Trắc nghiệm ứng dụng tích phân có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 32 trang )
Giaovienvietnam.com
PHẦN 3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
CHỦ ĐỀ 1
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Dạng 1: Cho hàm số
hàm số
y f x
y f x
liên tục trên
a; b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a và x b là:
b
S f ( x) dx
a
O
Phương pháp giải:
a; b .
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y f ( x) trên đoạn
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân :
f ( x) dx
a
.
b
Chú ý: có 2 cách tính tích phân
f ( x) dx
a
a; b
+ Cách 1: Nếu trên đoạn
hàm số
+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số
Dạng 2: Cho hàm số
hàm số
x f y
x f y
f x
f x
liên tục trên
b
b
không đổi dấu thì: a
a
trên đoạn
f ( x ) dx f ( x )dx
a; b
rồi khử trị tuyệt đối.
a; b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục Oy ( x 0 ) và hai đường thẳng y a và y b là:
b
S f ( y ) dy
a
y=a
Trang 1
Giaovienvietnam.com
2. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho 2 hàm số
y f x
(H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và
y g x
y f x
và
liên tục trên
y g x
a; b . Khi đó diện tích của hình phẳng
và hai đường thẳng x a và x b là:
b
S f ( x ) g ( x) dx
a
O
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f x g x
trên đoạn
a; b .
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
Dạng 2: Cho hai hàm số
y f x
y g x
và
f ( x) g ( x) dx
a
liên tục trên
.
a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường
y f x
và
y g x
S f ( x ) g ( x) dx
là:
.
Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình
Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình
lớn nhất của phương trình
f x g x 0
f x g x
a b
. Giả sử ta tìm được , là nghiệm nhỏ nhất và
a b .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số :
f x g x
trên đoạn
; .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:
Dạng 3: Cho hai hàm số
x f y
(H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
O
và
x g y
x f y
và
f ( x) g ( x) dx
liên tục trên
x g y
.
a; b . Khi đó diện tích của hình phẳng
và hai đường thẳng y a và y b là:
b
S f ( y ) g ( y ) dy
a
Trang 2
Giaovienvietnam.com
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f y g y
trên đoạn
a; b .
b
f ( y) g ( y ) dy
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
Dạng 4: Cho hai hàm số
x f y
x g y
và
a
liên tục trên
.
a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường
x f y
và
x g y
S g1 ( y ) g 2 ( y ) dy
là:
.
Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình
Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình
lớn nhất của phương trình
f y g y 0
f y g y
a b
. Giả sử ta tìm được , là nghiệm nhỏ nhất và
a b .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số :
f y g y
trên đoạn
; .
f ( y) g ( y ) dy
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:
.
Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa
vào đồ thị để tính.
Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số
y f x
,
y g x
a; b . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số
y h x
là:
x2
và
y h x
y f x
x3
S f x g x dx h x g x dx
x1
Với:
x2
x1 là nghiệm phương trình: f x g x
f x h x
x
+ 2 là nghiệm phương trình:
h x g x
x
+ 3 là nghiệm phương trình:
+
Trong đó:
a x1 x2 x3 b
Tóm lại khi giải tốn ta thường gặp các dạng sau:
y f(x)
b
y 0 S f ( x ) dx
x a; x b
a
1. Diện tích S của miền giới hạn:
y f(x)
b
y g( x ) S f ( x ) g( x ) dx
x a; x b
a
2. Diện tích S của miền giới hạn:
x f( y)
b
x g( y ) S f ( y ) g( y ) dy
y a; y b
a
3. Diện tích S của miền giới hạn:
Trang 3
,
liên tục trên
y g x
và
Giaovienvietnam.com
DẠNG 1
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
y f x
a; b
Câu 1. Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và cắt trục hồnh
tại điểm x c (như hình vẽ). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
y f x
thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng x a, x b .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
b
A.
c
S f x dx
a
B.
c
C.
c
S f x dx f x dx
c
Câu 2. Cho đồ thị hàm số
đánh dấu gạch trong hình) là:
0
A.
a
b
a
D.
y f ( x)
0
. Diện tích hình phẳng (phần có
B.
S f ( x)dx .
3
0
S f ( x)dx.
Gọi S là diện tích hình phẳng
y f x ,
1
Câu 4.
3
H
f ( x)dx.
