Chuyên đề tổ hợp chỉnh hợp lớp 11 đầy đủ

Chuyên đề
đại số tổ hợp.
NỘI DUNG
Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .
 Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân.
* Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp.
Các dạng toán ứng dụng.
1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp.
1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp.
1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp.
1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án.
Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng.
 Lý thuyết: Nhị thức Newtơn.
 Các dạng tốn ứng dụng.
2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp.
2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp.
2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn.
Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng.
 Lý thuyết:
I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân.
1. Quy tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, có m2 cách chọn đối tượng x2,... mn cách chọn
đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với đối tượng xj nào( i khác j; i, j =
1,2,....,n) thì có m1 + m2 +....+ mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
2. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách, bước 2
có m2 cách,.... bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2...mn cách khác nhau.
II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp.
1. Hoán vị:
* ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp
A được gọi là một hốn vị của n phần tử đó.
* Số hốn vị của n phần tử :
Pn = n! = 1.2.3.4.5….n (n  N ; n 1) ; Qui ước 0! 1 .

2. Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1  k n) phần tử sắp thứ tự của
tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
* Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
k

A

n

n(n  1)...(n  k  1)

(1  k n)


Ank 

n!
(n  k )!

(1  k n)
3. Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0  k n) phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Số tổ hợp chập k của n phần tử :

C

k
n



n!
k!(n  k )!

(0  k n)

 Các dạng toán thường gặp:
1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp.
1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp.
1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp.
1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án.
1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp.
1. Phương pháp:
Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp:
*

*

Pn n!
Ank 

*
2. Một số ví dụ:
VÍ DỤ 1

n!
(n  k )!

Cnk 

n!
k !(n  k )!

*

( n N )

(1  k n)

(0  k n)

n k1
An  
k 2 k !
Rút gọn biểu thức:
Bài giải
k1
1
1


k!
 k  1 ! k !

Ta có nhận xét:
n k1 1 1 1 1
1
1
1
An  

     ... 
 1 
n!
 n  1 ! n!
k 2 k ! 1! 2! 2! 3!
Suy ra

Ví dụ 2:

6  A5
An
n
A
4
An
Rút gọn biểu thức:
Bài giải

A
Ta có

n(n  1)...(n  5)  n(n  1)...(n  4)
 n  4  (n  4)(n  5) (n  4) 2
n(n  1)...(n  3)
C2
Cn
n
n
A C1
n  2 1  ...  n n  1

C
C
n
n
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
Bài giải:


Cn1 n

Ta lần lượt có:

n!
C2
2!.( n  2)!
2 n 2.
n  1
1
n
!
C
n
1!.( n  1)!
...
Cn
1
n 
n
1
n


1
n
!
C
n
1!.( n  1)!
suy ra :A n  n  1  ...  2  1 

n(n  1)
.
2

3. Bài tập tự luyện:
n

1
k 1 k ( k  1)

Cn 

<1> Rút gọn biểu thức:

A
<2>Rút gọn biểu thức:

<3> Rút gọn biểu thức:

5!
(m  1)!

.
m(m  1) 3!(m  1)!

12
11
A49
 A49
A1710  A179
B
10
A49
A178

2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
đại số tổ hợp.
1. Phương pháp: Thực hiện các bước sau:
 Sử dụng các công thức:
* Pn n !
*
*

n!
( n  k )!

(1  k n)

n!
k !(n  k )!

(0  k n)

Ank 

Cnk 

*

( n N )

-1  C k
Cnk Cnk-1
n-1
*

(0  k  n)

đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại
số thông thường.
 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1:

CMR với k, n  N, 3 k  n ta có:

An 2  An 1 k 2 An
n k
n k
n k

Bài giải

(n  k )! ( n  k )! (n  k )! 
1 
VT  An2  An1 


1

nk
nk (k  2)! (k  1)! (k  2)!  k  1 
k (n  k )!
k 2 (n  k )!
k 2 (n  k )! 2 n



k A
VP
nk
(k  1)(k  2)! k ( k  1).(k  2)!
k!
Ví dụ 2:

Chứng minh rằng:

nn  ( n!)2  (

n  1 2n
) ( n  Z , n  2)

2
(1)

Bài giải
Biến đổi BĐT (1) về dạng:

nn  (1.2.3....n)2  (

n  1 2n
)
2

n  1 2n
 nn  [(1.n)2.(n  1)].3.( n  2).....k (n  k  1)]2  (
)
2
(2)
a.Ta có đánh giá: k ( n  k  1)  n (*) (k  n, k  1) do

(*)  n(k  1)  k (k  1)  0  (n  k )( k  1) 0 đúng k  n, k  1
áp dụng BĐT (*) với k = 2,…, n -1 ta được
1.n n

2.(n  1)  n 


....

k (n  k  1)  n 


...

n.1 n
 n bất đẳng thức.

