Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở

Phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy
học chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa
thức” lớp 8 trung học cơ sở

Nguyễn Thị Thủy

Trƣờng Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Ngƣời hƣớng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lƣơng
Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy
cho học sinh, chỉ ra một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tƣ duy
cho học sinh. Đề xuất các biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân
và phép chia các đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh. Thiết kế một số
bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân và phép chia các
đa thức” vận dụng các biện pháp trên.

Keywords: Phƣơng pháp giảng dạy; Toán học; Số học

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năng lực tƣ duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức. Ngày nay, khi
nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển của lực lƣợng sản xuất thì việc rèn
luyện tƣ duy của mỗi ngƣời lại càng hết sức cần thiết. Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành
quyền lực, trở thành chìa khoá mở cửa tƣơng lai. Không có những năng lực, phẩm chất của tƣ
duy, con ngƣời không có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có khả
năng vận dụng tri thức. Làm thế nào để phát triển tƣ duy cho ngƣời học một cách hiệu quả?
Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội.Trong thực tế, phát
triển tƣ duy cho ngƣời học là mục tiêu quan trọng của các chƣơng trình dạy học. Để đạt đƣợc

mục tiêu đó, chƣơng trình dạy học và phƣơng pháp dạy học cần có những thay đổi phù hợp.
SGK của chúng ta đã đƣợc thay đổi nhƣng là tài liệu chung cho tất cả các đối tƣợng học sinh,
tất cả các vùng miền trong cả nƣớc. Mỗi đối tƣợng học sinh khác nhau, mỗi vùng miền khác
nhau phải có sự xây dựng bài dạy phù hợp để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh.
Đại hội XI của Đảng (1-2011) xác định “ Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu. Đổi
mới căn bản , toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hƣớng chuẩn hóa, hiện đại hóa , xã hội hóa,
dân chủ hóa và hội nhập quốc tế…”Thực tế này đòi hỏi ngành Giáo dục phải đổi mới một
cách toàn diện về mục tiêu, nội dung, phƣơng pháp và hình thức tổ chức thực hiện. Đặc biệt
cần chú ý đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy tính tích cực, chủ
động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời học nhằm đáp ứng nhu cầu về đào tạo nguồn nhân lực
hiện nay.Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc xác định trong Nghị quyết Trung

2
ƣơng 4 khoá VII (1-1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII(12-1996) đƣợc thể chế hoá
trong luật giáo dục (2005).Luật giáo dục, điều 24.2 có ghi: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Trong quá trình hình thành và phát triển tƣ duy của học sinh thì Toán học có vai trò đặc
biệt quan trọng. Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quan trọng , sự phát triển của
Toán học gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại , trực tiếp với sự tiến bộ của ca
́
c ngha
̀
nh khoa
học khác. Vì vậy, tƣ duy Toa
́
n học có giá trị lớn trong đời sống , trong nghiên cƣ
́
u khoa ho

̣
c ,
trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Nhƣ vậy trong quá trình dạy học với lƣợng kiến thức và thời gian đƣợc phân phối cho môn
Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng đƣợc các bài tập, bài giảng và phƣơng pháp giảng dạy
phù hợp để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Trong chƣơng trình Toán bậc THCS thì
kiến thức chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu
hết các dạng toán nhƣng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn giản,
thiếu thách thức để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Từ những lí do trên, đề tài đƣợc
chọn là: Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép
chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2. Lịch sử nghiên cứu
Gần đây cũng có nhiều công trình nghiên cứu về việc phát triển tƣ duy cho học sinh trong
dạy học bộ môn Toán nhƣ:
- Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân với Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ
của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. ( 2006).
- Phan Thị Hƣơng Thảo với Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học không gian .Luận
văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên (2007).
- Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy
học chủ đề Phương trình và Bất phương trình. Luận án Tiến sĩ Giáo dục học( 2008).
- Nguyễn Thu Hƣơng với Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ
giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010).
Có thể thấy rằng vấn đề phát triển tƣ duy trong dạy học bộ môn Toán đã thu hút đƣợc sự
quan tâm chú ý của nhiều tác giả. Tuy nhiên, qua tìm hiểu chúng tôi chƣa thấy có công trình
khoa học nào xây dựng các phƣơng pháp thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép
chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy cho học
sinh, chỉ ra đƣợc một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tƣ duy cho học
sinh.

- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép
chia các đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh.
- Thiết kế một số bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân
và phép chia các đa thức” vận dụng các biện pháp trên.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Chƣơng 1 đại số lớp 8 THCS, luận văn tập trung vào dạng toán “ Phân tích đa thức
thành nhân tử và các ứng dụng của nó”

3
- Thời gian nghiên cứu : 2 năm (năm học 2010-2011, năm học 2011-2012)
5. Mẫu khảo sát
- Học sinh lớp 8 của trƣờng THCS Lƣơng Chí, THCS Hải Nhân, THCS Hải Thanh, THCS
Hải Thƣợng, THCS Hải Hòa đều thuộc huyện Tĩnh Gia-Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm
học 2011-2012)
6.Vấn đề nghiên cứu
- Cơ sở lí luận về tƣ duy là gì? Quá trình rèn luyện và phát triển tƣ duy ở học sinh bậc trung
học cơ sở nhƣ thế nào?
- Để phát triển tƣ duy cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy
nào và phát triển các loại hình tƣ duy nào?
- Xây dựng các bài toán, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép
chia các đa thức” lớp 8 THCS nhƣ thế nào để phát triển tƣ duy cho học sinh?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu giáo viên xây dựng đƣợc một hệ thống bài toán và đề xuất đƣợc những biện pháp tổ
chức thực hành giảng dạy những nội dung liên quan đến chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa
thức” lớp 8 THCS sẽ có tác dụng phát triển tƣ duy cho học sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau:
8.1. Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu
8.2. Phương pháp điều tra, quan sát
8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 8 tại trƣờng THCS Lƣơng Chí- trƣơ
̀
ng THCS
Hải Nhân, trƣơ
̀
ng THCS Hải Thanh, trƣơ
̀
ng THCS Hải Thƣ ợng, trƣơ
̀
ng THCS Hải Hòa đều
thuộc huyện Tĩnh Gia tỉnh Thanh Hóa.
8.4. Phương pháp thống kê toán học
Xử lí các số liệu sau khi điều tra.
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
9.1.1 Khái niệm tư duy
9.1.2. Các thao tác tư duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh
- Phân tích – Tổng hợp
- So sánh - Tƣơng tự hóa
- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa
9.1.3. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chương “Phép nhân và
phép chia đa thức” lớp 8 trung học cơ sở.
9.2 Luận cứ thực tế
Đánh giá sự phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sƣ phạm tại một số
trƣờng trung học cơ sở.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận

4
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất những biện pháp tổ chức thực hành
giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác dụng phát triển tƣ
duy cho học sinh.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Đại cƣơng về tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì
Tùy theo các phƣơng diện nhìn nhận khác nhau về tƣ duy. Trong luận văn này chúng tôi
quan niệm: Tƣ duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ
có tính quy luật của sự vật hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
+ Tƣ duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
+ Tƣ duy mang tính khái quát
+ Tƣ duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính.
+ Tƣ duy luôn luôn hƣớng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
1.2. Tƣ duy toán học
1.2.1. Các thao tác tư duy toán học
1.2.1.1. Phân tích- tổng hợp
Phân tích là thao tác tƣ duy để phân chia đối tƣợng nhận thức thành các bộ phận, các
mặt, các thành phần khác nhau. Trong giải toán, phân tích là phƣơng pháp suy luận đi từ cái
chƣa biết đến cái đã biết.
Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy biểu hiện trong việc xác lập
tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có
thể có đƣợc trong việc xác định phƣơng hƣớng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các
mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa
chúng và chính vì vậy đã thu đƣợc một sự vật và hiện tƣợng nguyên vẹn mới.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối
lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hƣớng tổng hợp, tổng hợp đƣợc
thực hiện theo kết quả phân tích. Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích đạt

đƣợc chiều sâu bản chất hiện tƣợng sự vật. Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có
mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề. Sự phát
triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tƣ duy và các hình thức tƣ
duy của học sinh.
1.2.1.2. So sánh, tương tự hóa
So sánh là thao tác tƣ duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không
đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tƣợng nhận thức
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai
đối tƣợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Nhƣ vậy, tƣơng tự là sự giống nhau giữa hai hay
nhiều đối tƣợng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
1.2.1.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hoá là hoạt động tƣ duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ
chung, bản chất của sự vật, hiện tƣợng tạo nên nhận thức mới dƣới hình thức khái niệm, định
luật, qui tắc
1.2.1.4. Trừu tượng hóa

5
Trừu tƣợng hoá là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những
liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tƣ duy. Sự
phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục
đích hành động.
1.2.2. Một số loại hình tư duy toán học
1.2.2.1. Tư duy cụ thể
Là tƣ duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tƣợng. Ngƣời ta
phân biệt hai hình thái tƣ duy cụ thể, đó là: tƣ duy linh hoạt và tƣ duy không linh hoạt.
1.2.2.2. Tư duy trừu tượng
Tƣ duy trừu tƣợng đƣợc Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình thái cụ thể
và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích. Hai là, tư duy logic. Ba là, tư duy lược đồ không
gian.
1.2.2.3. Tư duy trực giác

Theo quan điểm của Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là phƣơng pháp đặc biệt
của nhận thức đƣợc đặc trƣng bởi cách hiểu trực tiếp về sự thật. Ngƣời ta thƣờng xếp vào lĩnh
vực trực giác, các hiện tƣợng kiểu nhƣ: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán đã suy ngẫm
nhiều nhƣng chƣa giải đƣợc, đột nhiên tìm ra một biện pháp để thoát khỏi sự nguy hiểm…
1.2.2.4. Tư duy hàm
Kôliagin cho rằng: Tƣ duy hàm đặc trƣng bởi sự hiểu biết những mối quan hệ chung
và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tƣợng toán học hoặc giữa các tính chất của chúng và
bởi kỉ năng sử dụng các quan hệ ấy
1.2.2.5. Tư duy phê phán
Theo [12] thì tƣ duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:
+ Ta sẽ tin vào điều gì?
+ Ta sẽ lựa chọn cách nào?
Chúng ta cần phải hiểu rằng cách phân loại trên đây chỉ là tƣơng đối. Rõ ràng khó mà
kể hết các loại hình tƣ duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có quan điểm riêng và ngay bản thân từng
tác giả thì các loại tƣ duy theo cách phân loại của họ cũng có sự giao thoa và cũng không thể
kì vọng vào một sự đầy đủ tuyệt đối.
1.2.2.6.Tư duy thuật toán
- Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn
những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tƣợng sao cho sau một số hữu hạn
bƣớc thực hiện các thao tác đó ta thu đƣợc kết quả mong muốn.
- Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán mà chỉ là một cách phát
biểu giúp ta hình dung khái niệm này
1.2.2.7. Tư duy sáng tạo
"Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao. Ý tƣởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi
mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không
quen thuộc hoặc duy nhất" [10, tr.72].
1.3. Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trƣờng phổ thông
1.3.1. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
1.3.2. Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

1.3.3. Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản

6
1.3.4. Hình thành những phẩm chất trí tuệ
1.3.4.1. Tính linh hoạt
1.3.4.2. Tính độc lập
1.3.4.3. Tính sáng tạo
Tiểu kết chƣơng 1
Chƣơng này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài. Đó là quan niệm
về tƣ duy, các loại hình tƣ duy và các thao tác tƣ duy trong Toán học.
Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trƣờng phổ thông trong đó mục tiêu quan trọng
nhất là phát triển năng lực trí tuệ, tƣ duy cho học sinh.

Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT NHỮNG BIỆN PHÁP
TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA
CÁC ĐA THỨC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƢ
DUY CHO HỌC SINH
2.1. Những căn cứ để phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học chƣơng “Phép
nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2.1.1. Dạy tư duy
Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng tƣ duy. Dạy học
hiện đại đã quan tâm đến phát triển tƣ duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng
đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể.
Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?
Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu đƣợc chỉ
là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt
vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống. Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng
chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu đƣợc mới là sở hữu trí
tuệ của ngƣời học. Kiến thức HS thu đƣợc bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm,
vừa là cơ sở của hoạt động tƣ duy.

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu cơ sở
lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tƣ duy cho học sinh gồm hai
phƣơng diện:
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích- tổng hợp, so sánh- tƣơng tự hóa, khái quát hóa-
đặc biệt hóa,
- Phát triển các dạng tƣ duy: Tƣ duy thuật toán, tƣ duy sáng tạo
Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trƣờng chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học
không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đến việc tích cực hoá
hoạt động nhận thức. Bởi lẽ tƣ duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngƣợc lại. Sẽ sai
lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tƣ duy, điều này sẽ chỉ làm cho ngƣời học phải học
nhƣng luôn luôn thiếu kiến thức. Tích luỹ kiến thức và học các phƣơng pháp để tích luỹ kiến
thức cũng nhƣ vận dụng chúng là một quá trình hai mặt. Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo
viên phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy và phát triển các dạng tƣ duy.
2.1.2. Nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS với vấn đề phát
triển tư duy cho học sinh.
Trong chƣơng trình toán THCS chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” chiếm
vị trí quan trọng. Chƣơng này nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức về nhân,

7
chia các đa thức, các hằng đẳng thức quan trọng, các phƣơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử, qua đó hoàn thiện các phép toán về đa thức mà các em đã đƣợc học ở lớp 7. Nội
dung chƣơng gồm ba chủ đề: Chủ đề 1: Phép nhân, chia các đa thức. Chủ đề 2: Các hằng đẳng
thức đáng nhớ. Chủ đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. Trong chƣơng trình toán THCS thì:
giải phƣơng trình, giải hệ phƣơng trình, giải bất phƣơng trình, bất đẳng thức, cực trị là các
dạng toán quan trọng mà các kiến thức trong chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức”
đều đƣợc ứng dụng để giải các dạng toán này.
Các loại bài tập trong chƣơng có những bài có thuật giải, cũng có những bài chƣa có
thuật giải. Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp
dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết đƣợc. Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS
phải phân tích đặc điểm của từng bài tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hƣớng cách giải

