Bài tập nâng cao động học chất điểm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (826.07 KB, 34 trang )
2. BAI TAP LUYEN TAP TONG HOP
Chuyén dé 1: CHUYEN DONG THANG DEU
1. Hai xe chuyển động thăng đều trên cùng một đường thắng với các vận tốc không đổi: v, = 40 (Am / h)
va
v, = 60(Am/h). Tinh d6 giam khoang cach gitta hai xe sau 1,5% khi:
—
hai xe chuyén dong ngược chiêu.
—
hai xe chuyển động cùng chiêu.
Bài giải
—_
Chọn chiều đương là chiều chuyển động của mỗi xe. Ta có: s, = vị; s; = 9›;f.
—_
Khi hai xe chuyển động ngược chiều: As = s, + s; =(v, +9,)/.
—
Khi hai xe chuyển động cùng chiều: As'=|s, — s;|= (v; —v,)/.
As = (40+ 60).1,5 =150km
ta
dạo si.
= 30km
Vậy: Độ giảm khoảng cách giữa hai xe khi hai xe chuyển déng nguoc chiéu 1a 150km
và khi hai xe
chuyên động cùng chiều là 30#z:.
2. Một con kiến chạy ra từ một lỗ nhỏ thơng xuống tơ kiến dưới lịng đất, kiến chạy theo một đường thăng
sao cho vận tốc của nó tỉ lệ thuận với khoảng cách đến lỗ nhỏ. Tại thời điểm mà con kiến cách lỗ nhỏ một
khoảng /, =1m thi van toc cia no 1a v, =2(cm/s). Sau thời gian bao lâu, kiến sẽ cách lỗ nhỏ một khoảng
L, = 2m ?
Bài giải
cách nên
A
Nà
A
~
2
A
A
sa
rie
2
zy
1
đó đơ thị biêu diễn phụ thuộc của — vào / là một đường
v
Vv A
iy
l/Vạ + - --------------- NZ
M
thăng qua gốc tọa độ như hình trên. Diện tích hình thang
MNIjI, năm dưới đồ thị từ 7 đến 7, sẽ có số đo bằng thời
| /v
i
————
bang:
—
—
l
s=1-[441](4-4)
Vv,
La.
Vy
_——
gian ma kiến chuyển động từ khoảng cách 7 đến /, và
2
1
1
1
l
Vol,
Vy
nỉ
Trén d6 thi, tacd: taaœ==——=——<>—=-——.
vi,
~~
+
ee
eee
2
—
nghịch đảo của vận tôc sẽ tỉ lệ thuận với khoảng cách, do
`
mw
Vì vận tốc của kiến tỉ lệ nghịch với khoảng
bP
— _ Thời gian chuyển động của kiến từ khoảng cách lh dén /, la: t= ar
Yị
= 75s.
1
Vay: Sau 75s, kién sẽ cách lỗ nhỏ một khoảng 7, = 2z:.
3. Một xe đạp xuất phát từ một điểm
44 trên đường cái để
trong một khoảng thời gian ngăn nhất đi đến một điểm
Ø
A
C
X
D
năm trên cánh đồng (hình vẽ).
Khoảng cách từ B đến đường cái băng 7.
Vận
tốc của xe đạp
(m>1)
chạy trên cánh
đồng
L
nhỏ
hơn
ø
lần
B
so với vận tốc của nó khi chạy trên đường cái. Hỏi
xe đạp phải rời đường cái từ một điểm Œ cách 2 một khoảng x bao nhiêu?
(Trích đê thi Olympic 30/4, 1997)
Bài giải
Gọi v,,v, 1a van tốc xe đạp khi đi trên đường cái và khi đi trên cánh đồng (v, = m, ).
AD-x + Vx +l’
4Dv,+v,Nx +
—_
Thời gian vật đi từ 4 đến C rồi đến B: t=
—_
Vì A4D,v,,v, không đổi nên /=/,.. khi y= y„„, với youve +L —v,x.
—
Tacó: y=w,ýx +
—
Quan hệ x và y chỉ có ý nghĩa khi phương trình có nghiệm, nghĩa là A >0.
Vo
VỊY›
-v,xe© (ví —v;)x” —2y,x+vị - y” =0.
<©>A'= yy; -(v#
—
vi
—v,x
-3)(v
—v;) >0>y
>7 ty
—v;).
Thoigian ¢=¢,,. khi y=y,,,.
.
Lúc đó: y„„ = 'Ajv/ —v;
Vậy:
Để
x=
Ly,
di
dén
_
2
2
Vv, — Vv;
B
trong
.
L
L
ứng với nghiệm kép của x: x= —Ừ_—\V¿ —Y;
khoảng
thời
gian
ngăn
nhất
người
n—1.
đó
phải
đi
từ
€
cách
2
đoạn
L
Vn
2
—1
°
4. Hai ca nô 4 và Ø xuất phát đồng thời từ một cái phao neo chặt ở giữa một dịng sơng rộng. Các ca-nô
chuyển động sao cho quỹ đạo của chúng là hai đường thăng vng góc với nhau, ca-nơ
4 di doc theo bờ
sông. Sau khi đi được cùng quãng đường 7 đối với phao, hai ca nô lập tức quay trở về phao. Cho biết độ lớn
vận tốc của mỗi ca nô đối với nước luôn gấp ø lần vận tốc của dòng nước so với bờ. Gọi thời gian chuyên
động đi và về của mỗi ca nô 4 va B 1an luot la ¢, va ¢, . Hãy xác định tỉ sô ~.
^
.
`
A
2
x:
^
`
Az
`
`
~
a
.
2
A
t
tB
(Trich dé thi Olympic 30/4, 2001)
Bai giai
—
Van téc của ca-nô
44 đối với nước sẽ là v'=nu.
