BAI TOAN GIAO DIEM CUA HAI DO THI VA UNG DUNG BIEN LUAN SO NGHIEM CUA PHUONG TRINH

Trang 1

BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Trịnh Ba

1. Bài toán mở đầu
Cho hàm số
2 1
2 1
x
y
x



có đồ thị (C). Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C)
và đường thẳng y = x + 2.
(trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = x + 2

2 1
2
2 1
x
x
x

 


2 1 ( 2)(2 1)
x x x
    
(do x = 1/2 không là nghiệm của phương trình này)
2
1
2 3 0
3
2
x
x x
x



    

 


Với
3 1
2 2
x y
   

Với
1 3
x y

  

Vậy tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = x + 2 là
3 1
; ,(1;3)
2 2
 

 
 

2. Cơ sở lý luận
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (F) và (G), nếu điểm
( , )
M M
M x y
là giao điểm của (F) và (G) thì
( )
M M
y f x

và
( )
M M
y g x

. Nói cách
khác, tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )

y f x
y g x





. Do đó hoành độ của M là
nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1). Ta nói (1) là phương trình hoành độ giao
điểm của (F) và (G); số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (F) và (G). Do đó ta có
mối liên hệ giữa hai bài toán: giao điểm của hai đồ thị và nghiệm của phương trình
hoành độ giao điểm. Trong nhiều trường hợp, để tìm giao điểm (hay số giao điểm)
của hai đồ thị ta phải xét phương trình hoành độ giao điểm của chúng và ngược lại để
biện luận số nghiệm của một phương trình thì ta xem đó là phương trình hoành độ giao
điểm của hai đồ thị và dùng đồ thị để biện luận.

3. Một số bài toán về giao điểm của hai đồ thị

Bài toán 1 (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm học 1997)
Cho hàm số y =
3
x – 3x 1.


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của đồ thị (C) và có hệ số góc k. Biện luận theo k
số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm đó trong trường
hợp k = 1.
Giải
1. Bạn đọc tự giải

2. Điểm uốn của (C) là I(0;1)
Trang 2

Phương trình đường thẳng d: y = kx + 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d

3
2
2
x – 3x 1 = kx + 1 (1)
x(x 3 ) 0
0
3 (2)
k
x
x k

   




 


 Với k < - 3 thì (2) vô nghiệm nên (1) có 1 nghiệm, do đó d và (C) có 1 điểm chung.
 Với k = -3 thì (2) có nghiệm kép bằng 0, do đó (1) có 1 nghiệm nên d và (C) có 1 điểm
chung.
 Với k > -3 thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 nên (1) có 3 nghiệm phân biệt, do đó
d và (C) có 3 điểm chung.

 Trường hợp k = 1 thì (2) có 2 nghiệm là x =
2

nên d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt là
(0;0), (2;3), (-2; -1).

Bài tương tự (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm học 1996)
Cho hàm số y=
2
x (m 3)x m
x 1
  

, m là tham số, đồ thị là (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = -2.
2. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc là k. Biện luận theo k số giao điểm của
đường thẳng d và đồ thị (C).

Bài toán 2 (trích đề thi đại học khối A – 2010)
Cho hàm số
3 2
2 (1 )
y x x m x m
    
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3

, ,
x x x

thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
  

Giải
1. Bạn đọc tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành có dạng

3 2
2
2
2 (1 ) 0
( 1)( ) 0
1
0 (1)
x x m x m
x x x m
x
x x m
    
    





  


Điều kiện bài toán được thoả mãn khi phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
phân biệt
khác 1 sao cho
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 4 3 ( ) 2 3
x x x x x x x x
         
. Điều này xảy ra
khi

1 4 0
1
1
0
4
0
1 2 3
m
m
m

m
m
   


  
 
 
 
 

 



