ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT

ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Phần 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương IV: GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Giới hạn hữu hạn

+∞→n
lim
u
n
= a
⇔
+∞→n
lim
(u
n
– a) = 0
b). Giới hạn vô cực:

+∞→n
lim
u
n
= +
∞

+∞→n
lim
u

n
= –
∞
⇔
+∞→n
lim
(–u
n
) = +
∞
 Chú ý: Thay vì viết:
+∞→n
lim
u
n
= a;
+∞→n
lim
u
n
=
∞±
, ta viết tắt:
lim
u
n
= a;
lim
u
n

=
∞±
2. Các giới hạn đặc biệt:
a). lim
0
1
=
n
; lim
0
1
=
k
n
; limn
k
= +
∞

( với k nguyên dương)
b).



>∞+
<
=
1: ;.
1: ; 0
lim

qneu
qneu
q
n
c). limc = c ( với c là hằng số )
3. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu limu
n
= a và limv
n
= b, thì:
 lim(u
n
.v
n
) = a.b

b
a
v
u
n
n
=lim
( nếu
0
≠
b
)
b). Nếu

*
;0 Nnu
n
∈∀≥
, và limu
n
= a, thì
au
n
=lim
.
4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô
cực:
a). Nếu
lim
u
n
= a và
lim
v
n
=
∞±
thì
0lim =
n
n
v
u
.

b). Nếu lim u
n
= a > 0, lim v
n
= 0 và v
n
> 0
∀
n thì
+∞=
n
n
v
u
lim
c). Nếu limu
n
= +
∞
và limv
n
= a > 0 thì lim(u
n
.v
n
) =
+∞
5. Cấp số nhân lùi vô hạn:
a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có
công bội q thỏa mãn

1<q
.
b). Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

1
1 2
( 1)
1
n
u
S u u u q
q
= + + + + = ≠
−
II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a). lim(2n
2
+ 3n – 1) b). lim(– n
2
– n + 3) c). lim(3n
3
– n
2
+ n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
a).
3
3n n
lim

2n 15
−
+
b).
32
23
lim
+
−
n
n
c).
n
n
63
75
lim
−
−

d).
nn
n
32
54
lim
2
2
+
−

e).
nn
nn
−
++
2
2
2
1
lim
f).
367
135
lim
2
2
−+
++
nn
nn
g).
132
)2)(12(
lim
2
+−
+−
nn
nn
h).

)1)(225(
135
lim
2
−+
+−
nn
nn
i).
13
)12)((
lim
3
2
−+
−+
nn
nnn

j).
3
12
lim
2
++
+
nn
nn
k).
4

2
2 3 5
lim
7 6 9
n n
n n
+ +
+ +
l).
3 2
5
(2 3 ) ( 1)
lim
1 4
n n
n
− +
−
m).
1
23
lim
2
2
+−
+−
nn
nnn
n).
2 2

1 4 2
lim
3
n n n
n
+ − − −
+
o).
( 1)( 3)
lim
( 2)( 4)
n n
n n
+ +
+ +
p).
2
(2n 1)(n 2)
lim
2n 3n 1
− +
− +
q).
2
5n 5n 1
lim
(5n 2)(n 4)
+ −
+ −
r).

2
3
(n n)(2n 1)
lim
n 3n 1
+ −
+ −
s).
3
2
3 5 1
lim
4
n n
n
− +
+
t).
2
2
lim
1
n
n
 
−
 ÷
+
 
x).

2
1 4n 9n
lim
1 2n
+ +
−
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
a).
nn
nn
2.53.2
32
lim
+
+
b).
nn
nn
3.55
3.25.3
lim
+
−
c).
nn
nn
7.55

7.25.7
lim
−
−
d).
nn
nn
6.53.5
6.23.7
lim
−
+
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a).
)12lim( +−+ nn
b).
)153lim( −−+ nn
c).
)112lim(
2
+−−+ nnn
d).
2 2
lim( 1)n n n+ − −
e).
nn
nnn
−+
+−+
1

3
lim
2
2
f).
nn
nnn
−+
+−
1
lim
2
2

g).
nn
nnn
22
1232
lim
2
2
−+
++−−
h).
2 2
lim( 2 1 1)n n n n+ + − + −
i).
nnn
nnn

