Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 1) ppt

Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
88
Chương III
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 Mở Đầu
Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để
chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền
tần số liên tục ω. Chúng ta xem xét sự liên hệ biểu diễn ở hình 3.1.
3.2 Biến Đổi Fourier Của Tín Hiệu Rời Rạc
3.2.1 Đònh Nghóa Biến Đổi Fourier
a. Đònh Nghóa
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n)
∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
enxeX
ωω
)()( (3.1)
Công thức trên cho thấy, ta biến đổi tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n
sang tín hiệu X(e
jω
) trong miền tần số ω (tần số f = (ω/2π)).
Ta ký hiệu sử dụng tóan tử sau :
FT[x(n)] = X(e
jω

)
)()(
ω
j
FT
eXnx →
b. Phương Pháp Thể Hiện X(e
jω
)
• Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo.
Bởi vì X(e
jω
)
)(Im)](Re[)(
ωωω
jjj
eXjeXeX += (3.2)
Miền n
Miền Z
Miền ω
Hình 3.1
ZT
IZT
FT
IFT
Quan hệ giữa
Z
T và FT
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số

89
)](Re[
ω
j
eX : Phần thực của X(e
jω
)
)](Im[
ω
j
eX : Phần ảo của X(e
jω
)
• Thể hiện dưới dạng Modun và argument
)](arg[
)()(
ω
ωω
j
exjjj
eeXeX = (3.3)
| | : là modun
arg : gọi là argument.
)(
ω
j
eX : gọi là phổ biên độ của x(n).
)(arg
ω
j

eX : gọi là phổ pha của x(n).
Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha, phần thực và phần ảo của X(e
jω
).
)]([Im)]([Re)(
22
ωωω
jjj
eXeXeX += (3.4)
)](Re[
)](Im[
)](arg[
ω
ω
ω
j
j
j
eX
eX
arctgeX
= (3.5)
)](arg[)(
ω
ωϕ
j
eX≡ (3.6)
Vậy ta có :
)](
)()(

ωϕωω
jjj
eeXeX = (3.7)
• thể hiện dưới dạng độ lớn và pha
Giả sử ta thể hiện
)(
ω
j
eX ở dạng sau đây :
)(jjj
e)e(A)e(X
ωϕωω
=
(3.8)
)()(
ωω
jj
eXeA = (3.9)



<π+
±±=≥π
=
ω
ω
ω

,
0)e(A,)1k2(

2,1,0k;0)e(Ak2
)]e(Aarg[
j
j
j
(3.10)
3.2.2. Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Fourier
Chuỗi trong phương trình (3.1) là hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoã mãn điều kiện sau :
∑
∞
−∞=
∞<
n
nx )( (3.11)
Nếu điều kiện thoả mãn thì chuổi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của ω.
Nhận xét :
Về mặt toán học, chúng ta có quan hệ sau đây luôn đúng.
2
2
)()(
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=







≤=
nn
x
nxnxE (3.12)
nếu
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
90
∑
∞
−∞=
∞<
n
nx )(
thì
∞<






∑
∞
−∞=
2
)(
n
nx

và ta cũng có :
∑
∞
−∞=
∞<=
n
x
nxE
2
)( (3.13)
Nếu tín hiệu x(n) thoả mãn điều kiện (3.11) thì x(n) là tín hiệu năng lượng. Biến đổi
Fourier của tín hiệu năng lượng hữu hạn là luôn luôn tồn tại.
Ví dụ 3.1:
Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng E
x
của dãy x(n) sau :
a. x
1
(n) = u(n)
b. x
2
(n) = r(n)
c. x
3
(n) = δ(n)
d. x
4
(n) = rect
N
(n)

Giải :
a.
∑∑∑
∞
=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞===
0
1
1)()(
nnn
nunx
∑
∞
=
∞==
0
2
1
1
n
x
E
Vậy X
1
(e
jω

) là không tồn tại.
b.
∑∑∑
∞
=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞===
0
2
)()(
nnn
nnrnx
∑∑
∞
−∞=
∞
=
∞===
nn
x
nnrE
0
22
2
)(
vậy X
2

(e
jω
) là không tồn tại.
c.
∞<==
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
1)()(
3
nn
nnx
δ
∑
∞
−∞=
==
n
x
nE 1)(
2
3
δ
vậy X
3
(e
jω
) là tồn tại.