0
giới hạn bởi các
2
a f x dx , b f x dx.
A.
B.
C.
D.
4
S f ( x)dx
trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 (như
0
Đặt
D.
3
đường
hình vẽ).
c
4
S f ( x)dx f ( x)dx.
Câu 3.
c
b
a
4
C.
f x dx
S f x dx f x dx
4
3
b
S f x dx
0
Mệnh đề nào sau đây đúng?
S b a.
S b a.
S b a.
S b a.
Cho đồ thị hàm số
y f x
. Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm trong hình) là:
Trang 4
Giaovienvietnam.com
4
A.
Câu 5.
3
C.
Câu 6.
1
3
4
3
4
S f x dx f x dx
0
0
Cho đồ thị hàm số y f (x) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
0
1
S f ( x) dx f ( x)dx
3
4
3
4
0
0
Cho đồ thị hàm số
B.
4
S f ( x )dx f ( x )dx
3
1
4
S f ( x) dx f ( x)dx
y f x
D.
S f ( x )dx
3
. Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong Hình 1) là:
2
2
f x dx
f x dx f x dx
A. S 2
0
B. S 0
0
1
f x dx f x dx
C. S 2
Câu 7.
D.
0
S f x dx f x dx
4
S f x dx f x dx
0
A.
B.
3
1
C.
0
S f x dx
2
Cho đồ thị hàm số
y = f ( x)
D. S
2
0
2
f x dx f x dx
2
1
. Diện tích S của hình phẳng (phần tơ đậm trong hình dưới) là:
Trang 5
Giaovienvietnam.com
3
S = ò f ( x) dx
A.
- 2
.
0
3
S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
B.
- 2
0
- 2
3
.
S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
C.
0
0
0
0
S = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
D.
- 2
3
.
.
y f x
Câu 8. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Diện tích hình phẳng (phần tơ màu trong hình vẽ) được tính bằng
cơng thức nào
0
A.
b
S f x dx
a
0
f x dx
0
B.
a
b
C.
0
b
S 2 f x dx
D.
0
Câu 9.
b
S f x dx f x dx
Cho hình phẳng
( H)
S f x dx
a
giới hạn bởi các đường
y = x , y = 0, x = 0, x = 4 . Đường thẳng y = k ( 0 < k <16) chia hình
( H)
S ,S
S =S .
k
2
thành hai phần có diện tích
A. k = 3.
B. k = 8
C. k = 4
D. k = 5.
1
2
(hình vẽ). Tìm
để
1
Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y = x2 ,
1
4
x+
3
3 và trục hồnh như hình vẽ.
7
56
A. 3 .
B. 3 .
39
11
C. 2 .
D. 6 .
y =-
Câu 11. Cho hàm số
y = f ' ( x)
f ( x)
liên tục trên ¡
, đồ thị hàm số
như hình vẽ. Diện tích các hình phẳng A, B lần lượt là
5
19
8
f ( - 1) =
12 và 3 . Biết
12 , tính f ( 2)
11
f ( 2) =
6
A.
2
f ( 2) =3
B.
Trang 6
Giaovienvietnam.com
C.
D
f ( 2) = 3
f ( 2) = 0
.
Câu 12. Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol
đi qua gốc toạ độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên ?
A. S = 9 .
10
3 .
B.
20
S
3 .
C.
25
S=
6 .
D.
S
Câu 13. Cho đồ thị hàm số
y = f ( x)
é
ù
0; 4
trên đoạn ë ûnhư hình vẽ và có
4
11
9
I = ị f ( x)dx
S1 = , S2 =
0
6
2 . Tính tích phân
diện tích
8
19
I =I=
3
3
A.
B.
8
19
I=
I =3
3
C.
D.
2
Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4x x và y 2x là:
4
(2x x
A. S
0
4
(x
0
2
2
)dx
2
(x
B. S
0
2
2x)dx
2
(2x x
C. S
0
2
)dx
D. S
2x)dx
Câu 15. Tìm d để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
y
2
x , Ox, x =1, x = d (d >1) bằng 2:
Trang 7
Giaovienvietnam.com
2
A. e
B. e
C. 2e
Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
28
A. S 3
25
B. S 3
D. e+1
y 4 x
và parabol
y
22
C. S 3
x2
2 bằng:
26
D. S 3
Câu 17. Cho Parabol y = x2 và tiếp tuyến At tại A(1y ; 1) có phương trình: y = 2x – 1. Diện tích của phần
bơi đen như hình vẽ là:
4
1
-2
1
A. S 3
2
B. S 3
-1
A
-1
x
1
4
C. S 3
D. Một số khác
x
Câu 18. Cho ba đồ thị: y 2 , y x 3 và y 1 như hình vẽ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên (phần gạch trong hình) là:
1
1
A. S ln 2 2 .
B.