−+
−−+
2
2
12
lim
Bài 5: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
a).
;
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 +−+−+−=S
b).
;
2
1
2
1
12 +−+−=S
c).
;
2

1
22
1
12
12
++
−
+
−
+
=S
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1). Giới hạn hữu hạn:
2). Giới hạn vô cực:
3). Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
a).
0
0
lim xx
xx
=
→
b).
cc
xx
=
→
0

lim
c).
cc
x
=
±∞→
lim

d).
lim 0
k
x
c
x
→±∞
=
e).
+∞=
+∞→
k
x
xlim

(với k nguyên dương)
f).



∞−
∞+

=
−∞→
lekneu
chankneu
x
k
x
;
;
lim
4). Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
và
Mxg
xx
=
→
)(lim
0
, thì:

;)]()([lim
0
MLxgxf

xx
+=+
→

;)]()([lim
0
MLxgxf
xx
−=−
→

;.)]().([lim
0
MLxgxf
xx
=
→

)0(;
)(
)(
lim
0
≠=
→
M
M
L
xg
xf

xx
;
b). Nếu
0)( ≥xf
và
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
,
0≥L

thì:
.)(lim
0
Lxf
xx
=
→
Chú ý: ĐL1 vẫn đúng khi
+∞→x
hoặc
−∞→x
):Định lí 2:
LxfxfLxf
xxxx
xx
==⇔=

−+
→→
→
)(lim)(lim)(lim
00
0
5). Quy tắc về giới hạn vô cực:
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
;
±∞=
→
)(lim
0
xg
xx
a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x ):
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
)().(lim

0
xgxf
xx→
L > 0
∞+
∞+
∞−
∞−
L < 0
∞+
∞−
∞−
∞+
b). Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(
)(
xg
xf
:
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
Dấu của g(x)
)(
)(

lim
0
xg
xf
xx→
L
∞±
Tùy ý 0
L > 0 0
+
∞+
–
∞−
L < 0 0
+
∞−
–
∞+
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
2
Xem SGK
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
II. Các dạng bài tập áp dụng:
A. Tìm giới hạn hàm số: bằng cách thay số trực tiếp:
1/
2
1
lim( 2 1)
x
x x

→−
+ +
2/
2
3
1
lim
1
x
x
x
→−
−
+
3/
1
lim( 2 1)
x
x x
→
+ +
4/
2
1
3 1
lim
1
x
x x
x

→−
+ −
−
B. Các dạng vô định:
0
, , , 0.
0
∞
∞ − ∞ ∞
∞
khử dạng vô định.
I. Dạng vô định:
0
0

* Đặc điểm: là phân thức,
x →
số:
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
* Cách làm:
 Nếu tử, mẫu không chứa căn thức: ta phân tích thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử
giống nhau (sử dụng sơ đồ Hooc – ne: đối với hàm bậc 2 trở lên)
 Nếu tử, mẫu có chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp.

o
2 2
: ( )( )A B A B A B− + = −

o
2 2 3 3
3
2 2 3 3
: ( )( )
( )( )
A B A AB B A B
A B A AB B A B
+ − + = +
− + + = −
Bài 1: Tìm các giới hạn:
1/
→ → →
+ − − + +
= = =
− + +
−
2
2
2 2 2
6 ( 2)( 3) 3 5
lim lim lim
( 2)( 2) 2 4
4
x x x
x x x x x

x x x
x
2/
→−
− −
+ + +
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x
3/
2
3 2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x x x
→
− +
− + −
4/
→−

+ +
+ +
2
2
1
5 4
lim
3 2
x
x x
x x
5/
→
− − +
− −
3 2
3
2
3 9 2
lim
6
x
x x x
x x
6/
→
− +
− +
3
4

1
3 2
lim
4 3
x
x x
x x
7/
→
− + −
−
3 2
2
3
4 4 3
lim
3
x
x x x
x x
8/
2
3 2
1
3 2
lim
1
x
x x
x x x