d.
∑∑∑
−
=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞<===
1
0
4
1)()(
N
nn
N
n
Nnrectnx
∑
∞
−∞=
==
n
Nx
NnrectE
2
4
)(
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số

91
Vậy X
4
(e
jω
) là tồn tại.
3.2.3 Biến Đổi Fourier Ngược (IFT)
Chúng ta biết rằng X(e
jω
) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là
2π và X(e
jω
) tồn tại nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn. Vậy chúng ta có thể khai triển
hàm X(e
jω
) thành chuổi Fourier trong khoảng (-π, π) vì thế, chúng ta có thể xem những
hệ số sau khi khai triển là x(n), có nghóa chúng ta có thể tìm thấy x(n) từ X(e
jω
).
Từ công thức (3.11) ta có :
∑
∞
−∞=
−
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(

nhân hai vế phương trình với e
jωl
, lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta có :
ωω
ω
π
π
ωω
π
π
ω
deenxdeeX
lj
n
njljj
∫
∑
∫
−
∞
−∞=
−
−






= )()(

ta biết rằng :
∫
−
−



≠
=
=
π
π
ω
π
ω
nj,0
nl,2
de
)nl(j
nếu
nếu
(3.14)
vậy :
∫
∑
−
−
∞
−∞=




≠
=
=
π
π
ω
π
ω
nj0
nl)l(x2
de)n(x
)nl(j
n
nếu ,
nếu ,
cuối cùng ta có :
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deeXlx
ljj
)(
2

1
)(
(3.15)
Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây :
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deeXnx
njj
)(
2
1
)(
(3.16)
nj
n
j
enxeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
Ta có thể dùng toán tử sau đây để biểu diễn biến đổi Fourier ngược :

IFT[X(e
jω
)]=x(n) (3.17)
Hoặc :
)()( nxeX
IFT
j
→
ω
(3.18)
và để biểu diễn cặp biến đổi Fourier ta có :
FT[x(n)]= X(e
jω
)
)()]([ nxeXIFT
j
=
ω
(3.19)
Ví dụ 3.2 :
Cho



≤
=
−
lại còn
ω
ωω

ω
ω
0
e
)e(X
c
nj
j
0
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
92
với n
0
: số nguyên
Hãy tìm x(n), hãy vẽ X(e
jω
) và x(n) với ω
c
= π/2, n
0
= 4
Giải :
Từ biểu thức (3.15) ta có :
)]([sin
)(
)](sin[
)(
1
2

1
2
1
)(
2
1
)(
0
0
0
)(
0
)(
0
0
nnc
nn
nn
e
nnj
dedeeXnx
c
c
c
cc
c
c
nnj
nnj
njj

−=
−
−
=
−
−
=
==
−
−
−
−
∫∫
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
π

ω
π
π
ωω
với ω
c
= π/2, n
0
= 4 ta có :



≤
=
−
lại còn
ω
ωω
ω
ω
0
e
)e(X
c
nj
j
0
-2π -π -π
/
2 0 π

/
2 π 2π
|X(e
j
ω
)|
ω
Hình 3.2a
-5π/2 -2π -3π/2 -π -π
/
2 0 π
/
2 π 3π
/
2 2π 5π/2
arg[X(e
j
ω
)]=ϕ(ω)
ω
10π
Hình 3.2b
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
93
)4(
2
)4(
2
sin

2
1
)(
−
−
=
n
n
nx
π
π
x(n) và X(e
jω
) được vẽ trên hình 3.2.3.1



≤
=
lại còn
ω
πω
ω
0
2/1
)e(X
j
3.3 Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier
3.3.1. Tính Chất Tuyến Tính
Giả sử có hai tín hiệu x

1
(n) và x
2
(n) và biến đổi Fourier của chúng là :
FT[x
1
(n)]= X
1
(e
jω
)
FT[x
2
(n)]= X
2
(e
jω
)
Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x
1
(n) và x
2
(n) như sau :
x(n) = a
1
x
1
(n) + a
2
x

2
(n) (3.20)
ở đây a và b là hai hằng số.
nj
22
n
11
j
e)]n(xa)n(xa[)e(X)]n(x[FT
ω−
∞
−∞=
ω
+==
∑
3.3.2 Tính Chất Trễ
Giả sử y(n) là phiên bản trễ của x(n) là :
y(n) = x(n – n
0
)(3.21)
n
0
: số nguyên.
Ta có
nj
n
nj
n
j
ennxenynyFTeY

ωωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑
−=== )()()]([)(
0
Đổi biến số : l = n – n
0
, ta có :
)()()(
00
ω
ωω
ωω
j
njnj
lj
n
j
eXeeelxeY
−−
−
∞
−∞=
==
∑

(3.22)
)n(x
Hình 3.2
1
n
1/2π
-1/3π
1/π
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
94
Biểu thức (3.21) và (3.22) thể hiện tính chất trễ của biến đổi Fourier. Nếu ta biểu diễn
)(
ω
j
eY ở dạng modul và argument, ta có :
)()(
ωω
jj
eXeY = (3.23)
)](arg[)](arg[
0
ωω
ω
jj
eXneY +−=
Từ biểu thức (3.23), ta thấy rằng tín hiệu x(n) trễ đi n
0
mẫu trong miền số độc lập n, thì
trong miền tần số phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó sẽ

tăng thêm một lượng -ωn
0
.
Ví dụ 3.3:
Cho x(n) = rect
N
(n – n
0
)
- Hãy tìm X(e
jω
)
- Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x(n).
Giải :
áp dụng tính chất trễ ta có :
)]([)]([)()]([
0
0
nrectFTennrectFTeXnxFT
N
nj
N
j
ω
ω
−
=−==
lần lượt tính ta có :
2
sin

2
sin
2
sin
2
sin
)(
)
2
1
(
2
)1(
0
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
N
e
N
eeeX
N
njNj
nj

j
−
+−−−
−
==
Vậy phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau :
2
sin
2
sin
)(
ω
ω
ω
N
eX
j
=
[]













+
−
+−=
2
sin
2
sin
arg)
2
1
()(arg
0
ω
ω
ω
ω
N
N
neX
j
3.3.3 Tính Chất Đối Xứng
Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu x(n) là tín hiệu phức, ta có thể viết :
x(n) = Re[x(n)] + jIm[x(n)] (3.24)
Vậy dãy liên hợp của x(n) là x
*
(n) có dạng
x
*
(n) = Re[x(n)] - jIm[x(n)] (3.25)

Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x
*
(n)] và FT[x(n)] :
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
95
∑
∞
−∞=
−
==
n
njj
enxeXnxFT
ωω
)()()]([
*
*
***
)()()]([

















==
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
n
nj
n
nj
enxenxnxFT
ωω

{}
)()()(
*
*
*
*
ωωω
jj
n

nj
eXeXenx
−−
∞
−∞=
==






=
∑
Vậy
)()]([
**
ω
j
eXnxFT
−
= (3.26)
Nếu x(n) là thực thì :
)()(
*
nxnx ≡ và )]([)]([
*
nxFTnxFT =
Vậy đối với tín hiệu x(n) thực, ta có quan hệ sau đây :
)()(

*
ωω
jj
eXeX =
−
(3.27)
hay
)()(
*
ωω
jj
eXeX
−
= (3.28)
Từ quan hệ (3.27) hay (3.28) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối
xứng Hermit (Hermitian Symmetry).
Từ đây ta thấy rằng, đối với x(n) thực ta có :
)](Re[)](Re[
ωω
jj
eXeX
−
= (3.29)
)](Im[)](Im[
ωω
jj
eXeX
−
−= (3.30)
Tức là

)](Re[
ω
j
eX : là hàm chẵn của ω
)](Im[
ω
j
eX : là hàm lẻ của ω
Tương tự đối với modun và argument ta cũng có :
)()(
ωω
jj
eXeX
−
= (3.31)
)](arg[)](arg[
ωω
jj
eXeX
−
−= (3.32)
Vậy ta nói rằng
)(
ω
j
eX là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn )](arg[
ω
j
eX là phản đối
xứng (hoặc đối xứng lẻ).