Suy ra [(1.n)2.(n  1)].3.(n  2).....k (n  k  1)...(n  1).2(n.1)]2  n n a)
b. Sử dụng BĐT Cơsi tacó :

k (n  k  1)  (

k  n  k 1 2 n 1 2
) (
)
2
2
(**) k 0, n  k

áp dụng BĐT (**) với k =1,2,…, n ta được
2

 n  1

1.n 

 2 

2

 n  1
2(n  1) 



 2 

........

2
 n  1 
k (n  k  1) 
 n BDT
 2  

........

2

 n  1
(n  1)2 


 2 

2

 n  1

1.n 

 2 


 n  1
(1.n)[2.(n  1)].3.(n  2).....k (n  k  1)...(n  1)2( n.1)  
 2 
Suy ra

2n
b)

Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh..
Ví dụ 3:
CMR

Cnk  3Cnk  1  3Cnk  2  Cnk  3 Cnk3
a.
b.

k
k
k -1
k -2
Cn
2 Cn  2Cn  Cn (2 k n)

c.

3  C k 2
2Cnk  5Cnk 1  4Cnk 2  Cnk 3 Cnk
3

n2

Bài giải
a. Ta có :
VT (Cnk  Cnk  1)  2(Cnk  1  Cnk  2 )  (Cnk  2  Cnk  3 )
 1  C k  2 (C k  C k  1)  (C k  1  C k  2 )
Cnk1  2Cnk
1
n1
n1
n1
n1
n1
 1 C k VP
Cnk2  Cnk
2
n3

Cnk2 Cnk  2Cnk -1  Cnk -2 (2 k n)
b. Ta có:
VP  C k -1  C k  C k -1  C k - 2  C k -1  C k
 Ck
VT
n
n
n
n
n

1

n

1
n2
Nên:



c.

 
 
VT 2  C k  C k  1   3(C
 C )  (C
n
n
2  C k  1   3  C k  2    C k  3 
n 1
n 1
n 1
k 1
n

k 1
n

k 2
n

 

k 3

 Cn



)

 


2  C k  2    C k  3 
n2
n2
 C k  2    C k  2  C k  3   C k  2  C k  3  VP
n2
n2
n3
n2
n2
2 C k  1  C k  2  C k  2  C k  3
n 1
n 1
n 1
n 1

Ví dụ 4:

CMR:

Cn
.C n
(C2nn ) 2
2nk 2n-k

(0 k n) (1)

Bài giải
Ta có:

C2nnk .C2nn-k (C2nn ) 2


(0 k n) (1)

 2n  k  ! .  2n  k  !   2n  !  2  ( n  k  1)...(n  k  n) ( n 


 n  k  !.n!  n  k  !.n!  n!.n! 

k  1)...( n  k  n)   (n  1)...( n  n

  (n  k  1)(n  k  2)...(n  k  n)   (n  k  1)(n  k  2)...(n  k  n)   (n  1)...(n  n) 
2
  (n  k  1)(n  k  1)  ... ( n  k  n)( n  k  n)   (n  1)...( n  n)  (*)
Theo BĐT Cauchy ta có

2

( n  k  i )(n  k  i )  n  i  2  0 k n; i = 1...n
Cho i 1, n ta được BĐT (*)
Vậy BĐT (*) đúng  (1) được chứng minh.

3. Bài tập tương tự
C12n Cn2  n (n 2, n  Z  )
Bài 1:
Bài 2:
2  C n-1 1 C n1 (n  Z  )
C
r
k
k
r
k
2n 2 2n2
C .C Cn .Cn-r (r , k , n  N , r n, k r ) Bài 4: 2n
Bài 3: n r
n -1
Cnr  Cnr-1
r
Bài 5:
Bài 6*:
n
m1

n.Cm
n (m  1)Cmn (m, n  Z )

p
C2
C3
C
Cn
n  n  1
1
Cn  2. n  3 n  ...  p n  ....  n n 
p -1
2
C1
C2
C n -1
C
n
n
n
n
1
1
1  n  1

 ... 

