Chuyên đề 31 phương trình đường thẳng đáp án p2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 62 trang )
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Chun đề 31
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 2 Bài toán cực trị
1. Một số bất đẳng thức cơ bản
Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn
Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vng góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường
thẳng đó thì đường vng góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta ln có AM AH
Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta ln có bất đẳng thức AB BC AC .
Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta ln có
A1 A2 A2 A3 ... An 1 An A1 An
x y
2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta ln có
2
Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta ln có a.b a . b . Đẳng thức xảy ra khi a kb, k
2. Một số bài toán thường gặp
Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình H ( H là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm
giá trị nhỏ nhất của AM
Lời giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên hình H . Khi đó, trong tam giác AHM
Vng tại . M ta có AM AH .
Đẳng thức xảy ra khi M H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên H
Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM .
Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu
( S ) AM 1 AM 2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường
AMM 2 và
trịn lớn (C). Ta có M
MM 90 , nên
AM M là các góc tù, nên trong các tam giác AMM và
1
2
1
1
AMM 2 ta có
AI R AM 1 AM AM 2 AI R
Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có
R AI AM R AI
Vậy min AM | AI R |, max AM R AI
Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1. MA MB nhỏ nhất.
2. | MA MB | lớn nhất.
Lời giải.
1. Ta xét các trường hợp sau
- TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó
AM BM AB
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) .
- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó
AM BM A M BM A B
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .
2. Ta xét các trường hợp sau
- TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó
| AM BM | AB
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) .
- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi đó
| AM BM | A M BM A B
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) .
Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó
d( B,( P)) BH BA
Do đó P là mặt phẳng đi qua A vng góc với AB
Bài toán 5. Cho các số thực dương , và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng
( P) đi qua C và T d( A, ( P)) d( B,( P)) nhỏ nhất.
Lời giải.
1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) .
- Nếu AB‖ ( P ) thì
P ( )d( A, ( P)) ( ) AC
- Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB ID và E là trung điểm BD. Khi đó
IB
d( D, ( P)) 2 d( E , ( P)) 2( ) EC
ID
2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua
I . Khi đó
P d( A, ( P )) d B , ( P )
P d( A, ( P))
Đến đây ta chuyển về trường hợp trên.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất.
Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi
qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i 1, n ) lớn nhất.
Lời giải.
- Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó
n
d A ,( P) nd(G, ( P)) nGA
i
i 1
- Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ). Khi đó, gọi
G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó
P md G3 , ( P) kd G2 , ( P)
Đến đây ta chuyển về bài toán trên.
Bài tốn 7.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua đường thẳng và cách A một khoảng lớn nhất
Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó
d( A, ( P)) AH AK
Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vng góc vói AK .
Bài tốn 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ
w 1 MA1 2 M A2 n M An
Trong đó 1; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1 2 ... n 0 . Tìm điểm
M thc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đơ dài nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn
1GA1 2GA2 nGAn 0
(điểm G hồn tồn xác định).
Ta có MAk MG GAk vói k 1; 2;; n, nên
w 1 2 n MG 1GA1 2GA2 nGAn 1 2 n MG
Do đó
| w | 1 2 n | MG |
Vi 1 2 n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà
M ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) .
Bài tốn 9. Trong khơng gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 ,, An . Xét biểu thức:
T 1MA12 2 MA22 n MAn2
Trong đó 1 , 2 , , n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho
1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0 .
2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0 .
Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn
1GA1 2GA2 nGAn 0
Ta có MAk MG GAk với k 1; 2;; n, nên
2
MAk2 MG GAk MG 2 2 MG GAk GAk2
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Do đó
T 1 2 n MG 2 1GA12 2GA22 nGAn2
Vì 1GA12 2GA22 nGAn2 khơng đổi nên
• với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất.
• với 1 2 n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất.
Mà M ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) .
Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của
mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M d , M I . Gọi H , K
lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến của ( P) và (Q) .
, do đó
Đặt là góc giữa ( P) và (Q), ta có MKH
HM HM
HK
HI
Do đó (Q ) là mặt phẳng đi qua d và vng góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q ) đi qua M và nhận
nP ud ud làm VTPT.
Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau:
- Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a
theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ).
- Gọi là góc giữa ( P) và (Q), ta có
n n
cos P f (t )
| n | nP
b
với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t )
c
Bài tốn 11. Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau. Viết phương trinh mặt
phẳng ( P) chứa d và tạo với d một góc lớn nhất.
tan
Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng đi qua M song song với d . Khi đó
góc giữa và ( P) chính là góc giữa d và ( P) .
Trên đường thẳng , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d , là góc giữa
và ( P) .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
HM KM
Khi đó
AMH và cos
AM AM
Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vng góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận
ud ud ud làm VTPT.
