Sáng kiến kinh nghiệm: Chuyên đề về phương trình đường thẳng

Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 1 - K.N.G.D môn Toán 9
Phần I - Đặt vấn đề
Qua một vài năm kinh nghiệm khi trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 9 THCS, thực tế
tôi nhận thấy rằng việc học tập tích cực, chủ động và sáng tạo là cái cốt để học sinh nắm vững
kiến thức và phát triển năng lực t duy cá nhân cũng nh có khả năng linh hoạt khi giải quyết các
tình huống trong thực tiễn . Đó cũng là một trong những mục tiêu đổi mới phơng pháp dạy học.
Vấn đề quan trọng để có đợc điều này là cần có sự tổ chức, hớng dẫn học sinh học tập hợp lý,
đảm bảo tính vừa sức và khơi nguồn đợc cảm hứng, tạo động cơ học tập môn học cho mỗi học
sinh. Phơng pháp bồi dỡng theo chuyên đề - khi ngời dạy có đợc cái nhìn xuyên suốt, hệ thống
và làm chủ đợc kiến thức - là một trong những phơng pháp tích cực để góp phần đạt đợc điều đó.
Với tinh thần này, khi bồi dỡng học sinh, căn cứ vào mức độ nhận thức của đối tợng học sinh, tôi
luôn quan tâm xây dựng các chuyên đề bám sát theo đơn vị kiến thức giảng dạy.
Chơng trình nửa sau học kỳ I - Đại số 9 bắt đầu từ chơng II, thấy rằng kiến thức về phơng
trình đờng thẳng là một kiến thức cơ bản và quan trọng, tôi đã xây dựng chuyên đề phơng trình
đờng thẳng để bồi dỡng học sinh. Hệ thống các kiến thức đến thời điểm đó, tôi lợc lại phơng
trình đờng thẳng về các dạng chung theo từng quan điểm sau đây:
1. 1 Nếu nhìn theo quan điểm hàm số
* Dạng y = ax+b (D) dạng hàm số của y đối với x
+ Nếu a 0 thì đờng thẳng (D) là đồ thị hàm số bậc nhất y = ax+b. - (1)
+ Nếu a = 0 thì đờng thẳng (D) là đồ thị hàm hằng y = k = const - (2)
đờng thẳng (D) lúc này sẽ song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng k
* Vấn đề đặt ra là liệu có trờng hợp phơng trình đờng thẳng (D) không là hàm số của y đối với x.
Câu trả lời là có, khi đó (D) là đờng thẳng song song với Oy- các đờng thẳng mà phơng trình có
dạng x = k = const - (3) .
1.2 Nếu nhìn theo quan điểm minh hoạ tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn x;y
Mỗi đờng thẳng biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy đều đợc biểu diễn bởi phơng trình đờng
thẳng có dạng là ax +by = c trong đó a;b;c là các hệ số và a
2
+ b
2

0 (4)
Nếu a 0 và b 0 thì sẽ trở thành dạng (1)
Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 2 - K.N.G.D môn Toán 9
Nếu a = 0 và b 0 thì sẽ trở thành dạng (2)
Nếu a 0 và b = 0 thì sẽ trở thành dạng (3)
Và trớc khi thực hiện chuyên đề này, tôi tìm hiểu nhận thức của học sinh về phơng trình đ-
ờng thẳng với một số tình huống hết sức đơn giản đặt ra cho các em:
+ Trong mặt phẳng toạ độ, phơng trình đờng thẳng có dạng nào?
Hầu nh học sinh trả lời khá lộn xộn hoặc trả lời là dạng (1), hoặc trả lời là dạng (4), hoặc ...
+ Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm:
` a) A(4;5) và B(5;4) có 100% học sinh tìm đợc
Tuy nhiên, khi hỏi tại sao chọn (1) làm dạng tổng quát thì hầu hết các em đều không có câu
trả lời đúng.
b) M(4;5) và N(4;-5)
Cũng lại hầu nh học sinh các em máy móc sử dụng phơng trình (1) dẫn đến cách giải sơ lợc nh
sau:
Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua M điểm N là : y = ax + b.
Với M(4;5) và N(4;-5) nên ta có -



=+
=+
54
54
ba
ba

=> 0a +0b = 10 (vô lý)

