Tài liệu Các đặc trưng số của vector (X, Y)_chương 8 pptx

§2. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y)
2.1. Đặc trưng của phân phối có điều kiện
2.1.1. Trường hợp rời rạc
Xx
1
x
2
…x
i
…x
m
P
X/Y=y
j
P
1/j
p
2/j
…p
i/j
…p
m/j
Yy
1
y
2
…y
j
…y
n
P

Y/X=x
i
q
1/i
q
2/i
…q
j/i
…q
n/i
a/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y
j
[]
m
jii/j
i1
MX/Y y xp
=
==
å

Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x
i
[]
n
ijj/i
j1
MY/X x yq
=
==

å

b
/ K
y
ø vọn
g
có điều kiện của X với điều kiện Y
+ M(X/Y) là đại lượn
g
n
g
ẫu nhiên nhận
g
iá trò
M(X/y
j
) khi Y = y
j
và
(Y) M(X/ Y)Y=
.
+ M(Y/X) là đại lượn
g
n
g
ẫu nhiên nhận
g
iá trò
M(Y/x

i
) khi X = x
i
và
(X) M(Y/ X)Y=
.
2.1.2. Trường hợp liên tục
M(X / y) xf(x / y)dx (y)==Y
ò

M(Y / x) yf(y / x)dy (x)==Y
ò
.
2.2. Kỳ vọng của hàm 1 vector ngẫu nhiên (rời rạc)
Cho (X, Y) có phân phối P[X=x
i
, Y=y
j
] = p
ij
và
Z(X,Y)=j
thì
mn
ijij
i1j1
M(Z) M[ (X,Y)] (x,
y
)p .
==

=j = j
åå

VD Cho
Z(X,Y)XY=j = +
vaø baûng sau
(X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
p
ij
0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
M(Z) (0 0).0,1 (0 1).0,2 (0 2).0,3=+ ++ ++
(1 0).0, 05 (1 1).0,15 (1 2).0, 2 1, 75++ + + + + =
.
§3. TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ
3.1. Tính chất của k
y
ø vọn
g
M(X)
+ M(C) = C, với C = const và P(C) = 1.
+ M(CX) = CM(X).
+ M(X + Y) = M(X) + M(Y).
+ M(XY) = M(X)M(Y), nếu X và Y độc lập.
3.2. Tính chất của phương sai D(X)
+ D(C) = 0 và D(X) = 0 suy ra P[X = C] = 1.
+ D(CX) = C
2
D(X).
+ D(X +Y) = D(X) + D(Y), nếu X và Y độc lập.
Đặc biệt

+ D(X + C) = D(X) + D(C) = D(X).
+ D(X – Y) = D(X) + (-1)
2
D(Y) = D(X) + D(Y).
§4. ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA
CÁC ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT
4.1.
A
X H(N;N ;n)
Ỵ
AA
knk
NNN
A
n
N
CC
P[X k] H(N;N ;n;k)
C
-
-
== =
.
Kỳ vọng
A
N
M(X) np, p .
N
==

Phương sai
N
n
D(X) npq , q 1 p.
N
1
-
==-
-

4.2.
Î
XB(n;p)
-
== =
kknk
n
P[X k] C p q (k 0,n).

a/
{
}
=
Î
=
00
max
Mod[X] k {0;1; ;n}/ P[X k ]
.
Ta coù

-£ £ -+
0
np q k np q 1.
VD
Cho
Î
XB(100;0,03)
, ta coù
-= £ £ -+=
0
np q 2,03 k np q 1 3,03

Þ=Mod[X] 3
.
b/ Kyứ voùng
=M(X) np
.
c/ Phửụng sai
=D(X) npq
.
ẹaởc bieọt
M(X)=p
XB(p)
D(X)=pq
ỡ
ù
ù
ẻị =
ớ
ù

ù
ợ
n1,.

4.3.
ẻ
lXP()

==lMX DX() () .

4.4.
(
)
ẻms
2
XN;

==m=s
2
Mod X M X D X[] () ,() .

Chươn
g
VI.
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT
§1. Một số loại hội tụ tron
g
xác suất
1.1. Đònh n
g

hóa
Cho X và dãy {X
i
}, i = 1;2;…;n là các đại lượn
g

ngẫu nhiên.
a
/
Hội tụ hầu chắc chắn
¾¾¾®Û ® =
hcc
nn
XXPXX1

[].

b/ Hội tụ trun
g
bình toàn phươn
g

()
éù
¾¾®Û - ®
êú
ëû
2
2
l

nn
XXMXX0.

c/ Hội tụ theo xác suất
éù
¾¾®Û - ³e®"e>
ëû
P
nn
XXPXX 00,.

1.2. Hội tụ theo phân phối
a/ Đònh l
y
ù liên hệ
g
iữa siêu bội và nhò thức
Nếu n cố đònh, N tăng vô hạn và
®¹¹
A
N
p0p1
N
()
thì
-
== ®
kknk
An
PX k HNN nk Cpq[](,,,)

.
Ý n
g
hóa
Nếu n nhỏ không đáng kể so với N thì
()

-
-
-
»==
AA
knk
NNN
kknk
A
n
n
N
CC
N
Cpq p k 0n
N
C
,,.

b/ Đònh l
y
ù
g

iới hạn Poisson
Nếu
®¥ ® ®lnp0np,,
thì
-l
-
l
»
k
kknk
n
e
Cpq
k
.
!

c/ Đònh l
y
ù
g
iới hạn tích phân Moivre
–
Laplace
Với n đủ lớn, p không quá gần 0 và 1 thì
-
+== »
kknk
n
1

PX k Cpq ft
npq
[] ()
, với


-
-
==
p
2
t
2
1knp
ft e t
2 npq
() , .

+P[k ]
ỉưỉư
+- -
÷÷
çç
÷÷
££+»j -j
çç
÷÷
çç
÷÷
÷÷

çç
èøèø
khnp knp
Xkh
npq npq
.
VD Trong 1 thành phố có 40% người dân có thu
nhập cao. Chọn ngẫu nhiên 300 người (chọn từng
người). Tính xác suất để trong 300 người được chọn
a/ Có 140 người có thu nhập cao.
b/ Có khoảng 100 – 140 người thu nhập cao.
Giaỷi
Ta coự n = 300, p = 0,4 vaứ q = 0,6.
a/
-
==ằ
140 300 0 4 20
t236
300 0 4 0 6 6 2
.,
,
.,.,

ị== ằ
11
P X 140 f 2 36 0 0246
62 62
[](,).,.
b/
ÊÊ ằP 100 X 140 0 9818[],.