Chú ý. Ta có thể giải bài tốn trên bằng phương pháp đại số như sau:
- Goi n (a; b; c), a 2 b 2 c 2 0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n ud 0 từ đây ta rút được a
theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ).
- Gọi là góc giữa ( P) và d , ta có
n ud
sin f (t )
| n | ud
b
với t , c 0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t )
c
Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến khoảng cách, góc
Câu 1.
(Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ
nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. Q 0;5; 3 .
B. P 3;0; 3 .
C. M 0; 3; 5 .
D. N 0;3; 5 .
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d nằm
trên mặt trụ trịn xoay có trục là Oz và bán kính bằng 3 .
Gọi I là hình chiếu của A lên Oy , khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất khi d đi qua giao điểm
của Oy với mặt trụ là điểm I 0;3;0 nên d đi qua điểm N 0;3; 5 .
Câu 2.
(Mã 103 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi
song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất. d đi
qua điểm nào dưới đây?
A. Q 0;2; 5 .
B. M 0;4; 2 .
C. P 2;0; 2 .
D. N 0; 2; 5 .
Lời giải
Chọn A
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vì d song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên d thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính
bằng 2. Có H 0;0; 2 là hình chiếu vng góc của A 0;3; 2 trên Oz.
Có HA 0;3;0 HA 3 nên A nằm ngoài mặt trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với Oz. M là hình chiếu vng góc của A trên d
Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ ( K nằm giữa A và H).
Dễ thấy d A; d AM AK ; AK AH d A; d 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M K .
x 0
2
(t R )
Khi đó ta có: HK HA K 0;2; 2 d : y 2
3
z 2 t
Với t 3 ta thấy d đi qua điểm Q .
Câu 3.
(Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn
nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. N 0;3; 5 .
B. M 0; 3; 5 .
C. P 3;0; 3 .
D. Q 0;11; 3 .
Lời giải
Chọn B
Vì d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d là đường sinh
của hình trụ có trục là Oz và có bán kính đáy r 3 .
Gọi A là hình chiếu của A lên trục Oz A 0;0; 3 và AA 4 .
Gọi H x ; y ; z là hình chiếu của A lên d .
AH lớn nhất khi A , A , H thẳng hàng và AH AA AH AA r 4 3 7 .
x 0
7
7
Khi đó AH AA x ; y 4; z 3 0; 4;0 y 3 H 0; 3; 3 .
4
4
z 3
Vậy d qua H 0; 3; 3 có vectơ chỉ phương k 0;0;1 nên có phương trình
ra d đi qua điểm M 0; 3; 5 .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
x 0
y 3 suy
z 3 t
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Câu 4.
(Mã 104 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn
nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. M 0;8; 5 .
B. N 0;2; 5 .
C. P 0; 2; 5 .
D. Q 2;0; 3 .
Lời giải
Chọn C
Do đường thẳng d / / Oz nên d nằm trên mặt trụ có trục là Oz và bán kính trụ là R 2.
Gọi H là hình chiếu của A trên trục Oz , suy ra tọa độ H 0;0; 2 .
Do đó d A, Oz AH 3.
3
Gọi B là điểm thuộc đường thẳng AH sao cho AH AB
5
B 0; 2; 2 .
Vậy d A, d max 5 d là đường thẳng đi qua B và song song với Oz.
x 0
Phương trình tham số của d : y 2 .
z 2 t
Kết luận: d đi qua điểm P 0; 2; 5 .
Câu 5.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x y z
và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 0 . Gọi Q là mặt phẳng chứa sao cho góc
2 2 1
giữa hai mặt phẳng P và Q là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng Q là
:
A. x 2 y z 0 .
B. x 22 y 10 z 0 . C. x 2 y z 0 .
D. x 10 y 22 z 0 .
Lời giải
Q
Δ
B
K
H
P
d
A
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x 2t
x y z
Đường thẳng : được viết lại dưới dạng tham số : y 2t
2 2 1
z t
x 2t
t 0
y 2t
x 0
Xét hệ phương trình
. Do đó cắt P tại điểm A 0;0;0 O .
z
t
y
0
x 2 y 2 z 0
z 0
Lại có và P khơng vng góc nhau nên ta đi chứng minh góc nhỏ nhất giữa P và Q là
góc giữa và P . Thật vậy trên lấy B khác A , kẻ BH vuông góc với P tại H và BK
vng góc d tại K ( d là giao tuyến của P và Q ) tại K . Khi đó góc giữa Q và P là
.
góc BKH
HA HK tan BKH
BH BH
tan BAH
HK HA
BKH
, BAH 90
4
BKH BAH , P arcsin
9
tan BKH tan BAH
Đẳng thức xảy ra K A d .
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng P và Q là nhỏ nhất khi và chỉ khi Q chứa và cắt P
theo một giao tuyến vng góc .
