0
a
)n(x
n
(1.7)
• Suy giảm khi

1a
<
• Tăng lên khi 1>a
Có thể đònh nghóa theo tín hiệu phức
nfj
enx
)2.(
)(
πσ
+
= với 1−=j (1.8)
f. Tín hiệu hình sin : hình 1.10
Tín hiệu được gọi là tuần hoàn với chu kỳ là N nếu :
)()( Nnxnx += , ∀ n(1.9)
Tín hiệu hình sin có chu kỳ N :
)(
2
sin)(
0
nn
N
nx +=
π
(1.10)
Nếu lấy mẫu tín hiệu sin với tần số
f
π
ω
2
=

bằng tần số mẫu Fs ta thực hiện
bằng cách thay t = n.Ts = n/Fs,
s
Tnt
00
ω
ω
θ
=
=
:
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
6
) 2sin()(
θ
π
+= tftx (1.10)
)/ 2/ 2sin()(
0 ss
FnfFnftx
π
π
+
= (1.11)
Như vậy chu kỳ tuần hoàn N của x(n) là N = Fs/f.
1.2.3 Một Số Đònh Nghóa
a. Phép nhân hai tín hiệu rời rạc :
)}().({. nynxyx = (1.12)
b. Phép nhân hai tín hiệu rời rạc với hệ số :

)}(.{. nyy
α
α
= (1.13)
c. Phép cộng hai tín hiệu rời rạc :
)}()({ nynxyx +=+ (1.14)
d. Phép dòch (trễ) :
Dãy x được dòch đi sang phải n
0
mẫu, thành dãy y :
)()(
0
nnxny −= với n
0
> 0 (1.15a)
Dãy x được dòch đi sang trái n
0
mẫu, thành dãy y :
)nn(x)n(y
0
+= với n
0
> 0 (1.15b)
Như vậy một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn :
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx )()()(

δ
(1.16)
e. Tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ là N nếu thoả mãn :
)()( Nnxnx += , ∀ n. (1.17)
Tín hiệu tuần hoàn có thể được ký hiệu với chỉ số p (period) : x
p
(n). Tín hiệu chỉ
được xác đònh trong một khoảng hữu hạn N mẫu được gọi là tín hiệu có độ dài hữu hạn
N.
f. Tín hiệu Năng lượng (Energy) và tín hiệu công suất (power) :
* Năng lượng của tín hiệu được đònh nghóa bằng tổng bình phương các modul :
∑
∞
−∞=
=
n
nxW
2
)( (1.18a)
Năng lượng của tín hiệu có thể là hữu hạn hay là vô hạn. Gọi E là năng lượng
của tín hiệu, thì nếu E hữu hạn (0 < E < ∞), thì x(n) được gọi là tính hiệu năng lương.
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
7
Ví dụ 1.2 :
Xác đònh năng lượng của dãy số sau :






<
≥






=
với
với
0n3
0n
2
1
)n(x
n
n
Giải :
Từ đònh nghóa hàm năng lượng
24
35
1
8
9
3
4
)
3

1
(
4
1
1
1
3)
2
1
(
)n(xE
n
n2
n
1
n
n2n2
n
2
=−+=
+
−
=
+=
=
∑
∑∑
∑
∞
−∞=

∞
−∞=
−
−∞=
∞
−∞=
E là hữu hạn, do đó đây là tính hiệu năng lượng.
* Công suất của tín hiệu được đònh nghóa:
∑
−=
∞→
+
=
N
Nn
2
N
)n(x
1N2
1
limP (1.18b)
Gọi P là công suất tín hiệu. Nếu E hữu hạn thì p = 0. Ngược lại, nếu E vô hạn và
công suất trung bình của P có thể hữu hạn hay vô hạn. Nếu P hữu hạn và khác không
thì x(n) được gọi là tính hiệu công suất.
Ví dụ 1.3 :
Xét tín hiệu có năng lượng vô hạn. Công suất trung bình của tín hiệu là :
2
1
/
12

/11
lim
12
1
lim
)(
12
1
lim
0
2
=
+
+
=
+
+
=
+
=
∞→∞→
=
∞→
∑
N
N
N
N
nu
N

P
NN
N
n
N
Đây là tín hiệu công suất.
Bảng tóm tắt
Tín hiệu E P Loại
δ(n)10E
u(n)
∞
½P
u
r
(n)
∞∞
Không E &P
Ae
jω0n
∞
A
2
P
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
8
g. Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn
* Tín hiệu là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) , nếu và chỉ nếu
x(n + N) = x(n) (1.19)
Giá trò nhỏ nhất của N được gọi là chu kỳ.

x(n + kN) = x(n) ; k nguyên dương
* Nếu không có giá trò N thỏa (1.19), thì tín hiệu gọi là không tuần hoàn.
h. Tín hiệu đối xứng (chẵn) và tín hiệu không đối xứng (lẻ):
Tín hiệu x(n) được gọi là đối xứng khi
x(-n) = x(n) (1.20)
Ngược lại, tính hiệu x(n) được gọi là không đối xứng khi
x(-n) = -x(n) (1.21)
1.3 Lấy Mẫu Tín Hiệu
1.3.1 Lấy mẫu tín hiệu
Lấy mẫu tín hiệu là đổi một tín hiệu liên tục thời gian sang tín hiệu rời rạc thời
gian mà thường được gọi là tín hiệu số.
1.3.2 Nguyên lý lấy mẫu
Hình 1.11 trình bày nguyên lý lấy mẫu tín hiệu. Tín hiệu tương tự có thời gian
liên tục ở ngõ vào x(t) được nhân với tín hiệu lấy mẫu s(t) để tạo mẫu
)t(x
ˆ
.
)t(s)t(x)t(x
ˆ
= (1.22)
khi s(t) là các xung có biên độ 1, Bộ chuyển mạch ở hình 1.11 thực hiện phép nhân tín
hiệu (1.22). Ta cụ thể dạng tín hiệu vào và tín hiệu đã lấy mẫu như hình 1.12
x(t)
t
δ
Ts
(t)
t
x
s