quyết. Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trƣờng hợp riêng, chia nhỏ bài toán
thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, nhƣ vậy HS có nhiều cơ hội để rèn luyện các
thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa. Bên cạnh đó từ một số bài toán về
đẳng thức thuộc chƣơng này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng
thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đó là cơ
hội tốt để HS phát triển đƣợc tƣ duy của mình.
Những phân tích trên khẳng định ƣu thế của chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa
thức” trong việc phát triển tƣ duy cho HS.
2.2. Rèn luyện các thao tác tƣ duy: phân tích- tổng hợp, so sánh- tƣơng tự hóa, khái quát
hóa- đặc biệt hóa
2.2.1. Phân tích. Tổng hợp
Trong cuốn sách “Giải một bài toán nhƣ thế nào”[24], tác giả G.Polya đã chỉ
ra:“Muốn giải một bài toán, phải lần lƣợt: Hiểu rõ bài toán,xây dựng một chƣơng trình (một
dữ kiện),thực hiện chƣơng trình (dự kiến) khảo sát lời giải đã tìm đƣợc.”
Hai bƣớc đầu mà G.Polya đƣa ra chính là bƣớc tìm đƣờng lối giải bài toán. Trong
bƣớc này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hƣớng dẫn
HS thông qua trả lời các câu hỏi:
+ Đề bài cho gì, hỏi gì?
+ Từ những giả thiết đã cho suy đƣợc những điều gì?
+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tƣơng
đƣơng thành những điều kiện nào?
+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tƣơng
đƣơng thành kết quả nào?
+ Tìm quan hệ giữa cái chƣa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng
chứa cái chƣa biết hoặc có cùng kết luận tƣơng tự không? Mối liên hệ của bài toán với những
bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…
GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chƣớng ngại khiến ta
phải dừng lại.Để trả lời đƣợc các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các
kiến thức liên quan. Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định đƣợc dạng bài, định hƣớng tìm ra
đƣờng lối giải bài toán. Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS, để tạo cơ hội rèn luyện và

phát triển tƣ duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo,
sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theo nhiều hƣớng khác

8
nhau, tìm đƣợc nhiều đặc điểm định hƣớng các cách giải khác nhau để kích thích tƣ duy cho
học sinh. Bài toán trong sách tham khảo nhƣ sau
Bài toán 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng
của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến
đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng đƣợc các phƣơng
pháp phân tích đã biết:
Bài giải : a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
= (a
3
+ 3a
2
b +3ab

2
+b
3
)+ c
3
– ( 3a
2
b+3ab
2
+ 3abc)
= (a+b)
3
+ c
3
- 3ab(a+b+c)
= [ (a+b)
3
+c
3
] - 3ab( a+b+c)
= ( a+b+c) [(a+b)
2
-c(a+b)+c
2
] – 3ab(a+b+c)
= ( a+b+c)(a
2
+2ab+b
2
-ac-bc+c

2
-3ab)
= ( a+b+c) (a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
Để phát triển tƣ duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán nhƣ sau :
Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3 abc = (a+b+c) (a
2
+b
2
+c
2
– ab – bc – ca)
Ngoài cách giải nhƣ bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?
Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phƣơng pháp nào? Từ đó học sinh tìm ra cách giải
khác là biến đổi vế phải bằng về trái.
Bài giải
Ta có P = ( a + b + c ) ( a
2

+b
2
+c
2
- ab – bc – ca)
Khi khai triển
gồm 18 hạng tử gồm các dạng: a
3
+ b
3
+ c
3

+ a
2
b + a
2
c +b
2
c + b
2
a + c
2
a +c
2
b
+ ( -a
2
b - a
2

c - b
2
c - b
2
a - c
2
a - c
2
b) – abc – abc – abc
=> P = a
3
+ b
3
+c
3
– 3 abc) (đpcm)
Bài toán 2.3: Cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồi không? Có thể sử
dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?
Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có :
a
3
+ b
3

+ c
3
- 3abc=( a+b+c) (a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca).
Mà a+b+c=0

a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc=0 hay a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?
Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ?
Bài giải: Ta có a + b + c = 0 nên a + b = -c .Do đó a
3
+b
3

+c
3
= a
3
+ b
3
-(a+b)
3

= a
3
+ b
3
- a
3
- b
3
-3ab(a+b)=3abc.
Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từ đó khám phá ra
những kết quả mới. Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựa vào bài toán ban đầu 2.1 hoặc
2.2.
2.2.2 .So sánh - Tương tự hóa

9
Sau khi tìm đƣợc lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìn lại cách giải
tìm ra. Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đƣờng họ đã đi. Hình thành cho HS thói quen trả
lời các câu hỏi:
+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?
+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?
+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng nhƣ khác
nhau giữa các bài tập đã giải. Từ đó có thể đƣa ra định hƣớng mở rộng cách giải cho những
bài tập có những đặc trƣng tƣơng tự.
Bài 2.4 : a, b, c

R, chứng minh rằng:
(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)
? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những
bƣớc nào? Các bƣớc biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ
sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Dƣới sự hƣớng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần
biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức.
Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là
thuật toán nhân hai đa thức đối xứng
Bài giải
Ta có (a + b) ( b +c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x2 = 8 hạng tử gốm các dạng:
a
2
b + a
2
c + b
2
c + b
2
a + c
2
a + c
2
b và abc + abc (1)

Ta có (a +b + c) (ab + bc + ca) khi triển gồm 3 x 3 = 9 hạng tử
a
2
b + a
2
c + b
2
c + b
2
a + c
2
a + c
2
b và abc + abc + abc (2)
Từ (1) (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Nhƣ vậy đứng trƣớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhƣng có một số điểm chung
ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép
so sánh và tƣơng tự. Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết
nhanh đƣờng lối giải các dạng bài toán đó.
2.3.Phát triển các dạng tƣ duy: Tƣ duy thuật toán,Tƣ duy sáng tạo
2.3.1. Tư duy thuật toán
Thuật toán đƣợc hiểu nhƣ một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để
ngƣời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đƣợc mục đích đặt ra hay giải một lớp
bài toán nhất định.
Ta có thể phát triển tƣ duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các phƣơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử.Chẳng hạn khi dạy: Phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c
thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b
1

x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac . Trong thực hành ta làm
nhƣ sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Bài toán 2.5: Phân tích đa thức 3x
2
+ 8x + 4 thành nhân tử
Ta có: a =3 ; b = 8 ; c = 4
Bước 1: ac = 3.4 = 12

10
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3= 12.1
Bước 3: b = 8 = 2+6
Khi đó ta có lời giải: 3x
2
+ 8x +4 = 3x
2
+ 6x+2x+4=3x(x+2)+2(x+2)= (x+2)(3x +2)
Ta còn có thuật giải khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử nhƣ sau:
3x
2
+ 8x +4 =
)

3
2
3
4
)(
3
2
3
4
(3)
3
2
()
3
4
(3)
3
4
3
8
(3
222







 xxx

x
x

Nhờ thuật giải này chúng ta có thể dạy cho học sinh lớp 8 phƣơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức:
3x
2
+ 8x +4 =








22
)
3
2
()
3
4
(3 x
22
)
3
2
(3)
3

4
(3 x
)
3
2
(3
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
4
x
.
Phƣơng pháp:
+Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
-Chứng minh A > m với m là một hằng số.
-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
-Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
+Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
-Chứng minh A < t với t là một hằng số.
-Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
-Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
2.3.2. Tư duy sáng tạo