—
Thời
gian
vệ
của
a
L
L
—
4
u(n4l)
—_
di
1
u(n-1)
ca
4
nơ
2ln
dọc
theo
bờ
sơng:
(1).
u(n°—I
Hình a
Để quỹ đạo ngang sông chiếc ca-nô Z lúc đi phải hướng theo vận
tốc v' như hình a, cịn lúc về phải hướng theo vận tốc v' như hình b. Vận tốc của ca-nơ Ø đi ngang
sông là: y=
(nu)
—uw =unn’ -1.
sts
ˆ
`
2L
Thời gian đi vê của canơ B la: t, =——=
—_
Từ(]) và (2), ta có: a”
C¡
—_
Íp
A
>
A
t,
Vậy: Tỉ sơ -~©=
th
#~ —]Ì
Hình b
H
vn’ -1
5. Hai tàu thủy 44 và Ừ ở trên cùng một kinh tuyến. Tàu 44 ở phía Băc của Ø và cách Ø một khoảng d,.
Tàu 44 chun động đêu vê phía Đơng với vận tơc v„, tàu ư chun động đêu lên phía Băc với vận tôc v„.
Độ cong của mặt biển không đáng kể.
a)
Định khoảng cách cực tiêu giữa tàu 4 và tàu B.
b)
Tàu Ø phải chạy theo hướng nào dé bắt kịp tàu 44. Định thời gian rượt đuổi. Các tàu đều chuyên
động theo quỹ đạo thăng.
Bài giải
a)
Khoảng cách cực tiểu giữa hai tàu
Chọn sốc tọa độ ở 44,
hệ tọa độ
x44y
như hình vẽ.
Ta có: x, =V„f; yy =—địụ +v,f.
—
—
Khoảng cách hai tàu là đ, với 4” = x2 + y2.
od
=(v; +vz)# —2d,v,t +d, .
Tam
thức
a?
min
hai
2.2
".
-
bậc
4a
—
dyv.,
3
Vụ TYỳ
2
theo
sd.
mn
/
-
trên
dyv,
VV,
+V;,
cho:
+
Vậy: Khoảng cách cực tiêu giữa hai tàu là: đ,. =
dy V4
[2
2ˆ
V,tV,
Hướng chạy của tàu Ø và thời gian rượt đuổi.
b)
.
—
.
.
——)
.
Giả sử hai tàu gặp nhau ở C, với a =[B4,BC]:sing
—
AC
v,t
=%= =7
Vat
vy
=1,
Vp
Diéukién: sina <l>v,
—
2
Thoi gian ruot dudi: 7 =——
AB
BC
d
d
= £984 =
0
=
——.
Vy
Vy
y.Vl—sin°ø
vA Vv,
BI.
Vay: Tau B phai chay theo hướng hợp với hướng
AB
2
Vp
một góc @ voi sina = “+ và thời gian ruot
vp
dudi la T=—“
V4
VR
|-~+
B
6. Hai người bơi xuất phát từ một điểm 44 trên bờ sông và phải đến điểm B ở bờ bên kia, đối diện 4. Người
thứ nhất phải bơi theo hướng dé đến điểm ð, còn người thứ hai phải bơi theo hướng vng góc với dịng
chảy rồi khi đến bờ tại diém
đến
B
=2
cung
C phải chạy ngược trở lại với vận tốc u để về đến điểm
lúc. Biết vận tốc dòng
chảy
vạ =2kø/h,
B. Tim u dé hai người
vận tốc của hai người
bơi
đối với nước
Skm/h.
Bài giải
—
Thời
gian
—
Thời
của
người
thứ
nhất
Jv -v
gian
bơi
của
người
thứ
hai:
—
V
Thời gian của người thứ hai chạy từ Œ
đến 8:
-2°
t
Sf
|
h=“C=^”
(2).
V;
y
—_
cc
_
5
(1).
AB
,-4B_
Yị
bơi
=
45
1 tan œ
-48 %
1
(3).
Déhai ngudi dén B cùng lúc: /=/,+,.
F\| + ` |
——
V
>
A
V
|
k
-_
V3
*
>
ụ
a
/
là
AB__
a>
Vˆ—V¿
>u=
AB, AB vy
y
uy
2
2
w4y—v¿,
—
v-alv-v
2f2,5° —2?
2,5-2,5—-27
=3km/h
Vậy: Để hai người đến Ø cùng lúc thì vận tốc chạy của người thứ hai trên phải là u = 3km/h.
7. Hai xe chuyển động thăng đều trên hai đường thăng hợp với
nhau một góc
@
với vận tốc có độ lớn lần lượt là Vị, V;.
thời điểm hai xe cách nhau một khoảng nhỏ nhất 7
Biết tại
thì xe (1)
đang chuyển động hướng về giao diém O va cach O mot khoảng
/, nhu hinh vẽ. Tìm vị trí của xe (2) lúc này. Xét hai trường hợp:
a)
9, =v,v2 va a =45°.
b) vy, =v, va a =60°.
Bai giai
Khi hai xe cách nhau một khoảng ngăn nhất thi:
+ Vận tốc tương đối giữa chúng vng góc với
đường thắng nối hai vị trí của chúng.
+ Xe (2) dang roi xa O.
+ VỊ trí xe (2) tại J.
Áp dụng:
Trường hợp v, =v,VŸ2 va a =45°:
Áp dụng định lí hàm s6 cosin trong tam giac OIK, ta co:
V5 =v tv; +2v,v, cosa =v, + (v2)
— 2v,v, V2 cos 45° =v =>v, =v,
va
AOIK
vudng
can
ở
1:vw„ LOI=J=O©I,=0.
