PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG VĂN TIẾN

CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP ẢNH VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VẬT LÍ PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

HÀ NỘI, 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG VĂN TIẾN

CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP ẢNH VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VẬT LÍ PHỔ THƠNG

Chun ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí tốn
Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Lê Đức Ánh

HÀ NỘI, 2021

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, bản luận văn này là kết quả tìm tịi và nghiên cứu của
cá nhân tơi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn
trung thực. Kết quả nghiên cứu này của tôi không trùng với bất cứ công trình
nào đã được cơng bố trước đó.
Tơi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.

Hà Nội, tháng 6 năm 2021
Tác giả luận văn


LỜI CÁM ƠN
Trong q trình hồn thành luận văn thạc sĩ này, đầu tiên, em xin gửi lời biết
ơn chân thành nhất đến PGS.TS. Lê Đức Ánh. Thầy đã quan tâm, góp ý và giúp
đở em rất tận tình và chu đáo.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến q thầy cơ bộ mơn Vật lí lí thuyết, khoa
Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện hết mức
cho bản thân em hoàn thành luận văn nay.
Em xin gửi lời cám ơn đến Sở Giáo Dục và Đào Tạo, BGH, tổ Vật lí – Cơng
nghệ trường THPT Chun Lê Q Đơn, Quảng Trị đã tạo điều kiện giúp đở em
hoàn thành luận văn đúng tiến độ.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên
em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2021


Trang
MỞ ĐẦU………………………………………………………………………...1
1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề………………………………………..……………1

2. Lý do chọn đề tài……………………………………………….……………...3
3. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………..3
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu………………………….…………..….....3
5. Giả thuyết nghiên cứu…………………………………………………………4
6. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………….4
7. Giới hạn phạm vi nghiên cứu………..……………………………………..…4
8. Phương pháp nghiên cứu………………………………………..……………..4
9. Đóng góp mới của luận văn……………….………………….……………..…4
10. Cấu trúc của luận văn………………………………………………………...4
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT
SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỐN………………………………..………………...5
I. 1. Định lí Green………………………………………………………...……...5
I. 2. Phương trình dao động sợi dây…………………………….……………..…6
I.2.1. Phương trình dao động của sơi dây……………………………..………6
I.2.2. Tính duy nhất nghiệm của bài tốn hỗn hợp dao động sợi đây…………7
I. 3. Phương trình MaxWell……………………………………….……………10
I. 4. Phương trình Poisson, Laplace……………………………….…………...13
I.4.1. Điện trường………………………………………………………….…13
I.4.2. Từ trường………………………………………………………….…...16
I.5. Kết luận chương………………………………………………………….…18
CHƯƠNG II. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP ẢNH……….………….19
II.1. Phương pháp ảnh điện………………………………………….…….…....19


II.1.1. Điều kiện áp dụng phương pháp ảnh điện……..……………….….….19
II.1.2. Phương pháp ảnh điện………………………………………………...22
II.2. Phương pháp ảnh từ…………………………………………….…………23
II.2.1. Điều kiện áp dụng phương pháp ảnh từ……………………………….23
II.2.2. Phương pháp ảnh từ………………………………………………...…24
II.3. Kết luận chương…………………………………………………….…..…25

CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH TRONG MỘT SỐ BÀI
TỐN VẬT LÝ PHỔ THƠNG…………………………………….……...….27
III. 1. Bài tốn tương tác điện tích với vật dẫn……………………….…...…...27
III.1.1. Bài tốn tương tác điện tích điểm với vật dẫn dạng mặt phẳng rộng vơ
hạn đặt cơ lập…………………………….……………………………………..27
III.1.2. Bài tốn tương tác điện tích điểm với vật dẫn dạng mặt cầu……….31
III. 2. Bài toán tương tác của điện tích với chất điện mơi…………………..…36
III. 3. Bài tốn tương tác dịng điện với mơi trường có độ từ thẩm lớn…….…42
III. 4. Bài toán ảnh cơ……………………………………………………....….48
III. 5. Kết luận chương………………………………………………………...53
KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………….……55
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………...…..57
PHỤ LỤC…………………………………………………………………..…..60


DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình III.1. Đường sức điện do hệ hai điện tích điểm gây ra……………..……..27
Hình III.2. Tương tác điện tích điểm và vật dẫn phẳng rộng vơ hạn……..…….28
Hình III.3. Tương tác điện tích và mặt cầu dẫn và điện tích ảnh của nó…….....32
Hình III.4. Điện tích tương tác với tấm điện mơi và các điện tích ảnh của nó....36
Hình III.5.Điện trường gây ra tại M……………………..…………………...…40
Hình III.6. Thế vectơ do dịng điện thẳng tạo ra………..………………………43
Hình III.7. Các dịng điện ảnh……………………………..……………………44
Hình III.8. Quỹ đạo chuyển động và các lực tác dụng lên vật……..…………...49