Rèn luyện tính độc lập sáng tạo là yêu cầu rất quan trọng trong quá trình dạy học bộ
môn Toán. Vì thế luôn cần tạo cho học sinh những tình huống, những đề toán có thể đánh
thức năng lực sáng tạo của học sinh.
Từ bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức
3 3 3 2 2 2
3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ac          

.
 Ta sẽ có một cách chứng minh hay cho bất đẳng thức dạng trung bình:
, , 0abc
,
3
3
abc
abc


nhƣ sau:
Ta có:
3 3 3 2 2 2
1
3 ( )(( ) ( ) ( ) ) 0
2
a b c abc a b c a b b c c a           

(Vì
0abc  
)
3 3 3
3a b c abc   

Đặt
3
aA
,
3
bB

,
3
cC
, ta thu đƣợc
3
3
A B C
ABC


với
, , 0A B C 
.
Sử dụng đẳng thức trong bài toán 2.2 chúng ta chứng minh đƣợc một bài toán khá hay sau:
Bài 2.6: Cho

 Rzyx ,,
, chứng minh rằng
3 3 3
3
( )( )( )
34
x y z
xyz x y y z z x

    
(Rumani, 2007).

11
Bài giải

Đặt
( )( )( )p x y y z z x   
, ta có
2 2 2
x y z xy yz zx    
=
2 2 2
1
( ) ( ) ( )
2
x y y z z x

    


2
3
3
2
p
.
Vì
x y x y  
;
y z y z  
;
z x z x  

3
2( ) 3x y z x y y z z x p         

Ta có:
3 3 3 2 2 2 2
3
3
3 3 9
3 ( )( )
2 2 4
x y z xyz x y z x y z xy yz zx p p p            

3 3 3
3
34
x y z
xyz p

  
(đpcm)
Bài 2.7. Với
Rzyx ,,
thoả mãn
3 3 3
31x y z xyz   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
P x y z  
. (United Kingdom 2008)
Bài giải
Áp dụng đẳng thức:
3 3 3 2 2 2

3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ac          
, ta suy ra:
2 2 2
( )( ) 1x y z x y z xy yz zx       
.
Đặt
2 2 2
;A x y z  

B x y z  

2
2( )B A xy yz zx    

2
2
BA
xy yz zx

   
.
Và thu đƣợc:
2
.1
2
BA
BA







2
3
1
2
AB
B






22
2 1 1
33A B B
B B B
      

1A
(Đẳng thức xảy ra khi
( , , ) (1,0,0)x y z 
)
*Ta thấy với a+b+c=0 thì



abc

cba
abc
abc
333
3
3
ab
c
ac
b
bc
a
222

. Ta có bài toán sau :
Bài toán 2.8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0.
Tính giá trị của biểu thức:
`
ab
c
ac
b
bc
a
P
222

.
Bài giải :
Vì a+b+c = 0. Ta có : a

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
ab
c
ac
b
bc
a
P
222

=
abc
a
3
+
abc
b
3
+
abc
c
3
=
abc
cba

333

=
abc
abc3
=3
(vì a, b, c là ba số khác 0)
*Thay c bởi c+d vào a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc ta đƣợc:
a
3
+ b
3
+ (c+d)
3
= 3ab(c+d)

12

a
3
+ b
3
+ c
3

+d
3
= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)

a
3
+ b
3
+ c
3
+d
3
= 3(c+d)(ab-cd)
Bài toán 2.9: Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì:
a
3
+ b
3
+ c
3
+d
3
= 3(c+d)(ab-cd).
Bài giải :
Đặt c+d=m. Khi đó a+b+m=0. Ta có : a
3
+b
3
+m
3

= 3abm
Hay a
3
+b
3
+(c+d)
3
=3ab(c+d)

a
3
+b
3
+c
3
+d
3
+3c
2
d+3cd
2
=3ab(c+d)

a
3
+b
3
+c
3
+d

3
=3ab(c+d) – (3c
2
b+3cb
2
)

a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(c+d)(ab-cd)
Từ bài toán 2.10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
Bài giải
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x
2
+5x+4)( x
2
+5x+6) + 1
=(x
2
+5x+4)[( x
2
+5x+4)+2] + 1

=(x
2
+5x+4)
2
+2(x
2
+5x+4) + 1
=(x
2
+5x+4+1)
2
=(x
2
+5x+5)
2
Dựa vào kết quả của bài toán trên ta khai thác và phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 2.11: Cho M là tích của bốn số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng M+1 là số chính
phương.
Bài toán 2.12: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp biết tích của chúng bằng 32760.
Bài toán 2.13: Giải phương trình:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).
2.4. Kết luận
Khi dạy đối tƣợng HS diện đại trà, GV thƣờng gặp phải một khó khăn đó là nếu dạy
những bài toán ở mức độ dễ sẽ có ít thách thức đặt ra với HS, ít có cơ hội để học sinh phát
triển tƣ duy. Những bài toán giàu tính thách thức, giàu cơ hội để phát triển tƣ duy thì lại khó
với HS. Gặp những bài toán khó, HS không biết bắt đầu từ đâu, không tìm đƣợc hƣớng giải sẽ
khiến HS chán nản bỏ cuộc. Để khắc phục điều này đòi hỏi sự “gia công” của GV vào bài
dạy. Chúng tôi đã mạnh dạn đề xuất một hƣớng đó là: Trong mỗi hình thức giảng dạy đƣợc
triển khai thực hành ở mức độ thấp, hoặc mức độ cao nhƣ đã nêu ở trên, GV thiết kế nội dung
bài giảng theo hai mức: từ bài giảng cơ bản đến bài giảng nâng cao.

Việc lựa chọn các phƣơng pháp dạy học thích hợp cũng đóng vai trò quan trọng trong quyết
định hiệu quả trong việc phát triển tƣ duy cho HS. Các phƣơng pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài
giảng cần vận dụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức:
 Sử dụng mô hình dạy học tích cực (thầy hƣớng dẫn, gợi ý, HS tự
xây mình xây dựng bài giải) với các bài toán cơ bản.
 Các bài toán thực hành theo dạng, tổ chức hƣớng dẫn HS học theo nhóm.
 Với những bài toán khó, hƣớng dẫn HS theo hình thức tự học, tự nghiên cứu.
2.5. Thiết kế một số giáo án và chuyên đề dạy học liên quan đến nội dung chƣơng “Phép
nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác dụng phát triển tƣ duy cho học sinh
Giáo án 1: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học nội dung: Phân tích đa
thức thành nhân tử và ứng dụng
(thời gian dạy: 4 tiết tăng cƣờng , tự chọn)

13
A. Mục tiêu: Sau khi hoàn thành bài học HS đạt đƣợc:
- Kiến thức: Xây dựng và nắm vững một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ).
+ Phƣơng pháp hệ số bất định.
+ Tìm nghiệm của đa thức.
- Kĩ năng:
+ Phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn đƣợc phƣơng pháp giải thích hợp
+Tổng hợp, xây dựng phƣơng pháp giải .
+ Khai thác lời giải bài toán, có thể xây dựng đƣợc các bài tập có cùng cách giải.
- Thái độ: Tích cực, say mê tìm hiểu, sáng tạo. Mạnh dạn trình bày ý kiến.
- Tƣ duy: Rèn luyện các thao tác tƣ duy: Phân tích, tổng hợp, tƣơng tự hóa, khái quát hóa,
phát triển tƣ duy thuật giải.
B. Chuẩn bị:
Giáo viên:
Chuẩn bị hệ thống (ngân hàng) bài tập đặc trƣng tƣơng ứng nội dung trong phần mục tiêu.
Phiếu bài tập.