→
− + −
− + −
9/
→
− + +
− +
3 2
2
3
5 15
lim
2 11 15
x
x x x
x x
10/
→−
− −
− −
3
2 3
1
5 6 1
lim
7 10 3
x
x x
x x
11/

2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
12/
2
2
4
lim
2
x
x
x
→−
−
+
13/
2
2
1
2 3
lim

2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
14/
3
0
(1 ) 1
lim
x
x
x
→
+ −
Bài 2: Tìm các giới hạn:
1/
( ) ( )
( )
( )
( )
→ → → →
− − − − + − − −
= = = =
+ −
+ − + −
2
2

0 0 0 0
2 4 2 4 2 4 2 4 1 1
lim lim lim lim
4
2 4
2 4 2 4
x x x x
x x x x
x
x
x x x x
2/
→
− −
−
2
3 5 1
lim
2
x
x
x
3/
→
−
− +
2
2
lim
3 7

x
x
x
4/
→
−
−
5
5
lim
5
x
x
x
5/
→
− −
−
7
2 3
lim
7
x
x
x
6/
→
+ −
0
4 2

lim
x
x
x
7/
→
− −
−
1
2 1
lim
1
x
x x
x
8/
→
−
+ − +
1
1
lim
2 2 3 1
x
x
x x
9/
→−
+
− −

3
3
lim
10 2 4
x
x
x
10/
→
−
− −
6
6
lim
2 2
x
x
x
11/
→
+ − +
−
4
5 2 1
lim
4
x
x x
x
12/

→
+ −
0
lim
1 1
x
x
x
13/
→
+ −
−
4
2 1 3
lim
4
x
x
x
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
3
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
14/
5
5 4 5
lim
5
x
x
x

→−
− −
+
15/
→
+ −
−
3
2 10 4
lim
3
x
x
x
16/
→
+ −
−
6
3 3
lim
6
x
x
x
Bài 3: Tìm các giới hạn:
1/
( ) ( )
( )
( )

( )
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1
2 2
2 3 2 3 2 3 2 3
lim lim lim
3 2
( 1)( 2) 2 3 ( 1)( 2) 2 3
x x x
x x x x
x x
x x x x x x
→ → →
− + − + + + − +
= =
− + −
− − + − + + − − + + +


( ) ( )
1 1
2 2
(1 )(1 ) (1 ) 1
lim lim
2
( 1)( 2) 2 3 ( 2) 2 3
x x
x x x

x x x x x
→ →
− + − +
= = = −
− − + + + − + + +
2/
→
− +
+ −
3 2
1
4 3
lim
2 7 3
x
x x
x
3/
→
+ −
−
2
5
4 3
lim
25
x
x
x
4/

→−
+
+ −
2
3
3
lim
3 2
x
x x
x x
5/
2
3
2 3 3
lim
3 10 3
x
x
x x
→
+ −
− +
6/
2
1
5 2 7
lim
2 1 3
x

x x
x x
→
+ −
− +
7/
→
+ −
−
2
2
5 4
lim
2
x
x
x
8/
2
1
1
lim
6 3 3
x
x
x x
→−
+
+ +
9/

2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − − −
− +
10/
→
+ −
2
0
1 1
lim
x
x
x
11/
2
1
3 2 7
lim
4 3
x
x x

x x
→−
+ −
+ +
12/
2
0
9 5 4 3
lim
x
x x
x
→
+ + −
13/
2
2
7 3
lim
4
→
+ −
−
x
x
x
14/
2
5
4 2

lim
25
x
x x
x
→
+ − −
−
15/
2
0
1 3 1
lim
x
x x x
x
→
− + − +
16/
2
7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−

Bài 4: Tìm các giới hạn:
1/
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
2/
4
3 5
lim
1 5
x
x
x
→
− +
− −
3/
1
2 1
lim
5 2
x
x

x
→−
+ −
+ −
4/
2
2
0
1 1
lim
4 16
→
+ −
− +
x
x
x
5/
9
7 2 5
lim
3
x
x
x
→
+ −
−
6/
2