MỞ ĐẦU
1. Lịch sử nghiên cứu
Với sự phát triển vượt bậc của toán học, trong những năm gần đây, chúng ta

có thể áp dụng tính chất duy nhất nghiệm của một số phương trình tốn vào giải
nhiều bài tốn vật lý trong các lĩnh vực khác nhau như điện, từ, cơ…. Bằng thủ
thuật chuyển từ một bài toán phức tạp về mặt tốn học về bài tốn có lời giải đơn
giản hơn, sao cho nghiệm của hai bài toán trùng nhau. Và thủ thuật như vậy được
gọi là phương pháp ảnh.
Phương pháp ảnh được các kỹ sư điện chú ý đặc biệt và thường sử dụng
thường xuyên trong việc xác định điện trường và từ trường trong các trường hợp
có biên giới hạn. Một ví dụ điển hình là tính lực tác dụng lên electron phát ra từ
catốt. Lực này có thể dễ dàng tính được bằng cách xét tương tác của electron và
ảnh của của nó ở bề mặt catơt. Trong từ trường cũng vậy, người ta thường tính
lực hút giữa dòng điện và đường biên song song của vật liệu sắt từ bằng cách xét
tương tác dòng điện và ảnh của nó trong vật liệu sắt từ. Một trường hợp khác,
người ta thường coi ảnh hưởng của trái đất lên dạng trường của vùng khí quyển
giống như ảnh hưởng của Trái Đất và ảnh của nó trên khí quyển.
Phương pháp ảnh do William Thomson, Nam tước Kelvin đệ nhất, đưa ra
vào năm 1848 [11], ông đã xuất bản bài báo, trong đó chỉ ra rằng, trường của
một điện tích gây ra ở phía trước của một tấm dẫn điện có thể được biểu diễn
một cách chính xác như trường riêng của điện tích đó cộng với trường do ảnh
phản chiếu của nó trong tấm dẫn. Kelvin đã sử dụng thuật ngữ “ảnh” để chỉ ra sự
giống nhau giữa ảnh điện tích với ảnh quang học mà ta đã biết. Trong quang học,
ảnh của vật được định nghĩa là một điểm hoặc hệ các điểm, nếu nó tồn tại thì có
1


thể coi nó là nơi phát ra hệ thống các tia sáng phản xạ và khúc xạ. Có hai loại
ảnh: ảnh ảo là nơi giao nhau của đường kéo dài tia khúc xạ và phản xạ, ảnh thật
là điểm giao trực tiếp của các tia khúc xạ và phản xạ đó. Ví dụ như ảnh qua
gương phẳng là ảnh ảo nằm sau gương, ảnh của ngọn nến nằm ngoài tiêu cự qua
thấu kinh là ảnh thật,…. Ảnh điện tích của Kelvin là ảnh ảo. Ông tập trung
những nghiên cứu của mình vào các bài tốn tĩnh điện. Sau đó, Maxwell [14] đã

mở rộng quá trình nghiên cứu về vấn đề này. Maxwell chủ yếu quan tâm đến các
bài toán liên quan đến vật có dạng hình cầu, và ơng liệt kê tất cả các tổ hợp của
hình cầu và mặt phẳng khi có điện tích sẽ cho một số lượng ảnh hữu hạn. Giống
như Kelvin, ông chủ yếu quan tâm đến việc nghiên cứu ảnh của các bài toán tĩnh
điện. Tuy nhiên, trong luận án của ơng có đề cập đến phương pháp ảnh áp dụng
cho thế vô hướng của dịng điện khơng đổi, từ tính và ảnh từ của các dòng điện
biến thiên chậm. Searle [18] đã áp dụng thành cơng phương pháp ảnh cho các bài
tốn tương tác từ tính với vật liệu có độ từ thẩm hữu hạn. Hague [5] trong một
bài thuyết trình xuất sắc của mình về chủ đề này, rất chú ý đến phương pháp của
Searle. Tuy nhiên, cả hai ơng đều trình bày phương pháp ảnh là một lời giải có
sẵn cho một số bài toán nhất định. Các nhà nghiên cứu khác đã tuân theo các kết
quả nghiên cứu của Maxwell và hạn chế sự chú ý của họ vào các bài toán tĩnh
điện liên quan đến biên của vật liệu dẫn điện. Trong số này, Jeans [6] đã đưa ra
những lập luận của mình, về các điều kiện thỏa mãn của các mặt biên đẳng thế,
nhưng có một nghịch lý là, phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các bài
tốn liên quan đến biên của điện mơi với điện trường có thành phần dọc theo
biên.