(t)
t
0
-T
s
0 T
s
2T
s
3T
s
-T
s
0 T
s
2T
s
3T
s
Hình 1.12
)t(s)t(x)t(x
ˆ
=
x
(
t
)
s
(
t

)
)t(x
ˆ
x
(
t
)
s
(
t
)
Hình 1.11
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
9
Thường sự lấy mẫu xảy ra đều ở khoảng thời gia T, gọi là chu kỳ lấy mẫu T =
1/f
s
hay f
s
= 1/T gọi là tần số lấy mẫu.
1.3.3 Đònh lý lấy mẫu
Xét tín hiệu cần lấy mẫu có thời gian liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu là chuổi
xung có độ rộng xung rất nhỏ là dt, biên độ bằng 1, xảy ra đều ở chu ký T. Hai tín hiệu
x(t) và s(t) nhân với nhau cho ra tín hiệu mẫu
)t(x
ˆ
gọi là tín hiệu đã lây mẫu. Thay vì
gọi
)t(x

ˆ
là các mẫu thì ta có thể viết x(nT) với n = 0, 1, 2, …, -1, -2, …
Giả sử phổ biên độ hai bên của tín hiệu tương tự x(t), tức độ lớn của biến đổi
Fourier X(f) hình 1.13 . Do tự nhiện hay do tác động của mạch lọc thông thấp, tần số
cao nhất của tín hiệu giả sử là f
M
. Trong phổ hai bên ta xem phổ của tín hiệu tương tự
được giới hạn trong khoảng tần số (-f
M
, f
M
). Sự biến thiên cụ thể của phổ biên độ trong
khoảng tần số (0, f
M
), hoặc trong khoảng tần số (-f
M
, f
M
) nếu là phổ hai bên, tùy thuộc
vào từng tín hiệu cụ thể.
-2
f
s
-
f
s
-
f
s
/2 0

f
s
/2
f
s
2
f
s

f
)f(X
ˆ
(c)
-2f
s
-f
s
-f
M
0 f
M
f
s
-f
M
f
s
+f
M
2f

s
f
)f(X
ˆ
-f
s
/2 -f
s
/
2
(b)
-f
M
0 f
M
f
)f(X
(a)
(d)
-2
f
s
-
f
s
-
f
s
/2 0
f

s
/2
f
s
2
f
s

f
)f(X
ˆ
Hình 1.13
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
10
Hình 1.13a : Giả sử phổ của tín hiệu tương tự
Hình 1.13b : Phổ của các mẫu khi f
s
> 2f
M
Hình 1.13c : Phổ của các mẫu khi f
s
= 2f
M
Hình 1.13d : Phổ của các mẫu khi f
s
< 2f
M
Khai triển Fourier của tín hiệu lấy mẫu s(t) là :
tmf2cos

T
dt
2
T
dt
)t(s
s
1m
π
∑
∞
=
+= (1.23)
nên tín hiệu đã lấy mẫu là :
tmf2cos)t(x
T
dt
2)t(x
T
dt
)t(s)t(x)t(x
ˆ
s
1m
π
∑
∞
=
+== (1.24)
vì dt/T là hằng số nên phổ của dạng (dt/T)x(t) là phổ của x(t) (ở đây xem dt/T = 1).

Theo đònh lý dòch chuyển, phổ của tín hiệu đã lấy mẫu
)t(x
ˆ
là phổ của tín hiệu tương tự
x(t) và ta lần lược có các tần số là ± f
s
, ± 2f
s
, …Sự lấy mẫu tạo phổ rộng vô hạn nhưng
tuần hoàn ở chu kỳ f
s
. Khoảng tần số [-f
s
, f
s
] được gọi là Khoảng tần số Nyquist hay còn
gọi là khoảng Nyquist.
Trong trường hợp ở hình 1.13c là giới hạn mà ta có thể khôi phục tín hiệu tương tự
đúng.
* Đònh lý lấy mẫu :
Để các mẫu biểu thò đúng tín hiệu tương tự, tức từ các mẫu ta có thể phục hồi tín
hiệu tương tự đúng, tốc độ lấy mẫu phải lớn hơn hay ít nhất là bằng hai lần thành
phần tần số cao nhất của tín hiệu tương tự :
f
s
≥ 2f
M
Tần số giới hạn 2f
M
gọi là tốc độ Nyquist. một tần số lấy mẫu f

s
nào đó thì f
s
/2
gọi là tần số Nyquist. Ví dụ trong tiếng nói, tần số thường được giới hạn f
M
= 3,4KHz
nên tần số lấy mẫu phải ít nhất bằng 2x3,4KHz = 6,8KHz, nhưng thường chọn là 8KHz.
Hình 1.13d tần số lấy mẫu f
s
< 2f
M
(lấy mẫu dưới mức) thường xảy ra hiện tượng chồng
phổ (aliasing). Để tránh hiện tượng chồng phổ, ta phải giới hạn thêm tần số f
M
hoặc
tăng tần số lấy mẫu lên. Trong điều kiện< nếu lấy mẫu ở tần số quá cao thì mạch dễ
phức tạp và tổn hao bộ nhớ. Lưu ý, tần số lấy mẫu phải chậm hơn tốc độ xử lý của hệ
thống xử lý tín hiệu số và máy tính nhất là khi xử lý tín hiệu trong thời gian thực.
1.3.4 Lấy mẫu bởi xung Dirac
Ta sử dụng chuổi xung là hàm delta Dirac tuần hoàn ở chu kỳ T (tần số f
s
= 1/T),
mỗi xung có khổ rộng tiến về không. Biểu thức của chuổi xung là :
∑
+∞
−∞=
−=
n
)nTt()t(s