*)Viết phương trình của Q
Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1 2; 2;1 , P có vectơ pháp tuyến n1 1; 2; 2 nên d
có vectơ chỉ phương u 2 u1 , n1 6;5; 2 .
Q chứa và d nên nhận n2 u2 ; u1 1;10; 22 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng Q đi qua A 0; 0; 0 và nhận n2 1;10; 22 làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình x 10 y 22 z 0 .
Câu 6.
Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1; 2 và mặt phẳng P : m 1 x y mz 1 0 , với m
là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn
khẳng định dưới đây là
A. 2 m 6 .
B. m 6 .
C. 2 m 2 .
Lời giải
D. 6 m 2 .
Cách 1:
Ta có d A; P
Xét f m
m 1 1 2m 1
m 1
3m 1
2
1 m2
2
2 m 2 m 1
f m
3m 1
2
2 m2 m 1
.
1
3.
m 5
5 m 3m 1
m
0
2 m 2 m 1
2
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Vậy max d A; P
14
khi m 5 2;6 .
3
Cách 2:
Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng P :
P : m 1 x y mz 1 0 x z m x y 1 0 .
x z 0
Với mọi m mặt phẳng P luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
tức
x y 1 0
x t
luôn đi qua đường thẳng d : y 1 t .
z t
Gọi H t ;1 t; t d AH t 1; t ; t 2 . Để khoảng cách từ A đến P lớn nhất thì
AH P AH cùng phương với VTPT của P là n P m 1;1; m , suy ra:
1
mt t t 1 t
t 1 t t 2
3
.
m 1 1
m
mt t 2
m 5 2;6
Câu 7.
(THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng ( P ) : x y 2 z 2 0. Viết phương trình chính tắc của
đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn
nhất.
x 1 y 1 z 1
.
3
1
2
x2 y2 z
.
C. d :
1
1
1
x y z2
B. d :
.
2 2
2
x 1 y 1 z 1
D. d :
.
3
1
1
Lời giải
A. d :
B
d
A
P'
Gọi ( P ') chứa A và song song ( P ) suy ra ( P ') : x y 2 z 4 0 .
Ta thấy B ( P ') do đó d ( B , d ) đạt giá trị lớn nhất là AB.
Khi đó d vng góc với AB và d vng góc với giá của n là VTPT của ( P ) .
Suy ra một VTCP của d là u n , AB (2; 2; 2) .
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Kết hợp với điểm A thuộc d nên ta chọn đáp án C.
Câu 8.
(KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
x y 1 2 z
. Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng
1 2
1
Q : 2 x y 2 z 2 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A 1; 2;3 cách mặt phẳng P một
d:
khoảng bằng:
A.
3.
B.
5 3
.
3
7 11
.
11
Lời giải
C.
D.
4 3
.
3
Chọn A
M
H
B
C
x y 1 2 z
có VTCP u 1; 2; 1 .
1 2
1
Q : 2 x y 2 z 2 0 có VTPT n 2; 1; 2 .
d:
6
Gọi là góc tạo bởi d và Q , ta có sin cos u , n
.
3
và P , Q MCH
.
Từ hình vẽ, ta có d , P MBH
Ta thấy sin MCH
Vậy góc
MH MH
6
.
MC MB
3
P , Q MCH
nhỏ nhất khi sin MCH
6
3
hay cos MCH
3
3
*Viết phương trình mặt phẳng (P)
-CÁCH 1:
Mặt phẳng P : Ax By Cz D 0
n Q .u 0
A 2B C 0
Ta có
2 A B 2C
3
3
cos n, n Q
2
2
2
3
3 A B C
3
A 2 B C
A 2 B C
2
2
2
2
2
6 B 6C 12 BC 0 1
3B 3 2 B C B C
Nếu B 0 suy ra A C 0 loại.
2
C
C
C
Nếu B 0 từ 1 suy ra 2 1 0 1 C B suy ra A B .
B
B
B
Mặt phẳng P : Bx By Bz D 0 đi qua điểm N 0; 1; 2 d suy ra D 3B .
Vậy phương trình mặt phẳng P : x y z 3 0 . Suy ra d A; P 3 .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
-CÁCH 2
Gọi ( P) (Q) thì góc giữa ( P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi d . Do đó, mặt phẳng (P)
thỏa đề bài là mặt phẳng chứa d và cắt (Q) theo giao tuyến sao cho d .
(Q)
u ud ,nQ
d
nhận
làm vec tơ chỉ phương.
(Q) chứa d và (P) qua M(0;-1; 2) d và nhận n ud ,u (6; 6; 6) làm vectơ
pháp tuyến
Câu 9.
(P) : x y z 3 0 .
Vậy
d A; P 3
.
(Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 ,
B 2; 2;1 và mặt phẳng : 2 x 2 y z 9 0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng
sao cho M ln nhìn đoạn AB dưới một góc vng. Xác định phương trình đường thẳng MB
khi MB đạt giá trị lớn nhất.
x 2 t
x 2 2t
x 2 t
x 2 t
A. y 2 2t
B. y 2 t
C. y 2
D. y 2 t
z 1 2t
z 1 2t
z 1 2t
z 1
Lời giải
Chọn C
Ta có: 2. 2 2. 2 1 9 0 B .
Gọi H là hình chiếu của A trên thì AH MB , AM MB MH MB
MB BH . Dấu bằng xảy ra khi M H , lúc đó M là hình chiếu của A trên .
Gọi H x; y; z , AH x 1; y 2; z 3 .
2 x 2 y z 9
x 3
2 x 2 y z 9 0
y 2
Ta có hệ phương trình x 1 y 2 z 3 x y 1
x 2 z 5
z 1
2 2 1
x 2 t
M 3; 2; 1 MB 1;0; 2 MB : y 2 .
z 1 2t
Câu 10. -(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Viết phương trình đường thẳng a đi qua
M 4; 2; 1 , song song với mặt phẳng ( ) : 3x 4 y z 12 0 và cách A 2; 5; 0 một
khoảng lớn nhất.
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x 4 t
A. y 2 t .
z 1 t
x 4 t
B. y 2 t .
z 1 t
x 1 4t
C. y 1 2t .
z 1 t
x 4t
D. y 2 t .
z 1 t
Lời giải
AM 6; 7 ;1 , vectơ pháp tuyến của là n (3; 4;1) .
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên a .
d A ; a AH AM 86 d A ; a lớn nhất khi H M .
Khi đó a là đường thẳng đi qua M , song song với và vng góc với AM .
u n
Gọi u là vectơ chỉ phương của a ; AM , n 3; 3; 3 3 1;1;1 .
u AM
Chọn u 1;1;1 . Đáp án D thỏa mãn.
---------------------------------------Câu 11.
(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt
phẳng
x 1
: x y z 3 0 và tạo với đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương trình
z 3 2t
của là
x 1
A. y t .
z 2t
x 8 5t
B. y 3 4t .
z 2 t
x 1 2t
C. y 1 t .
z 3 2t
x 1 5t
D. y 1 4t .
z 3 2t
Lời giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 0;3; 2 .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 .
Vì u.n 0.1 3.1 2 . 1 5 0 nên d cắt .
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
x 3
Gọi d1 là đường thẳng đi qua M và d1 // d , suy ra d1 có phương trình: y 1 3t .
z 1 2t
Lấy N 3; 4; 1 d1 . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vng góc của N trên mặt phẳng và
đường thẳng .
và sin NMH
NH NK .
Ta có:
d , NMH
MN MN
d , nhỏ nhất khi K H hay là đường thẳng MK .
Do vậy
x 3 t
Đường thẳng NK có phương trình: y 4 t .
z 1 t
Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình:
3 t 4 t 1 t 3 0 t
Câu 12.
5
4 7 2
. Suy ra K ; ; .
3
3 3 3
(Chun Thái Bình 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng
( P ) : x 2 y 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A , song song với ( P ) và cách điểm B 1;0;2
một khoảng ngắn nhất. Hỏi nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?
A. u 6;3; 5 .
B. u 6; 3;5 .
C. u 6;3;5 .
D. u 6; 3; 5 .
Lời giải
Gọi (Q) chứa và song song với ( P ) . Suy ra (Q) có phương trình:
x 1 2( y 1) 0 x 2 y 3 0 .
Khi đó d B; min BH với H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (Q) .
x 1 t
Đường thẳng BH đi qua B , vng góc với mặt phẳng (Q ) có phương trình y 2t , t .
z 2
Tọa độ giao điểm H của đường thẳng BH và mặt phẳng (Q) là nghiệm của hệ:
x 1 t
y 2t
1 8
. Giải hệ trên ta được H ; ;2 .
5 5
z 2
x 2 y 3 0
6 3
Do đó là đường thẳng AH có AH ; ; 1 .
5 5
Suy ra u 6; 3; 5 cũng là một vecto chỉ phương của .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2; 1; 2 và đường thẳng d có phương
x 1 y 1 z 1
. Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d
1
1
1
và khoảng cách từ d tới mặt phẳng P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng P vng góc với mặt
trình
phẳng nào sau đây?
A. x y 6 0 .
B. x 3 y 2 z 10 0 .
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
C. x 2 y 3z 1 0 .
D. 3 x z 2 0 .
Lời giải
H
d
P
A
K
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Ta suy ra H 1;1;1 .
Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A và P song song với đường thẳng d . Gọi K là hình chiếu
của H lên mặt phẳng P . Do d // P nên ta có d d , P d H , P HK .
Ta ln có bất đẳng thức HK HA . Như vậy khoảng cách từ d đến P lớn nhất bằng AH .