Vậy: Xe (2) lúc đó đang ở Ĩ.
b) Truong hop v, =v, va œ =60”:
Tam giác @Ø/K' đều, suy ra tam giác Ó/7 cân tại O: L=OJ=1,.
Vay: Xe (2) luc d6 dang 6 J, cach O mot doan gidng nhu xe (1).
§. Một xe buýt đuổi theo một xe đạp chạy trén mét duong thing
63km/h
AB
voi téc dé khong đổi lần lượt là
va 33km/h. Mot xe tai chay trén mot duong thang khác (không song song với 448) với tốc độ
khong d6i la 52km/h. Khoang cach tir xe tai dén xe buyt lu6n luén bang khoang cách từ xe tải đến xe đạp.
Tìm vận tơc của xe tải đơi với xe buýt?
Bài giải
Vì khoảng cách từ xe tải đến xe buýt luôn luôn băng khoảng cách từ xe tải đến xe đạp nên xe buýt (A), xe
đạp (B) và xe tải (C) khi chuyển động luôn tạo thành một tam giác cân.
Chọn hệ tọa độ Ĩxy
như hình vẽ:
.
.
v.+y
Van toc xe tai (C): vo. = vy =5”
A
A
2
°
—
—
2
A
2
—=VW.=V,+V
C
Cy
B
2
Cx
A
2
= Vey
_
=WVe
7 Vex
\
fo | Va t Vp
¿-|
2
H
\
T
\
|
|
— — —
Vận tốc xe tai (C) đối với xe buyt (A): v., =v. -V,.
(C4)
=.Ơ.¬
C
A=
_
—
Yicayy = Vey ~9=
v,-v,)
—=v.,=|
-——ˆ~|
2
v.+V,
2
lạ
ve-(
—V,=
A
(Vu+Vg
B
|
Vụ —V,
J
w
2
5
\
2
|
\ Vi,1 /
a,
v,tv,)
2
/
/
7—>—
O
X
/
/
y
yA
A\
+v.-|-—ˆ|
j
/
/
Vy
Vey
!
=v.-vự,
Vụ
T7 `
"+
—Ve¿=A|VẺ—v„vy =V52? — 63.33 = 25km/h
Vậy: Vận tốc của xe tải đối voi xe buyt 1a v., =25km/h.
9. Hai đường thăng d, va đ, tạo với nhau một góc 60°. Chúng chuyển
d;
động theo các vận tốc v, V3, theo phương vng góc với chính nó. Biết
vị =47m/ s, vy = 3m / s, tìm vận tốc của giao điểm .
0
a
Bài giải
Sau
lIsđ
đến
vi
trí
|
d',AH=v;d,
đến
vị
trí
d',, AK =v,;v=O0O': van toc cua giao diém O.
Ap dung dinh li ham sé sin cho
sin90°
sinó0
Và AC2
sin90°
sin60
43
A4HO'
va AAKO,
43
43
6 yg =
43
Ap dụng định lí hàm số cosin cho A4ØÒ1' ta được:
ta duoc:
d,’
OO” = AO”
+ AO’ — AO'.AO cos 60°
2
=>v=00'=
2
(| _
⁄3
&v=O00'= ir
+5= ya"
2
2
no
z=
4
— =
=F
=5,42m/s
Vậy: Vận tốc của giao điểm O 1a v=5,42m/s.
10. Thanh
AB
đồng
chất tiết điện đều đài
/
được
tựa vào bức
tường thăng đứng như hình vẽ. Đầu dưới Ø của thanh có một con
chuột bị theo thanh với vận tốc y khơng đổi đối với thanh ngay vào
thời điểm đầu dưới Ø của thanh chuyển động đều theo nền nhà về
phía phải với vận tốc
+. Hỏi trong quá trình chuyên động theo
thanh, con chuột lên được độ cao cực đại băng bao nhiêu so với nên
nhà vả tìm điều kiện của y và ø. Xét hai trường hợp:
—_
Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi chưa kịp lên
toi A.
—
Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi vừa 4.
Biết rằng ban đầu đầu Ø của thanh ở sát góc tường và đầu 44 của thanh luôn tựa vào tường.
Bài giải
Chọn góc thời gian lúc đầu B bat dau truot tir @;
là trung điểm của 4Ø; M
Độ
cao của con chuột tại thời điểm
/ là MK=”:
khoảng
Šš>>
—_
^^
điểm ứ.
cách từ góc Ĩ đến thanh ở thời điểm ¢ 1a ON =
-
Hai
OB =ut; BM
tam
giá
= vt; AG = BG =>.
ONB
va
MK
BM
h
Ví _v
——=——<—=—
>h=
ON
OB
H
ut u
—_
MKB
đồng
dạng
nên:
H~.
tu
Trong tam giác vng OGN,ON
=>h=h,,. oH =H,,. _.
Lúc đó: h
=H v=.
— _ Xét hai trường hợp:
H
2u
=45° (A4OB vng cân).
NA
Taco:
`
—
là vị trí của con chuột ở thời
e
Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi chưa lên kịp tới 4:
Ta CÓ: /
200845
0
tị
Lv2
(1).
2u
Con chuột chưa kịp lên tới 44. nên v/„ <”
Từ (1) va (2), ta được: v 1x2
<L>v
2u
e
(2).
Trường hợp con chuột đạt tới độ cao cực đại khi vừa tới 41:
^
DO cao h=h,,
Và: nh
a
max
`
GN
L
6 thoi diém ¢,,. =—.y
=\AB?—OB? =.|12
(u
—(ui
max
)
"= [2 -
L
iu
=
=)
°
ti
=1,1-|#
°
(=|
Vay: Trong qua trinh chuyén động theo thanh, con chuột lên được độ cao cực đại 7... =
Ly
ae
u
Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi chưa kịp lên tới 44 thì v< A2 ; trường hợp con
2
chuột đạt độ cao cực đại khi vừa lên t6i 4 thi 4, =L,/1- (=| „>1.