δ
(1.25)
Các mẫu
)t(x
ˆ
là các xung delta có biên độ vô hạn và cường độ bằng biên độ lúc
lấy mẫu :
∑
+∞
−∞=
−==
n
)nTt()nT(x)t(s)t(x)t(x
ˆ
δ
(1.26)
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
11
khai triển Fourier của chuổi xung ta có :
∑
+∞
−∞=
=
m
tmf2j
s
e
T
1

)t(s
π
nên các mẫu cho bởi :
∑
+∞
−∞=
==
n
tmf2j
s
e)t(x
T
1
)t(s)t(x)t(x
ˆ
π
p dụng đònh lý dòch chuyển tần số của biến đổi Fourier : nếu X(f) là biến đổi của x(t)
thì X(f – f
0
) là biến đổi của
tf2j
0
e)t(x
π
. Do đó khi lấy biến đổi Fourier hai vế phương
trình ta được :
∑
∞
−∞=
−=

m
s
)mff(X
T
1
)f(X
ˆ
(1.27)
cách khác để được kết quả này là dùng đònh lý nhân chập của biến đổi Fourier giới
thiệu ở chương sau, ta có :
∫
∞
∞−
−== 'df)'ff(S)'f(X)f(S*)f(X)f(X
ˆ
Biến đổi Fourier của chuổi xung delta là :
∑
+∞
−∞=
−=
n
s
)mff(
T
1
)f(S
δ
thế vào ta có :
∫
∑

∞
∞−
∞
−∞=
−−== 'df)mf'ff(
T
1
)'f(X)f(S*)f(X)f(X
ˆ
n
s
δ
(1.28)
∑
∫
∞
−∞=
∞
∞−
−−=
n
s
'df)mf'ff()'f(X
T
1
δ

∑
∞
−∞=

−=
m
s
)mff(X
T
1

Kết quả cho thấy, phổ của các mẫu là sự lặp lại phổ của tín hiệu tương tự ở tần
số giữa 0, ± f
s
, ± 2f
s
, … Từ đây ta thấy để phổ không lấn lên nhau, tốc độ lấy mẫu phải
thoả đònh lý lấy mẫu, tức f
s
≥ 2f
M
hình 1.13c.
1.3.5 Khôi phục tín hiệu
phần đầu, ta biết một cách tổng quát mạch không phục tín hiệu tương tự từ các
mẫu rời rạc của tín hiệu là một lọc thông thấp có tần số cắt bằng tần số Nyquist f
s
/2
nếu tần số lấy mẫu f
s
thoả đònh lý lấy mẫu (f
s
phải ít nhất bằng tốc độ Nyquist tức ít
nhất gấp đôi thành phần tần số cao nhất của tín hiệu tương tự còn lại sau khi đã qua
tiền lọc chống chồng chập). Bản thân mạch khôi phục tín hiệu tương tự là mạch tương

tự.
)t(x
0
Các mẫu tín hie
ä
u rời ra
ï
c
Tín hie
ä
u tươn
g
tư
ï
đươ
ï
c khôi
p
hu
ï
c
Mạch khôi
phục h(t)
x
(nT) hay )t(x
ˆ
Hình 1.14a
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
12

1.3.6 Nguyên lý khôi phục
Mục đích của mạch khôi phục tương tự là chuyển đổi các mẫu rời rạc
)t(x
ˆ
hoặc
x(nT) trở thành tín hiệu tương tự x
0
(t) hình 1.4. Cách dễ hình dung là nối các đỉnh của
các mẫu lại với nhau, hình bao nhận được chính là tín hiệu tương tự. Cách thực tế là
dựa vào nguyên lý mạch lấy mẫu – và – giữ (sample – and - hold) hoặc mạch tách
sóng đỉnh (peak detector) do sự nạp xả của tụ điện. Mỗi mẫu được duy trì biên độ cho
đến khi gặp mẫu kế tiếp. Việc nối gần như ngang này (do sư xả điện của tụ điện,
đường nối là hàm mũ giảm chậm) làm dạng sóng gồm các xung mẫu thành một hình
bao có dạng gần đúng với tín hiệu tương tự biểu thò bởi x(nT) tức tín hiệu tương tự sau
tiền lọc. Về mặt tần số là bỏ bớt các thành phần tần số cao nên mạch là một mạch lọc
thông thấp.
Biểu thức của tín hiệu lấy mẫu là :
∑
+∞
−∞=
−=
n
)nTt()nT(x)t(x
ˆ
δ
gọi h(t) là đáp ứng xung của mạch khôi phục thì tín hiệu tương tự được khôi phục là :
∑
∫
+∞
−∞=