Máy tính, máy chiếu.
Học sinh:
Ôn lại: Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã
học.
C. Phƣơng pháp dạy học:
Gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hƣớng dẫn HS làm việc theo nhóm.
D- Nội dung:
Hoạt động 1: GV cho học sinh ôn tập , hệ thống lại các kiến thức sau:
. CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phƣơng pháp đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức,nhóm nhiều hạng tử, phối hợp các
phƣơng pháp, tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử.
Hoạt động 2: Tổ chức các biện pháp thực hành giảng dạy để học sinh chiếm lĩnh kiến
thức mới.
I- Các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao)
7. Phƣơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung cần đạt
GV hướng dẫn học
sinh cách phân tích
bài toán và tổng hợp
trình bày lời giải:
Câu a:
? Tìm cách đổi biến
để đƣa đa thức bậc 4
đối với x thành đa
thức bậc hai đối với
biến mới?
? Phân tích đa thức
mới thành nhân tử?

Đặt x
2
+ x + 1 = y

x
2
+
x + 2 = y + 1


A= y(y + 1) – 12
= (y – 3)(y + 4)
-Thay y = x
2
+ x + 1 , ta
đƣợc:
Bài toán 2.14: Phân tích các đa thức sau
thành nhân tử:
a)A=(x
2
+x+1)(x
2
+ x + 2)- 12
b)B=(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x+ +4) – 24
c)C=4x( x + y)( x + y + z)( x + +z) +
y

2
x
2

Bài giải:
A = (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12
Đặt x
2
+ x + 1 = y

x
2
+ x + 2 = y + 1
A= y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12
= y
2
– 3y + 4y – 12

14
?Thay y = x
2
+ x + 1
để đƣa về đa thức

biến x ban đầu?

Kết quả phân tích đã
triệt để chƣa?
? Vậy x
2
+x+5 có phân
tích đƣợc nữa không?
Tổ chức HS thực
nhận dạng bài toán,
tổng hợp đưa ra
phương pháp giải.
GV cho học sinh hoạt
động nhóm làm câu b
và câu c.
Nhóm 1,2: câu b
Nhóm 3,4: câu c


Yêu cầu HS hoạt động
theo các gợi ý:
+ Nhận xét đặc điểm
các đa thức đã phân
tích?
Tìm điểm mấu chốt của
cách giải trên.
+Cơ sở, đặc điểm nào
của đa thức giúp ta giải
đƣợc theo cách trên.

- Dựa vào đặc trƣng
của lời giải đặt tên cho
phƣơng pháp? Nêu
phƣơng pháp?
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x +
5)
x
2
+ x – 2
= x
2
– x + 2x – 2
= x(x – 1) + 2(x – 1)
= (x – 1)(x + 2)
x
2
+x+5=
4
19
)
2
1
(
2
x

Nhóm 1,2: Tìm điểm khác
nhau giữa câu a và b? Làm
thế nào để đƣa về câu a?
Giải bài toán.
Nhóm 2,3: Tìm điểm khác
nhau giữa câu c và câu
b,a? làm thế nào để đƣa về
câu a? Giải bài toán.
Sau đó các nhóm lên bảng
trình bày bài của nhóm
mình các nhóm khác nhận
xét, bổ sung












- HS phân tích, đƣa ra
nhận xét.

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4)
Thay y = x
2
+ x + 1 , ta được:
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x + 5)
= (x –1)(x + 2)(x
2
+ x +5).
b)B=(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)- 24
= (x
2
+ 5x + 4)( x
2
+ 5x + 6) – 24
Đặt y = x
2
+ 5x + 4

x
2
+ 5x + 6 = y
+ 2 và ta được:
B = y(y + 2) – 24
= y
2
+ 2y – 24 = y

2
- 4y + 6y – 24=
= y(y – 4) + 6(y – 4) = (y – 4)(y +6)
Thay y = x
2
+5x + 4 , ta được:
B = (x
2
+5x)(x
2
+ 5x + 10)
= x(x + 5)(x
2
+ 5x + 10)
c)C=4x(x + y)( x + y + z)(x + z)+ y
2
z
2

= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) + y
2
z
2

= 4(x
2
+ xy + xz)(x
2
+ xz + xy + yz) +
y

2
z
2

Đặt : x
2
+ xy + xz = m, ta có:
C= 4m(m + yz) + y
2
z
2

= 4m
2
+ 4myz + y
2
z
2

= ( 2m + yz)
2

Thay m = x
2
+ xy + xz, ta được :
C= 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + +y
2
z
2

= (2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2

Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + +b)(x +
c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + +a)(x +
b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y
2
=
x
2
+ (a + b) x
Phương pháp: Nếu đa thức dạng P(x) =
(a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1
x + d

2
)
thoả mãn a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
1
b
2
+ a
2
b
1
= c
1
d
2

+c
2
d
1
thì đặt y =(a
1
x + a

2
)(b
1
x + b
2
)
Hoạt động 3:Tổ chức HS thực hành phân tích, nhận dạng bài toán, tổng hợp đưa ra phương
pháp phân tích các dạng đa thức khác thành nhân tử.
GV chia lớp thành 4 nhóm
- Phát phiếu học tập gồm 4 bài toán:
+ Bài toán 2.15: Phân tích P(x) = 6x
4
+ 19x
2
+ 15 thành nhân tử.
+ Bài toán 2.16: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x
2
thành nhân
tử.

15
+ Bài toán 2.17 : Phân tích P(x) = 2x
4
+ 3x
3
– 9x
2
– 3x + 2 thành nhân tử.
+ Bài toán 2.18 : Phân tích P(x) = x
4

- x
3
– 10x
2
+ 2x + 4 thành nhân tử.
Mỗi nhóm làm cả 4 bài toán và thực hiện theo yêu cầu:
 Phân tích tìm cách giải.
 Đƣa ra lời giải
 Tổng kết thành phƣơng pháp chung giải dạng toán đó (đặt tên cho
phƣơng pháp, cách thực hiện)
Thời gian cho mỗi nhóm hoàn thành bài của mình là 20 phút, các nhóm trình bày lời giải
bài toán trên giấy A4 và trình bày phƣơng pháp chung giải dạng toán của nhóm mình trên bảng
nhóm.
GV yêu cầu đại diện từng nhóm trình bày cách phân tích nhận dạng và lời giải các bài tập
của nhóm mình (chiếu bài của nhóm trƣớc lớp bằng máy chiếu đa vật thể), nêu phƣơng pháp
giải dạng toán của nhóm trên bảng nhóm.
Các nhóm nhận xét, bổ sung. GV là trọng tài, tổng kết lại các phƣơng pháp tƣơng ứng trong bài và
các bƣớc thực hiện.
Dự kiến bài làm của các nhóm:
Bài toán 215:Phân tích P(x) = 6x
4
+ 19x
2
+ 15 thành nhân tử.
Bài giải:
Đặt y = x
2
, ta có:
Q(y)