Ví dụ 3.4:
Cho
)(
4
3
)( nunx
n






=
Hãy tính )](arg[,)()],(Im[)],(Re[),(
ωωωωω
jjjjj
eXeXeXeXeX .
Giải :
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
96
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞

−∞=
−






=






===
00
4
3
4
3
)()()]([
n
n
j
n
nj
n
n
njj

eeenxeXnxFT
ωωωω

n
jj
j
j
j
ee
e
e






+−
−−
=






−







−
−
=
−
=
−
−
4
3
cos
2
3
1
sin
4
3
cos
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4

3
1
4
3
1
1
ω
ωω
ωω
ω
ω
Vậy ta có
2
4
3
cos
2
3
1
cos
4
3
1
)](Re[







+−
−
=
ω
ω
ω
j
eX
2
4
3
cos
2
3
1
sin
4
3
)](Im[






+−
=
ω
ω
ω

j
eX
áp dụng quan hệ (3.4) và (3.5) ta có :
2
4
3
cos
2
3
1
1
)(






+−
=
ω
ω
j
eX
ω
ω
ω
cos
4
3

1
sin
4
3
arg)](arg[
−
−=
j
eX
3.3.4 Tính Chất Biến Số n Đảo
Giả sử có tín hiệu x(n) và biến đổi Fourier của nó là :
[
]
)(arg
)()()]([
ω
ωω
j
eXjjj
eeXeXnxFT ==
Bây giờ ta tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n) :
∑
∞
−∞=
−
−=
n
nj
enxnxFT
ω

)()]([
đổi biến số l = - n, ta có :
∑
∞
−∞=
−−
==−
l
ljj
elxeXnxFT
ωω
)()()]([
vậy
)()]([
ω
j
eXnxFT
−
=−
Nếu x(-n) là thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có :
[
] []
)(arg)(arg
)()()()]([
ωω
ωωω
jj
eXjjeXjjj
eeXeeXeXnxFT
−−−−

===−
−
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
97
Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bò đảo biến số n
ngược lại quanh gốc toạ độ thì phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha
của nó bò đổi dấu.
3.3.5 Tích Chập Của Hai Tín Hiệu
Giả xử ta có hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n)
)()]([
11
ω
j
eXnxFT = ; )()]([
22
ω
j
eXnxFT =
Ta có dãy x
3
(n) như sau :
x
3
(n) = x
1

(n) *ø x
2
(n)
bây giờ ta tìm biến đổi Fourier của x
3
(n) theo hàm của )(
1
ω
j
eX và )(
2
ω
j
eX
)()](*)([)]([
3223
ω
j
eXnxnxFTnxFT ==
nj
nkn
nj
k
eknxkxeknxkx
ωω
−
∞
−∞=
∞
−∞=

∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑∑∑
−=






−= )()()()(
2121
áp dụng tính chất trễ (3.3.2.2) ta có :
kj
k
jjkj
k
j
ekxeXeXekxeX
ωωωωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑

== )()()(.)()(
12213
vậy :
)().()(
213
ωωω
jjj
eXeXeX =
3.3.6 Tích Của Hai Dãy
Nếu ta có :
)()]([
11
ω
j
eXnxFT =
)()]([
22
ω
j
eXnxFT =
thì
(
)
'
2
(
11321
)(.
2
1

)())]([)]().([
''
ω
π
ω
π
π
ωωω
deXeXeXnxFTnxnxFT
jjj
∫
−
−
=≡≡
Chứng minh :
()
njjj
n
nj
n
j
edeeXnxenxnxeX
ωω
π
π
ωωω
ω
π
−
−

∞
−∞=
−
∞
−∞=






==
∫
∑∑

2
1
)()().()(
'
21213
''
(
)
'
2
)(
1
''
)(
2

1
ω
π
π
π
ωωω
deXenx
jj
n
∫
∑
−
−−
∞
−∞=
=
Vậy ta có :
()
(
)
'
2
)(
13
''
)(
2
1
ω
π

π
π
ωωωω
deXeXeX
jjj
∫
−
−−
=
(3.33)
)(*)(
21
ωω
jj
eXeX=
)e(X*)e(X
j
1
j
2
ωω
= (3.34)
Quan hệ (3.33) và (3.34) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
98
3.3.7 Vi Phân Trong Miền Tần Số
Nếu
)()]([
ω

j
eXnxFT =
Thì
ω
ω
d
edX
jnnxFT
j
)(
)]([ =
(3.35)
Chứng minh :
nj
n
j
enxeX
ωω
−
∞
−∞=
∑
= )()(
nj
n
nj
n
nj
n
j

ennxje
d
d
nxenx
d
d
d
edX
ωωω
ω
ωωω
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∑∑∑
−==