2
2
2
n
A
A

A

n

N
,
n

2
2
3
n
Bài 7:
ta có
Bài 8: CMR:
-2
k ( k -1)Cnk n( n  1)Cnk-2
-1  C k (0  k  n)
Cnk Cnk-1
n-1
Bài 9: CMR:
Bài 10: CMR:
Cn
.C n
(C2nn ) 2
2nk 2n-k
Bài 11: CMR:

0 k n)(1)

Ank  Ank 1  kAnk11

Bài 12: CMR:

P1  2 P2  3P3  ...  nPn Pn1  1

2Cnk  5Cnk 1  4Cnk 2  Cnk 3 C k 2  C k 3
m2 m3
Bài 13: CMR:
Cnk  2Cnk  1  Cnk  2 C k (2 k n, )
n2
Bài 14: CMR:
r k
k n k
a. Cn .Cr Cn .Cr  k ( r n, k r ; n, r , k  Z )
Bài 15: CMR:

r n r 1
b. Cn  Cr  1 (r  n)
r

r
r 1 r 2
r 1
c. Cn Cn  1 +Cn  2 +...+Cr  1 (r  n )
Bài 16: CMR:


1)C50 .Cnk  C51.Cnk  1  C52 .Cnk  2  ...  C55.Cnk  5 Cnk5
2)Cnr Cnr  11  Cnr  22  ....  Crr11

3)Cnk  4.Cnk  1  6.Cnk  2  4.Cnk  3  Cnk  4 Cnk4
4)Cnk  3  Cnk  3.Cnk  1  3Cnk  2 Cnk3
1
5)Cnm1  Cnm 1  2Cnm Cnm
2
6)Cnk  3  Cnk  3Cnk  1  3Cnk  2 Cnk3
7)2Cnk  5.Cnk 1  4.Cnk 2  Cnk 3 Cnk22  Cnk33
k
k 1
1000
1001
C2001  C2001 C2001  C2001 (0  k  2000)
Bài 17: CMR:
( ĐHQGHN – A –99- 00 )
2100
2100
 C 50 
100 10 2
Bài 18: CMR: 10 2
3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp.
* Định nghĩa:
Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí

k
k
A
C
P
n
!

n
n
n
hiệu:
, ,
,
.

* Cách giải:
 Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng:
-

n ! có nghĩa  n  N

- Pn có nghĩa  n  N*
-

Ank có nghĩa  k, n  N; 1 k n
Ck

- n có nghĩa  k, n  N; 0 k n
 Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương
trình, bất phương trình đại số thơng thường nhờ các công thức tổ hợp:
-

n !1.2.3...n

-

Pn n!

với mọi n  N , n 1

với mọi n  N*

Ank n(n  1)(n  2)....(n  k  1) 
-

Cnk 
-

(nhớ: 0! = 1)

n!
(n  k )! với mọi

n!
k !( n - k )! với mọi k, n  N; 0 k n

k1
k
k
c

c

c
n 1
n
- n 1

( k, n  N; 0 k n )

 k,n  N

0 k n


cnk cnn k

( k, n  N; 0 k n )
 Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thơng thường để tìm ẩn.
 Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận.

* Một số ví dụ

Axy11.Px y
Ví dụ 1:

Giải phương trình sau:
Lời giải

Px 1

72

+ Điều kiện của x; y: x, y  N ; x 2; y x-1 (*)
( x  1)!
( x  y )!
( x  y )!

72  ( x  1) x 72
( x  1)!
 x 8
 x 2  x  72 0  
 x  9

+ Biến đổi phương trình về dạng:

Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là x 8 . 1  y 7 .
( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau:

1 2
6
A2 x  Ax2  C x3  10
2
x

Ví dụ 2:

Lời giải
+ Điều kiện của x: 3  x  N
+ Biến đổi bất phương trình về dạng:

1 (2 x)!
x!
6
x!


 

 10
2 (2 x  2)! ( x  2)! x 3!( x  3)!
1
6 ( x  2)( x  1) x
 (2 x  1)2 x  ( x  1) x  
 10
2
x
3!
 (2 x  1) x  ( x  1) x ( x  2)( x  1)  10  3 x  12 0  x 4
+ Kết hợp với Điều kiện (*)

 x 3; x 4

+ Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3; x 4
( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03):
y
: C xy 1 : C xy  1
x

1
Ví dụ 3:
Giải hệ:

C

 x; y  N
0  y  x  1




0  y  1  x
0  y  1  x
+ Điều kiện của x, y 

C
+ Ta có:

y
x 1

:C

y 1
x

:C

y 1
x

6 : 5 : 2

 x; y  N

 y 1
 x  y 1


C xy1 C xy 1

6 : 5 : 2 

6
5

 C xy1 C xy 1


C xy  1
 6
5

  y 1
y 1
2
 C x Cx

2
 5


( x  1)!
1
( x)!
 1
 6 y !( x  1  y )! 5 ( y  1)!( x  y  1)!


5( x  1)( y  1) 6( x  y )( x  y  1)
( x )!