2


2. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình THPT, phương pháp ảnh đang được quan tâm, bởi đây là
phương pháp đơn giản hóa lời giải về tương tác điện, từ và đặc biệt là tương tác
điện tích và điện mơi. Tuy nhiên, việc áp dụng chúng còn rất hạn chế. Nhiều giáo
viên ở các trường THPT chuyên chưa hiểu sâu bản chất và cơ sở tổng quan để áp
dụng phương pháp ảnh này. Các tài liệu, bài báo đã công bố chủ yếu trình bày về
phương pháp ảnh như là lời giải có sẵn cho một số bài tốn nhất định. Nhiều câu
hỏi đặt ra là khi điện thế của vật dẫn khác, hay vật dẫn có hình dạng bất kỳ thì
việc áp dụng phương pháp ảnh cịn đúng nữa hay khơng, nếu được thì việc áp

dụng nó như thế nào? Tính chất điện như mật độ điện tích, điện thế và điện
trường sẽ thay đổi như thế nào khi sử dụng phương pháp ảnh? Đây vẫn là câu hỏi
khó, khiến nhiều giáo viên, học sinh và các nhà nghiên cứu giáo dục quan tâm.
Qua bài luận văn này, tôi muốn xây dựng cơ sở tổng quan cho phương pháp
ảnh và chỉ ra một số điều kiện cần thỏa mãn khi áp dụng phương pháp ảnh để
giải một số bài tốn vật lý phổ thơng. Từ đó, giúp giáo viên và học sinh có kỹ
năng cần thiết khi áp dụng phương pháp ảnh. Đó chính là lý do mà tơi lựa chọn
đề tài “Cơ sở phương pháp ảnh và ứng dụng trong vật lý phổ thơng”.
3. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng cơ sở tổng quan và ứng dụng phương phát ảnh trong chương trình
THPT.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Phương pháp ảnh và ứng dụng.
5. Giả thuyết khoa học

3


Khi trường được tạo ra bởi hai hệ có đặc điểm, hình dạng, tính chất trùng
nhau thì chúng có thể thay thế nhau.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Chứng minh tính duy nhất nghiệm của một số phương trình tốn.
Đưa ra lập luận, điều kiện và cách thức để áp dụng phương pháp ảnh.
Đưa ra một vài ví dụ minh hoạ về phương pháp ảnh.
7. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Xây dựng phương pháp ảnh và áp dụng chúng để giải quyết một số bài toán
THPT như phương pháp ảnh điện, ảnh từ, ảnh điện môi và ảnh cơ.
8. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp tính tốn và mơ phỏng trong vật lí lí thuyết và vật lí tốn.
9. Đóng góp mới của luận văn

Đưa ra được cơ sở tổng quát nhất của phương pháp ảnh.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, danh mục hình ảnh, phần kết luận và tài liệu tham khảo,
luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Tổng quan về tính duy nhất nghiệm của một số phương trình tốn.
Chương 2: Tổng quan về phương pháp ảnh.
Chương 3: Ứng dụng phương pháp ảnh vào một số bài tập vật lí THPT.
NỘI DUNG

4


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ TỐN
I. 1. Định lý Green
ur

Cho trường vectơ C liên tục trong không gian. Nếu xét một mặt kín S với V
là thể tích giới hạn bởi mặt kín này. Theo định lí Gauss ta có
urr
ur
Cnda
=
∇
Cd
∫
∫ τ
S

V

,

(1.1)

r

ur

với n là vectơ pháp tuyến của yếu tố diện tích da. Giả sử đại lượng vectơ C
được biểu diễn qua hai đại lượng vô hướng ϕ và ψ theo hàm
ur
C = ϕ∇ψ .

Khi đó hàm (1.1) được viết lại thành

∫ ( ϕ∇ ψ + ∇ϕ.∇ψ ) dτ = ∫ ϕ
2

V

s

∂ψ
da ,
∂n

(1.2)

ở đây tơi đã sử dụng tính chất vi phân.

∇.( ϕ∇ψ ) = ϕ∇ 2ψ + ∇ϕ .∇ψ

và
ϕ∇ψ .n = ϕ

∂ψ
.
∂n

Phương trình (1.2) được gọi là định lý Green thứ nhất.
Vì hai đại lượng vơ hướng ϕ và ψ là bất kỳ nên ta cũng có thể biểu diễn đại
ur

lượng C như sau
ur
C = ψ ∇ϕ .