Và khi đó P nhận AH 1; 2;3 làm vectơ pháp tuyến.
Do P đi qua A 2; 1; 2 nên ta có phương trình của P là: x 2 y 3z 10 0 .
Do đó P vng góc với mặt phẳng có phương trình: 3 x z 2 0 .
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi
P
là mặt phẳng đi qua hai điểm A 1; 7; 8 ,
B 2; 5; 9 sao cho khoảng cách từ điểm M 7; 1; 2 đến P đạt giá trị lớn nhất. Biết P có
một véctơ pháp tuyến là n a; b; 4 , khi đó giá trị của tổng a b là
A. 1 .
B. 3 .
C. 6 .
Lời giải
x 1 t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là y 7 2t .
z 8 t
D. 2 .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên P và đường thẳng AB .
Ta tìm được điểm K 3; 3; 10 . Ta luôn có bất đẳng thức d M , P MH MK .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H K . Khi đó MH 4; 2; 8 2 2;1; 4 .
Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2;1; 4 . Vậy ta có a b 3 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho điểm
A 3; 1;0
và đường thẳng
x 2 y 1 z 1
. Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có
1
2
1
phương trình là
A. x y z 2 0 .
B. x y z 0 .
d:
C. x y z 1 0 .
D. x 2 y z 5 0 .
Lời giải
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên và d . Khi đó ta có AH AK .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
Vì H d nên H 2 t ; 1 2t ;1 t AH 1 t ; 2t ;1 t .
2 2 2
1
Do AH d nên ta có 1 t 2.2t 1 t 0 t . Khi đó AH ; ; .
3
3 3 3
Khoảng cách từ A đến lớn nhất khi và chỉ khi AH AK . Do đó có vectơ pháp tuyến là
n 1;1; 1 . Vậy : 1 x 2 1 y 1 1 z 1 0 x y z 0 .
Vẫn là đánh giá bất đẳng thức AH AK nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác
một chút.
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng
P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
x3 y
26 11
x3 y
C. d :
26
11
A. d :
d đi qua A , song song với
z 1
x3
y
z 1
. B. d :
.
2
26
11
2
z 1
x 3 y z 1
. D. d :
.
2
26 11 2
Lời giải
B
H
Q
d
K
P
Ta thấy rằng d đi qua A và d song song với P nên d luôn nằm trong mặt phẳng Q qua A
và Q // P . Như vậy bây giờ ta chuyển về xét trong mặt phẳng Q để thay thế cho P . Ta
lập được phương trình mặt phẳng Q : x 2 y 2 z 1 0 .
1 11 7
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên Q và d . Ta tìm được H ; ; . Ta ln có
9 9 9
được bất đẳng thức d B; d BK BH nên khoảng cách từ B đến d bé nhất bằng BH .
Đường thẳng d bây giờ đi qua A, H nên có phương trình
Câu 17.
x 3 y z 1
.
26 11 2
(Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;5;3 và đường thẳng
d:
x 1 y z 2
. Gọi P là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn
2
1
2
nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến P bằng
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A.
2.
B.
3
.
6
C.
11 2
.
6
D.
1
.
2
Lời giải
Gọi n a; b; c là một vectơ pháp tuyến của P , với a2 b2 c2 0 .
Điểm M 1;0; 2 d M P .
Phương trình của P : ax by cz a 2c 0 .
Một vectơ chỉ phương của d là u 2;1; 2 n u n.u 0 2a b 2c 0 .
b 2a 2c d A, P
2
Ta có a c 2 a 2 c 2
2
2
Suy ra: a c 4 a c
Do đó d A, P
2
| a 5b c |
2
2
a b c
a c
2
9|ac|
a2 c2 4 a c
2
.
2
a 2 c 2 với a, c .
2
a c
2
2
2
4a c
9| a c|
a2 c2 4 a c
2
9
2
a c .
2
9|ac|
9|ac| 2
3 2.
3| a c |
9
2
a c
2
a c
. Chọn a c 1 b 4.
Max d A, P 3 2
b 4a
Phương trình P : x 4 y z 3 0 d O, P
Câu 18.
1
.
2
(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A 1; 2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng
P
qua Ox sao cho d B , P 2d A, P , P cắt AB tại
I a; b; c nằm giữa AB . Tính a b c
A. 8
B. 6
C. 12
Lời giải
D. 4
Do mặt phẳng P qua Ox nên phương trình mặt phẳng P có dạng by cz 0 b 2 c 2 0
d B , P 2 d A, P
4b c
b2 c 2
2.