sau đó hầu nh các em đã tỏ ra lúng túng và kết luận khá vội vã: Không tồn tại phơng trình đ-
ờng thẳng MN trong trờng hợp này; không có đờng thẳng qua M và N !
Tôi lật lại vấn đề: Bằng kiến thức hình học lớp 6, chúng ta khẳng định rằng luôn tồn tại
một đờng thẳng qua hai điểm phân biệt M và N ! Đã tồn tại đờng thẳng thì sẽ có phơng
trình đờng thẳng tơng ứng! Vậy phơng trình đờng thẳng MN là gì?
Chỉ một vài học sinh gọi ra đợc đó là phơng trình x = 4 xong ít nhiều vẫn còn tỏ ra có nét
nghi ngờ, băn khoăn... Điều quan trọng mà tôi nhận thấy, ở các em đã nhận ra mình thiếu
cài mình cần, có mong muốn, nhu cầu đợc giải quyết, tháo gỡ vấn đề nhận thức về phơng
trình đờng thẳng.
Nh vậy sơ bộ thực tế, tôi có kết luận chủ quan rằng nếu chỉ đơn thuần thực hiện về nội
dung chơng trình mà không tổ chức đợc cho học sinh nghiên cứu rèn luyện thêm thì hầu nh
Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 3 - K.N.G.D môn Toán 9
vấn đề phơng trình đờng thẳng đối với nhiều học sinh lớp 9 là còn mơ hồ và hình thức, vấn đề
khai thác mối liên hệ kiến thức giứa các phân môn hình học và đại số để giải quyết là còn thụ
động. Tuy sau này, khi đợc học về chơng trình Toán THPT, học sinh sẽ đợc trang bị những
phơng pháp bài bản hơn, sâu sắc hơn với việc sử dụng phơng trình tuyến tính, phơng trình
tham số hay phơng trình chính tắc của một đờng thẳng nhng hiện tại trong giải toán THCS đây
vẫn là một kiến thức quan trọng trong chơng trình Toán THCS mà không ít học sinh gặp khó
khăn khi giải quyết các bài toán liên quan. Mặt khác sử dụng phơng trình đờng thẳng ở dạng
(1), (2), (3), (4) đều tuỳ thuộc vào từng kiểu bài, tuỳ thuộc từng bài cụ thể mà nếu học sinh
không linh hoạt, không nắm chắc bản chất của vấn đề thì giải quyết các bài toán về phơng
trình đờng thẳng sẽ gặp vớng mắc nhất định. Bên cạnh đó, khai thác đợc mối quan hệ phơng
trình đờng thẳng cũng là chỉ ra một trong những mối liên hệ hết sức chặt chẽ giữa hình học và
đại số đó là dùng phơng pháp đại số có thể giải quyết đợc nhiều bài toán hình học, nhìn một
bài toán hình học theo quan điểm đại số. Trong một năm trở lại đây, với chuyên đề này áp
dụng cho đối tợng học sinh lớp 9 tại đơn vị trờng THCS Tam Cờng , suy nghĩ của bản thân
không chỉ với mục tiêu tạo và rèn cho các em những phơng pháp, kĩ năng giải toán cơ bản về
phơng trình đờng thẳng mà bên cạnh đó còn mong muốn góp phần giúp học sinh có đợc t duy
linh hoạt, có cái nhìn đa chiều và có hứng thú học Toán trong quá trình khai thác hợp lý những

mối quan hệ của các phân môn toán học đồng thời cũng tạo dựng cho các em bớc đầu những
cơ sở nhất định để thuận lợi cho việc học Toán ở bậc học tiếp theo.
Phần II nội dung chuyên đề:
Với thời lợng 3 đến 4 tiết (trong phạm vi 1 buổi học ngoại khoá), khi sau khi dạy xong về phơng
trình bậc nhất hai ẩn số, tôi triển khai nội dung chuyên đề theo các hoạt động (HĐ) chính sau
đây:
HĐ1. Cho học sinh đợc trình bày nhận thức, hiểu biết về phơng trình đờng thẳng tạo động cơ học
tập.
Bằng cách thực hiện nh nêu tại phần I, tôi đa ra một vài tình huống là bài tập cụ thể cùng
với việc lật lại vấn đề giúp các em tự nêu, tự nhận thấy đợc thực trạng việc nắm bắt kiến thức của
mình và có động cơ tự bù đắp lấp hổng kiến thức theo hớng chủ động.
Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 4 - K.N.G.D môn Toán 9
HĐ2. Hệ thống lại kiến thức cơ sở ở các phân môn Hình học 6, hình học 7, Đại số 7, đại số 9
theo quan điểm (mục 2.1) trong đó lu ý phải giao trớc cho học sinh tự chuẩn bị tập hợp các kiến
thức liên quan đến:
- Sự xác định của một đờng thẳng qua các phân môn hình học từ lớp 6 đến lớp 8
- Phơng trình đờng thẳng
HĐ3. Tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức giải bài tập về phơng trình đờng thẳng với hệ
thống bài tập của giáo viên xây dựng. Trong việc tổ chức này, cần chú ý đến việc tạo cho học sinh
thói quen t duy phân tích hay cần có những cách đặt vấn đề, lật lại vấn đề đa các tình huống để
học sinh định hớng và nắm đợc cách giải quyết một cách sâu sắc.
Với hệ thống bài tập này, tôi xây dựng có hai phần:
- mục 2.2 : bài tập cơ bản dành cho mọi đối tợng .
- mục 2.3: bài tập nâng cao dành cho các đối tợng khá giỏi
HĐ4. GIao việc và hớng dẫn học sinh học tập tại nhà
2.1 Các kiến thức cơ sở: Thực hiện giải các bài toán về phơng trình đờng thẳng thì học sinh cần
nắm vững đợc các kiến thức cơ bản trong phạm vi chơng trình ( sách giáo khoa, sách bài tập).
Qua tổng hợp và hệ thống theo chủ quan của mình, tôi đã tập trung vào những kiến thức sau đây:
+ Khái niệm đờng thẳng (qua mô tả) và các cách xác định đờng thẳng (qua 2 điểm phân