5


Khi đó biến đổi tương tự như trên ta được

∫ ( ψ∇ ϕ + ∇ϕ .∇ψ ) dτ = ∫ψ
2

V

S

∂ϕ

da .
∂n

(1.3)

Từ hai phương trình (1.2) và (1.1.3) ta có
 ∂ψ
∂ϕ 
−ψ
÷da .
∂
n
∂
n

S

∫ ( ϕ∇ ψ −ψ∇ ϕ ) dτ = ∫  ϕ
2

2

V

(1.4)

Phương trình (1.4) được gọi là định lý Green thứ hai.
Bây giờ ta sẽ sử dụng định lý Green để chứng minh tính duy nhất của một số
phương trình tốn sau đây.
I. 2. Phương trình dao động sợi dây

I.2.1. Phương trình dao động của sợi dây
ur

Ta xét sợi dây căng có lực căng T , nghĩa là ở mỗi điểm của sợi dây ln có
ur

hai lực T tác dụng ngược chiều nhau và có phương tiếp tuyến với sợi dây tại
điểm đó. Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng
ur

chiều dài của sợi dây, do đó sức căng T là như nhau ở mọi tiết diện trong suốt
quá trình dao động. Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục
x, còn dao động của sợi dây xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển
vng góc với trục x và nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục x. Gọi u là độ
lệch của sợi dây khỏi vị trí cân bằng. Trong q trình dao động, u là hàm của
hồnh độ x và thời gian t, u = u (x, t). Sử dụng phép biến đổi giải tích chúng ta
thu được phương trình dao động của sợi dây có dạng sau
utt'' (x,t ) − a 2u xx'' (x,t ) = − g (x,t ) ,

6

(1.5)


trong đó a 2 =

T
, g (x,t) là hàm đặc trưng cho ngoại lực tác dụng vào sợi dây. Nếu
ρ

g(x,t) = 0 thì phương trình (1.5) là phương trình thuần nhất, mơ tả dao động tự do
của sợi dây. Cịn nếu g (x, t) ≠ 0 là phương trình khơng thuần nhất, mô tả dao
động cưỡng bức của sợi dây.
I.2.2. Tính duy nhất nghiệm của bài tốn hỗn hợp dao động sợi đây
Phương trình (1.5) cùng với các điều kiện ban đầu bất kỳ
u t =0 = f (x ), ut'

t =0

= F (x )

(1.6)

và các điều kiện biên tùy ý
u x =0 = ϕ (t )
u x'

x=0

u x =l = φ (t )

(1)

= ϕ1 (t ) (2)

u x'

x =l

(3)

= φ1 (t ) (4)

(1.7)

⇒Tạo thành bài toán hỗn hợp dao động của sợi dây.
Ứng với mỗi tổ hợp gồm 2 trong 4 phương trình trên ta thu được các bài toán
khác nhau như (1), (3) ; (1), (4); (2), (3); (2), (4). Mỗi bài tốn đều có thể tìm
được lời giải bằng phương pháp tách biến theo những kiểu khác nhau.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng không thể tồn tại hơn một nghiệm của các bài
toán như vậy. Giả sử rằng có tồn tại hai hàm u 1 và u2 thỏa mãn phương trình
(1.5), điều kiện ban đầu (1.6) và tổ hợp 1 trong 4 điều kiện biên bất kỳ (1.7). Khi
đó ta xét hiệu u = u1 – u2 phải thỏa mãn phương trình thuần nhất
utt'' − a 2u xx'' = 0 ,

với điều kiện ban đầu
7

(1.8)


u

t =0

= 0 , ut'

t =0

=0

(1.9)

và các tổ hợp hai trong bốn điều kiện biên

u x =0 = 0 (1)
u x'

u

= 0 (2)

x =0

x =l

u x'

= 0 (3)

x =l

= 0 (4) .

(1.10)

Giả sử rằng các điều kiện ban đầu và điều kiện biên của u là tùy ý, khác
không như (1.7). Khi đó nhân (1.8) với ut' và lấy nguyên hàm nó theo biến x ta
được
l

l

∫ u u dx − a ∫ u u
' ''
t tt

0

Bởi vì ut'utt'' =

1 ∂ '
u
2 ∂t t

( )

2

' ''
t xx

2

dx = 0 .

(1.11)

0

nên vế trái của tích phân (1.11) được viết lại thành
l

' ''
∫ ut utt dx =
0

l

2
1 ∂
ut' dx .
∫
2 ∂t 0

( )

Sử dụng tích phân từng phần cho vế phải, tích phân (1.11) trở thành
l

' ''
' '
∫ ut uxx dx = ut ux
0

l l '' '
− u u dx .
0 ∫0 tx x
l
0

' '
Theo điều kiện biên (2) và (4) của (I.2.6) ta rút ra được ut u x = 0 .