Vậy với
 
1
;1 \ 0
4
m
 
 
 
 
thì đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ
1 2 3
, ,
x x x

thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
  

Nhận xét. Để giải bài toán trên cần chú ý một số điểm:
Trang 3

 Nhẩm được một nghiệm của phương trình bậc ba ( cơ sở là nhẩm x để khử m trước, bản
chất của nghiệm này là hoành độ của điểm cố định của đồ thị hàm số bậc ba mà điểm đó nằm
trên trục hoành). Sau đó quy phương trình bậc ba về phương trình tích, rồi tìm điều kiện để
phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đã nhẩm được và thoả thêm điều
kiện nào đó của bài toán.
 Để tìm m sao cho thoả điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
  
, trong đó đã nhậm được 1 nghiệm, vế
trái của bất đẳng thức này là biểu thức đối xứng giữa các nghiệm gợi ý ta dùng định lí Viet.
Nếu học sinh nào đó không nhớ định lí Viet thì vẫn có thể giải quyết trực tiếp điều kiện trên.
Chẳng hạn:
Không mất tổng quát, xem
3
1
x


, ta có
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2
4 3
x x x x x
     
, trong đó
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình (1), ta có :

1,2
1 1 4
2
m
x
 
 , do đó

2 2
2 2
1 2
1 1 4 1 1 4
3 3
2 2
1 2 3
1

m m
x x
m
m
   
   
    
   
   
  
 

Kết hợp với điều kiện có hai nghiệm phân biệt khác 1 ta có kết quả của m.
 Nhưng nếu điều kiện đối với 3 hoành độ giao điểm là
3 3 3
1 2 3
4
x x x
  
hay thậm chí là
4 4 4
1 2 3
4
x x x
  
thì cách tìm nghiệm rồi thế trực tiếp vào sẻ gặp nhiều phức tạp. Tốt nhất,
học sinh nên nhớ được định lí Viet và một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. (
3 3 3 4 4 2 2 2
1 2 1 2
3 , ( 2 ) 2

x x S PS x x S P P
      
)

Bài toán 3 (trích đề thi đại học khối A – 2011)
Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A và B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B.
Tìm m để tổng
1 2
k k

đạt giá trị lớn nhất.


Giải

1. Bạn đọc tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + m và (C)
1
2 1
x
x m
x
 
 

(1)
1 ( )(2 1)
x x m x
     
(do x = 1/2 không là nghiệm của phương trình này)
2
2 2 1 0
x mx m
    
(2)
2 2
' 2( 1) ( 1) 1 0,
m m m m R
          

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên đường thẳng y = x +
m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y

thì
,
A B
x x
là hai
nghiệm của phương trình (2). Khi đó

 
1
2
1
'( )
2 1
A
A
k f x
x

 


Trang 4


 
2
2
1
'( )
2 1

B
B
k f x
x

 


Khi đó
   
  
 
 
 
2 2
1 2
2 2 2
2 2
2
1 1 4 4 1 4 4 1
2 1 2 1
2 1 2 1
4 4 2
4 2( ) 1
B B A A
A B
A B
A B A B
A B A B
x x x x

k k
x x
x x
x x x x
x x x x
      
    
 
   
 
   
 
  

Mà
2 2 2
1
; . 1
2
A B A B A B
m
x x m x x x x m m

         

Do đó
 
2
2
1 2

2
4( 1) 2( 1) 2
(4 6 8) ( )
2( 1) 2 1
m m m
k k m m g m
m m
    
       
   

Hàm g(m) là một parabol có đỉnh
3 23
( ; )
4 4
I 
và có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị lớn
nhất tại I, tức là tại
3
4
m
 
.
Bình luận
Trong bài toán trên ta thấy hoành độ hai điểm A, B là nghiệm của phương trình (2) nếu tính ra
thì phụ thuộc tham số m, nên ta hãy khoan nghĩ đến việc phải tìm hoành độ A, B mà hãy xem
 
1
2
1

'( )
2 1
A
A
k f x
x

 


 
2
2
1
'( )
2 1
B
B
k f x
x

 


Thì k
1
+ k
2
là biểu thức đối xứng với đối với hai nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm, do đó ta có thể dùng định lí Viet để giải quyết bài toán.