+∞
∞−
−=−=
n
0
)nTt(h)nT(xdt)'tt(h)'t(x
ˆ
)t(x (1.29)
Như vậy, đáp ứng xung h(t) của mạch khôi phục là hàm nối đỉnh các mẫu liên tiếp
nhau. Về mặt tần số thì phổ của tín hiệu tương tự khôi phục cho bởi :
)f(X
ˆ
)f(H)f(X
0
=
trong đó )f(X
ˆ
là phổ các mẫu )t(x
ˆ
gồm dải phổ giữa và các dải phổ lặp như đã biết.
∑
+∞
−∞=
−=
n
s
)mff(X
T
1
)f(X

ˆ
(1.30)
1.3.7 Mạch khôi phục lý tưởng
Mạch khôi phục lý tưởng khi cho tín hiệu tương tự ra x
0
(t) giống như tín hiệu
tương tự x(t) được biểu thò bởi các mẫu
)t(x
ˆ
, hay nói cách khác phổ X
0
(f) giống như phổ
X(f). Nếu phổ X(f) được hạn chế tần số và các phổ lặp lại của
)f(X
ˆ
không lấn lên nhau
hình dưới trong khoảng Nyquist [-f
s
/2, f
s
/2 ] phổ )f(X
ˆ
sẽ giống như X(f)/T :
2
f
f)f(X
T
1
)f(X
ˆ

s
≤≤=
2
f
- với
s
0 T
)t(x
ˆ
Hình 1.14b
t
0 T
)t(x
ˆ
Hình 1.14c
t
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
13
Trong trường hợp này, đáp ứng tần số của mạch khôi phục lý tưởng là lọc thông
thấp có đáp ứng phẳng trong suốt khoảng Nyquist rồi giảm ngay xuống không bên
ngoài khoảng.





≤≤
=
ngoài bên hoảng với

2
f
2
f
- với
ss
k0
fT
)f(H
(1.31)
đáp ứng xung của mạch khôi phục lý tưởng nhận được bằng cách lấy biến đổi Fourier
nghòch của H(f) :
∫∫
−
+∞
∞−
==
2/f
2/f
ft2jft2j
s
s
dfTedfe)f(H)t(h
ππ
(1.32)
ta có kết quả
tf
tfsin
T/t

T/tsin
)t(h
s
s
π
π
π
π
== (1.33)
đáp ứng xung của mạch khôi phục lý tưởng sinx/x hình 1.16 . đáp ứng này là phi nhân
quả nên không thực tế. Mạch khôi phục cầu thang hình 1.14 là đơn giản nhất và thường
gặp nhất. Đáp ứng xung h(t) của nó là một xung vuông kéo dài từ xung lấy mẫu hẹp ở t
= 0 đến t = T lúc lấy mẫu để nối gần đúng giữa hai mẫu :



≤≤
=
ngoài bên hoảng với
0 với
k0
Tt1
)t(h
biến đổi Fourier của h(t) là :
s
f/fj
s
s
fTj
e

f/f
f/fsin
Te
T/f
T/fsin
T)f(H
π
π
π
π
π
π
−
−
== (1.34)
-2f
s
-f
s
-f
s
/
2 0 f
s
/
2 f
s
2f
s
f

)f(X
ˆ
T
Hình 1.15
H(f) Mạch khôi phục
lý tưởng
-3T -2T -T 0 T 2T 3T
t
)t(h
Hình 1.16
Mạch khôi phục cầu
thang
Mạch khôi phục lý
tưởng
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
14
đáp ứng biên độ của
)f(H hình 1.17.
Ví dụ 1.4 :
Xét tín hiệu tương tự
t100 π= cos3)t(x
a
a. Xác đònh tỉ số lấy mẫu tối thiểu để tránh để tránh trùng chập (aliasing).
b. Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại F
s
= 200 Hz. Xác đònh tín hiệu rời rạc sau khi lấy
mẫu.
c. Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại F
s

= 75 Hz. Xác đònh tín hiệu rời rạc sau khi lấy mẫu.
d. Nếu tần số tín hiệu sin là F < F
s
/2 thì miền nào phù hợp với câu c.
Giải :
a. Tần số của tín hiệu tương tự là F = 50 Hz. Tỉ số lấy mẫu tối thiểu là để tránh
trùng chập là F
s
= 100 Hz.
b. Nếu tín hiệu lấy mẫu F
s
= 200 Hz, tín hiệu rời rạc là
n
2
n
200
100

π
=
π
= cos3cos3)n(x
c. Nếu tín hiệu lấy mẫu F
s
= 75 Hz, tín hiệu rời rạc là
n
3
4
n
75

100

π
=
π
= cos3cos3)n(x
n
3
2
-2






π
π= cos3
n
3
2







π
= cos3

d. Đối với tỉ số lấy mẫu F
s
= 75 Hz, chúng ta có :
F = fF
s
= 75f
Tần số của tín hiệu sin ở phần câu c là f=1/3. Vậy
F = 25 Hz
Do đó tín hiệu sin ta được là :
Ft 2 π= cos3)t(y
a
t 50 π= cos3
Như vậy F = 50 Hz trùng chập với F = 25 Hz tại tỉ số lấy mẫu F
s
= 75 Hz.
Ví dụ 1.5 :
Xét tín hiệu tương tự
-2f
s
-f
s
-f
s
/
2 0 f
s
/
2 f
s
2f

s
f
)f(H
Hình 1.17
Mạch khôi phục lý
tưởng
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
15
t100-t30010t50
π
π
+π= coscoscos3)t(x
a
Tìm tỉ số Nyquist của tín hiệu ?
Giải :
Tần số hiện tại của tín hiệu trên là :
F = 25 Hz, F = 150 Hz, F = 50 Hz
Vậy F
max
= 150 Hz và theo đònh lý lấy mẫu, ta lấy mẫu tín hiệu là F
s
> 2Fmax = 300 Hz
Tỉ số Nyquist là F
N
= 2Fmax. Vậy F
N
= 300 Hz.
Ví dụ 1.6 :
Xét tín hiệu tương tự