11. Trên đường thắng (A) có ba xe chuyển động cùng chiều. Người ngồi trên xe 1 thấy gió thổi vào xe mình
theo hướng øz =60°: người ngồi trên xe 2 thấy gió thối vào xe mình theo hướng /j =30°. Hỏi người ngơi
trên xe 3 thấy gió thổi vào xe mình theo hướng z nào.
Biét a, B,y là các góc tạo bởi hướng gió thổi (năm trong mặt phăng đứng chứa A) mà người ngồi trên xe
tương ứng thây và phương chuyển động (A) của các xe. Tốc độ chuyển động của xe 3 bằng trung bình cộng
của tốc độ xe I và tốc độ xe 2.
Bài giải
Ho
ĐÓ
ĐÀ
`
An tha aha nih thal AAL
Bs
Gọi v,,v,,v; lân lượt là vận tơc của gió thơi đơi với xe Ì, xe 2, Xe 3; v,, v,, 9, |» =
VitV, | 42
mm
.
chuyên động của các xe và ø là vận tơc gió thơi.
—
Theo
cơng
thức
cộng
vận
V =UtV,V, =U+V,5V; =U+V;
tơc,
có:
«
Với: BC=-v;BÉ=-v;BB=-v,
CD= DE).
ta
/
(với
An hk
lân lượt là vận tôc
—_
AH
Từ hình vẽ,tacó: HB+v,=———
(I)
tan 60
AH
HB+v,=———
ˆ_
HB +¥, = AH
tan vy
—
|2
tan301
So sanh (1), (2) va (3) ta được:
(2)
2AH
& 2HB
+ 2v, =
=
tany
]
tanó0”
+
(3)
tan vy
= tan y =
tan30
= 0,866 =
7 = 40°54"
Vậy: Người ngồi trên xe 3 thấy gió thối vào xe mình theo hướng z = 40°54'.
12. Có 4 bạn học sinh cùng đến trường tham dự kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 nhưng chỉ có 1 chiếc xe
máy và 2 nón bảo hiểm,
chấp hành luật giao thông nên 2 bạn đi xe và 2 bạn còn lại đi bộ, dọc đường bạn
đang ngồi sau xuống xe tiếp tục đi bộ và xe có 2 lần quay lại đón 2 bạn đi bộ ở những vị trí thích hợp sao cho
cả 4 bạn đến được trường cùng một lúc. Biết răng vận tốc đi xe gấp 5 lần đi bộ và coi răng vận tốc của các
bạn đi bộ đều như nhau, nơi xuất phát cách trường
5z.
Xác định vị trí mà xe đã đón 2 người đi bộ lên xe
cách vị trí xuất phát một đoạn bao nhiêu?
Bài giải
Giả st’ O
là nơi xuất phát:
7 là trường:
điểm xe đón 2 bạn đi bộ cịn C,D
4,
là 2
là 2 điểm mà hai
x(km)
A
bạn trên xe xuống tiếp tục đi bộ, ta có đồ thị chuyền
T1
L=œœœœœœœœĂœẶœœœœœœœœœœœœ
động của các bạn như hình vẽ.
D
——— ee
C
———>->>>~>~>~~~~
x/(€~ ~ « « « «
B
Se
A
F⁄---~>3⁄“Z“--------~~“
K
P
Do vận tốc đi bộ như nhau, vận tốc xe không
cac hinh OMNK,KNPO,OMPO
đổi nên
đều là những hình
bình hành.
Bạn
1 chỉ đi xe có đồ thị
OM
va di b6
MP,
PMKNOM , ban
ban 3 di b6
OK
KN , ban 4 di bo OO va di xe OP
va
2 di xe
NP
di xe
để 2, 3, 4 đến
N
M
eS
ies
O
trường cùng một lúc thì:
— OA=CD;OB=CT;
DT = AB
c>OA= AB=CD=pr-CT=£
—
Quang duong ma ban | phai di: s, =OA+3AB+5BC =3CD+ DT =5BC +804.
—
Thoi gian di duoc của xe: /= SBC +8OA
v
(1).
x
—
Quang duong ma ban 4 di la: OB + BT =OB+BC+CT.
--
-——<—-=
Ọ
—*>
t(h)
ơ
ge gy
OB
BC+CT
Thoi gian di la: Â=-+
v,
v
=
5OB+BC+CT
v
x
Vi OB =CT =204
nộn t=
.
x
60B+BC _120A+BC
Vv
Vv x
x
(2).
Tw (1) va (2), tacéd: 5BC +804 =120A4+ BC & BC = OA > SOA = OT = 5km.
= OA=l|km
va OB =2km.
Vậy: VỊ trí mà xe đã đón 2 người đi bộ lên xe cách vi tri xuất phát một đoạn (2⁄44 = OB = lkm.
13. Hai vành tròn mảnh bán kính ®, một vành đứng n, vành cịn lại chuyên
động tịnh tiến sát vành kia với vận tốc vy (hình vẽ). Tính vận tốc của giao điểm
Œ giữa hai vành khi khoảng cách giữa hai tâm O,O, =d.
Bài giải
Chọn trục tọa độ Ox
như hình vẽ.
—
Vi hai vịng trịn có bán kính như nhau, nên OH = S04 „ nghĩa là: x„ = =
—
Do do, theo phương năm ngang, C luôn chuyên động đều với vận tốc v_= >.
—
Vi giao diém C chun động trên đường trịn tâm Ĩ,
nên vận tốc y„
= xv
.
ln tiếp tuyến với đường trịn này.