Do đó

l

l

0

0

' ''
'' '
∫ ut uxx dx = − ∫ utxux dx = −

8

l

1 ∂ '2
u dx .
2 ∂t ∫0 x


Khi đó tích phân (1.11) được viết lại
l

1 ∂
ut'2 + a 2u x'2 dx = 0 .
∫
2 ∂t 0

(

)

Từ đó ta rút ra
l

∫( u

'2
t

)

+ a 2u x'2 dx = C = const ,

0

với a 2 =

(1.12)

T
biểu thức (1.12) ta có thể viết lại thành
ρ

1

l

∫  2 ρu
0

'2
t


1
+ Tu x'2 ÷dx = E ,
2


(1.13)

1
2

trong đó E = ρ C .
Ở đây
l

1
ρ ut'2 dx = K (t )
∫
20

(1.14)

là động năng của sợi dây ở thời điểm t, còn
l

1
Tu '2 dx = U (t )
2 ∫0 x

(1.15)

là thể năng của của sợi dây.
Khi đó ta thấy biểu thức (1.13) có thể viết lại thành K(t) + U(t) = E là năng
lượng toàn phần của sợi dây. Ta thay t = 0 trong các công thức (1.14) và (1.15)
'
và chú ý đến ut

t=0

= F (x ) ; u

t=0

= f (x) và u x'

9

t =0

= f '(x) ta sẽ có đẳng thức sau

l

l

1
1
E = K (0) + U (0) = ρ ∫ F 2 (x)dx + T ∫ f '2 (x)dx .
2 0
2 0

Nghĩa là tại thời điểm t bất kỳ ta ln có
l
l
 1 '2 1 '2 
1
1
2
ρ
u
+
Tu
dx
=
ρ
F
(
x
)

dx
+
T
f '2 (x)dx .
∫0  2 t 2 x ÷ 2 ∫0
∫
2 0
l

(1.16)

Bây giờ ta quay lại các điều kiện (1.11) thì các hàm F(x) = 0 và f(x) = 0, do
đó đối với t ≥ 0 ta ln có
l

l

1
1
ρ ∫ ut'2 dx + T ∫ u x'2 dx = 0 .
2 0
2 0

Từ đó hiển nhiên ta rút ra ut' (x,t ) = 0 và u x' (x,t ) = 0 . Điều đó có nghĩa là u(x, t)
= a. Nhưng bởi vì u

t=0

= 0 , cho nên a = 0 vậy u(x, t) = 0 nghĩa là u 1 = u2. Như

vậy, tôi đã chứng minh được rằng không tồn tại hai hàm khác nhau thỏa mãn
phương trình (1.8) với các điều kiện biên ban đầu (1.9) và các điều kiện biên
(1.10), nghĩa là bài tốn khơng có hơn một nghiệm.
I. 3. Phương trình Maxwell
Chúng ta đã biết, điện và từ là hai trường thống nhất với nhau, nó là một
trường duy nhất được gọi là trường điện từ. Nhà bác học Maxwell đã thống nhất
và đưa ra bốn phương trình tổng quát thể hiện mối quá hệ giữa điện trường và từ
trường được gọi là hệ phương trình Maxwell
[8]
ur
∇D = ρ ,
ur
.
∇B = 0 ,
ur
ur
∂B
∇∧E = −
,
∂t

10

(1.17)
(1.18)
(1.19)


ur
uu

r r ∂D
∇∧H = j+
.
(1.20)
∂t
ur
ur
ur
Bây giờ, ta đưa vào đại lượng thế vectơ C sao cho B = ∇ ∧ A . Thế vào

phương trình (1.19) ở trên ta thu được

ur
 ur ∂ A 
∇∧E +
÷= 0 .
∂t 


(1.21)

ur
ur
∂A
E=−
− ∇ϕ .
∂t

(1.22)

Ta đưa vào hàm vơ hướng ϕ, từ phương trình (1.21) ta có thể viết lại :
ur

Khi đó hàm A được gọi là thế vectơ của trường từ, ϕ là thế vô hướng của
trường điện.
Xét trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, µ và ε khơng phụ thuộc vào
trường. Ta thu được công thức mối quan hết giữa cảm ứng điện và cường độ điện
trường, cảm ứng từ và cường độ
từ trường
như sau
ur
ur ur
uu
r
D = ε 0ε E ; B = µµ0 H .
ur
Biểu diễn qua các thế vectơ A và thế vô hướng ϕ ta được.
ur
r
ur
ur

1
∂ A  uu
∇ ∧ A.
D = −εε 0  ∇ϕ +
÷; H =
µµ0
∂t 


(1.23)
(1.24)