t12.00010t 00t2000
π
+
π
+
π= cos60sin5cos3)t(x
a
a. Tìm tỉ số Nyquist của tín hiệu ?
b. Giả sử lấy mẫu tín hiệu F
s
= 5000 mẫu/s. Xác đònh tín hiệu rời rạc sau khi lấy
mẫu.
c. Xác đònh tín hiệu tương tự y
a
(t).
Giải :
Tần số hiện tại của tín hiệu trên là :
F
1
= 1 kHz, F
2
= 3kHz, F
3
= 6 kHz
Vậy F
max
= 6 kHz và theo đònh lý lấy mẫu, ta lấy mẫu tín hiệu là F
s
> 2Fmax = 12 kHz.
Tỉ số Nyquist là F

N
= 2Fmax. Vậy F
N
= 12 kHz.
b. Khi ta chọn F
s
= 5 kHz và do đó tần số xếp chồng (folding) F
s
/2 = 2,5 kHz.
Vậy tín hiệu sau khi lấy mẫu là :
n
5
6
cosn
5
3
2sin5n
5
1
cos3
F
n
x)nT(x)n(x
s
aa







π+






π+






π=








==
2 102
n
5
1
1cosn

5
2
12sin5n
5
1
cos3






+π+






−π+






π= 2 102
n
5
1

cosn
5
2
2sin5n
5
1
cos3






π+






−π+






π= 2 102
cuối cùng ta thu được :
n

5
2
2sin5n
5
1
cos13






π−






π= 2 x(n)
Nhận xét :
- Với tần số F
1
= 1kHz nhỏ hơn F
s
/2 thì không ảnh hưởng.
- Với tần số F
2
= 3kHz và F
3

= 6kHz lớn hơn F
s
/2, sẽ bò ảnh hưởng do chồng
chập tần số.
F
’
2
= F
2
– F
s
= - 2kHz
F
’
3
= F
3
– F
s
= 1kHz
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
16
h(n)
x
(
n
)
y(
n

)
Hình 1.19
c. Chỉ có thành phần tần số 1 kHz và 2kHz của tín hiệu lấy mẫu thì chúng ta có thể
khôi phục lại như sau :
t 40005sin-t2000
π
π
= cos13)t(y
a
Rõ ràng là có sự khác nhau với tín hiệu gốc x
a
(t). Sự méo của tín hiệu tương tự gốc là
do ảnh hưởng bò chồng chập.
1.4
Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến (LTI)
Trong hệ thống tồn tại hai dạng tuyến tính và phi tuyến nhưng để dễ phân tích,
ta thường khảo sát nó ở dạng tuyến tính.
1.4.1 Hệ Thống Tuyến Tính
Hệ thống là tuyến tính khi nó có tính chồng chất như được mô tả trong hình 1.18
nếu
)t(ya)t(ya)t(xa)t(xa
)t(y)t(x
)t(y)t(x
22112211
22
11
+→+
→
→
(1.35)

trong đó a
1
, a
2
là các hằng số, sự chồng chất cũng áp dụng cho nhiều tín hiệu hơn hai.
1.4.2 Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến
a. Đònh nghóa :
Nếu y(n) là đáp ứng với kích thích x(n),
thì hệ thống tuyến tính được gọi là bất biến khi
y(n - k) là đáp ứng của kích thích x(n - k), ở đây
k là số nguyên.
Nếu biến số là thời gian, thì ta nói hệ
thống bất biến theo thời gian như hệ thống y(n) = 2x(n) + 3x(n-1) là hệ thống
tuyến tính bất biến.
b. Tích chập : Khi hệ thống là tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ sau :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−==⇒
=−=−δ
=δ
kk
k
k
)kn(h)k(x)n(h)k(x)n(y
)n(h)kn(h)]kn([T
)n(h)]n([T
(1.23)

Như vậy h
k
(n) là đáp ứng xung của hệ
thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng xung của
hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ
không phụ thuộc vào k, tức là nếu biến là thời
Hệ thống
tuyến tính
x
(
t
)
y(
t
)
Hình 1.18
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
17
gian thì ở mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến luôn là
h(n). Đến đây ta có thể nói rằng, đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng hoàn toàn cho một hệ
thống tuyến tính bất biến hình 1.19.
và ta có quan hệ sau :
)n(h*)n(x)kn(h)k(x)n(y
k
=−=
∑
∞
−∞=
(1.36)

Quan hệ (2) được gọi là tích chập của x(n) và h(n) được ký hiệu bởi dấu *.
Chú ý :
Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được đònh nghóa
chỉ cho hệ thống này.
Ví dụ 1.7 :
Cho x(n) = rect
5
(n)
Và





≤≤−
=
lại còn n 0
4n0
4
n
1
)n(h
Hãy tính tích chập x(n)*h(n)
Giải :
Để tính tích chập này, theo công thức
)n(h*)n(x)kn(h)k(x)n(y
k
=−=
∑
∞

−∞=
,
với n, k là những giá trò nguyên. Ta lần lược xét từng giá
trò n, k
Nếu n = -1 ⇒
∑
∞
−∞=
−−=−
k
khkxy )1().()1(
Nếu n = 0 ⇒
∑
∞
−∞=
−=
k
khkxy )().()0(
Nếu n = 1 ⇒
∑
∞
−∞=
−=
k
)k1(h).k(x)1(y
…
Tập hợp tất cả các giá trò này ta có y(n).
p dụng vào ví dụ ta có:
x(k) = rect
5