S
1
1
ln 2 .
C.
S
47
50 .
Câu 19. Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (bên dưới) giới hạn
y ax 3 bx 2 cx d và trục hoành.
bởi đồ thị hàm số bậc ba
A.
S
31
5 .
B.
S
27
4 .
Trang 8
D.
S
1
3
ln 2
.
Giaovienvietnam.com
19
C. 3 .
31
D. 5 .
y f ( x)
y f ( x)
Câu 20. Cho hàm số
có đồ thị
cắt trục Ox tại
a
b
c
ba điểm có hồnh độ
như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây
là đúng?
A.
B.
C.
D.
f (c) f ( a) f( ).
f (c ) ff
( )a ( ).
f ( a) ff
( )c ( ).
ff
( )a (f )c ( ).
Câu 21. Cho đồ thị hàm số
y f x
trên đoạn
2; 2
như
22
76
S1 S2 ,S3
15
15 . Tính tích
hình vẽ ở bên và có diện tích
2
phân
I f x dx
2
32
.
15
A.
18
I .
5
C.
I
Câu 22.
B. I 8.
D.
H
Cho hình phẳng
I
32
.
15
giới hạn bởi các đường
y x2 1
H gấp
và y k , 0 k 1. Tìm k để diện tích của hình phẳng
hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
3
A. k 4.
3
B. k 2 1.
1
k .
2
C.
3
D. k 4 1.
x
Câu 23. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e ; y 0; x 0 và x ln 4 . Đường thẳng
x k , 0 k ln 4
Tìm k để
S1 2S 2
2
k ln 4
3
A.
.
chia (H) thành hai phần có diện tích
S1 và S 2 như hình vẽ bên.
.
B. k ln 2 .
C.
k ln
8
3.
Trang 9
D. k ln 3 .
4
2
Câu 24. Cho hàm số y x 3 x m có đồ thị
tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
Cm
Giaovienvietnam.com
Cm
Ox
với m là tham số thực. Giả sử
cắt trục
y
Cm
S3
S1
Gọi
O
x
S2
S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 S2 S3 .
5
5
5
5
m
m
m
m
2.
4.
2.
4.
A.
B.
C.
D.
x2
2 chia hình trịn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện
Câu 25. Parabol
S1
.
S1
S2
S1 S 2
S
2
tích là
và , trong đó
. Tìm tỉ số
y
3 2
.
A. 21 2
S1
3 2
9 2
.
.
C. 12
D. 3 2
Câu 26. Gọi
là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng y mx với m < 2 và parabol (P) có
1
S
S2
1
y x 2 x
S
2 ?
phương trình
. Gọi 2 là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào của m thì
A. 2
3
3 2
.
B. 9 2
2
B. 2 2 .
C. 5 .
3
2
y f x ax bx cx d , a, b, c , a 0
1
D. 4 .
3
4.
Câu 27. Cho hàm số
C . Biết rằng đồ thị
y f x
cho bởi hình
có đồ thị
C
tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hồnh độ âm và đồ thị hàm số
vẽ dưới đây:
C và trục hồnh.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
A. S 9 .
Câu 28. Gọi
H
B.
27
4 .
21
C. 4 .
5
D. 4 .
2
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x 4 x 4 , trục tung và trục hoành. Xác
định k để đường thẳng
bằng nhau.
A. k 4 .
S
d
đi qua điểm
A 0; 4
B. k 8 .
H thành hai phần có diện tích
có hệ số góc k chia
C. k 6 .
Trang 10
D. k 2 .
Câu 29. Cho hai hàm số
phẳng giới hạn bởi
y f ( x), y g( x)
C , C
1
có đồ thị
C
liên tục trên
. Diện tích hình
b
S f x g x dx.
B.
a
b
a
Câu 30. Cho
S f x g x dx .
a
b
b
S f x dx g x dx.
C.