Bây giờ ta sẽ xét bài toán sau mà việc nhẫm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (là
phương trình bậc ba phụ thuộc m) không dễ như những bài trước vì không có nghiệm nguyên
mà là nghiệm hữu tỉ (thực chất ta có phương pháp nhẫm nghiệm hữu tỉ cho một phương trình
đa thức bậc n bất kì, nhưng đây là bài toán phụ thuộc tham số m). Ở đây ta dựa vào điểm cố
định của họ đồ thị mà điểm đó thuộc đường thẳng cần xét tương giao với họ đồ thị. Khi đó
hoành độ điểm cố định là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm mà ta xét đến. Xét họ
đồ thị y = f(x,m), khi đó điểm (x
0
;y
0
) là điểm cố định nếu phương trình y
0
=f(x
0
;m) với biến m
có nghiệm với mọi m. Từ đây ta tìm được điểm (x
0
;y
0
).

Bài toán 4. Cho hàm số
3 2
2 (2 5) 3 5
y x m x mx m
     . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2.

Giải. (nhẫm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, quy về tìm điều kiện cho phương

trình bậc hai).
Trang 5

Trước hết ta dễ dàng tìm được điểm (5/2;0) là điểm cố định của hàm số trên trục hoành, do đó
hàm số đã cho có thể viết dưới dạng:
2
(2 5)( )
y x x mx m
   

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành:
2
2
(2 5)( ) 0
5
2
0 (1)
x x mx m
x
x mx m
   





  


Yêu cầu bài toán

(1)

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
khác 5/2 và lớn hơn -2.
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
0
4 0
( 2)( 2) 0
2( ) 4 0
0
25
4
2
2
14
25
25 5
0
14
4 2
m m
x x
x x x x

m
x x
x x
m
m
m
m
 

   


  


   



  

  
  
  
 
 
  

 
 

  





Chú ý ở đây ta đã sử dụng định lí Viet để tính cho tổng và tích hai nghiệm. Ta có thể tính trực
tiếp các biểu thức nghiệm của phương trình (1) là
2
4
2
m m m
x
  
 . Khi đó (1) có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn – 2 khi và chỉ khi
2
2
2
4 )
4
2
2
4 5
2 2
m m
m m m
m m m



 

  

 



  




và dĩ nhiên phép tính sẽ phức tạp hơn.
Còn trường hợp ta không thể nhẫm được một nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm thì ta có thể dựa vào hình dáng đồ thị để có cách giải bài toán như sau:

Để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2 thì cần thỏa mãn
các điều kiện sau: y’ =0 có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
lớn hơn -2 và f(-2) < 0 và
. 0
CD CT
y y

.
Nhưng theo cách này thì khối lượng tính toán khá nhiều, chỉ riêng việc tính được giá
trị tại các điểm cực trị đã phức tạp (mặc dù có mẹo tính: lấy y chia y’ được thương là p(x) và

dư q(x)thì có thể viết y = y’.p(x) + r(x) khi đó giá trị cực trị
( ), 1,2
CT i
y r x i
 
. Vì bài toán
phụ thuộc tham số m.)










-
2

O

Trang 6



Ở bài toán sau ta sẽ không dựa vào hình dáng đồ thị như trên được nữa vì đường thẳng
cắt họ đồ thị bây giờ là một đường xiên mà không phải trục Ox.
Bài toán 5. Cho hàm số
3 2

2 (2 5) 3 5
y x m x mx m
    
có đồ thị (C
m
). Tìm m để đường
thẳng d: y = 2x – 5 cắt họ đồ thị đã cho tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2.

Giải. phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là:

3 2
2
2
2 (2 5) 3 5 2 5 (1)
5
2( )( 1) 0
2
5
2
1 0 (2)
x m x mx m x
x x mx m
x
x mx m
     
     






   


Đường thẳng d cắt họ đồ thị (C
m
) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2 khi và chỉ khi
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2, điều này tương đương (2) có
hai nghiệm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2 .
  