Khi ÓÓ, = đ, ta có:
v=
Y
;SsiIna@ =
=
sina
O,C
Cx
R
=
2R
(AO,CO, can tai C ).
=V.=
Vk
\4R?-d?-
Vậy: Vận tốc của giao điểm C' giữa hai vành khi khoảng cách giữa hai tâm Ó,O, = đ là y =
VR —
4Rˆ-d!
2. BAI TAP LUYEN TAP TONG HOP
Chuyén dé 2: CHUYEN DONG THANG BIEN DOI DEU, SU ROI TU DO
14. Một vật chuyên động chậm dân đều. Xét ba đoạn đường liên tiếp băng nhau trước khi dừng lại thì đoạn ở
giữa vật đi trong thời gian 1s. Tìm tổng thời gian vật đi ba đoạn đường băng nhau kể trên.
(Trích đê thi Olympic 30/4, 1998)
Bài giải
Gọi
ba
quãng
đường
liên
tiếp
là
48,5C
và
CD;a
là
gia
tốc
chuyển
động
của
vật.
Ta
có:
AB= BC =C]D=s;,v. =0.
—
Trên đoạn 4Ö:v; —vạ =2as
(I).
—
Trên đoạn ĐC:v;—vw/=2as
(2).
—_
Trên đoạn CD:0—v; =24s
—
Mặt khác, trên đoạn ĐC :a= 5
—
Từ các phuong trinh trén, ta duge: v, = v,v3; vị = v,v2:; a=V, (1 — v2) .
—_
Thời gian đi hai quãng 48 và CD) là:
Vọ
(3).
—
t
1; voi f=1s nén a=v,-v,
z
A
Vị
V2
vạ=0
(4).
=1
- XS = (J1 J2)(V51)=V6 +45 2-/2(3
pa
—_
T7 2+!(s)
Thời gian đi tổng cộng trên cả quãng đường 4Ð
là /= í. +, +í;.
—=t=x6+43-2-42+1+42+1=x6+3 (s).
Vậy: Tổng thời gian đi ba đoạn đường trên là =^/6 +3 (s).
15. Một xe tải cần chuyên hàng giữa hai điểm 4 và
cách nhau một khoảng 7 = 800. Chuyên động của
xe g6m hai giai đoạn: khởi hành tại 4 chuyển động nhanh dần đều và sau đó tiếp tục chuyển động chậm dẫn
để dừng lại Ø. Biết răng độ lớn gia tốc của xe trong suốt q trình chuyển động khơng vượt q 2/s”. Hỏi
phải mắt ít nhật bao nhiêu thời gian để xe đi được quãng đường trên?
(Trích đê thi Olympic 30/4, 1999)
Bài giải
Gọi s là quãng đường đi trong chuyển động nhanh dan đều; z,ø lần lượt là độ lớn gia tốc của xe trong 2 giai
doan (a va b>0).
—_
Trong giai đoạn đầu, ta có: s = sai >=
=
—
Trong giai đoạn sau, ta có: vị =20(L—s)
(3);
—
Tuừ
—
Tir (1) va (5) suy ra: # = Gaba
—
Tw (3), (4) va (6) suy ra: 7, = Gas
—
Thời gian tổng cộng xe đi từ 4 đến B: t=4,44,= _2bL
—
kag
A Sẽ
Theo bat dang thirc C6-s1: |
(2) (2) va va (3) suy ra:: 2as=2b|L—
2as
=2b(L-s)>s
(:
v¿=2as
v,=5t,
(4).
a
bL
¬p
=
(5) và
L-s=
L—s
(2)
A
&€
(6)
(7).
(8).
(a+b)a
Dâu
aL
¬p
b
,j—+
a
a
5
=
(a+b)b
==,
ah (2!
a+b|
Ýa
b
>2.
“=”xảy ra khi: J°=j#=a=.
a
b
39
a
Lie dd: 11,
‘
b
a
=2fE 22, /L =2 [80
a
Ap
0s
2
Vậy: Thời gian ngắn nhất để xe đi hết quãng đường trên là tain = 408 .
16. Một chất điểm chuyển động trên một đường thăng từ 44 dén B cach nhau doan d = AB = 8m thong qua
hai giai đoạn: Bắt đầu khởi hành tại 4 chuyên động nhanh dân đều và sau đó tiếp tục chuyển động cham dan
đều để dừng lại tại Ø. Cho biết độ lớn của các gia tốc trong suốt q trình chuyển động khơng vượt quá
2cm / s”. Tính thời gian ngăn nhất để chất điểm đi được quãng đường trên.
(Trich dé thi Olympic 30/4, 2013)
Bai giai
Chọn chiều (+) là chiều chuyên động của chất điểm.
Gọi s, là quãng đường đi trong chuyển động nhanh dân đều, 3; là quãng đường còn lai; a, va a, là gia tốc
của chất điểm trong 2 giai đoạn chuyển động.
—
Trong giai đoạn đâu ứng với thời gian í¡, ta có: s, = za
oe
~
r
re
yo
.
r
1
2
mh
2%
2
2a,s,
(1)
a,
—
Trong giai doan sau tmg với thời gian ¢,, tac: vy, =—a,t,;v; =—2a,s, =—2a,(d—s,)
(2)
.
—
Tir(1)
va (2) taduge: s, =—“—d:
s,
—_
Thời gian chuyển động của chất điểm trong mỗi giai đoạn:
a, — a,
"
2a,
=
/——~—-d;t,
(a,-a,)a,
Š
2a,
=
_|—————d
(a, -a,)a,
=—“td (3).
a,
— a,
(A).
(4)
—
Thoi gian chat điểm đi từ 4 đến B8: /=/,+ứ, ==j
—_
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số dương
|
a;
a,— ay
, —
—a
d.
{
ay
ta được:
a,
a
|——!