2
và hai đường thẳng x a , x b được tính bởi cơng thức:
2
b
A.
C
và
1
Giaovienvietnam.com
a; b
D.
a
y1 f1 ( x)
và
y2 f 2 ( x )
S g x f x dx.
a
là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử: và , với
a b , là các nghiệm của phương trình f1 ( x) f 2 ( x ) 0 . Khi đó diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức:
b
S f1 ( x) f 2 ( x) dx f1 ( x) f 2 ( x) dx f1 ( x ) f 2 ( x) dx.
a
S f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
1
b
hoặc
f ( x)
1
f 2 ( x ) dx
f ( x)
1
f 2 ( x)dx .
2
Nhận xét nào sau đây đúng nhất?
1 đúng nhưng 2 sai.
A.
2 đúng nhưng 1 sai.
B.
2
1
1
2
C. Cả
và
đều đúng.
D. Cả
và
đều sai.
2
Câu 31. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x và y = x.
9
A. 5
B. 7
C. 2
11
D. 2
3
Câu 32. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 2 x và y 0 . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
1
1
1
2
1
S x3 2 x dx.
S x 3 dx
S x 3dx x 2 dx.
2 0
0
0
1
A.
B.
C.
.
D.
2
S x 3 x 2 dx .
0
Câu 33. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0;1] . Gọi ( D) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y f ( x), y 0, x 0 và x 1. Cơng thức tính diện tích S của ( D) là công thức nào trong các công thức
dưới đây?
1
A.
S f ( x ) dx.
0
1
B.
S f ( x) dx.
0
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
A.
4
.
3
29
.
B. 3
1
C.
S f 2 ( x)dx.
y x 2 2 x
0.
B. 4.
0
20
.
D. 3
y x 3 và y x 5 .
1
.
6
C.
Câu 36. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
D.
và trục hồnh là:
8
.
C. 3
Câu 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
A.
0
1
S f 2 ( x )dx.
D. 2.
y 2 x 5 0, x y 3 0.
Trang 11
A.
S 3.
Câu 37. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
đây đúng?
1
A.
y x 2 và y 2 – x 2 . Khẳng định nào sau
1
2
S 2 ( x 1)dx.
0
B.
Giaovienvietnam.com
D. S 5.
C. S 4, 5.
B. S 4.
1
S 2 (1 x 2 )dx.
C.
0
S 2 ( x 2 1)dx.
D.
1
1
S 2 (1 x 2 )dx.
1
y x.ln 3 x 1
Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
, trục Ox và hai đường thẳng
x 0; x 1 bằng a b.ln 2 với a, b . Khi đó giá trị của a b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a b 6 .
B. 2 a b 0 .
Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
C. 0 a b 2 .
y e 1 x
và
y 1 e
D. 2 a b 4 .
x
x
bằng a b.e với
a, b . Khi đó giá trị của a.b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a.b 6 .
B. 2 a.b 0 .
C. 0 a.b 2 .
2
y 4
Câu 40. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
D. 2 a.b 4 .
2
x
x
;y
4
4 2 bằng a b. với a, b .
Khi đó giá trị của a b thuộc khoảng nào sau đây?
A.
4 a b 6 .
B. 2 a b 0 .
Câu 41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
C. 0 a b 2 .
y x 2 ; y ln
D. 2 a b 4
1
; x 1
x 1
bằng a b.ln 2 với
b
a, b . Khi đó giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây?
b
b
b
4 2
2 0
0 4
a
a
a
.
B.
.
C.
.
A.
Câu 42. Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol
điểm
A 1; 2 , B 4;5
A.
S
7
2
nằm trên
P : y x
2
D.
4x 5
4
b
8
a
và 2 tiếp tuyến tại các
P .
11
S
6
B.
C.
S
9
4
y
Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số
13
S
8
D.
x ln( x 2)
4 x2
và trục hoành bằng
a ln 2 b c 3 d . với a, b, d ; c . Khi đó giá trị của a.b.c.d thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a.b.c.d 2 .
B. 2 a.b.c.d 0 .
C. 0 a.b.c.d 4 .
D.
4 a.b.c.d 8
2
Câu 44. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x x 1 và trục Ox và đường thẳng x 1 bằng
a 2 b với a, b . Khi đó giá trị của a.b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a.b 2 .