(k) → ta biến đổi n thành k





≤−≤
−
−
=−
lại còn trò giácác

0
4)kn(0
4
kn
1
)kn(h
→ ta biến đổi n thành n-k
)n(x
Hình 1.20a
-1 0 1 2 3 4 5…
n
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
)n(h
n
Hình 1.20b
)(nx
n

Hình 1.20c
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
3
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
18



≤≤
=
lại còn trò giá các

0
4k01
)k(x
Vậy tổng theo k chỉ tính từ 0 đến 4 là đủ.
∑∑
=
∞
−∞=
⇒
4
0
kk
n = -1 ⇒ 00.10.10.10.10.1)1().()(
432
4
0

10
=++++=−−=
===
=
==
∑
kkk
k
kk
khkxny
n = 0 ⇒ 10.10.10.10.11.1)().()(
4
0
=++++=−=
∑
=k
khkxny
n = 1 ⇒ 75,10.10.10.11.17,0.1)1().()(
4
0
=++++=−−=
∑
=k
khkxny
n = 2 ⇒ 25,20.10.11.175,0.15,0.1)1().()(
4
0
=++++=−−=
∑
=k

khkxny
Tiếp tục tính tương tự như trên ta thu được kết quả :
y(3) = 2,5 y(4) = 2,5 y(5) = 1,5
y(6) = 0,75 y(7) = 0,25 y(8) = 0
y(9) = 0 …
Các giá trò khác y(n) đều bằng không.
Ta xem đồ thò hình 1.20
Chúng ta có thể minh hoạ tích chập bằng đồ thò, các bước tính như sau :
- Đổi biến số n thành k, x(n) → x(k), h(n) → h(k), cố đònh x(k) lại. Quay h(k)
đối xứng qua trục tung, để thu được h(-k), tức ta có h(0-k), ứng với n = 0.
- Dòch chuyển h(-k) theo từng giá trò n, nếu n dương thì dòch chuyển về phía
phải, nếu âm thì dòch về phía trái ta sẽ thu được h(n-k).
- Thực hiện phép nhân x(k).h(n-k) theo từng mẫu đối với tất cả các giá trò k.
- Cộng các giá trò thu được, chúng ta sẽ có một giá trò y(n), tổng hợp các kết
quả ta sẽ có dãy y(n) hình 1.21
)k(x
Hình 1.21a
-1 0 1 2 3 4 5…
k
1
-1 0 1 2 3 4 5
)k(h
k
Hình 1.21b
-4 -3 -2 -1 0 1
)k0(h −
k
Hình 1.21c
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số

19
Chúng ta có thể tính tích chập trực tiếp từ biểu thức giải tích của x(n) và h(n) :



≤≤
==
lại còn trò giácác

0
4k01
)k(rect)k(x
5





≤−≤
−
−
=−
lại còn trò giácác

0
4kn0
4
kn
1
)kn(h

ta thấy rằng x(k) =1 trong khoảng 0 ≤ k ≤ 4. Vì vậy tổng theo k,
∑
k
luôn lấy từ 0 đến 4

∑
=
−
4
0
)()(
k
knhkx
Còn đối với h(n-k) chỉ xác đònh trong khoảng 0 ≤ n- k ≤ 4, còn ngoài khoảng này,
h(n-k ) = 0, vậy nếu n chạy trong khoảng từ 0 đến 4 : 0 ≤ k ≤ 4, thì k chỉ lấy giá trò lớn
nhất là n. Vì nếu k > 0 thì (n-k) < 0 mà (n-k) < 0 thì h(n-k ) = 0, như vậy tổng 0 đến 4
theo k :
∑
=
−=
4
0
)()()(
k
knhkxny với 0 ≤ n ≤ 4
sẽ thay bằng tổng từ 0 đến n theo k ta có :
∑
=
−=
n

k
knhkxny
0
)()()( với 0 ≤ n ≤ 4
còn nếu n chạy trong khoảng từ 5 đến 7 ( 5 ≤ n ≤ 7), thì k lấy giá trò nhỏ nhất là (n-4),
vì nếu k < (n-4), tức k ≤ (n-5) thì (n-k ) > 4, mà (n-k ) > 4 thì h(n-k) không xác đònh.
Vậy tổng từ 4 theo k ta có :
-4 -3 -2 -1 0 1 2
)k1(h −
k
Hình 1.21d
-4 -3 -2 -1 0 1 2
)k2(h
−
k
Hình 1.21e
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)k7(h
−
k
Hình 1.21f
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)k8(h −
k
Hình 1.21g
-4 -3 -2 -1 0 1
)k1(h −
−
k
Hình 1.21h

Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
20
∑
−=
−=
n
nk
knhkxny
4
)()()( với 5 ≤ n ≤ 7
sẽ được thay bằng tổng từ (n-4) đến 4 theo k
∑
−=
−=
4
4
)()()(
nk
knhkxny với 5 ≤ n ≤ 7
còn nếu n nằm ngoài khoảng từ 0 đến 7 :
n < 0 và n > 7 thì y(n) = 0
vậy thay vào ta có :
với 0 ≤ n ≤ 4 ⇒
∑
=