*+
l2
=
a;
(5).
|
(
+ =
mi)
)
>2.
Dau “=” xay ra khi a, =—a,.
— Tir(5) suy ra: ¢,,, =2 4s
a,
(d = 8m; a, =2cm/s° =0,02m/s*) => ty, =2 8_ gs.
0,02
Vậy: Thời gian ngắn nhất để chất điểm đi được quãng đường 4Ø
là tain = 40s.
17. Trên quãng đường nhất định, một chất điểm chuyên động nhanh dần đều không vận tốc đâu với gia tốc a
mất thời gian 7. Nếu chuyên động của chất điểm là luân phiên giữa chuyển động với gia tốc ø trong thời
gian 7, = T0
và chuyên động đêu trong thời gian 7; = 15
thì dé đi hêt quãng đường chât điêm phải trải qua
mây lần chuyển động đều?
(Trích đề thi 30⁄4, 2013)
Bài giải
—
Quang đường chất điểm phải di: S = 5 al * (1).
—_
Gọi n là số lần chất điểm chuyền động với thời gian T, , ta CÓ:
S= san? + ar, |
2
(san + al,
2
cái [Sai
sa.
—
2
+2a
|
(san + 2617 ] + sa
(Dat)
= [1+345+...4(2n-1) ]+77,.a(1+2+...+n)
Tu (1) va (2) ta được:
2
na
(2)
2
S41? =7480143454..4(2n-1) ]+TT,a(L+2+.+n)
`...
2
2
?
....
10
10 15
t_t
n+ L_n(n
2 200
150
2
—
Sau
7 lần chất điểm
5-74]
1
2.100
+1
2
2
)
Ì ¿3 5? +w—200=0=—n=7,5
chuyển
277,
+]
động
thắng
đều với thời gian
7,, quãng
đường
150
2
|} 600
Quang đường còn lai la: AS a1 pg 22124 -- L4,
—
Quang duong chat điêm di dugc trong thoi gian 7, lan thir 8: S,; =| —a—+7.a—
2 100
100)
2
\
k
2
là:
1 ( 7+1]7yf) 22 ra
—
~
vật đi được
600
`
600
NI
nN
„
1
T°
T°
3
|=—aT’
40
2
> AS.
Vậy: Chất điểm đi hết quãng đường trải qua 7 lần chuyên động thắng đều.
18. Trên trục Óx, một chất điểm chuyển động biến đổi đều có hồnh độ ở các thời điểm
ttt,
lần lượt là
x;„x,,x;. Biết rằng: /;—f# =1, —f; =f.
Hãy tính gia tốc của chun động theo X,,X,%3,¢ va cho biết tinh chất của chuyên động.
Bài giải
Giả sử tại thời điểm ban đầu (chọn t, = 0), chất điểm có tọa độ *;„ vận tốc Vv, va gia tốc z (khơng đổi).
—
.
t
Từ phương trình chun động, ta cĨ: x, = xạ + vụf, tot
X, =Xy + Vol, co
(1)
2
(2)
2
—
Lay (2) — (1):
Xz =NXy + vạt _
(3)
4; =xi =(=4)+5(=)=v+S
(+5)
(4).
— Lay G)- (2): x;=w; =v (b =f,)+5(8 =f)= vự + (6 +8) (5)
—
Lay (5)— (4): x, +x,-2x, =S(,=n)=Š2=a=S
—_
Tính chất của chuyển động:
X,+X
+ ——>x;
k,
ack
2
an
Rh
HÀ
—a>0: chât điệêm chuyên động nhanh dân đêu.
X,+X
k,
+ — 5 —< x, >a<0:
ack
2
an
^
Rh
HÀ
chât điêm chuyên động chậm dân đêu.
x.+x—2x
;
X4„+X
5
; nếu Z2 T*L > x, thì chất điểm chuyển động nhanh dân đều,
Vay: Gia téc cua chat diém la a= 5T*—“Š2.
t
4
xX, +X
néu _
+
At
438
Ran
a.
dan
ah
19. Một đoàn tàu bắt đâu rời ga chuyển động nhanh dân đều. Xét trên 2010 ray đầu (kể từ khi tàu rời øa) ở
đoạn ray thứ 2009 tàu đi mắt thời gian „. Hãy tính thời gian tàu đi qua ray thứ 2010 và cả 2010 đoạn ray.
Cho răng các đoạn ray có chiều dài bằng nhau và đặt sát nhau.
Bài giải
Goi
a la gia tộc đoàn tàu; v,,;,...,v,„ là vận tốc đoàn tàu cuối các đoạn ray thứ 1, thứ 2,...thứ ø, chiều dài
các đoạn ray là 7.
Ta có: vị =2aÏ; vị = 4alÏ;..., v2 = 2naÏ.
Suy ra: v, = V2v,: Vị = 2v: v= Vnv,.
—
Thoi gian tau di hết đoạn ray thứ 2009 là:
t
—
—{= =
=
om”
£5009 — V2008
a
_
=
(J2005-2008)a,
=>
a
Thoi gian tau di hét doan ray thứ 2010 là:
t
“one
—
= Voo10 ~ Y2009
a
—-
=
(2010-/2009)a,
a
y
=>
a
0
=
2009
—/2008
„(2010-./2005)
_
=
42009 —/2008
V2010-v,
— _ Thời gian tàu đi hết 2010 đoạn ray là: ¿=- 200 - X4 ——~
a
a
#2010
7 42009 — 2/2008
Vậy: Thời gian tàu đi qua đoạn ray thứ 2010 va ca 2010 đoạn ray la t¢,,,, =
t,.(W2010 —-V2009)
2009 — /2008
va
fh 42010
42009 -—-/2008_ˆ
20. Hai vật chuyên động trên cùng một đường thắng với các vận tốc đầu v,,v, ngược chiều nhau, hướng đến
nhau, độ lớn w,,v;,. Gia tốc của chúng là a,,a, khong thay đối và ngược chiều với các vận tốc đầu tương ứng
v,,v,. Khoảng cách ban đâu giữa hai vật phải có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu để chúng không gặp nhau khi
chuyển động?