Thế vào hai phương trình (1.17) và (1.20) ta thu được hai phương trình tương
ứng sau

ur
∂A
1
∇ ϕ +∇
=−
ρ,
∂t
εε 0

(1.25)

ur
∂ϕ
∇ A + εµε 0 µ0∇
=0.
∂t

(1.27)

2

ur
ur

r
∂ϕ
∂2 A
∇ ∧ ∇ ∧ A + εε 0 µµ0∇
+ εε 0 µµ0 2 = µµ0 j .
(1.26)
∂t
∂t
ur
Bây giờ ta giả sử chọn thế vec tơ A và thế vô hướng ϕ sao cho thỏa mãn

thêm điều kiện

Khi đó các phương trình (1.25) và (1.26) trở thành các phương trình tương
ứng sau

11


∂ 2ϕ
1
∇ ϕ − εµε 0 µ0 2 = −
ρ,
(1.28)
εε 0
∂t
ur
ur
ur
r

∂2 A
∇ ∧ ∇ ∧ A − ∇ ∇ A + εε 0 µµ0 2 = µµ0 j .
(1.29)
∂t
ur
ur
ur
2
Chú ý, mối quan hệ ∇ ∧ ∇ ∧ A = ∇ ∇ A − ∇ A phương trình (1.29) trở thành
2

( )

phương trình

( )

ur
ur
r
∂2 A
∆ A − εε 0 µµ0 2 = − µµ0 j .
∂t

(1.30)
ur

Như vậy, từ bốn phương trình Maxwell sau khi biểu diễn qua thế vec tơ A và
thế vô hướng ϕ ta đã thu được hệ ba phương trình (1.27), (1.28), (1.30), trong đó
phương trình (1.29), (1.30) chính là phương trình truyền dao động trong mơi

trường vật chất.
Nếu bây giờ ta xét trong môi trường vật chất tự do, khơng có điện tích,
khơng có dịng điện thì 3 phương trình trên trở thành
ur
∂ϕ
∇ A + εµε 0 µ0∇
=0,
∂t
∂ 2ϕ
∆ϕ − εµε 0 µ0 2 = 0 ,
∂t
ur
ur
∂2 A
∆ A − εε 0 µµ0 2 = 0 .
∂t

(1.31)
(1.32)
(1.33)

Các phương trình (1.32) và (1.33) chính là một dạng khác của phương trình
sóng điện từ trong các mơi trường tự do, trong đó

1
= µεµ0ε 0 là vận tốc truyền
v2

sóng điện từ trong mơi trường vật chất. Trong đó phương trình (1.32) thể hiện sự
lan truyền trường điện trong môi trường, phương trình (1.33) thể hiện sự lan

truyền trường từ trong mơi trường, phương trình (1.31) là mối quan hệ giữa điện
và từ khi lan truyền. Khi xét các bài toán dao động điện từ cụ thể, ngồi các
ur

phương trình thể hiện sự biến đổi thế vô hướng ϕ và thế vectơ A bởi các phương
trình (1.32) và (1.33), chúng cịn thoản mãn thêm các điều kiện kích thích ban
12


đầu và điều kiện biên. Kết hợp chúng lại, chúng ta có dạng tương tự như bài tốn
dao động hỗn hợp của sợi dây. Do đó, chúng cũng có tính duy nhất nghiệm.
I. 4. Phương trình Poisson, Laplace
I.4.1. Điện trường
Xuất phát từ công thức (1.28), khi hệ ở trạng thái dừng thì
∆ϕ = −

∂ 2ϕ
= 0 . Vậy
∂t 2

1
ρ.
εε 0

(1.34)

Phương trình (1.34) được gọi là phương trình Poisson trong điện động lực
học, phương trình này thể hiện mối qua hệ giữa hai đại lượng thế vô hướng ϕ và
mật độ điện tích ρ tại điểm ta xét, hàm này thỏa mãn với mọi vị trí trong vùng
giới hạn bởi diện tích S. Nếu ta xét một điểm trên bề mặt của diện tích S và ở

ngồi S thì khi đó mật độ điện tích khối ρ = 0, hàm (1.34) trở thành
∆.ϕ = 0 .