−
−=
4
0
4
1.1)(
k
kn
ny
⇒
{ { {
∑∑∑
+
+
+
===
+−=
n
k
n
k
n
k
n
n
n
nn
kn

ny
2
1
4
1
)1(
4
1
000
44
1)(
⇒ )
8
8
)(1()(
n
nny
−
+=
với 0 ≤ n ≤ 4 ⇒ )
8
3
)(4()
2
3(
2
5
)(
n
n

n
ny
−
−−−=









≤≤
−
−−−
≤≤
−
+
=
lại còn trò giácác
với
với
0
7n5)
8
n3
)(4n()
2
n

3(
2
5
4n0)
8
n8
)(1n(
)n(x
thay các giá trò của n vào ta sẽ có y(n) như hình 1.21
Ngoài ra nếu các dãy có chiều dài quá lớn và hình dạng quá phức tạp thì thường
ta cần sự hỗ trợ của máy tính qua các phần mềm chuyên dụng hay các phần mềm khác.
c. Các tính chất của tích chập :
* Tích chập có tính chất giao hoán.
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n)

∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
kk
knxkhknhkx )()()()( (1.37)
h(n)
x
(
n
)
y(
n

)
Hình 1.22a
He
ä
thốn
g
tu
y
ến tính bất biến
x(n)
h
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.22b
He
ä
thốn
g
tu
y
ến tính bất biến
≡
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
21
nhờ quan hệ (1.25) mà ta thấy rằng hệ thống tuyến tính bất biến có kích thích x(n) và

đáp ứng h(n) sẽ tương đương với hệ thống có kích thích h(n) và đáp ứng x(n) được minh
hoạ trên hình 1.22
Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh tính giao hoán này như sau :
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny )()()(
thay biến (n-k) = l ⇒ k= (n-l) với k : - ∞ → : + ∞
với k : + ∞ → : - ∞
∑∑
∞
−∞=
−∞
+∞=
−=−=⇒
ll
)ln(x)l(h)l(h)ln(x)n(y
y(n) = h(n)*x(n)
Chú ý :
Tích thường cũng có tính chất giao hoán, vì vậy chúng ta có thể viết :
∑∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=

∞
−∞=
−=−==
−=−==
lk
lk
)k(h)kn(x)kn(x)k(h)n(x*)n(h
)k(x)kn(h)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y
* Tích chập có tính chất kết hợp.
y(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)] = [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n) (4) (1.38)
Quan hệ (1.26) cho ta thấy rằng việc nối tiếp hai hệ thống tuyến tính bất biến có
đáp ứng xung h
1
(n) và h
2
(n) sẽ tương đương với một hệ thống bất biến có đáp ứng xung
là tích chập của h
1
(n) và h
2
(n) là h
1

(n) * h
2
(n) và ta có :
y(n) = x(n)*h
1
(n)
y(n) = y
1
(n)*h
2
(n) = [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]
⇒ h(n) = h
1
(n)* h
2
(n) = h
2
(n)* h
1
(n) , xem hình 1.23
Chứng minh tính kết hợp
)(*)](*)([

)(]))[(()([[
])()()[(
)](*)()[(
)](*)()[()](*)([*)(
21
)(*)(
21
12
12
2121
1
nhnhnx
lhklnlhkx
lknhlhkx
knhknhkx
knhknhkxnhnhnx
l
lnhlnn
k
kl
k
k
=
−−=
−−=
−−=
−−=
∑∑
∑∑
∑

∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
4444434444421
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
22
* Tích chập có tính phân phối
y(n) = x(n)*[h
1
(n) + h
2
(n)] = [x(n)*h
1
(n)] + [x(n)*h
2
(n)] (1.39)
Quan hệ cho thấy rằng nối song song hai hệ thống bất biến có đáp ứng xung
h

1
(n) và h
2
(n) sẽ tương đương với một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là
tổng của h h
1
(n) và h
2
(n), xem Hình 1.24
Chứng minh tính kết hợp :
)](*)([)](*)([
)()()()(
)]()()[()]()([*)(
21
21
2121
nhnxnhnx
knhkxknhkx
knhknhkxnhnhnx
kk
k
+=
−+−=
−+−=+
∑∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=

∞
−∞=
Ví dụ1.8 :
Cho ba hệ thống bất biến h
1
(n), h
2
(n) và h
3
(n) được ghép nối theo sớ đồ hình 1.25
Với





<>
≤≤−
=
0n&2n0
2n0,
2
n
1
)n(h
1
,

)n(rect)n(h
)6n(u)2n(u)1n(

2
1
)n(h
113
2
=
−−−+−δ=
h
1
(n)
x
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.24a
h
2
(n) + h
1
(n)
x
(
n
)
y(
n
)

Hình 1.24b
≡
h
2
(n)
h
1
(
n
)
x
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.23a
≡
h
2
(
n
)
y
1
(
n
)
h

2
(
n
)
x
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.23b
h
1
(
n
)
y
1
(
n
)
h
1
(n)* h
2
(n)
x
(
n

)
y(
n
)
Hình 1.23c
h
2
(n)* h
1
(n)
x
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.23d
≡
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
23
Hãy tính h(n) của hệ thống
tổng quát.
Giải :
Để giải bài toán này, ta có thể
giải bằng phương pháp đồ thò theo
hình 1.26
từ biểu thức :
h(n) = [h

1
(n) + h
2
(n)] * h
3
(n).
theo từng hình của h
1
(n), h
2
(n), h
3
(n) và ta được kết quả cho h(n).
Ngoài cách giải bằng đồ thò, chúng ta có thể tính h(n) bằng biểu thức giải tích :
h(n) = rect
6
(n)*rect
11
(n)
kháctrò giá ác
với
với
với
c0)n(h
15n11n161)n(h
10n561)n(h
5n01n1)n(h
n
0n
n