Bài giải
Chon hé quy chiéu gan với vật 2, chiều (+) là chiều chuyển dong cua vat 1; goi mat dat la vat 0.
—
Vận
tốc
eee
eee
ban
—>
đầu
tương
đối:
—>
Via = Vio T Von = V2 —V
=—
Vịy — VỊ TV; .
tốc
——>
—
Gia
tương
—
Goi s la quang duong vat | di được cho dén khi dừng lại so với vật 2. Ta có:
a= +ag=-a>a,=-(+0,).
+V,)
0 —v¡, =2,,s © 0Ý -É
—
?
đối: - Ÿi
v,
©)
\
“22220227
v. +
— -2(a, +a,)s >S= x. ay
2
.
Dé hai vat khong gap nhau, khoang cach ban dau gitta ching la d phải thỏa: đ> s.
(v,+v,)
2(a,+a,)
_ (v,+v,)
™
2(a,t+a,)
Vậy: Để hai vật không gặp nhau trong quá trình chuyển động thì khoảng cách ban đầu giữa hai vật phải có
¬
vty
giá trị nhỏ nhât là đ,„. =(ity)
2
21. Một chất điểm bắt đầu chuyển động từ điểm 4, (x,,0) theo chiều dương của trục Óx với gia tốc khơng
đổi z,. Cùng lúc đó, chất điểm thứ hai từ điểm Ø, (y„,0) cũng bắt đầu chuyển động theo chiều dương của
trục Ĩy với gia tốc khơng đổi a, .
a)_
Hỏi sau bao lâu hai chất điểm lại gần nhau nhất và tính khoảng cách giữa chúng lúc đó?
b) Với điều kiện nào của z,,ø;, xạ, y; thì chúng có thể gặp nhau?
Bài giải
3)
Sau bao lâu hai chất điểm lại gần nhau nhất và khoảng cách giữa chúng lúc đó.
—_
—
Phương trình chun động của các chất điểm:
+ Chat diém 1: x= x, tar
(1).
+ Chat diém 2: y= y, tat
(2).
Khoang cach d gitta hai chat diém 6 thoi diém 1:
|
d=ax'+y =2 (Ai +4)” +(A
+4yyy)K + x; +yi
cà
(với k=/).
1
+- (ái +a
4ac —bŸ
=> din
2
a, +a;
Vay: Sau thoi gian ¢ =
b)
—_
_ a,
2
đ T4
—_ 2y
AX) T 4, Yg
24 (a
2a
|
lúc đó là đ,...
2
__ Ð
—2 (a,x, + A, Vy )
5
a, +a; 2
—2 (a,x, +,Vy)
—
+4;}ụ)
hai chất điểm lại gần nhau nhất và khoảng cách giữa chúng
— a, X,|
ia; +a; 2
Tw (4), để bài toán có nghiệm: —2(4¡x, + a,y„) > 0 © “+29 <0,
a,
—
A
:
A
tA
~
`
Déhai chat diém gap nhau thi: d,,.,. =O
Vậy:ay. ĐiềuDICU kiệnKiện Cuacủ
A,,a,,X%),V,
43
và CD
dé chunchung
g c6co the
thé gapgap nnhau
nhau laa“2
a,
Xo
a,
MM
+22<0 vava ay,
4 =~
đC
cùng năm trong một mặt
phăng thăng đứng và cùng hợp với phương ngang một góc như
CD =2.
a
a,y, —a,x, =0aS—=—.
a
2
22. Hai máng rất nhẵn
(4)
ay +a,
ay +a,
+a; )
Diéu kién của 4,,ø,, xạ, y¿ đê chúng có thé gap nhau
—
nhau,
OoXo )
(3)
42%]
=> d,,,, _ 6% == 42%)
Từ đó: k=ứ
7 (4%, T9) y _ (ay
4. (di +)
4a
—
(x; + Yo
Hai vật nhỏ được thả đồng thời không vận tốc
đầu từ Ava C.
Thời gian để vật trượt từ 4 đến B là ¡ và thời gian đẻ vật trượt
từ C đến D là t,. Sau bao lâu kể từ khi thả, khoảng cách giữa
hai vật là ngăn nhất?
Bài giải
1
2
0
Gia tốc của mỗi vật khi trượt không ma sát: ø= gsinø. Do đó, sau thoi gian ¢ ching di duoc quang duong
x bằng nhau. Gọi khoảng cách giữa chúng là 7. Ta có:
DP =x? +(AC-x) —2x(AC —x)cos2a
© DP =x’ + AC’ +x° -2xAC
—2x( AC - x) cos 2a
©=
©
AC” —2x(4C—x)—2x(4C—x)cos 2ø
= AC’ -2x(1+ cos 2a)(AC- x)
=>L=L,,, << X =x(AC-x)
—
max
Ap dung bat dang thirc Cé-si cho hai số không
âm: x và (4Œ-x).
ta được: ¥ =x+(AC-x)2>2,/x(AC-x).
Dấu “=” xảy ra khi: v=AC-xSx ST,
—
Mà: AB= AC+CB=2x+CD=x-=35-CÐ.
—
Mặt khác:
AB =-Lzy, CD = Lại, vate’.
2
Thay vao ve
"¬
Vay: Sau thoi gian Â=,/-
2
2
1
_
ta c:
t t;
5 +
Lay
at
-2
.
-=
2
.