= )()()(
)(

Vậy ta có :
)]([)(
)(
nnxFTennx
d
edX
j
nj
n
j
==
−
∞
−∞=
∑
ω
ω
ω
3.3.8 Trễ Tần Số
Nếu ta có :
)()]([
ω
j
eXnxFT =
thì :
)e(X)]n(xe[FT
)(jnj
00
ω−ωω
= (3.36)

Chứng minh :
Theo đònh nghóa của biến đổi Fourier ta có :
)()()()]([
)()(
0000
ωωωω
ω
ωω
−−−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
===
∑∑
jnj
n
nj
nj
n
nj
eXenxeenxnxeFT
Nhận xét :
Việc nhân dãy x(n) với
nj
e
0
ω
trong miền biến số n sẽ tương đương với việc dòch

chuyển tần số của phổ
)(
ω
j
eX đi một lượng ω
0
. Phổ )(
ω
j
eX được minh hoạ trong hình
3.3 dòch đi một lượng
3
2
π
.
-2π -π 0 π
/
3 2π
/
3 π 2π
ω
X(e
j
ω
)
Hình 3.3a
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
99
3.3.9 Quan Hệ Parseval

Nếu ta có
)()]([
11
ω
j
eXnxFT =
)()]([
22
ω
j
eXnxFT =
thì
()()
ω
π
π
π
ωω
deXeXnxnx
n
jj
n
∫
∑∑
−
∞
−∞=
∞
−∞=
=

*
21
*
21
2
1
)()(
(3.37)
Quan hệ (3.37) gọi là quan hệ Parseval
Chứng minh :
() ()
ω
π
ω
π
π
π
ωω
π
π
ωω
deeXnxdeeXnxnxnx
njj
n
njj
nn
∫
∑
∫
∑∑

−
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
==
*
2121
*
21
2
1
)(
2
1
)()()(
() ()()
ω
π
ω
π
π
π
ωω
π
π

ωω
deXeXdenxeX
jj
n
njj
∫∫
∑
−−
∞
−∞=
−
=






=
1
*
21
*
2
2
1
)(
2
1
trong trường hợp x

1
(n) = x
2
(n) = x(n) quan hệ Parseval cho ta :
()
ω
π
π
π
ω
deXnx
j
n
∫
∑
−
∞
−∞=
=
2
2
2
1
)(
(3.38)
2
)(
ω
j
eX gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lượng

theo hàm của tần số. Ta ký hiệu nó là S
XX
(e
jω
)
2
)()(
ωω
jj
XX
eXeS = (3.39)
Ta biết rằng năng lượng của tín hiệu x(n) là E
x
:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
-2π -π 0 π
/
3 2π
/
3 π 2π
ω
X(e

j
ω
)
Hình 3.3b
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
100
Như vậy quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng tìn hiệu và phổ mật độ
năng lượng của tín hiệu đó.
Trong trường hợp x(n) là thực thì
)(
ω
j
eX là đối xứng :
)()(
ωω
jj
eXeX
−
=
Vậy ta có thể nói rằng, nếu x(n) là thực thì S
XX
(ω) cũng là đối xứng :
)()(
ωω
j
XX
j
XX
eSeS

−
= (3.40)
3.3.10 Đònh Lý Tương Quan Và Đònh Lý Wiener Khintchine
Nếu ta có :
)()]([
11
ω
j
eXnxFT =
)()]([
22
ω
j
eXnxFT =
thì
[
]
(
)
(
)
ωωω
jjj
xxxx
eXeXeRnrFT
−
==
21
)()(
2121

(3.41)
Chứng minh :
[]
nj
nm
nj
n
xxxx
enmxmxenrnrFT
ωω
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−==
∑∑∑
)]()([)()(
21
2121
nj
mn
enmxmx
ω
−
∞
−∞=

∞
−∞=
∑∑
−= )()(
21
đổi biến m – n = l
mj
m
jlmj
mn
eeXmxelxmx
ωωω
−
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
∞
−∞=
∑∑∑
== )()()()(
21
)(
21
)()()()(
2112
ωωωω
jjjj
eXeXeXeX

−−
==
Nhận xét :
Nếu x
2
(n) là thực ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
ωωωωω
jjjjj
xx
eXeXeXeXeR
−−
==
*
2121
)(
21
(3.42)
Nếu x
1
(n) = x
2
(n) = x(n) ta có hàm tự tương quan