B. 2 a.b 0 .
C. 0 a.b 4 .
D. 4 a.b 8
2
2
Câu 45. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 2 x ; y 1 x và trục Ox bằng a b.
a
a
,
b
với
. Khi đó giá trị của b thuộc khoảng nào sau đây?
Trang 12
Giaovienvietnam.com
a
15 9
b
.
A.
a
9 3
b
B.
.
C. 3 a.b 4 .
D. 4 a.b 10
y = ( 1+ ex ) x
y = ( e+1) x
Câu 46. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
. Giá trị S cần
tìm là:
A.
S=
e+ 2
2 .
B.
S=
e
2.
S=
C.
e- 2
2 .
D.
S=
e- 2
4 .
x
Câu 47. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e +1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3 ,
x = ln8 nhận giá trị nào sau đây:
A.
S = 2+ ln
2
3.
B.
S = 2+ ln
3
2.
S = 3+ ln
C.
3
2.
D.
S = 2- ln
3
2.
x
Câu 48. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e + x , trục hoành, trục tung và đường thẳng
x = 1 là:
1
S = e+ .
2
A.
B.
S = e-
1
.
2
C. S = e+1.
D. S = e- 1.
x
Câu 49. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e + x , x - y +1= 0 và x = ln5 là:
A. S = 5+ ln4 .
B. S = 5- ln4 .
C. S = 4 + ln5 .
Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
thức
2
A.
2
1
C.
y x , y 2 x và trục Ox được tính bởi cơng
x 2 x dx.
B.
0
2 x
2
0
D.
1
Câu 51. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và trục Oy là giá trị nào sau đây?
A. S = 4 .
x dx.
0
2
xdx 2 x dx.
D. S = 4- ln5 .
2
xdx 2 x dx.
0
0
( P ) : y = x - 2x + 2 , tiếp tuyến với nó tại điểm M ( 3;5)
2
B. S = 27 .
C. S = 9 .
D. S = 12 .
2
( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ
Câu 52. Cho hàm số y = x - 2x + 2 có đồ thị
( C ) , đường thẳng V và trục tung.
bằng 3 có đồ thị D . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Giá trị của S là:
9
9
S=
10 .
4.
A. S = 9 .
B.
C.
D.
1
y = 4- 2
x đường thẳng y = - 1, đường thẳng
Câu 53. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 1 và trục tung c tớnh nh sau:
S=
A.
1
ổ 1ử
S = ũỗ
4- 2 ữ
ữ
ỗ
ữdx
ỗ
ố
x ứ
- 1
1
S=ò
- 1
- 1
4- y
9
2.
1
.
B.
S = ò 4- 1
S=
1
1
dx.
x2
C.
1
S=ò
4- y
- 1
.
D.
dy.
2
Câu 54. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x - y = 0 và
x + 2y2 - 12 = 0 bằng:
A. S = 15.
B. S = 32 .
C. S = 25.
Câu 55. Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
x = a, x = 2a ( a > 1)
( C)
ln3
xiên của
và hai đường thẳng
bằng
D. S = 30.
( C) : y =
?
Trang 13
2
x - 2x
x - 1 , đường tiệm cận
Giaovienvietnam.com
A. a= 1.
B. a= 2 .
C. a= 3 .
D. a= 4 .
3
2
Câu 56. Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =- x + 3x - 2 , trục hoành, trục
a
a
tung và đường thẳng x = 2 có dạng b (với b là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:
A. a- b = 2.
B. a- b = 3 .
C. a- b = - 2.
D. a- b = - 3.
2
2
Câu 57. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x x 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 bằng
a b ln 1 b
c
với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a b c là
A. 11 .
C. 13 .
B. 12 .
D. 14 .
x 2 y 1,
Câu 58. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
trục hồnh, trục tung và đường
y 4 Tìm giá trị của m , (0
3
14 1
.
2
A.
3
B.
3
14 1
.
2
C.
196 1
2
.
3
D.
196 1
.
2
DẠNG 2
ỨNG DỤNG THỰC TẾ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 59. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng là 30m người ta
làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai
2
đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí để làm mỗi m làm đường 500.000 đồng. Tính
tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
50 m
2m
30m
A. 119000000 .
B. 152000000 .
C. 119320000 .
D. 125520000 .
Câu 60. Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là 60m , người ta làm một
con đường nằm trong sân (Như hình vẽ).