= 6y
2
+ 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19
Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y
2
+ 19y + 15 = 6y
2
+ 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
= (2y + 3)(3y + 5)
Do đó : P(x) = 6x
4
+ 19x
2
+ 15
= ( 2x
2
+ 3)(3x
2
+ 5)
Bài toán 2.16: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x
2
thành nhân tử.
Bài giải:
Dễ thấy a
1
b
1

= 3.3 = 9.1 = c
1
d
1
và a
2
b
2
= 2.(-5) =(-1).10 =c
2
d
2

P(x) = (9x
2
– 9x – 10)(9x
2
+ 9x – 10) + 24x
2

Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x
2
– 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x
2

Tìm m.n = 24x
2
và m + n = 10x ta chọn đƣợc m = 6x , n = 4x
Ta đƣợc: Q(y) = y

2
+ 10xy + 24x
2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do đó: P(x) = ( 9x
2
– 3x – 10)(9x
2
– 5x – 10).
Bài toán 2.17: Phân tích P(x) = 2x
4
+ 3x
3
– 9x
2
– 3x + 2 thành nhân tử.
Bài giải:
Đặt y = x
2
– 1 suy ra y
2
= x
4
– 2x
2
+ 1
Biến đổi P(x) = 2(x
4
– 2x
2

+ 1) + 3x
3
– 5x
2
– 3x
= 2(x
2
– 1)
2
+ 3x( x
2
– 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2

Tìm m, n sao cho m.n = - 10x
2
và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x

16
Ta có: Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2

= 2y
2
– 2xy + 5xy – 5x

2

= 2y(y – x) + 5x(y – x)
= ( y – x)( 2y – 5x)
Do đó: P(x) = (x
2
– x – 1 )(2x
2
+ 5x – 2).
Bài toán 2.18: Phân tích P(x) = x
4
- x
3
– 10x
2
+ 2x + 4 thành nhân tử.
Bài giải:
Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4 đặt y = x
2
– 2 suy ra y
2
= x
4
– 4x
2
+ 4
Biến đổi P(x) = x
4
– 4x
2

+ 4 – x
3
– 6x
2
+ 2x
= (x
2
– 2)
2
– x(x
2
– 2) – 6x
2

Từ đó Q(y) = y
2
– xy – 6x
2

Tìm m, n sao cho m.n = - 6x
2
và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta có: Q(y) = y
2
+ 2xy – 3xy – 6x
2

= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y – 3x)
Do đó: P(x) = (x

2
+ 2x – 2)(x
2
– 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax
4
thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.
Phƣơng pháp chung giải các dạng toán:
1) Đa thức dạng: P(x) = ax
4
+ bx
2
+ c
Cách giải: đặt biến phụ y = x
2
và áp dụng các phƣơng pháp đã học phân tích tiếp.
2) Đa thức dạng: P(x) = (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1

x + d
2
)
với a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
2
b
2
= c
2
d
2
3) Đa thức dạng : P(x) = ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ kbx + a với k = 1 hoặc k = –1
Cách giải: Đặt y = x
2
+ k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay
2

+ bxy rồi sử dụng các
phƣơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.
4) Đa thức dạng: P(x) = x
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e với e = d
2
/b
2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x
2
+ d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y
2
+ bxy rồi sử
dụng các phƣơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích
Tiếp theo GV giới thiệu hai phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử sau:
8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định:
a)Phƣơng pháp :
Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là
ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng
nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.
b)Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
2
+ 3x + 2
Bài giải:
f(x) = x

2
+ 3x + 2
Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất (x
2
) là 1 nên f(x) có thể phân tích thành hai
nhân tử x + a, x + b, ta có:
x
2
+ 3x + 2 = (x + a)(x + b)

x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ (a + b)x + ab

17


3
2
ab
ab








Từ a + b = 3

a= 3 – b. Đem thế vào ab = 2, ta đƣợc:
ab = 2

b(3 – b) = 2

–b
2
+ 3b – 2 = 0


–b
2
+ b + 2b -2 = 0


–b(b – 1) + 2(b – 1) = 0


(b – 1)(b – 2) = 0


1
2
b
b








Cho b = 1

a = 2 hoặc b = 2

a = 1.
Trong cả hai trƣờng hợp này ta đều đƣợc kết quả:
f(x) = x
2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Vậy f(x) = (x +1)(x + 2).
Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm các hạng
tử:
x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ x+ 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2).
9. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Phƣơng pháp:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Nhƣ vậy nếu đa thức f(x)
chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa
thức nếu có phải là ƣớc của hệ số tự do.
 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai

thừa số là (x – a) và Q(x).
P(x) = (x – a)Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho (x – a). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).
 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta có thể phân tích đa thức
P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x).
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x
2
+ (a + b)x + ab, ta có thƣơng đúng
của phép chia là Q(x). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).
 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
= a thì sao?
Thế nào là nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).
Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x).
Do đó, ta có : P(x) = (x – a)
2
R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
= a
Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x
1
= x
2

= a thì P(x) = (x – a)
2
R(x).
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ

18
thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ:
* Đa thức : x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)
* Đa thức: 5x
3
– 5x
2
+ 3x + 9 có (– 5) + 9 = 1+ 3
Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1).
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhƣng đa thức có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức
với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ƣớc của hạng tử không
đổi, q là ƣớc dƣơng của hạng tử cao nhất.
II. Ứng dụng của phƣơng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
. Bài toán giải phƣơng trình,bài toán giải bất phƣơng trình,bài toán rút gọn biểu thức, tính giá trị
biểu thức, bài toán chứng minh về chia hết,bài toán giải hệ phƣơng trình.
- Hoạt động 4 : Tổ chức HS thực hành phân tích, nhận dạng bài toán, đưa ra phương pháp
giải và giải các bài toán.

GV chia lớp thành 4 nhóm, phát cho các nhóm:
+ Phiếu bài tập
+ Bút dạ (mỗi nhóm một màu khác nhau).
+ Giấy trắng A
4
Yêu cầu: Trong thời gian 30 phút các nhóm đọc bài tập trong phiếu và phân loại các dạng
toán có trong 16 bài tập, mỗi dạng toán viết vào một tờ giấy A
4
kèm theo số thứ tự các bài toán
thuộc dạng toán đã nêu.
(GV quan sát hƣớng dẫn chung các nhóm: Phân tích các bài toán đã cho: những bài toán
nào có đặc điểm chung về yêu cầu, kiến thức liên quan…, xếp những bài toán có đặc điểm
chung thành từng dạng và đặt tên).
Sau 30 phút, 4 nhóm lần lƣợt cử đại diện dán kết quả của nhóm mình lên bảng theo qui
tắc: Mỗi lần mỗi nhóm chỉ đƣợc dán 1 tờ giấy ghi dạng toán chƣa có mặt trên bảng. Tuần tự
nhƣ vậy cho đến khi tất cả các dạng toán mà các nhóm cho là khác nhau đƣợc dán lên bảng.
GV đóng vai trò trọng tài, tổ chức cho các nhóm trình bày ý kiến
- Mỗi nhóm sẽ trình bày về các dạng toán mà nhóm mình đã dán đƣợc trên bảng với yêu
cầu:
+ Trình bày cơ sở phân loại, đặt tên cho dạng toán.
+ Trình bày lí do (dấu hiệu) xếp các bài toán vào dạng toán đó
+ Trình bày phƣơng pháp giải và giải cụ thể.
+ Khai thác , phát triển bài toán nếu có thể.
- Các nhóm khác nhận xét, bổ sung ý kiến
- GV thống nhất ý kiến các nhóm, đồng ý hoặc loại bỏ ý kiến của nhóm, chốt lại các dạng
toán
Đánh giá kết quả công việc các nhóm theo các tiêu chí:
+ Số dạng toán mà nhóm đã nêu trên bảng còn đƣợc giữ lại.
+Số dạng toán mà nhóm đã nêu đƣợc ở các phiếu chƣa đƣợc dán nhƣng có cùng đáp
án với đáp án đã thống nhất cho cả lớp.