4b c 4b 6c
b2 c2
4b c 4b 6c
2b 3c
8b 7c 0
c 0
Trường hợp 1: 8b 7c 0 chọn b 7; c 8 khi đó P : 7 y 8 z 0
Xét f y, z 7 y 8z
Thay tọa độ A, B vào ta được 7.2 8.3 7. 4 8. 1 0 suy ra A, B nằm cùng phía so với
P
(loại)
Trường hợp 2: c 0 suy ra phương trình P : y 0
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Thay tọa độ A, B vào ta được 2. 4 0 suy ra A, B nằm khác phía so với P . Do đó đường
thẳng AB cắt P tại I nằm giữa AB
x 1 4t
Phương trình tham số của đường thẳng AB : y 2 6t t
z 3 4t
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình
1
t 3
x 1 4t
7
y 2 6t
x
7 5
3 I ; 0;
3 3
z 3 4t
y 0
y 0
z 5
3
7
5
Vậy a b c 0 4
3
3
Câu 19.
(Đề Thi Công Bằng KHTN -2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z 1
d:
và điểm A(1; 2;3) . Gọi ( P) là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng
2 1
1
cách lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) .
A. n (1;0; 2) .
B. n (1;0; 2) .
C. n (1;1;1) .
D. n (1;1; 1) .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vng góc của A lên
( P) . Do đó khoảng cách từ A đến ( P) là: d A; ( P) AK .
x 2t 1
Ta có d : y t
. Vì H d nên H 2t 1; t ; t 1 .
z t 1
AH 2t 2; t 2; t 2 , VTCP của đường thẳng d là ud 2;1;1 .
AH ud AH .ud 0 2(2 t 2) t 2 t 2 0 t 0 .
Do đó H 1; 0;1 và AH 2; 2; 2 AH 2 3 (khơng đổi).
Vì AK AH ( đường vng góc ln ngắn hơn đường xiên) nên AK lớn nhất khi AK AH hay
KH.
Ta có AK AH (2; 2; 2) 2(1;1;1) . Vậy, một vec tơ pháp tuyến của ( P) là n (1;1;1) .
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 20.
(Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 ,
B 1; 1;3 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
d đi qua A , song song với mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
x3 y
26 11
x3 y
C. d :
26 11
A. d :
z 1
x3
y
z 1
. B. d :
.
2
26
11
2
z 1
x 3 y z 1
. D. d :
.
2
26 11 2
Lời giải
Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng P . Khi đó phương
trình của mặt phẳng Q là 1 x 3 2 y 0 2 z 1 0 x 2 y 2 z 1 0 .
Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng Q , khi đó đường thẳng BH đi qua B 1; 1;3
x 1 t
và nhận n Q 1; 2;2 làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là y 1 2t .
z 3 2t
Vì
H BH Q H BH H 1 t ; 1 2t;3 2t
1 t 2 1 2t 2 3 2t 1 0 t
và
H Q
nên
ta
có
10
1 11 7
H ; ; .
9
9 9 9
26 11 2 1
AH ; ; 26;11; 2 .
9 9 9 9
Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d , khi đó
Ta có d B; d BK BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK BH , do đó đường
thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 26;11; 2 có phương trình chính tắc:
d:
Câu 21.
x 3 y z 1
.
26 11 2
(Sở Quảng Nam - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y 1 z 3
và điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng
2
1
1
P . Gọi là đường thẳng đi qua A , nằm trong mặt phẳng P và cách đường thẳng d một
P : x y 4z 0 ,
đường thẳng d :
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
khoảng cách lớn nhất. Gọi u a; b; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Tính
a 2b .
A. a 2b 3 .
B. a 2b 0 .
C. a 2b 4 .
Lời giải
d
D. a 2b 7 .
A
d
I
A
H
K
(P)
(Q)
Đường thẳng d đi qua M 1; 1; 3 và có véc tơ chỉ phương u1 2; 1; 1 .
Nhận xét rằng, A d và d P I 7; 3; 1 .
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với . Khi đó d , d d , Q d A, Q .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên Q và d . Ta có AH AK .
Do đó, d , d lớn nhất d A, Q lớn nhất AH max H K . Suy ra AH chính là đoạn
vng góc chung của d và .
Mặt phẳng R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R AM , u1 2; 4; 8 .
Mặt phẳng Q chứa d và vng góc với
nQ n R , u1 12; 18; 6 .
R
nên có véc tơ pháp tuyến là
Đường thẳng chứa trong mặt phẳng P và song song với mặt phẳng Q nên có véc tơ chỉ
phương là u n P , n R 66; 42; 6 6 11; 7; 1 .
Suy ra, a 11; b 7 . Vậy a 2b 3 .
Câu 22. ( Bắc Giang 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2;1;3 và mặt phẳng
P : x my 2m 1 z m 2 0 , m là tham số. Gọi H a; b; c là hình chiếu vng góc của
điểm A trên P . Tính a b khi khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất ?
1
A. a b .
2
B. a b 2 .
C. a b 0 .
D. a b
3
.