(
)
(
)
ωωω
jjj
xx
eXeXeR
−
=)(
Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực, ta có :
()
(
)
(
)
)()(
2
*
ωωωωω
j
xx
jjjj
xx
eSeXeXeXeR ===
−
Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu.
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số

101
(
)
2
)()(
ωωω
jj
xx
j
xx
eXeSeR == (3.43)
Quan hệ (3.43) ở trên gọi là đònh lý Weiner-Khintchine.
Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo, ta còn gọi là
)e(R
j
xx
21
ω
là phổ mật
độ năng lượng chéo của x
1
(n) và x
2
(n) và ký hiệu là )(
21
ω
j
xx
eS .
(

)
(
)
ωωωω
jjj
xx
j
xx
eXeXeSeR
−
=≡
21
)()(
2121
(3.44)
3.3.11 Tổng Kết Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Đối Với Tín Hiệu Rời Rạc
Bảng 3.1.
Tính chất Miền biến số n Miền tần số liên tục ω
Ký hiệu
Cặp biến đổi Fourier
Tuyến tính
Trễ
Đối xứng
Liên hợp phức
Biến số đảo
Tích chập
Tích (đại số)
x(n)
x
1

(n)
x
2
(n)
∫
−
=
π
π
ωω
ω
π
deeXnx
njj
)(
2
1
)(
)()(
21
nbxnax
+
x(n – n
0
)
x(n) thực
X
*
(n)
x(-n)

x
1
(n) * x
2
(n)
x
1
(n) . x
2
(n)
)(
ω
j
eX
)(
1
ω
j
eX
)(
2
ω
j
eX
∑
∞
−∞=
−
=
n

njj
enxeX
ωω
)()(
aX
1
(e
jω
) + bX
2
(e
jω
)
)(
0
ω
ω
j
nj
eXe
−
)()(
*
ωω
jj
eXeX
−
=
)](Re[)](Re[
ωω

jj
eXeX
−
=
)](Im[)](Im[
*
ωω
jj
eXeX
−
−=
)()(
ωω
jj
eXeX
−
=
)](arg[)](arg[
ωω
jj
eXeX
−
−=
)(
*
ω
j
eX
−
)(

ω
j
eX
−
)().(
21
ωω
jj
eXeX
∫
−
−
π
π
ωωω
ω
π
'
2
)(
1
)()(
2
1
1'
deXeX
jj
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
102

Vi phân trong miềm ω
Trễ tần số
Điều chế
Quan hệ Parseval
Tương quan
Đònh lý Weiner –
Kintchine
nx(n)
)(
0
nxe
nj
ω
x(n) cosω
0
n
∑
∞
−∞=
n
nxnx )()(
*
21
∑
∞
−∞=
n
nx
2
)(

∑
∞
−∞=
−=
m
xx
nmxmxnr )()()(
2
21
)(
21
nr
xx
ω
ω
d
edX
j
j
)(
−
)(
)(
0
ωω
−j
eX
)(
2
1

)(
2
1
)()(
00
ωωωω
++
+
jj
eXeX
∫
−
π
π
ωω
ω
π
deXeX
jj
)()(
2
1
*
21
∫
−
π
π
ω
ω

π
deX
j
2
)(
2
1
)().(
21
ωω
jj
eXeX
−
2
)()()(
ωωω
jj
xx
j
xx
eXeSeR ==
3.4 So Sánh Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z
Quan Hệ Giữa Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z
Biến đổi Z của dãy x(n) được đònh nghóa như sau :
[]
∑
∞
−∞=
−
==

n
n
z)n(x)z(X)n(ZT (3.45)
Miền hội tụ là ROC:
21
rZr << , r
1
: bán kính vòng trong, r
2
: bán kính vòng
ngoài
Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Z dưới dạng toạ độ cực sau đây:
ω
j
rez = (3.46)
ở đây
rZ = và
ω
=]arg[Z
Tiếp tục chúng ta có :
[]
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
====
n

njn
n
njj
ernxrenxreXzXnxZT
ωωω
)())(()()()( (3.47)
Từ biểu thức (3.47) ta có thể biến đổi Z X(z) như là biến đổi Fourier của dãy tín hiệu