Phiếu học tập: Bài toán 2.19: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)(y
2
– z)(2x
2
y – yz) – (4yx
2
+ yz
2
)(z – y
2
) + 6x
2
z(y
2
– z).
2) 9(x + 5)
2
– (x + 7)
2

3)- x
3
+ 9x
2
– 27x + 27
4) x
2
- 2xy - z
2

+ y
2
+ 2zt – t
2


19
5) 9 – x
2
+ 2xy – y
2

6) 5x
3
z – 10x
2
z – 5xz
3
- 5xy
2
z + 5xz + 10xyz
2

7) 4x
2
– 4x – 3
8) h(x)=(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
9) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y
2
x

2

10) x
5
– 1
11) 4x
4
+ 81
12) x
8
+ x
4
+ 1
13) k(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
14) P(x) = x
3
– 2x – 4
15) P(x) = x
4
+ x
3
– 2x
2
– 6x – 4

16) P(x) = 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3
Hoạt động 5 : Tổng kết bài :
GV: Yêu cầu HS nêu “con đƣờng” thực hiện trong tiết học, để tìm ra phƣơng pháp giải
một dạng toán từ việc giải một bài tập cụ thể:
1. Từ bài toán xuất phát:
+ Phân tích bài toán để tìm đƣờng lối giải bài toán
+ Đánh giá điểm mấu chốt của ý tƣởng, của giải pháp để đƣa ra lời giải của bài toán.
+ Chỉ ra cơ sở, dấu hiệu để áp dụng đƣợc ý tƣởng, giải pháp.
2. Áp dụng với bài toán khác.
+ Phân tích đề bài, tìm ra dấu hiệu đặc trƣng để có thể áp dụng đƣợc ý tƣởng, giải pháp
của bài toán xuất phát (đôi khi phải biến đổi để tìm ra dấu hiệu đặc biệt).
+ Giải bài toán
3.Từ giải một lớp các bài toán tổng hợp thành phƣơng pháp giải dạng toán
4.Đánh giá phƣơng pháp giải, phân tích ngƣợc lời giải để sáng tạo đƣợc bài toán mới .
Tổng kết một số phƣơng pháp đã xây dựng đƣợc trong tiết học.
Hoạt động 6 : Hƣớng dẫn về nhà.
Dựa vào bài học mỗi HS viết một bản báo cáo chuyên đề theo mẫu.
Trƣờng: Họ và tên: Lớp:
Chuyên đề: Các ứng dụng của phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Giáo án 2: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học nội dung: Áp dụng
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải hệ phương trình
Chuyên đề 1: Xây dựng các bất đẳng thức có điều kiện từ các đẳng thức
Chuyên đề 2: Sử dụng hằng đẳng thức giải hệ phương trình.
Chƣơng 3: THỰC NGHỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm
Nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học của luận văn thông qua thực tế dạy học, với

mục đích phát triển tƣ duy cho HS. Kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của những biện
pháp đã đề xuất qua vận dụng cụ thể vào dạy các kiến thức liên quan đến chƣơng “Phép nhân
và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS.
3.2. Nội dung thực nghiệm
Thực hiện các giáo án
+Giáo án thực nghiệm 1: Tiết 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phƣơng pháp đặt
nhân tử chung.(1 tiết)

20
+ Giáo án thực nghiệm 2: Tiết 19: Ôn tập chƣơng I (Tiết 1) (1 tiết)
+ Giáo án thực nghiệm 3: Tiết 20: Ôn tập chƣơng I (Tiết 2) (1 tiết)
+ Giáo án thực nghiệm 4: Giáo án 1 đã xây dựng trong chƣơng 2.(4 tiết)
3.3.Tổ chức thực nghiệm: Thời gian thực nghiệm: Năm học 2011-2012
Chúng tôi chọn 5 trƣờng THCS thuộc huyện Tĩnh Gia, tỉnh Thanh Hóa để tiến hành
thực nghiệm. Chúng tôi chọn thực nghiệm đề tài trên đối tƣợng HS diện đại trà.
Giáo viên dạy thực nghiệm là Lê Thị Phƣơng, Phạm Thị Trang, Nguyễn Thị Thanh, Vũ
Ngọc Cƣờng, Lê Thị Quyên (Giáo viên dạy thực nghiệm và đối chứng là các giáo viên khác
nhau). Các lớp thực nghiệm và đối chứng có kết quả học tập môn Toán trƣớc đó là tƣơng
đƣơng.
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm: Đánh giá định lƣợng, đánh giá định tính.
Các bài kiểm tra ở cả nhóm lớp TN và ĐC đều chấm cùng biểu điểm theo thang điểm 10. Các
kết quả thu đƣợc chúng tôi xử lý bằng thống kê toán học nhằm tăng độ chính xác và sức thuyết phục
của các kết luận. Trình tự đƣợc tiến hành cụ thể nhƣ sau:
Trong đó: n : Tổng số bài kiểm tra
i : Điểm số theo thang điểm 10
n
i
: Số bài kiểm tra có điểm số là X
i
* Tính các tham số đặc trƣng:

+ Điểm trung bình: là tham số xác định giá trị trung bình của dãy số thống kê đƣợc tính theo
công thức:
X
=
n
1
i
i
i
Xn


10
1

* Độ lệch chuẩn (S): Mô tả mức độ phân tách của các đại lƣợng xung quanh giá trị trung bình
cộng. Giá trị này đực biệt quan trọng khi so sánh 2 kết quả có 2 giá trị trung bình nhƣ nhau:
S =
n
XXn
ii


2
)(
, Phƣơng sai (S
2
i
), Sai số trung bình cộng (m); m =
n

S

* Hệ số biến thiên (
C
v
) : Khi có hai số trung bình cộng khác nhau, độ lệch chuẩn khác nhau
thì phải xét hệ số biến thiên:
C
v
=
X
S

Trong đó:
C
v
Có giá trị từ 0% đến nhỏ hơn 10%: dao động nhỏ, độ tin cậy cao.
C
v
Có giá trị từ 10 % đến nhỏ hơn 30%: dao động trung bình.
C
v
Có giá trị từ 30% đến nhỏ hơn 100%: dao động lớn, độ tin cậy nhỏ.
* Độ tin cây (
T
d
): Độ tin cậy sai khác giữa hai giá trị trung bình phản ánh kết quả của
phƣơng án thí nghiệm và đối chứng:
T
d

=
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XX



Trong đó:
X
1
: Điểm số trung bình của lớp đối chứng.

X
2
: Điểm số trung bình của lớp thực nghiệm.

2
1
S
: Phƣơng sai lớp đối chứng.