1
( x)!
1 

 
 5 ( y  1)!( x  y  1)! 2 ( y  1)!( x  y  1)!
 2( x  y )( x  y  1) 5 y ( y  1)
x  1 3 y

 5( x  1)( y  1) 3.5 y ( y  1)


2( x  y )( x  y  1) 5 y ( y  1)
 2( x  y )( x  y  1) 5 y ( y  1)

x 3 y  1



2(3
y

1

y
)(3
y

1


y

1)

5
y
(
y

1)


 x 3 y  1
 x 8
 x 3 y  1


 2
 y 3
 y 3
 3 y 9 y

Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3

* Bài Tập Tương Tự:
<1> Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1.

C xo  C xx  1  C xx  2 79

2.

C xx83 5 Ax36

3.

6.
7.

C1x  C x2  C x3 

7x
2

1 2
6
A2 x  Ax2  C x3  10
x
4. 2
1
1
5. C x

15.
05 )



1
C x21



Pn 5
60 Ank32
(n  k )!

(TNTHPT - 98 - 99)

C1x  6C x2  6C x3 9 x 2  14 x (ĐHNN - 99- 00)

8.

Ax3  5 Ax2 21x

(ĐHQGHN - 98- 99)

9.

Cnn13
1

4
An1 14 P3

( ĐHHH – 1999 )

7
6C1x  4

Ax3  C xx  2 14 x

10.

An41
 14 Pn
Cnn13

(TNTHPT – 03 – 04 )

16.

Cnn 12  Cnn2 

5 2
An
2

(TNTHPT – 04 –

An44 143
xn 

x
;
x
;
x
,...,
x

P
4 Pn , n = 1,2,3,…,n.
1
2
3
n
n

2
<2> Tìm các số âm trong dãy số
với

<3 > Giải các hệ phương trình sau: a.

5C xy  2 3C xy  1
 y
C x C xy  1

b.

2 Axy  5Cxy 90
 y
y
5 Ax  2C x 80

( A y  yA y  1 ) : A y 1 : C xy 1 10 : 2 :1

x 1
x 1
x

c.
< 4 > Cho khai triển nhị thức:

x 1
(2 2

x
 2 3 )n

x 1
0
Cn (2 2 )n

x
x
x
x 1
x 1
 C1n (2 2 ) n  1 (2 3 )  ...  Cnn  1 (2 2 )(2 3 ) n 1  Cnn (2 3 ) n

3
1
C

5
C
n
n
( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó
( ĐHCĐ -A- 2002 )

< 5 > Tìm số nguyên dương n sao cho:

và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.


C12 n1  2.2C22n 1  3.22 C23n1  4.23 C24n 1  ...  (2n  1)22 n C22nn11 2005
( ĐHCĐ -A- 2005 )

M

An41  3 An3


< 5 > Tính giá trị của biểu thức:
biết rằng

(n  1)!

Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24 149

( ĐHCĐ -D- 2005 )

IV- Dạng 4: Bài Toán Đếm Số Phương Án
1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý
- Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy
được các khả năng có thể.
- Sử dụng phép mơ hình hố cùng các quy tắc đếm cơ bản.
- Trong một số bài tốn, có thể ta phải sử dụng đến phần bù.
Nguyên lý bù trừ: Khi hai cơng việc có thể được làm đồng thời, chúng ta khơng thể dùng quy tắc cộng để
tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì

những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách
làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ.
2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án:
Thực hiện các bước:
 Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp:

H1 , H 2 ,..., H k
 Bước 2: Nếu ta có:

n
- 1 cách khác nhau để thực hiện H1 .
- ứng với mỗi cách thực hiện xong
…
-

ứng với mỗi cách thực hiện xong

H1 ,ta có n2 cách thực hiện H 2

H1 , H 2 ,..., H k  1

, ta có

nk cách thực hiện H k

n .n ....n

k cách để thực hiện hành động H
 Bước 3: Khi đó ta có tât cả 1 2
3. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án:

Ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau:

H1 , H 2 ,..., H k
 Bước 2: Nếu ta có:

n1 cách khác nhau để thực hiện H1 .
n
H
- 2 cách khác nhau thực hiện 2
-

…

n

H

- k cách khác nhau thực hiện k
 Bước 3: Khi đó ta có tât cả n1 + n2 + ... + nk cách để thực hiện hành động H
4. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:
Để nhận dạng một bài tốn đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu
đặc trưng sau:
 Tất cả n phần tử đều có mặt.


Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Gọi Pn là số hốn vị của n phần tử, ta có Pn = n!
5. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm:

Để nhận dạng bài tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các
dấu hiệu đặc trưng sau:
a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn




k

Ank n(n  1)...(n  k  1) .

c) Gọi An là số phần tử chập k của n phần tử, ta có
6. Sử dụng tổ hợp để giải bài tốn đếm:
Để nhận dạng 1 bài tốn đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu
hiệu đặc trưng sau:
 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
Bài tập: (Ba bài toán chọn cơ bản)
A/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học.
C/ Bài tốn đếm số phương án có liên quan đến số tự nhiên.

Bài tập
I) Bài Toán Đếm Số Phương Án Có Liên Quan Đến Thực Tế.
< 1 > Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi một khác
nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bơng.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bơng hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
< 2 > ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một

đội gồm 4 h/s trong đó:
a. Số nam nữ bằng nhau.
b. Có ít nhất 1 nữ.
< 3 > (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý
nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lý. Hỏi có bao
nhiêu cách?
< 4 > (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
< 5 > (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có
bao nhiêu cách lập khác nhau :
a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ ?
b. Nếu chọn t ý ?
< 6 > (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 5 người sao cho:
a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 người đó .
< 7 > (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở
địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?


< 8 > (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3
người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong3 người có ít nhất một cán bộ lớp?
< 9 > (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam.
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ
như nhau ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó có khơng q 1 nam ?
*
< 10 > (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ?

a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
< 11 > > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ?
< 12 > (ĐHHuế – 99- 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra
4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?
< 13 > (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ
trống.
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp
cạnh nhau?
< 14 > (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn trong
mõi trường hợp sau:
a. Có 3 h/s trong nhóm ?
b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ?
< 15 > (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong một phịng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a. Các h/s ngồi tuỳ ý ?
b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn ?
< 16 > (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đồn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành
khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầuđó ?
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên ?
< 17 > (ĐHSPHN 2 –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó
có 4 cặp anh em sinh đơi. Cần chọn 1 nhóm 3 h/s trong số 50 h/s trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao
cho trong nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi nào . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
< 18 > (ĐHSPV –G- 99 - 00):Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết
tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng
Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

< 19 > (ĐHKT- 98 - 99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1
kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 cơng nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập
tổ công tác
< 20 > Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc:
- Chọn trường thi có tất cả 33 trường
- Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D.
Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
< 21 > Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành


phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y.
d) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z ?
e) Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác
nhau?
< 22 > ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi
vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường trung học
chuyên nghiệp
( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách
chọn trường thi ?
< 23 > Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là
một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi mỗi người có thể có bao nhiêu mật
khẩu? Biết rằng có 26 chữ in hoa, 10 chữ số.
< 24 > Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một kệ sách
theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
< 25 > Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn trận
đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự ?
< 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng 6 em học
sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
f) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn

học và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?
1. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm
nhạc, hội hoạ đều cịn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?
< 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
a. 3 học sinh
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
< 28 > (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
?
< 29 > (Đề thi CĐ 2005 – Khối D)
Một bó hồng gồm 10 bơng hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bơng để
cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
< 30 > (ĐH 2004 – KB) Trong một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi
khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ
khơng ít hơn 2 ?

Lời giải
Bài tốn đếm số phương án có liên quan đến thực tế
< 20 > Ta thấy có 33 cách lập trường thi và ứng với mỗi cách chọn trường đó, có 4
cách chọn khối để thi.
Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ.
< 21 > a. Ta có: 5 cách chọn đường đi từ X đến Y, ứng với mỗi cách chọn đường đó có 4 cách chọn đường
đi từ Y đến Z.
Do đó, có tất cả: 5. 4 = 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y
b. Theo a) có 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y


Khi trở về ứng với mỗi cách chọn đường đó, từ Z đến Y có3 con đường để chọn, do đó có 3 cách.

ứng với mỗi cách chọn đường đó, từ Y về X chỉ còn lại 4 cách chọn.
Do đó, có tất cả 3. 4 = 12 cách chọn đường đi về từ Z đến X qua Y. Vậy có tất cả: 20. 12 = 240 cách chọn
đường đi về trên tuyến X  Z qua thành phố Y bằng những con đường khác nhau
< 22 > Ta thấy:
- có 35 cách chọn trường đại học
- Có 25 cách chọn trường cao đẳng
- Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp
Khi đã chọn thi trường đại học thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự với cao
đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả:
35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi.
Nhận xét: Nhiều bài toán đếm phức tạp không thể giải được nếu chỉ sử dụng hoặc quy tắc nhân hoặc
quy tắc cộng. Nhưng chúng ta có thể giải được nếu sử dụng cả 2 quy tắc này.
< 23 > Gọi P là tổng số mật khẩu có thể và
tắc cộng ta có:
Ta sẽ tính
- Tính