2
Lời giải
x my 2m 1 z m 2 0 m y 2 z 1 x z 2 0 (*)
y 2z 1 0
Phương trình (*) có nghiệm với m
.
x z 2 0
x 2 t
Suy ra P luôn đi qua đường thẳng d : y 1 2t .
z t
K d K 2 t ;1 2t ; t , AK t; 2t; t 3
Đường thẳng d có VTCP u 1; 2;1
1
3 1
AK .u 0 t 4t t 3 0 t K ;0;
2
2 2
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Ta có AH AK AH max AK H K .
Vậy a b
Câu 23.
3
.
2
(Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
P : x 2 y 2z 3 0
2
2
cho mặt phẳng
2
và mặt cầu S : x y z 2 x 4 y 2 z 5 0. Giả sử M P và
N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất.
Tính MN .
B. MN 1 2 2
A. MN 3
C. MN 3 2
Lời giải
D. MN 14
Chọn C
Mặt phẳng P có vtpt n 1; 2; 2 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính r 1 . Nhận
thấy rằng góc giữa u và n bằng 45ο . Vì d I ; P 2 1 r nên P không cắt S .
45ο và MN NH NH 2 nên MN lớn
Gọi H là hình chiếu của N lên P thì NMH
sin 45ο
nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm
của đường thẳng d qua I , vng góc P và H là hình chiếu của I lên P .
Lúc đó NH max N H r d I ; P 3 và MN max
Câu 24.
NHmax
3 2.
sin 45ο
(SGD&ĐT Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2
2
S : x 1 y 2 z 2 4 có tâm I và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . Tìm tọa độ điểm
M thuộc P sao cho đoạn IM ngắn nhất.
1 4 4
A. ; ; .
3 3 3
11 8 2
B. ; ;
9 9 9
C. 1; 2; 2 .
D. 1; 2; 3 .
Lời giải
Ta có tâm I 1; 2;0 và bán kính R 2 .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng P ngắn nhất khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P .
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
x 1 2t
Đường thẳng đi qua I và vng góc với mặt phẳng P có phương trình tham số là y 2 t .
z 2t
Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình
1
x 3
x 1 2t
x 1 2t
y 4
y 2 t
y 2 t
3
.
z 4
z 2t
z 2t
2 1 2t 2 t 2 2t 2 0
2 x y 2 z 2 0
3
2
t
3
Câu 25.
(THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng
P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và
N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn
nhất. Tính MN .
B. MN 1 2 2 .
A. MN 3 .
C. MN 3 2 .
D. MN 14 .
Lời giải.
1 2.2 2.1 3
2 R.
S có tâm I 1; 2;1 và bán kính R 1 . Ta có: d I , P
12 22 22
Gọi H là hình chiếu vng góc của N trên mặt phẳng P và là góc giữa MN và NH .
.
Vì MN cùng phương với u nên góc có số đo khơng đổi, HNM
1
Có HN MN .cos MN
.HN nên MN lớn nhất HN lớn nhất
cos
HN d I , P R 3 .
1
1
Có cos cos u, nP
nên MN
HN 3 2 .
cos
2
Câu 26.
(HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 và mặt phẳng ( P ) : 2 x y 2 z 14 0 . Điểm M thay đổi
trên S , điểm N thay đổi trên ( P ) . Độ dài nhỏ nhất của MN bằng
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 1
1
2
Lời giải
B. 2
C.
D.
3
2
I
M
P
N
H
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 1) , bán kính R 3 ; d I ;( P) 4 R mặt cầu ( S ) và mặt phẳng
( P ) khơng có điểm chung.
Dựng IH ( P ), ( H ( P )) . Ta có: MN nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn IH với ( S ) và
NH.
x 1 2t
Phương trình đường thẳng IH : y 2 t ; t
z 1 2t
2
2
2
Điểm M 1 2t; 2 t; 1 2t (S ) nên x 1 y 2 z 1 9
2
2
2
2t t 2t 9 t 1 . Khi đó M1 3; 3;1 , M 2 1; 1; 3 .
Thử lại: d M1;( P) 1 ; d M 2 ;( P) 7 IH 4 (loại).
11 10 5
Vậy MN min MH 1 khi M 3; 3;1 ; N ; ; .
3 3
3
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1; 2;1 ; bán kính R 4 và đường
x y 1 z 1
. Mặt phẳng P chứa d và cắt mặt cầu S theo một đường trịn có
2 2
1
diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng P lớn nhất.
thẳng d :
A. O 0;0;0 .
3 1
B. A 1; ; .
5 4
C. B 1; 2; 3 .
D. C 2;1;0 .
Lời giải
Gọi H 2t;1 2t; 1 t là hình chiếu của I lên đường thẳng d .
2
4 1 5
Ta có: IH .ud 0 2 2t 1 2 3 2t 2 t 0 t H ; ; .
3
3 3 3
Vì IH 10 4 R d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt.