2
2
1 2
1 2
4( 1) 0
2
5 5
1 0
3 3
2 2
2
3
2,
2 2 0
1 2 4 0
2
4
2

2
m m
m
m m
m
m
m
x x
m m
x x
m
    




 


   


 


 
 
 
  
  

 
  
  
   

 





 

.
Vậy với
3
3
2,
2
m
m




 


thì đường thẳng d cắt họ đồ thị (C
m

) tại ba điểm phân biệt có hoành độ
lớn hơn -2.

Chú ý rằng để có nghiệm 5/2 của phương trình (1), trước tiên ta tìm điểm cố định
0 0
( , )
M x y
của họ đồ thị (C
m
) như sau:
Gọi
0 0
( , )
M x y
là điểm cố định của (C
m
). khi đó phương trình
3 2
0 0 0 0
2 3 2
0 0 0 0 0
2 (2 5) 3 5
(2 3 5) 2 5 0
y x m x mx m
x x m x x y
    
      

đối với biến m có tập nghiệm là R
2

0 0 0
0
3 2
0
0 0 0
0
5
2 3 5 0 1
2
7
2 5 0
0
x x x
x
y
x x y
y

    




  
  
 
  







Hơn nữa điểm (5/2;0) thuộc đường thẳng d: y = 2x – 5. Do đó 5/2 là một nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm.

Các bài tương tự.
Bài toán 6 (trích đề thi đại học khối D – 2003)
Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
 


(1)
Trang 7

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2. Tìm m để đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m
  
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt.
Bài toán 7 (trích đề thi đại học khối D – 2008)

Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
  
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) có hệ số góc k ( k > -3) đều cắt
đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB.
Bài toán 8 (trích đề thi đại học khối D – 2011)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm k để đường thẳng
2 1
y kx k
  
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Bài toán 9 (trích đề thi đại học khối D – 2006)
Cho hàm số

3
3 2
y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị (
C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài toán 10 (trích đề thi đại học khối B – 2010)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng
2
y x m
  
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).
Bài toán 11 (trích đề thi đại học khối D – 2009)
Cho hàm số

4 2
(3 2) 3
y x m x m
   
có đồ thị là ( C
m
), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị ( C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ
nhỏ hơn 2.
Bài toán 12 (trích đề thi đại học khối A – 2004)
Cho hàm số
2
3 3
2( 1)
x x
y
x
  


(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm A, B sao cho
AB =1 .
Bài toán 13 (trích đề thi đại học khối A – 2003)
Cho hàm số
2

1
mx x m
y
x
 


(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. (KA
2003).
Bài toán 14. Cho hàm số
3 2
3 9
y x x x m
   
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( C) ứng với m = 0.
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành
một cấp số cộng.
Bài toán 15. Cho hàm số
4 2
2( 1) 2 1
y x m x m
     
.
Trang 8

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( C) ứng với m = 0.
2. Xác định m để phương trình f(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

4. Một số bài toán ứng dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình.

Bài toán 1 (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Cho hàm số
3 2
1 3
y x x 5
4 2
  

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
6 0
  
x x m
(1) có 3 nghiệm
thực phân biệt.

Giải
1) Bạn đọc tự giải
2)
3 2 3 2 3 2
1 3 1 3
6 0 5 5

4 2 4 4 2 4
m m
x x m x x x x
            
(2)
(2) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d(m):
5
4
m
y
  
song song với trục Ox. Dựa vào đồ thị ta thấy (1) có 3 nghiệm thực
phân biệt khi và chỉ khi
5 5 13 32 0
4
m
m
       



Bài toán tương tự.
Bài toán 2 (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008 – lần 2)
Cho hàm số
3 2
3
y x x
 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2)Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
3 0
x x m
  
có ba nghiệm
phân biệt.
Bài toán 3 (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2002)
Cho hàm số
3x2xy
24

có đồ thị (C).
1. Khảo sát hàm số.
14
12
10
8
6
4
2
-10
-5
5
d(m)
g x
 
=
1
4

 

x
3
+
3
2
 

x
2
+5
Trang 9

x
y
1
2. Dựa vào đồ thị (C), hăy xác định các giá trị m để phương trình x
4
– 2x
2
+ m = 0
có bốn nghiệm phân biệt.
Bài tốn 4 (trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 1993)
Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.