2
0
4 2
lim
9 3
x
x
x
→
− −
− −
7/ 8/ 9/
Bài 5: Tìm các giới hạn:
1/
3
0
1 4 1
lim
x
x
x
→
+ −
2/
3
2
10 2
lim
2
x

x
x
→
− −
−
3/
3
0
3
lim
1 1
x
x
x
→
− +
4/
3
2
4 2
lim
2
x
x
x
→
−
−
II. Dạng vô định:
∞

∞
(áp dụng cho dãy số và hàm số):
* Đặc điểm: là phân thức,
x → ±∞
:
( )
lim
( )
x
f x
g x
→±∞
* Cách làm:
 Nếu bậc tử
≤
bậc mẫu ta chia cả tử và mẫu cho x có mũ cao nhất
 Nếu bậc tử
>
bậc mẫu ta đặt x có mũ cao nhất của tử, x có mũ cao nhất của mẫu ra
sau đó rút gọn.
 Nếu tử, mẫu có căn thức thì ta phải đưa x có mũ cao nhất trong căn ra ngoài trước
 Nếu có dạng
. .
lim
. .
n n
n n
a b
p c q d
α β

+ +
+ +
thì ta xem a, b, c, d số lớn nhất ta chia cả tử và mẫu
cho số đó.
* Nhớ:

2
0 :x x x x x→ +∞ ⇒ ≥ = =

- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
4
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT

2
0 :x x x x x→ −∞ ⇒ < = = −
Bài 1: Tìm các giới hạn:
1/
2 3
2 3
3 3 3 3 3 2
3 2
3 2
3
3 3 3
3 2 3 1 2
1
3 2 1
lim lim lim
1 1
2 1

2 1 2
2
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
− + − − + −
− + −
= = = −
− +
− +
− +
2/
3 2
3
3 2 1
lim
1 7 9
x
x x x
x x
→−∞
+ − −
− −
3/

2
3 2
2 1
lim
2 1
x
x x
x x x
→+∞
− +
+ − −
4/
2 6
lim
4
x
x
x
→+∞
−
−
5/
2
2 1
lim
3
x
x x
x
→+∞

− + −
+
6/
2
17
lim
1
x
x
→+∞
+
7/
3
3 2
10 3 1
lim
6 4 7
x
x x
x x x
→+∞
+ −
− +
Bài 2: Tìm các giới hạn:
1/
2
3
( 2)(3 2 )
lim
1 5 6

x
x x
x x
→+∞
− −
+ −
2/
2
5
lim
2 1
x
x x
x
→−∞
− +
−
3/
2
2
1
lim
2 2
x
x x
x x x
→+∞
+ +
− −
4/

2
2
2
lim
8 5 2
x
x x
x x
→−∞
+ +
+ −
5/
2 2
2 3
(3 1)(10 9)
lim
(2 3) (4 7)
x
x x
x x
→+∞
+ +
− +
6/
2
2 1
lim
1
x
x

x x
→+∞
−
+ −
7/
2
2 1
lim
9 3
x
x
x x
→−∞
−
+ −
8/
2
2 4
lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− + −
−
9/
2
2 3
lim

4 2
x
x
x
→−∞
+
+
10/
2 2
4
( 1) (7 2)
lim
(2 1)
x
x x
x
→−∞
− +
+
11/
2
3
(2 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
x
x x
x x
→+∞
+ +

− −
12/
III. Dạng vô định:
∞ − ∞
(áp dụng cho dãy số và hàm số):
* Đặc điểm: 1 biểu thức – căn thức; căn thức – 1 biểu thức; căn thức – căn thức.
* Cách làm: Lưu ý khi tính
2
x

 Nếu hệ số của mũ lớn nhất trong căn bằng bình phương hệ số của mũ lớn nhất ngoài
căn thì ta nhân lượng liên hợp.
o
2 2
: ( )( )A B A B A B− + = −

o
2 2 3 3
3
2 2 3 3
: ( )( )
( )( )
A B A AB B A B
A B A AB B A B
+ − + = +
− + + = −
 Nếu không có dạng trên thì ta đặt x có mũ cao nhất làm nhân tử chung
Bài 1: Tìm các giới hạn:
1/
( )

2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− +
2/
( )
2
lim 4 2
x
x x x
→+∞
− −
3/
( )
2
lim 9 1 3
x
x x
→+∞
+ −
4/
( )
2
lim 1 1
x
x x
→−∞
+ + −