0n
n
0n
=
≤≤−==
≤≤==
≤≤+==
∑
∑
∑
=
=
=
1.4.3 Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả
Các hệ thống có tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào trong quá khứ và hiện
tại được gọi là hệ thống nhân quả. Như vậy, nếu ta có x(n) = 0 với k < k
0
thì y(n) = 0
h
1
(n)
x
(
n
)
y(
n
)
Hình 1.25
h

2
(n)
h
1
(n)
)n(h
1
Hình 1.26a
-1 0 1 2 3 4
n
1
)n(rect)n(h)n(h
621
=
+
Hình 1.26c
-1 0 1 2 3 4 5
n
1
)n(rect)n(h
113
=
Hình 1.26d
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
1
)n(h
Hình 1.26e
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15 16
n

1
Hình 1.26b
)n(h
2
-1 0 1 2 3 4 5
n
1
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
24
cũng phải thoả k < k
0
. Như vậy, ta có thể hiểu nếu có tác động (là nguyên nhân) thì có
đáp ứng ra (là kết quả).
Đònh lý :
Hệ tuyến tính Bất biến là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi
n < 0.
Chúng ta xét hai tác động x
1
(n) và x
2
(n) hoàn toàn giống nhau với n < n
0
và khác
nhau với n ≥ n
0
. Ta có :
∑
−∞=
−=

n
k
11
)kn(h).k(x)n(y và
∑
−∞=
−=
n
k
22
)kn(h).k(x)n(y (1.40)
Nếu hệ nhân quả, ta phải có y
1
(n) = y
2
(n) với n < n
0
. Ta có thể phân chia tổng
chập thành hai phần như nhau.
∑∑
∞
=
−
−∞=
−=+−=
0
0
)().()()().()(
11
1

11
nk
n
k
knhkxnyknhkxny (1.41)
∑∑
∞
=
−
−∞=
−=+−=
0
0
)().()()().()(
22
1
22
nk
n
k
knhkxnyknhkxny (1.42)
đối với n < n
0
, ta đồng nhất đáp ứng y
1
(n) và y
2
(n). Ta có :
∑∑
∞

=
∞
=
−=−
00
)().()().(
21
nknk
knhkxknhkx (1.43)
∑
∞
=
=−+
0
0)()].()([
21
nk
knhkxkx với n < n
0
(1.44)
theo giả thiết x
1
(k) - x
2
(k) ≠ 0 với n ≥ n
0
. Ví vậy để thoả mãn biểu thức này ta cần phải
có:
h(n - k) = 0 với n < n
0

và k ≥ n
0
(1.45)
cuối cùng đặt m = n – k ta có :
h(m) = 0 với m < 0,
ta có thể chứng minh điều ngược lại, nghóa là nếu đáp ứng xung h(n) của hệ TTBB
bằng 0 với n < 0, khi đó hệ sẽ nhân quả.
Đối với hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả, ta có thể thể xem dạng chung
của công thức tổng chập sẽ thay đổi gọn lại :
∑
−∞=
−=
n
k
)kn(h).k(x)n(y (1.46)
hoặc viết cách khác
∑
=
−=
n
0k
)k(h).kn(x)n(y (1.47)
Chương 1 - Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
Xử Lý Tín Hiệu Số
25
nếu đáp ứng xung h(n) có độ dài hữu hạn N thì :
∑
−
=
−=

1N
0k
)k(h).kn(x)n(y (1.48)
Chúng ta có thể mở rộng đònh nghóa tính chất nhân quả cho tín hiệu : Tín hiệu
nhân quả là tín hiệu bắt đầu khác 0 từ thời điểm 0.
x(n) = 0 khi n < 0 hoặc x(n) ≠ 0 khi n ≥ 0(1.49)
1.4.4 Hệ Thống Tuyến Tính n Đònh
Là một điều kiện ràng buộc quan trọng khác cần xét đến trong thực tế cần xét
đến đối với hệ xử lý. Theo đònh nghóa một hệ được gọi là ổn đònh hay là hệ BIBO
(Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ luôn bò chặn đối với tác động vào
bò chặn. Thuật ngữ bò chặn có thể hiểu là “có giá trò hữu hạn”.
Đònh lý :
Một hệ thống tuyến tính bất biến được xem là ổn đònh nếu và chỉ nếu đáp ứng
xung thoả mãn điều kiện sau :
∞<=
∑
∞
−∞=
n
nhS )( (1.50)
Chứng minh :
Nếu tác động x(n) bò chặn là x(n) , A với mọi n và A là một số nguyên dương
hữu hạn. Khi đó :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
≤−=
kk

)k(hA)k(h).kn(x)n(y (1.51)
Do vậy nếu điều kiện (*) thoả mãn thì hệ sẽ ổn đònh, tức là y(n) cũng bò chặn.
Để chứng minh điều kiện cần, nếu ta tác động vào như sau (thoả mãn điều kiện bò
chặn)



<−−
≤−+
=
0)(1
0)(1
)(
nh
nh
nx
(1.52)
Tín hiệu ra tại thời điểm 0 là :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−=
kk
khkhkxy )()().()0( (1.53)
Do vậy tín hiệu ra sẽ không bò chặn nếu không thoả mãn điều kiện (1.50).
Ví dụ1.9 :
Cho hệ có đáp ứng xung có dạng h(n) = a
n

u(n).
Giải :