(1.35)

Phương trình (1.35) được gọi là phương trình Laplace, phương trình này thể
hiện đặc điểm biến đổi của đại lượng vô hướng ϕ tại biên của vùng S nên còn gọi
là điều kiện biên Laplace.
Bây giờ, bằng cách sử dụng 2 định lý Green đã được trình bày trọng mục
(1.1) của luận văn, tơi sẽ lần lượt đi chứng minh tính duy nhất nghiệm của
phương trình (1.34) và (1.35).
Ta giả sử rằng tồn tại hai nghiệm độc lập ϕ1 và ϕ2 thỏa mãn hai phương trình
(1.34) và (1.35) khi đó ta có

13


uu
r
ρ
ρ
∇ E1 = − ,
;
ε0
ε0

(1.36)

uur
ρ

ρ
∇ E2 = −
;
ε0
ε0

(1.37)

∆ϕ1 = −

∆ϕ 2 = −

⇒ Thoản mãn với mọi vị trí trong V.
∇ 2ϕ1 = 0 ; ∇ 2ϕ 2 = 0

(1.38)

⇒ Thoản mãn với mọi vị trí trên S.
Hai phương trình (1.36) và (1.37) thỏa mãn với mọi điểm bên trong mặt kín
S.
Khi đó xét hàm:
ur

uu
r uur

U = φ1 – φ2; E = ∇U = E1 − E2 ,
hàm này thỏa mãn ∇ 2U = ∇ 2ϕ1 − ∇ 2ϕ2 = 0 trong S. Từ phương trình (1.2) xét trường
hợp ϕ = ψ = U thì ta được

∫(

V

)

U ∇ 2U + ( ∇U ) dτ = ∫ U
2

S

∂U
da ,
∂n

hay

∫ ( ∇U )

V

2

dτ = ∫ U
S

∂U
da .
∂n

Áp dụng điều kiện biên Dirichlet và Neuman [7,8] thì U = 0 hoặc
lần lượt xét tứng trường hợp trên.

14

(1.39)
∂U
= 0 . Ta
∂n


 Nếu U = 0 tại mọi vị trí trên mặt S thì phương trình (1.39) trở thành

∫ ( ∇U )

V

2

dτ = 0 ⇒ ∇U = 0 hay U là hằng số tại mọi điểm trong S. Để đảm bảo tính

liên tục trên mặt S và trong S bắt buộc U = 0 tại mọi vị trí trong V, khi đó ϕ1 = ϕ2
hay tính duy nhất nghiệm của phương trình Poisson và Laplace được chứng
minh.
 Nếu U là hằng số trên mặt S khi đó sử dụng tích phân Gauss ta có
U∫
S

Khi đó

∂U
da = U ∫ ∇ 2Udτ = 0 .
∂n
V

∂U
= 0 , phương trình (1.39) trở thành
∂n

∫ ( ∇U )

V

2

dτ = 0 ⇒ ∇U = 0 hay U

ur

hằng số tại mọi điểm trong và trên S. Khi đó điện trường E = 0 tại mọi vị trí
uu
r uur

trong V, hay E1 = E2 . Vậy, điện trường có tính duy nhất trong trường hợp này.
Như vậy, bằng những lập luận ở trên, tơi đã chứng minh được tính duy nhất
nghiệm của phương trình Poisson và Laplace. Điều đó có nghĩa rằng, nếu bằng
cách nào đó chúng ta thay thế nguồn sao cho trường khơng đổi thì đó cũng là
một nghiệm của bài toán đang xét.
I.4.2. Từ trường
ur

∂2 A
Từ phương trình (1.30), khi hệ ở trạng thái dừng, ổn định thì 2 = 0 , ta thu
∂t

được
ur
r
∆ A = − µ0 j .

15

(1.40)


Phương trình (1.40) được gọi là phương trình Poisson trong từ trường. Nó
đúng với mọi vị trí trong đường cong kín C.
ur

ur

Vì A là vec tơ thế bất kỳ. Để cho tiện trong tính tốn ta lựa chọn thế vectơ A
ur

thỏa mãn ∇ A = 0 khi đó phương trình (1.40) trở thành
ur
ur
ur
r
∇ ∧∇ ∧ A = ∇ ∇A −∆A = µ 0 j .

( )

(1.41)

Bây giờ, ta sẽ đi chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.40).
ur

ur

ur

Xuất phát từ phương trình (1.1) ta thay vec tơ C bằng vectơ P ∧ ∇ ∧ Q ta thu
được
ur

ur r

ur

ur

∫ ( P ∧ ∇ ∧ Q ) nda = ∫ ∇ ( P ∧ ∇ ∧ Q ) dτ .
S

(1.42)

V

Phương trình này tương đương với
ur

ur r

ur

ur

ur

ur

∫ ( P ∧ ∇ ∧ Q ) nda = ∫ ( ∇ ∧ P ) . ( ∇ ∧ Q ) − P ( ∇ ∧ ∇ ∧ Q ) dτ .
S

(1.43)

V

ur

ur

ur

ur

ur

Chúng ta chọn hai vec tơ P và Q sao cho P = Q = A khi đó phương trình
(1.43) trở thành

∫(
S

ur
ur r
ur 2 ur
ur
A ∧ ∇ ∧ A nda = ∫  ∇ ∧ A − A ∇ ∧ ∇ ∧ A dτ .