Trang 14
Giaovienvietnam.com
100 m
2m
60m
Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục
lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí
2
cho mỗi m làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm trịn đến
hàng nghìn).
A. 293904000.
B. 283904000.
C. 293804000.
D. 283604000.
Câu 61. Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai
phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu
mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trịn (phần tơ màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần cịn lại
của khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và
kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần
đất đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
4m
4m
A. 3.895.000 (đồng).
(đồng).
4m
B. 1.948.000 (đồng).
C. 2.388.000 (đồng).
Câu 62. Cơ Minh Hiền có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn
bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Cô Minh Hiền muốn trồng hoa
trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như
1m
2
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/
. Hỏi Cơ Minh
Hiền cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm
trịn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.
Câu 63. Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây
trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000
2
đồng / m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm
trịn đến hàng đơn vị)
A. 8412322 đồng.
B. 8142232 đồng.
C. 4821232 đồng.
Trang 15
D. 1.194.000
8m
Giaovienvietnam.com
D. 4821322 đồng.
Câu 64. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được
giới hạn bởi cạnh AB , CD , đường trung bình MN của mảnh đất
hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ).
Biết AB 2 ( m) , AD 2( m) . Tính diện tích phần cịn lại.
4 1
A. 4 1 .
C. 4 2 .
B.
.
4
3
D.
.
Câu 65. Thầy Hiền muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong
1 m 2
phía trên là một Parabol. Giá
của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Thầy Hiền phải trả bao nhiêu tiền
để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
2m
1,5m
5m
A. 6.520.000 đồng.
đồng.
A
12 m
I
F
B. 6.320.000 đồng.
B
E
C. 6.417.000 đồng.
D. 6.620.000
Câu 66. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức
tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức
tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC 6 m ,
CD 12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là
hình chữ nhật có MN 4 m ; cung EIF có hình dạng là
một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của
cạnh AB và đi qua hai điểm C , D . Kinh phí làm bức
6 m chiều dài
D
M
N
C
4m
2
tranh là 900.000 đồng/ m .
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
A. 20.400.000 đồng.
B. 20.600.000 đồng.
đồng.
C. 20.800.000 đồng.
D. 21.200.000
CHỦ ĐỀ 2
THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
y
y
d
f(x)
f(x)
O
a
b
x
c
Trang 16
x
O
Giaovienvietnam.com
Quay quanh trục Ox
Quay quanh trục Oy
Dạng 1: Thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
b
y f x
2
VOx f x dx
a b quay xung quanh trục Ox là:
và hai đường thẳng x a và x b
a
.
O
Chú ý: Hàm số
y f x 0
x a; b
và liên tục trên đoạn
a; b .
Dạng 2: Thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
b
a b quay xung quanh trục Oy là:
và hai đường thẳng y a và y b
x f y 0
Dạng 3: Cho hai hàm số
y f x
y a; b
và
y g x
và liên tục trên đoạn
a
b
2
, trục Oy
2
.
a; b .
liên tục, cùng dấu trên đoạn
hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x a và x b
x f y
VOy f y dy
y=a
Chú ý: Hàm số
, trục Ox
a b
a; b . Hình phẳng giới
quay xung quanh trục Ox
2
VOx f x g x dx
a
tạo nên một khối trịn xoay có thể tích là:
Dạng 4: Cho hai hàm số
x f y
và
x g y
liên tục, cùng dấu trên đoạn
hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y a và y b
b
tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2
a b
2
VOy f y g y dx
a
Tóm lại khi giải tốn ta thường gặp các dạng sau:
Trang 17
a; b . Hình phẳng giới
quay xung quanh trục Ox
Giaovienvietnam.com
y f(x)
y 0
x a; x b
1. Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:
quanh
b
Ox mợt vịng là :
VOx f 2 x .dx
a
.
y f(x)
y g( x )
x a; x b
2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:
quanh
b
Ox mợt vịng là :
VOx f 2 x g 2 x .dx
a
.
x f( y)
x 0
y a; y b
3. Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:
quanh
b
Oy mợt vịng là :
VOy f 2 y .dy
a
.
x f( y)
x g( y )
y a; y b
4. Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:
quanh
b
Oy mợt vịng là :
VOy f 2 y g 2 y .dy
a
.