P6 , P7 , P8

tương ứng là số mật khẩu dài 6, 7, 8 ký tự. Theo quy

P P6  P7  P8

P6 , P7 , P8
P6

:

:
6

Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa hoặc chữ số là: 36 . Vì mỗi vị trí có 36 cách chọn.
6

Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa và không chứa chữ số nào là: 26 .Vậy:
- Tương tự:

P6 366  266

P7 36 7  26 7

P8 368  268

P P  P  P

6
7
8 = 2684483063360
Vậy, ta được:
< 24 > Có 4 loại sách, do đó có 4! Cách sắp xếp theo mơn.
ở mỗi loại sách có: 3! Cách sắp xếp sách toán.

4! Cách sắp xếp sách lý
2! Cách sắp xếp sách hố
5! Cách sắp xếp sách sinh
Vậy có tất cả: 4!. 3!. 4!. 2!. 5! = 829440 cách sắp xếp.
< 25 > Mỗi cách chọn bốn cầu thủ của đội bóng là chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử.

A 4 5040

Ta có: 10
cách chọn
< 26 > Số cách tặng sách là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là:

A96 60480
1. Ta nhận xét rằng: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
+ Số cách chọn 6 sách từ 12 sách là:

A126 665280

+ Số cách chọn sao cho khơng cịn sách văn:

A65 . A71 5040


+ Số cách chọn sao cho khơng cịn sách nhạc:

A64 . A82 20160
A63 . A93 60480

+ Số cách chọn sao cho khơng cịn sách hội hoạ:
+ Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600
< 27 > Ban cán sự lớp gồm 3 người trong lớp khơng có sự sắp xếp
a. Mỗi một ban cán sự 3 người là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy có:

C403 9880
b. Có

1
C25

Do đó có

cách lập ban cán sự lớp 3 người.

2
cách chọn 1 học sinh nam và C15 cách chọn 2 học sinh nam.

C251 .C152 2625

cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ

3
15

C 455

c. Có
cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 người tồn nữ.
Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 người ma trong đó có ít nhất một nam
< 28 > Nhận xét: Việc phân cơng vào 1 tỉnh khơng có sự sắp xếp
Có

C31 .C124 cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các

1
4
thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có C2 .C8 cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ
1
4

2. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 1 và tỉnh thứ 2 thì có C1 .C4 cách phân
cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3.
Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thoả mãn yêu cầu bài toán là:

C31 .C124 .C21 .C84 .C11 .C44 207900
< 29 > Bạn Hoa có 2 cách chọn bơng cắm bình như sau:
Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung
2
C
10
+ Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông:
3
C
+ Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại có 10

Vậy cách 1 có

cách chọn 3 bơng hồng nhung trong 10 bông.

C102 . C103 cách chọn bông.

Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tương tự như trên, ta cũng có
3
C
10
.

cách chọn bơng.

2C103 C102 10800

Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là:
cách chọn
< 30 > Nhận xét: Nội dung đề không phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự câu hỏi.
Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:
- Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:

C152 .C102 .C51 23625

- Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là:

C152 .C101 .C52 10500

Ví dụ 7

C102


C153 .C101 .C51 22750

- Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:
Vì các cách chọn trên đơi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập được là:
23625 + 10500 + 22750 = 56875

B/ Bài Toán Đếm Số Phương Án Có Liên Quan Đến Hình Học.
< 1 > Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho khơng có 3 điểm nào thẳng hàng
a. Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên?
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ?
< 2 > Tìm số giao điểm tối đa của :
a. 10 đường thẳng phân biệt?

b. 6 đường tròn phân biệt?
c. 10 đường thẳng và 6 đường trịn trên?
< 3 > a. Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh?
b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh? Trong đó có bao nhiêu tam giác có
cạnh khơng phải là cạnh của đa giác n cạnh ?
< 4 > (ĐH, CĐ Khối B – 2003)
Cho đa giác đều
3 trong 2n điểm

A1 A2 ...A2 n (n 2, n  Z )

A1 , A2 ,..., A2 n

nội tiếp đường trịn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh là

nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm

A1 , A2 ,..., A2 n , tìm n.
< 5 > (ĐHCSND - 1999 - 2000):Cho tam giác ABC, xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường
thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với AC. Hỏi các đường thẳng này tạo được:
a. Bao nhiêu tam giác ?
b. Bao nhiêu hình thang ( Khơng kể hình bình hành ) ?
c. Bao nhiêu hình bình hành ?
< 6 > ( CĐSP -A- dự bị - 02 – 02 ): Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đơi
số cạnh ?