biệt, qua một điểm nằm ngoài đờng thẳng cho trớc và song song với đờng thẳng đó, qua một
điểm cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng cho trớc) - Hình học 6 - 7
+ Các quĩ tích đờng thẳng. (Hình học 7-8)
+ Phơng trình đờng thẳng : các dạng (1); (2); (3); (4) (Đại số 7; Đại số 9)-
(Nh trình bày ở phần ĐVĐ)
+ Các vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng
Xét hai đờng thẳng (D): y = ax +b và (D): y = ax +b (Đại số 9)
- (D) // (D) <=> a = a và b b
- (D) trùng (D) <=> a = a và b = b
- (D) (D) ={A} <=> a a .
Khi đó hoành độ điểm A là nghiệm của phơng trình ax +b = ax +b.
+ Các công thức:
Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 5 - K.N.G.D môn Toán 9
- tính khoảng cách giữa hai điểm A và B : AB =
22
)()(
BABA
yxyx
+
- trung điểm M của đoạn thẳng AB: x
M
=
2
BA
xx
+
và y
M
=

2
BA
yy
+
- Hệ số góc của đờng thẳng a ( nếu a>0 thì tg

= a ; nếu a<0 thì tg(180
0
-

) =
a

- Với

là góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành)
2.2 Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm phân biệt
- Lập pt dạng tổng quát.
(nhìn nhận :
+ có cùng hoành độ viết theo công thức (2).
+ có cùng tung độ viết theo công thức (3).
+ khác hoành độ, khác tung độ viết theo công thức (1), thực hiện bớc tiếp theo.)
- thay toạ độ từng điểm vào (1) và lập hệ phơng trình ẩn a, b.
- Giải hệ phơng trình tìm a; b.
- Kết luận.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm :
a) điểm A (1;2) và điểm B(-2;-1)
b ) điểm M (1; 1) và điểm N (-1; 5)

c) điểm C (16;1975) và điểm D(-6;1975)
d) điểm E (2006;2008) và điểm F(2006;2007)
Bài giải:
a) Gọi ptđt AB là y =ax +b.
do đờng thẳng AB đi qua điểm A (1;2) và điểm B(-2;-1) nên ta có



=+
=+
12
2
ba
ba
=> ... => a = 1 và
b = 1
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y =x+1
Chuyên đề về phơng trình dờng thẳng
Lơng Cao Trịnh THCS Tam Cờng - 6 - K.N.G.D môn Toán 9
b) Gọi ptđt MN là y =ax +b.
do đờng thẳng MN đi qua điểm M (1;1) và điểm N (-1;5) nên ta có




=+
=+
5
1
ba

ba
=> ... => a = -2 và b = 3 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = -2x+ 3.
c) do hai điểm phân biệt C (16;1975) và D(-6;1975) có tung độ cùng bằng 1975 nên phơng trình
đờng thẳng CD là y = 1975 .
d) do hai điểm phân biệt E (2006;2008) và F(2006;2007) có hoành độ cùng bằng 2006 nên ph-
ơng trình đờng thẳng EF là x = 2006 .
Bài 2: Cho A(2;3); B(1;3) và C(2;-5).
a) Viết phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC
b) Viết phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC
Bài giải:
a) +) Do hai điểm phân biệt A(2;3) và B(1;3) có tung độ cùng bằng 3
=> phơng trình đờng thẳng AB là y = 3 .
+) Do hai điểm phân biệt A(2;3) và C(2;5) có hoành độ cùng bằng 2
=> phơng trình đờng thẳng AC là x = 2 .
+) Gọi ptđt BC là y =ax +b.
Do đờng thẳng BC đi qua điểm B (1;3) và điểm C(2;-5) nên ta có



=+
=+
-5b2a
3 ba
=> ... => a = -8 và b = 11 => phơng trình đờng thẳng BC là y = -8x+11
Vậy phơng trình đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC là:
(AB): y = 3; (AC): x = 2 và (BC): y = -8x+11
b) +) Ta có B(1;3) và C(2;-5) và M là trung điểm của BC
=> x
M
= (x

B
+ x
C
)/2 = (1+2)/2 = 1,5; y
M
= (y
B
+ y
C
)/2 = (3-5)/2 = -1;
+) Gọi ptđt AM là y =ax +b.
Do đờng thẳng AM đi qua điểm A (2;3) và điểm M(1,5;-1) nên ta có