2. Dựa vào đồ thị ( C ), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

3 2
x 6x 9x m 0
   
.
Bài tốn 5 (trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2006)
Cho hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12 4
x x x m
   
(1)
Phân tích
 Chú ý rằng
x x
 
,


2
2

x x
 
nên biểu thức ở vế trái của phương trình là
cơng thức của một hàm số chẵn.
 Vế phải là tham số nên đồ thị của nó là đường thẳng biến thiên song song với
trục Ox.
 Biểu thức ở vế trái của phương trình, nếu khơng có dấu giá trị tuyệt đối thì nó
chính là cơng thức của hàm số đã vẽ đồ thị ở câu 1. Do đó từ đồ thị hàm số ở
câu 1 ta suy ra đồ thị hàm số ở vế trái của phương trình ở câu 2.
Xin nhắc lại định nghĩa hàm chẵn và đặc điểm đồ thị của nó: cho hàm số y = f(x)
có tập xác định D, f gọi là chẵn trên D nếu

x

D

-x

D và f(-x) = f(x), đồ thò của
nó nhận Oy làm trục đối xứng.
Giải bài tốn trên
1. Bạn đọc tự giải
2. Đặt
3
2
( ) 2 9 12 4
g x x x x
   

Tập xác định của g(x) là

D


nên
x D x D
    
và g(-x) = g(x) nên g(x)
là hàm chẵn. Hơn nữa

3
2 3 2
( ) 2 9 12 4 2 9 12 4, 0
g x x x x x x x x
        

Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = g(x) thì (C’) gồm 2 phần:
Phần 1: giữ ngun phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy, gồm cả những điểm nằm
trên trục Oy. Ta gọi phần này là (C’
1
).
Phần 2: lấy đối xứng (C’
1
) qua Oy . Ta gọi phần này là (C’
2
).
Khi đó (C’) gồm (C’
1
) và (C’
2
).

Trang 10

x
y
g x
 
= 2

x
4
-4

x
2
f x
 

= 2

x
4
-4

x
2
1


(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C’) và đường thẳng d: y = m
song song với trục Ox, dựa vào đồ thị ta thấy (1) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 < m < 2.

Bài toán 6 (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2009)
Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
 
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m thì phương trình
2 2
2
x x m
 
(1) đúng 6 nghiệm thực
phân biệt .

Phân tích
 Do vế phải của phương trình (1) là tham số m nên đồ thị của nó là đường thẳng biến
thiên song song với trục Ox, nên ta dùng đồ thị để biện luận phương trình trên. Do vậy
ta tìm cách suy ra đồ thị hàm số ở vế trái của (1) từ đồ thị (C).
 Chú ý rằng
a b ab

Giải
1. Bạn đọc tự giải
2.
2 2 4 2
2 2 4 2
x x m x x m
    
(2)
Đặt
 
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
2 4 ,2 4 0
( ) 2 4
2 4 ,2 4 0
x x x x
g x x x
x x x x

  

  


   



Tập xác định của hàm g(x) là
R
. Gọi Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = g(x) thì (C’) gồm 2
phần:
Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị
của (C) ở bên trên trục Ox, gồm
cả những điểm nằm trên trục Ox.
Ta gọi phần này là (C’
1
).
Phần 2: lấy đối xứng (C’
1
) qua
Ox . Ta gọi phần này là (C’
2
).
Khi đó (C’) gồm (C’
1
) và (C’
2
).
(2) là phương trình hoành độ
giao điểm của (C’) và đường
thẳng y = 2m song song với trục
Ox, dựa vào đồ thị ta có (1) có 6

nghiệm thực phân biệt khi
0 2 2 0 1
m m
    



Bài tương tự
Bài toán 7
Cho hàm số
3
3
y x x
 

1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
3
1 3
2 2
x x m
 