A A ... A10 . Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh
< 7 > ( ĐHNT- 01 – 02 ):Trong mặt phẳng cho thập giác lồi 1 2
của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều
khơng phải là cạnh của thập giác ?

< 8 > ( HVNH- D- 2000 ):Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của
nó lấy từ các đỉnh của (H).
1. Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của (H)
?
2. Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) ?
3. Có bao nhiêu tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của (H) ?
< 9 > Cho 2 đường thẳng song song.Trên đường thứ nhất có 10 điểm. Trên đường thứ hai có 20 điểm. Có
bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho ?
< 10 > (ĐHCĐ - B - 2002):Cho đa giác đều

A1 A2 ... A2 n

(

n 2 , n nguyên ) nội tiếp đường tròn ( 0).

A , A ,..., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm 1 2
các đỉnh là 4 trong 2n điểm

A1, A2 ,..., A2n , tìm n.


Lời giải:
Bài tốn đếm số phương án có liên quan đến hình học
< 1 > a. Mỗi cặp điểm khơng kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một đường thẳng và ngược lại. Vậy,
số đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên bằng:

c72 

7!
6.7

21
2! 7  2  ! 1.2

đường thẳng.
b. Mỗi bộ 3 điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một tam giác và ngược lại. Vậy số
tam giác có đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên bằng:
< 2 > a. Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt
là số tổ hợp chập 2 của 10, do đó bằng:
2
C10


10!
45
2!  10  2  !

điểm
b. Hai đường trịn phân biệt có tối đa 2 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 6 đường tròn phân biệt gấp
2 lần số tổ hợp chập 2 của 6, do đó bằng:

2.C62 2.15 30

điểm.
c. Một đường thẳng cắt một đường tròn tối đa tại 2 điểm. Do đó số giao điểm tối đa của 10 đường
thẳng phân biệt với 6 đường tròn phân biệt bằng:

10.6.2 =120 điểm

Khi đó, số các giao điểm bằng: 45 + 30 +120 = 195 điểm
< 3 > a. Ta có: * Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh.
*Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thì hoặc là 1 cạnh, hoặc là một đường
chéo của đa giác đó.

Cn2  n

Vậy số đường chéo của đa giác n cạnh bằng:
b. Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh là số tổ hợp n chập 3:

Cn3 

n!
(n  1)(n  2)n

3! n  3  !
6

Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:
* Số tam giác chỉ có 1 cạnh bằng

Cn1 4

1
C
n
* Số tam giác 2 cạnh bằng

Suy ra, số tam giác có 1 hoặc 2 cạnh của đa giác là:

Cn1  Cn1 .Cn1 4 n  n(n  4) n(n  3) n.Cn1 3  Cn1 .Cn1 3
Vậy, số tam giác có cạnh khơng phải là đa giác là:

Cn3  Cn1 .Cn1 3 

(n  2)(n  1)n
(n  2)(n  1)n  6 n(n  3) n(n 2  9 n  20)
 n( n  3) 

6
6
6

< 4 > Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉểm

A1 , A2 ,..., A2 n

3
C
2n
là


A A ...A2 n ( n 2, n  Z )

Gọi đường chéo của đa giác đều 1 2
chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.

đi qua tâm đường tròn (O) là đường

A , A ,..., A

2 n có các đường chéo là 2 đường
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm 1 2
chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật.

Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác
Theo giả thiết thì:

C23n 20Cn2 

A1 A2 ... A2 n

, tức

Cn2 .

(2n)!
n!
2n(2n  1)(2 n  2)
n(n  1)
20

20

3! 2n  3  !
2!  n  2  !
6
2
 2n  1 15  n 8 .

C/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Ghi nhớ
Khi giải bài toán đếm liên quan đến số tự nhiên ta cần lưu ý:
 Nắm vững qui tắc cộng nhân.

n a a a ...a

1 2 3 n sau đó căn cứ vào đầu bài đi chọn
 Ta thường gọi số tự nhiên cần tìm là
từng chữ số một.Số nào yêu cầu cao thì chọn trước.
 Khi chọn các chữ số cần phân tích câu văn đầu bài cặn kẽ, nắm chắc bản chất của từng đối
tượng từ đó tìm tập xác định và các khả năng có thể.
 Cẩn thận khi có số 0.
 Phải ln ln nghĩ tới phần bù, nếu phần bù đơn giản hơn ta tìm phần bù trước.
Bài tập:

< 1 > ( ĐHQG HCM - 99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3
chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278.
c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
< 2 > Xét một dãy số gồm 7 chữ số ( Mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1 ,2, 3, 4,…9 ) thoả mãn tính chất:
- Chữ số ở vị trí thứ 3 chẵn.
- Chữ số ở vị trí cuối cùng chia hết cho 5.
- Các chữ số ở vị trí thứ 4, 5, 6 đơi một khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy ?
< 3 > ( ĐHCSND – 99- 99):với 10 chữ số từ 1-->9 có thể lập được thành bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số
khác nhau?
<4> ( ĐH Đà Lạt – D): có 10 chữ số khác nhau
a. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái ?

b. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái khác nhau?
<5> (ĐHSPV–Đ28-99-00): Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số,
mỗi số gồm 4 chũ số, đôi một khác nhau và chia hết cho 10.
<6> (ĐHSPV - B - 99- 00): Có 5 số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 . Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số đơi một khác
nhau tạo thành từ 5 số đã cho?
<7> ( ĐHYHN – 99 – 00)
Có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 2, 3, 6, 9,
<8> ( CĐSPHN - Đ36)
Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng có ghi 1 trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng từ 5 miếng bìa này đặt lần
lợt cạnh nhau từ trái qua phải để đợc các số gồm 3 chữ số. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có ngiã gồm 3 chữ số và
trong đó có bao nhiêu số chẵn.


Chú ý: các chữ số đôi một khác nhau do mỗi số chỉ chỉ có một miếng bìa.
<9> (ĐHQGHCM - Đ3 – 00 – 01)
1. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đơi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
<10>( ĐHSPHN2 - Đ8):
Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ ctrong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các chữ số
khác có mặt một lần.
<11> Với các số 0, 1, 2, 3, 4, ,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần mỗi
số khác có mặt 1 lần
<12> ( ĐHHuế – 00 – 01 - Đ26) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ các chữ số đã cho lập đợc:
1. Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đơi một?
2. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đơi một.
3. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đơi một.
.
<13> Ngời ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: Trong mỗi số đợc viết có một chữ
số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy.
<14> Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đợc viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số 2 xuất

hiện 2 lần.

Tự luyện:
< 15 > Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ?
< 16 > Cho A = {1,3,5,6,8}.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số trong tập A ?
< 17 > Cho A = {0,1,2,3,5,7,9}.
Từ tập A có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
< 18 > Với tập E = {1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ
số phân biệt và:
a. Trong đó có chữ số 7.
b. Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1.
<19 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau:
a. Không bắt đầu từ chữ số 1
b. Không bắt đầu từ 123.
< 20 > Cho E = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau lấy từ E
trong mỗi trường hợp sau:
a. Là số chẵn.
b. Một trong 3 số đầu tiên bằng 1.
< 21 > Từ các số 0,1,2,...,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao Cho trong các số đó
có mặt chữ số 0 và 1.
< 22 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong các
số đó phải có mặt chữ số 5.
< 23 > Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số:
a. Có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau.
b. Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5.
< 24 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thoả mãn:
a. Mỗi số nhỏ hơn 40000.
b. Mỗi số nhỏ hơn 45000.
< 25 > Cho các số 0,1,2,...,9 có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn

60000 xây dựng từ 10 chữ số đó.
<26 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được :
a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.

Ví dụ 3


b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
< 27 > Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0,2,4,6,8.
< 28 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được :
a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 6,7.
b.Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho:
1. Chữ số đầu tiên là 3.
2. Các chữ số đều khác nhau.
3. Không tận cùng bằng chữ số 4.
< 29 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau.
< 30 > Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A:
a. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số.
b. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ.
c. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
d. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau và chia hết cho 5
e. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối
chia hết cho 4.
< 31 > Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
< 32 > Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là
a. Số lẻ.
b. Số chẵn.
< 33 > Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
(ĐHAN - 97 )

< 34 >Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó có bao nhiêu
số chia hết cho 5.
< 35 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5.
< 36 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và số đó khơng
chia hết cho 10.

Lời giải
B/ Bài Tốn Đếm Số Phương Án Liên Quan Đến Số Tự Nhiên
<1> Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }.

a a a a 0 )
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là n  1 2 3 ( 1
a. Do n chẵn nên

a3  {2,8}  a3 có 2 cách chọn
a1  E \ {a3}  a1 có 4 cách chọn
a2  E \ {a1,a3}  a2 có 3 cách chọn

Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do n chẵn nên a3  {2,8}  a3 có 2 cách chọn
a1, a2 là 1 bộ phận biết thứ tự được chen từ E\{a 3} do đó nó là một chỉnh hợp chập 2 
chọn.
Theo qui tắc nhân, số các số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tâp E bằng 2.
b. Do n nhỏ hơn 278 nên a1  {1;2}.

A42 cách

A42 = 24 (số).