2
2
S
: Phƣơng sai lớp thí nghiệm.
3.5. Kết quả thực nghiệm thu đƣợc

21
Sau thực nghiệm tiến hành 5 lần kiểm tra: 4 bài kiểm tra đƣợc thực hiện ngay sau khi
dạy học thực nghiệm xong và cuối đợt TN kiểm tra độ bền vững kiến thức của học sinh ở mỗi
nhóm lớp bằng việc chấm bài tập chuyên đề sau khi dạy giáo án thực nghiệm 4. Chúng tôi thu
đƣợc kết quả và có các biểu đồ sau:

*Từ kết quả thể hiện qua các bảng số liệu và đồ thị, biểu đồ, chúng tôi rút ra một số nhận xét
sau:
+ Điểm trung bình cộng trong cả 5 lần kiểm tra ở nhóm lớp TN đều cao hơn nhóm lớp ĐC.
Hiệu đều cho kết quả dƣơng, tƣơng ứng với 5 lần kiểm tra là: 0,85; 0,23; 1,43; 1,28 và 1,73.

+ Điểm dƣới TB của nhóm lớp TN (7,4%) thấp hơn ở nhóm lớp ĐC (45,2%).
+ Điểm khá của nhóm lớp TN (38,7%) cao hơn ở nhóm lớp ĐC (24%).
+ Điểm giỏi của nhóm lớp TN (12,2 ) cao hơn ở nhóm lớp ĐC (2,8%)
+ Số học sinh đạt điểm trung bình, khá, giỏi ở nhóm lớp TN cao hơn lớp đối chứng.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
1. Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy, tƣ duy toán học, các thao tác tƣ duy, các loại
hình tƣ duy. Nghiên cứu cơ sở lý luận về phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học
Toán.
2. Xây dựng đƣợc một hệ thống gồm 76 bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển
tƣ duy cho học sinh, chỉ ra đƣợc một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển
tƣ duy cho học sinh.
3. Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép

chia các đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh.
4. Thiết kế 2 bài giảng và 2 chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân và
phép chia các đa thức” vận dụng các biện pháp trên.
5. Luận văn trƣớc hết rất có ý nghĩa đối với tác giả, vì nó là một nội dung quan trọng
trong chƣơng trình dạy. Mong rằng luận văn cũng đóng góp một phần nhỏ bé trong công cuộc
đổi mới phƣơng pháp dạy học hiện nay nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục, đồng thời có thể
là một tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp
Những kết quả thu đƣợc cho phép kết luận rằng: Giả thuyết khoa học của luận văn là
chấp nhận đƣợc, mục đích nghiên cứu đƣợc thực hiện, nhiệm vụ của luận văn đã hoàn thành.
2. Khuyến nghị
Sau khi nghiên cứu lí luận và tổng kết thực nghiệm sƣ phạm, chúng tôi có một số đề
xuất:
- Với đối tƣợng HS cấp THCS, khối lƣợng kiến thƣc toán học đƣợc tiếp cận còn ít nên
khoảng cách chênh lệch về kiến thức giữa HS khá giỏi và HS trung bình chƣa nhiều. Việc rèn
luyện cho HS đại trà các thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa là cần
thiết và hoàn toàn có thể thực hiện đƣợc. Các tiết tăng cƣờng, tự chọn là các thời gian thuận
lợi để GV có nhiều cơ hội hơn trong rèn luyện cho HS các thao tác này, qua đó phát triển tƣ
duy cho học sinh. Với đối tƣợng HS khá giỏi toán cấp THCS ta hoàn toàn có thể rèn luyện
cho học sinh nghiên cứu kỹ lời giải bài toán để khai thác, phát triển bài toán tƣơng tự hoặc bài
toán mới, qua đó phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Các GV có thể áp dụng các biện pháp đề xuất trong luận văn tuỳ thuộc vào từng đối
tƣợng HS cụ thể để thiết kế các bài giảng phù hợp.

22
- Tác giả luận văn đã soạn đƣợc hai chuyên đề và một bài giảng hay ứng dụng các kiến thức
đã học trong chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” và các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất
vào giảng dạy hai nội dung quan trọng của chƣơng trình toán THCS đó là: Bất đẳng thức và hệ
phƣơng trình nhƣng chƣa có thời gian thực nghiệm, vì vậy nên hƣớng nghiên cứu tiếp theo của bản
là tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện.

References
1. Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 8 (2 tập). Nhà xuất bản Giáo dục 2007
2. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Toán 8 . Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2009.
3. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương
Khóa VIII, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội, 1997.
4. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX, Nhà xuất
bản Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2001
5. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XI, Nguồn
Website , Hà Nội, 2011
6. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình Giáo dục học môn toán. Nhà
xuất bản Giáo dục,1987.
7. Nguyễn Thu Hƣơng, Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ
giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội (
2010).
8. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm,
2009.
9. Nguyễn Bá Kim, Về định hướng đổi mới phương pháp dạy học, NCGD số 332 - 1999.
10. Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân, Khuyến khích một số hoạt động trí
tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội, 2006
11. Luật giáo dục, Nhà xuất bản Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2005
12. Phan Thị Luyến, Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy
học chủ đề Phương trình và Bất phương trình. Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Hà Nội ,
2008.
13. Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Quốc, Phạm Văn Hùng, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị
Thùy Linh, Trần Quang Hùng, Một số bài giảng và đề thi môn toán. Nhà xuất bản
Đại học quốc gia, Hà Nội, 2009.
14. Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng ,Hệ phương trình và
phương trình chứa căn. Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà Nội,2008.

23

15. Bùi Văn Nghị, Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm, 2009
16. Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải các dạng toán 8 (2 tập). NXB giáo dục,2004
17. Võ Ngọc Phan, “Học một biết mƣời”, Tạp chí Toán tuổi thơ 2, số 3 tháng 5 năm 2003,
tr.2-3.
18. Hoàng Phê , Từ điển Tiếng Việt. Nhà xuất bản Khoa học Xã hội, Hà Nội, 1988.
19. Phan Thị Hƣơng Thảo Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học không gian
.Luận văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên ,2007.
20. Tôn Thân, Vũ Hữu Bình , Vũ Quốc Lƣơng, Bùi Văn Tuyên Ôn kiến thức-luyện kỹ
năng. NXB Giáo dục,2008.
21. Trần Thúc Trình , Tư duy và hoạt động học toán (Đề cương bài giảng cho học viên
cao học PPGĐ Toán). Viện KHGD, Hà Nội, 1998.
22. Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8, Nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam,2011
23. Tôn Thân, Bài tập Toán 8 (2 tập). Nhà xuất bản Giáo dục việt nam, 2009
24. Trần Vui, Nâng cao chất lƣợng dạy học toán theo những xu hƣớng mới. Giáo trình sau
đại học – Đại học Sƣ phạm Huế, 2005.
25. J.Mason , Tư duy toán học, Dự án Việt Bỉ.
26. G.Polya , Toán học và những suy luận có lí. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 1995.
27. G.Polya , Giải bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội,1997.
28. Polya G, Sáng tạo toán học. Nhà xuất bản Giáo dục, 1997.
29. Iu. M. Kôliagin , Phương pháp giảng dạy toán ở trường phổ thông. Nguồn Website,
1975.
30. Piaget J. Tâm lý học và Giáo dục học. Nhà xuất bản Giáo dục, 1999
31. V.A.KơRutecxki , Tâm lý năng lực toán học của học sinh. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà
Nội,1973.