=(
4;
ơ
og
thi khoang cach gitta hai vat 1a ngăn nhat.
23. Một vật chuyển dong cham dan déu cho đến khi dừng lại. Biết quãng đường đi được trong giây đâu tiên
dài gập 15 lần quãng đường đi được trong giây cuối cùng và tổng quãng đường vật đi được là 25,6ø. Tìm
vận tốc đầu của vật.
Bài giải
Gọi quãng đường mà vật đi được trong giây đầu là #¿„: quãng đường mà vật đi được trong giây cuối là Sac:
O
Soy = yy 152
= Vụ +2
Vo =v, +al=0>Vv, =—-a
A
(1)
(2)
Sic =¥y.145.P =-d+S==S
(3)
B
C
Ỷ
|
Ta có:
X
—
—
Theo đề: s„„ =l5s„. © vụ S134]
Quang duong vat di duoc: s =
0? —(-8a)’
25,622
AD
= 394
a
=> vụ =—-8a.
2.2
Ss
a
Yo
a =-0,8m/s"
3 y,=-8(-0.8)=6,4m
Vậy: Vận tốc đâu của vật la v, = 6,4m/s.
24. Một ô tô chở khách giữa hai địa điểm 44 và Ø cách nhau một khoảng 7 = 800z. Chuyên động của ô tô
gôm hai giai đoạn: khởi hành tại 4 chuyên động nhanh dan đều và sau đó tiếp tục chuyển động chậm dan
đều để dừng lại ở Ø. Biết răng độ lớn gia tốc của ô tô trong suốt quá trình chuyển động khơng vượt q
ay =2m/s° . Phải mất ít nhất bao nhiêu thời gian dé ô tô đi từ 4 đến 82
Bài giải
Gọi s là quãng đường ô tô đi được trong giai đoạn chuyên động nhanh dân đều; z,ø là độ lớn gia tốc của ô
tô trong giai đoạn chuyên động nhanh dân đều và chuyển động chậm dân đều (z,ö > 0).
Trong giai đoạn chuyên động nhanh dân đêu, ta có: s = sai >t=, =
.
.
2
`
`
vy =2as
2
a
—
Trong giai doan chuyén d6ng cham dan déu, ta c6: v) = 2b(/-s);
—
bl
Ttừ (1)(1) và
va (2),
(2).
ta
taduge:
được: 2as 2as =2b(/(
s)>s = TAB „J—6=
S
— Ti (1) va (3), ta duge: 4, = Aad
—_
Từ (2) và (3). ta được: /, =
ba
c
Ẩ
2
_—2a—_
ne
> 7"
.
£
^
201
a(a+b)
^
Ap dụng bât đăng thức Cô-s1 cho hai sô không âm
Mat khac:
—>/>
3
>
(a+b)
—2=2
Ay
—
Ay
(3)3).
7
(5)
Nb(a+b
;
(2).
(4)
—_ Thời gian ô tô đi từ 4 đến B la: t=4¢,+4, =
—_
al
v,=bt,
(1).
I VOi a, =2m/s°.
Ap
=2 JA =2 JF
Ay
2
— 40s.
a
ra
+
al
b(a+b)
b
a
ta được
St=
a
_—
(a+b)
b
5 +,/—
a
|>2.
(
b
a
.
Vậy: Phải mắt ít nhất 40s để ơ tơ đi từ 4 dén B.
25. Một chất điểm chuyền động từ 4 đến Ø cách 4 một đoạn s. Cứ chuyển động được 3s thì chất điểm lại
nghỉ Is. Trong
3s đầu chất điểm chuyên động với tốc độ vy, =5/s.
Trong các khoảng
3s tiếp theo chất
điểm chuyển động với tốc độ 2v, 3wạ,..., z„ạ. Tính tốc độ trung bình của chất điểm trên quãng đường 4ð
trong các trường hợp:
a)
s=315m.
b)
s'=325m.
Bai giai
Đặt / =3s; gọi s là quãng đường mà chất điểm đi được sau ø, (s) (ø > I): s,.s;,s;,....s„ là quãng đường đi
được
của
chất
điểm
trong
3s
dau
tiên
và
trong
các
khoảng
3s
kế
tiếp..
Ta
có:
s=s +8, +, +...+9,
<© s= tọí, + 2v,f, +...
+ fVạf, = Vạfi (I+2+...+m)
s= mnt)! Vol, = mnt)) .5.3= 7,5" (n + 1)
.
.
=6
a) Khi s=315m, taco: 58(n31)=31522)
—
Thời
gian
chuyển
động
n=-
của
.
7 (loại n=-7).
chat
diém
trên
quãng
đường
s=315m
là:
t=nt,+n—-1=6.3+6-1=23s.
—
b)
Téc d6 trung binh cua chat diém trén quang duong s =315m:
Khi s'= 325m,
y= - =
=13,7m/s.
taco:
—
Thời gian chất điểm di quang dudng s=315m
dau la t= 23s.
—
Thời gian chất điểm đi quãng đường As = 10w
cuối là: At= AS = _ AS
= 10 =0,29s.
Vout
(n + 1) vy
7.5
-
Tốc
độ
gà =
t'
trung
cổ
f++l
binh
=2
của
23+0 29+]
chất
điểm
trên
qng
đường
= s'=325m
la:
=1338m/s,
Vậy: Tốc độ trung bình của chất điểm trên các quãng đường s = 3157
là y=13,7m/s
và s'=325m
la v'=13,38m/s.
26. Hai thanh cứng bằng kim loại có chiều đài 4=
1, OB =1,, lién kết với nhau bởi khớp
trên mặt ban nhãn nằm ngang. Người ta kéo hai đầu 4,B
của thanh theo cùng phương
nôi O, duoc dat
4Z
nhưng ngược