Mặt phẳng Q bất kì chứa d ln cắt S theo một đường trịn bán kính r .
Khi đó r 2 R 2 d 2 I , Q R 2 d 2 I , d 16 10 6 .
Do vậy mặt phẳng P chứa d cắt mặt cầu theo một đường trịn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ
1 5 8
khi d I , P d I , d hay mặt phẳng P đi qua H nhận IH ; ; làm vectơ pháp
3 3 3
tuyến, do đó P có phương trình x 5 y 8z 13 0 .
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
Khi đó điểm O 0;0;0 có khoảng cách đến P lớn nhất.
Câu 28.
(Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng
P : y 1 0 ,
đường thẳng
x 1
1
d : y 2 t và hai điểm A 1; 3;11 , B ;0;8 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng P sao
2
z 1
cho d M , d 2 và NA 2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .
B. MN min 2 .
A. MN min 1 .
C. MN min
2
.
2
2
D. MN min .
3
Lời giải
Gọi I d P I 1; 2 t ;1
I P 2 t 1 0 t 1 I 1;1;1
Ta có d P M thuộc đường tròn tâm I 1;1;1 , R1 2 .
1
N x; y; z NA 1 x; 3 y;11 z ; NB x; y;8 z
2
2
1
2
NA 2 NB 1 x 3 y 11 z 4 x y 2 8 z
2
3 x 2 3 y 2 3 z 2 6 x 6 y 42 z 126 0
2
2
2
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 14 z 42 0
Vậy N S J 1;1;7 ; R2 3 và J P : y 1
Nên N thuộc đường tròn tâm J 1;1;7 ; R2 3
Ta có IJ 6 R1 R2 MN min IJ R1 R2 1
Câu 29.
(THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A 1; 0;0 , B 3;2; 0 , C 1;2; 4 . Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA , MB , MC
hợp với mặt phẳng ABC
các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu
S : x 3 y 2 z 3
2
A.
3 2
.
2
2
2
B.
2.
1
. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN .
2
2
.
2
Lời giải
C.
D.
5.
Chọn C
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
M
A
B
H
C
Ta có: AB (2;2;0), AC (-2; 2;4) AB. AC 0 ABC suy ra ABC vuông tại A .
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng ABC . Ta có:
MA, ABC MA, HA MAH
MB, ABC MB, HB MBH
MC, ABC MC, HC MCH
MBH
MCH
MAH MBH MCH g .c.g
Theo giả thiết MAH
Do đó: HA HB HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Suy ra: H là trung điểm của BC H 1;2;2 .
Ta có: AB, AC 8; 8;8 , Chọn vecto chỉ phương của đường thẳng MH là uMH 1; 1;1 .
x 1 t
Phương trình đường thẳng MH có dạng: y 2 t
z 2 t
Mặt cầu ( S ) có tâm I 3; 2;3 và bán kính R
,t
2
.
2
I
N
M
Gọi K 1 t; 2 t; 2 t là hình chiếu vng góc của điểm I trên đường thẳng MH .
Ta có: IK t 2; t ; t 1 , uMH 1; 1;1
Do IK MH nên IK .uMH 0 , ta được: t 1 . Khi đó: K 2;1;3 và IK 2
Do IK > R nên đường thẳng MH khơng cắt mặt cầu.
Ta có: MN d I , MH IN IK IN
2
2
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN bằng
.
2
Câu 30.
(Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt
phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4
cắt P tại điểm B . Điểm M thay đổi trong P sao cho M ln nhìn đoạn AB dưới góc 90 .
Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. J 3; 2;7 .
B. K 3;0;15 .
C. H 2; 1;3 .
D. I 1; 2;3 .
Lời giải
- Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4 có phương trình là:
x 1 y 2 z 3
giao điểm của d và P là B 2; 2;1 .
3
4
4
- Do M ln nhìn đoạn AB dưới góc 90 nên M nằm trên mặt cầu S đường kính AB .
41
1
Gọi E là trung điểm của AB E ;0; 1 AE 2
4
2
S : x2 y 2 z 2 x 2 z 9 0 .
- Lại do M P nên M nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng P và mặt cầu S ,
gọi là đường tròn C .
- Mặt khác B là điểm cố định trên đường tròn C nên độ dài MB lớn nhất khi MB là đường
kính của đường trịn C .
- Gọi F là tâm của C F là hình chiếu vng góc của E trên P .
Đường thẳng EF nhận vectơ pháp tuyến n 2; 2; 1 của P làm vectơ pháp tuyến
1
2 y z 1 F 5 ; 2;0 (là giao điểm của P và EF ).
EF :
2
2
1
2
- Vì MB là đường kính của C nên M 3; 2; 1 MB 1;0; 2 là vectơ chỉ phương của
x
đường thẳng MB phương trình đường thẳng MB là:
Facebook Nguyễn Vương 25