V

)

(

)

(

)

(1.44)
ur

ur

Giả sử phương trình (1.40) và (1.41) có hai nghiệm thỏa mãn A1 và A2 thay
vào các phương trình này ta được

ur
r
ur
r
∆ A1 = − µ0 j , ∆ A2 = − µ0 j ,
ur
r
ur
r
∇ ∧ ∇ ∧ A1 = µ0 j , ∇ ∧ ∇ ∧ A2 = µ0 j .
ur

ur

ur

Đặt vectơ C = A1 − A2 khi đó ta được
16

(1.45)
(1.46)


ur
uu
r
uur
ur
∆C = ∆ A1 − ∆ A2 = 0 ; ∇ ∧ ∇ ∧ C = 0 .
ur

(1.47)

ur

Từ phương trình (1.42) ta chọn C = A và chú ý đến phương trình (1.47) ta thu
được
ur

ur r

ur

∫ ( C ∧ ∇ ∧ C ) nda = ∫ ( ∇ ∧ C ) dτ .
S

2

(1.48)

V

Vế trái của phương trình (1.48) được viết lại như sau
ur

ur r

r

ur

ur

∫ ( C ∧ ∇ ∧ C ) nda = ∫ ( n ∧ C ) ( ∇ ∧ C ) da .
S

r

(1.49)

S

ur

Nếu ( n ∧ C ) là hằng số trên S thì chúng ta có
r

ur

ur

r

ur

ur

r

ur

ur

∫ ( n ∧ C ) ( ∇ ∧ C ) da = ( n ∧ C ) ∫ ( ∇ ∧ C ) da = ( n ∧ C ) ∫ ( ∇ ∧ ∇ ∧ C ) dτ = 0 .
S

S

V

(1.50)

Khi đó từ phương trình (1.48) ta thu được
ur

ur

∫ ( ∇ ∧ C ) dτ = 0 ⇒ ∇ ∧ C = 0 .
2

V

(1.51)

ur

Như vậy thành phần tiếp tuyến của vec tơ C trên S bằng 0. Phương trình
uu
r

uur

uu
r uur

(1.51) có thể viết lại thành ∇ ∧ A1 = ∇ ∧ A2 hay B1 = B2 tại mọi điểm trên S. Như
vậy trường có tính duy nhất theo phương trình Poisson ở trên.
I.5. Kết luận
Như vậy, bằng các thủ thuật biến đổi tốn học, tơi đã lần lượt chứng minh
được tính duy nhất nghiệm của một số phương trình như: Phương trình dao động
sợi dây, hệ phương trình Maxwell, phương trình Poisson và Laplace cho điện và
từ. Đây là bốn phương trình tổng quát và quan trọng trong điện, từ trường và cơ
học. Nó thể hiện mọi sự biến đổi, phân bố và mối quan hệ của các đại lượng
17


trong trường đang xét. Do đó, nếu bằng phương pháp, cách thức nào đó chúng ta
tìm được trường sao cho mọi tính chất, đắc điểm của trường này trùng với
trường đang xét ban đầu thì đó chính là nghiệm của bài toán mà chúng ta mong
muốn ban đầu.
Phương pháp thay thế trường của các hệ tạo ra là phương pháp phổ biến để
thực hiện được kết quả này. Nếu hình ảnh trường, quỹ đạo của vật đang tìm trùng
với hình ảnh trường và quỹ đạo của một số bài toán đơn giản thì ta hồn tồn có
thể thay thế để làm đơn giản lời giải cho bài tốn. Đây chính là cơ sở của phương
pháp ảnh được trình bày ở chương 2 của luận văn.

CHƯƠNG II. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP ẢNH
II.1.

Phương pháp ảnh điện

II.1.1. Điều kiện áp dụng phương pháp ảnh điện
Về mặt lý thuyết, bằng các công cụ tốn học, cho phép chúng ta có thể tính
tốn được điện thế tĩnh tại điểm bất kỳ bên trong trường, khi điện tích và sự phân
cực điện mơi được xác định hoàn toàn. Tuy nhiên, trên thực tế việc này cực kỳ
khó khăn và phức tạp. Thơng thường, ta giải quyết các bài tốn một số điện tích
đặt bên ngồi vật hoặc vật đặt trong một trường nào đó, do hiện tượng cảm ứng
điện, sự phân cực của các chất điện mơi và sự phân bố điện tích bề mặt trên vật
dẫn phải được xác định, sao cho thỏa mãn các điều kiện biên trên các bề mặt
không liên tục.
Các bài tốn tĩnh điện của dạng này, chúng ta có thể chia làm hai loại chính:
bài tốn với biên đồng nhất và không đồng nhất. Để minh họa cho bài toán với

18