5/
( )
2 2
lim 4
x
x x x
→+∞
+ − +
6/
( )
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
7/
( )
2
lim 2 5 4 4 1
x
x x x
→+∞
− − − +
8/
( )
2
lim 5 7
x
x x x

→−∞
+ + +
9/
( )
2
lim 3 5
x
x x x
→−∞
+ + +
10/
( )
2
lim 5 3 25 2
x
x x x
→+∞
− − −
11/
( )
2
lim 2 4 5
x
x x
→+∞
− −
12/
( )
2
lim 4 16

x
x x x
→+∞
− +
13/
( )
2
lim 9 3 3 2
x
x x
→−∞
+ + −
14/
( )
2 2
lim 1 1
x
x x x x
→−∞
− + − + +
Bài 2: Tìm các giới hạn:
1/
( )
2
lim 2 3 5
x
x x
→−∞
− −
2/

( )
2
lim 2 5 4
x
x x
→+∞
− +
3/
IV. Dạng vô định:
0.∞
(áp dụng cho dãy số và hàm số):
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
5
ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
* Cách làm: sử dụng các phương pháp như ở các dạng trên
Bài 1: Tìm giới hạn các hàm số:
1/
( )
2
lim 1
x
x x x
→−∞
+ −
2/
( )
2
lim 4 9 2
x
x x x

→−∞
+ +
3/
V. Dạng giới hạn 1 bên:
* Đặc điểm: là hàm số phân thức,
x →
số (
4 , 2 ,
+ −

* Cách làm:
 Nếu trong biểu thức khơng có dấu giá trị tuyệt đối ta:
o Tìm lim (tử)
o Tìm lim(mẫu) = 0
o Xét dấu mẫu
o Kết luận: kết quả =
+∞
−∞

 Nếu trong biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối: ta phải xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
rồi mới giải
Bài 1: Tìm các giới hạn:
1/
1
2 7
lim
1
x
x
x

−
→
−
−
2/
1
2 7
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
3/
2
2
3 5
lim
( 2)
x
x
x
→
−
−
4/
4

2 5
lim
4
x
x
x
−
→
−
−
5/
2
2
3 1
lim
2
x
x x
x
+
→
− +
−
6/
3
2 1
lim
3
x
x

x
−
→
−
−
VI. Dạng số.
∞
:
* Đặc điểm:
lim[ ( ). ( )]
x
f x g x
→±∞
. Lưu ý khi tính
2
x

* Cách làm:
 Đưa về dạng
lim[ ( ). ( )]
x
f x g x
→±∞
 Tìm
lim ( )
x
f x
→±∞
= ∞
 Tìm

→±∞
=lim ( )
x
g x số
 Kết luận:
→±∞
+∞ ∞
=
−∞ ∞
,
lim[ ( ). ( )]
,
x
nếu và số cùng dấu
f x g x
nếu và số khác dấu
Bài tập: Tìm giới hạn các hàm số:
1/
4 2
lim ( 1)
x
x x x
→+∞
− + −
2/
3 2
lim ( 2 3 5)
x
x x
→−∞

− + −
3/
2
lim ( 3 5 4)
x
x x
→+∞
− + +
4/
4 2
lim ( 3 2 7)
x
x x x
→−∞
− + − +
5/
( )
2
lim 2 5
x
x x
→−∞
− +
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x
0

∈

(a; b) nếu:
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
 
=
 
. Điểm x
0
tại đó f(x) khơng liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm
số.
o f(x) xác định trên khoảng (a; b)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
6
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
liên tục tại điểm x
0

∈
(a; b)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0
lim lim lim
x x

x x x x
f x f x f x f x
+ −
→
→ →
     
⇔ = = =
     
.
o f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại
mọi điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a; b] được gọi là liên tục trên khoảng [a; b] nếu nó liên tục trên
khoảng (a; b) và
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→

 
=
 



 
=

 