DẠNG 1
THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
Trang 18
Giaovienvietnam.com
y f (x)
Câu 67. Cho
a; b .
là hàm số liên tục trên đoạn
Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f (x), y 0 , x a
và x b quay quanh trục Ox tạo thành một khối trịn xoay có thể tích V . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
b
b
V f (x) dx.
b
2
V f (x) dx.
b
2
V f (x) dx.
V f (x) dx.
a
a
a
a
A.
B.
C.
D.
Câu 68. Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x a; x b (với a
. Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
b
A.
b
V f 2 ( x ) g 2 ( x) dx.
B.
a
a
b
b
C.
2
V f ( x) g( x) dx.
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx.
D.
a
2
V f ( x) g( x) dx.
a
x
y , y 0, x 1, x 4
4
Câu 69. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục ox là
21
.
16
B.
A. 6.
C. 12.
D. 8.
Câu 70. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 x 1
y e
y 0
, x 0 , x 1 ,
quay quanh Ox .
1
V e3 e
3
A.
.
V 3e 4 e 2
6
B.
.
1
V e 3
3
C.
e
.
1
V e3 e
3
D.
.
Câu 71. Kí hiệu
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y tan x
, trục hoành, các đường thẳng
4 . Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi cho hình H quay quanh trục Ox .
x 0 ,
1
1
1
1
4
2
4
2
4
4
A.
B.
C.
D.
H
y x 2 2 x
x
Câu 72. Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
, trục hồnh, trục tung, đường thẳng
x 1 .Tính thể tích V hình trịn xoay sinh bởi H khi quay H quanh trục Ox .
7
4
15
8
V .
V .
V
.
V .
8
3
8
15
A.
B.
C.
D.
y x 2 y 0 ,x 0 ,x 2
H
Câu 73. Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường thẳng
,
. Tính thể
H
tích V khối trịn xoay khi hình phẳng
quay quanh trục Ox .
A.
V
8
3 .
B.
V
8
3.
C. V 2 .
D. V 2.
y 2 x , trục Ox và hai đường thẳng x 1; x 4
Câu 74. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối trịn xoay
A.
V
32
3 .
4
V
3 .
B.
C.
V
229
6
.
Trang 19
5
V
6 .
D.
Giaovienvietnam.com
Câu 75. Thể
tích
khối
trịn
xoay
được
sinh
ra
khi
quay
hình
phẳng
giới
hạn
bởi
π
b.
b
y tan x, y 0,x 0, x
V . a
3
a,b,c
c (với
xung quanh trục Ox là
và c phân
số tối giản). Giá trị của S a b c là
A. S 3
B. S 1
C. S 7
D. S 9
2
3 x 2 ex
y
xe x 1 , trục hoành và hai đường thẳng
Câu 76. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
1
V a b ln 1
x 0, x 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích
e ,
trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a 2b 7 .
B. a b 3 .
C. a b 5 .
Câu 77. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
D. a 2b 5 .
H
giới hạn bởi đường cong
5 x 4 ex
y
xe x 1 , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 1 quanh trục hồnh có thể tích
V a b ln e 1
, trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b 5 .
B. a 2b 3 .
C. a b 9 .
Câu 78. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường
x
2x
y
2
D. a 2b 13 .
x sin x x 1 cos x
x sin x cos x
, trục hoành và hai
2 4
a ln 2 b ln 4
4 . Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng
16
,
đường thẳng x 0 và
với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a b 12 .
B. 2a b 6 .
C. 2a b 12 .
D. 2a b 6 .
( P) : y x 2 và đường
Câu 79. Thể tích V của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
thẳng
d : y x
quay xung quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào sau đây ?
1
1
2
A.
B.
0
V x dx x 4dx.
0
1
0
1
V x 2dx x 4dx.
0
1
2
V ( x x) dx.
1
C.
2
D.
0
V ( x x 2 )dx.
0
2
( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x x và trục hồnh. Tính thể tích V
Câu 80. Kí hiệu
của vật thể trịn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
A.
V
16
15
B.
V
17
15
C.
V
18
15
D.
V
19
15
2
y 0
Câu 81. Thể tích V của vật thể trịn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x ,
a
a
*
a
Z
,
b
Z
b (với
quay quanh trục Ox có kết quả là
, b là phân số tối giản). Tính a b.
A. 25.
B. 31.
C. 17.
D. 11.
V
Trang 20