2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x
0
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
± ≠

cũng liên tục tại x
0
.
o Đinh lý 2: a/ Các hàm đa thức (hàm bậc 1, bậc 2, bậc 3,…) liên tục trên toàn bộ tập số
thực
¡
.
o b/ Hàm hữu tỷ (đa thức chia đa thức), hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot)
liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa
GTLN và GTNN trên đoạn đó.
• Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
0
0
x x
a x=x
g x
f x

≠

=



tại
0
x x=

o Tìm
( )

=
0
f x a
o Tìm
( )
0
lim
x x
g x
→
 
 
. Hàm số liên tục tại x
0

( )
0
lim
x x
g x a
→
 
⇔ =
 
.
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
0

0
x x
a x=x
g x
f x

≠

=



trên toàn trục số
o Tìm tập xác định D =
o
0
x x≠
:
o
0
x x=
:
 Tìm
( )
0
f x a=
 Tìm
( )
0
lim

x x
g x
→
 
 
.
 So sánh
( )
0
lim
x x
g x
→
 
 
và
( )
0
f x

 Kết luận
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
7
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
3. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0

0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x


=



tại
0
x x=
o Tìm :
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x

f x
− −
+ +
→ →
→ →

   
=
   


   
=

   



. Hàm số liên tục tại x = x
0
( ) ( ) ( )
0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x a
+ −
→ →
   
⇔ = = =

   
.
4. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x


=



trên toàn trục số
o Tìm tập xác định: D =
o
0
x x<

o
0

x x>
o
0
x x=
 Tìm :
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
− −
+ +
→ →
→ →

   
=
   


   
=


   



. Hàm số liên tục tại x = x
0
( ) ( ) ( )
0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x a
+ −
→ →
   
⇔ = = =
   
.
5. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
o Chứng tỏ f(a). f(b) < 0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).
Nếu chưa có (a; b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x) = 0
có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có
nghiệm.
C. CÁC VÍ DỤ.
1. Cho hàm số:
( )
( )

( )

−
≠

=
−



2
1
x 1
1
a x=1
x
f x
x
a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số
tại x
0
= 1.
Giải
+ D =
¡
.
+ Ta có f(1) = a.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
8
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT

+
( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x
x x
x
x
x x
→ → →
− +
−
= = + =
− −
+ Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x
0
= 1.
+ Nếu a
≠
2 thì hàm số gián đoạn tại x
0
= 1.
2. Cho hàm số:
( )
( )

( )
2
1 x 0
x x 0
x
f x

+ >

=

≤


. Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
= 0.
Giải
+ D =
¡

+ Ta có f(0) = 0
+
( )
( )
( )
( )
0 0
2
0 0 0 0

lim lim 0
lim lim 1 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
− −
+ + − −
→ →
→ → → →
 
= =
 
   
= + = ≠ =
   
.
Vậy hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
3. Cho hàm số:
( )
( )
( )

+ ≥

=

<



2
2 x 1
x +x-1 x 1
ax
f x
. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Giải
+ x >1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục.
+ x < 1 ta có f(x) = x
2
+ x - 1 hàm số liên tục.
+ Khi x = 1:
Ta có f(1) = a + 2
( ) ( )
( )
( )
1 1
2
1 1
lim lim 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x ax a
f x x x
+ +
− −
→ →

→ →
 
= + = +
 
 
= + − =
 
.
Hàm số liên tục tại x
0
= 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x
0
= 1 nếu a
≠
-1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1. Hàm số liên tục trên
( ) ( )
;1 1;−∞ ∪ +∞

nếu a
≠
-1.
D. BÀI TẬP.
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2
4
2
( )

2
4 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠ −

=
+


− = −

tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3

− +
 ≠

−

=


tại x = 3
3,
2
2
( )
1 2
x voi x
f x
x voi x

<

=

− ≥


tai x = 0 4,



−
=
2
12
)(
x
x
xf

1,
1,
≥
<
x
x
tại x = 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠

=
−


=


2,
2
1
2
( 2)
( )
3 2
x
voi x
x
g x
voi x
−

≠

−
=


=

- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
9
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
3,








−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=
≠
x
x
4,
( )
2
2
x > 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi


− −

=
−


− ≤

5,
( )
1
2
f x
x
=
−
6,
( )
3 1f x x
= − +
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
2
1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x


<
=

− ≥

2,
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi
f x
x
a khi

− −
≠ −

=
+



Bài 4:
1, CMR phương trình
7 5

3 2 0x x
+ − =
có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số
( )
7 5
3 2f x x x
= + −
liên tục trên
¡
nên f(x) liên tục trên [0;1]
Và
( )
( )
( ) ( )
0 2 0
0 . 1 0
1 2 0
f
f f
f

= − <

⇒ <

= >


Nên phương trình

( )
0f x
=
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;1x
∈
, vậy bài toán được chứng minh.
2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2 10 7 0x x− − =
3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
4, CMR: Phương trình x
4
-3x
2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
5, Chứng minh phương trình
2
sin cos 1 0x x x x
+ + =
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;x
π
∈

.
6, Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x
− − + − =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
4
-2
( )
2
4 -2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
+


− =


tại x
0
= -2 b)
2
4 3
khi x<3
( )
3
5 khi 3
x x
f x
x
x

− +

=
−


≥

tại x
0
= 3
c)
2
2 3 5
1
( )

1
7 1
x x
khi x
f x
x
khi x

+ −
>

=
−


≤

tại x
0
= 1 d)
2 1
3
( )
3
3 3
x
khi x
f x
x
khi x


− +
≠

=

−

=

tại x
0
= 3
e/
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=

−


=

tại x
0
=
2
f)
2
2
( )
1 1
3 4 2
x
khi x
f x
x
x khi x
−

>

=
− −


− ≤


tại x
0
= 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x
f x
x
khi x

− +
≠

=
−


=

b)
( )
2

1
2
2
( )
3 2
x
khi x
x
f x
khi x
−

≠

−
=


=

c)
( )
2
2
x 2
2
5 x 2
x x
khi
f x

x
x khi

− −
>

=
−


− ≤

d)
( )
2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<


= ≤ <


− − + ≥


- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
10
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 7: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x
0
.
a)
( )
2
2
1
1
1
x x
khi x
f x
x
a khi x

− −
≠ −

=
+


= −


với x
0
= -1 b)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥

với x
0
= 1
c)
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x

a khi x

+ −
≠

=

−

− =

với x
0
= 2 d)
2
3 1 1
( )
2 1 1
x khi x
f x
a khi x

− <
=

+ ≥

với x
0
= 1

ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình:
a)
4
5 2 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm.
b)
5
3 7 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm.
c)
3 2
2 3 5 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm
d)
3
2 10 7 0x x− − =
có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g)
3 2
3 1 0x x+ − =
có 3 nghiệm phân biệt.
h)
( )
( )
3
2 2
1 1 3 0m x x x− + + − − =

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i)
( )
( )
3
2 4
1 4 3 0m x x x− − + − =
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
Chương V: ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
, đạo hàm của hàm số tại
điểm
0
x
là :
( )
( )
( )
0

0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
.
1.2. Chú ý :
• Nếu kí hiệu
( ) ( )
0 0 0
;x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
thì :

( )
( ) ( )
0
0 0
0
0
0
' lim lim
x x x
f x x f x

y
f x
x x x
→ ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
− ∆
.
• Nếu hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
C
•
( )
0
'f x
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
( )
C

của hàm số
( )
y f x=
tại
( )
( )
0 0 0
,M x y C∈
.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại điểm
( )
( )
0 0 0
,M x y C∈
là :

( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y
= × − +
.
2.2. Ý nghĩa vật lí :
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
11
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :
( )

s s t=
tại thời điểm
0
t
là
( ) ( )
0 0
'v t s t=
.
• Cường độ tức thời của điện lượng
( )
Q Q t=
tại thời điểm
0
t
là :
( ) ( )
0 0
'I t Q t=
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
( ) ( )
; ; :u u x v v x C= =
là hằng số .
•
( )
' ' 'u v u v± = ±
•
( ) ( )

. ' '. '. . .u v u v v u C u C u
′
′
= + ⇒ =
•
( )
2 2
'. '. .
, 0
u u v v u C C u
v
v u
v u
′
′
−
   
= ≠ ⇒ = −
 ÷  ÷
   
• Nếu
( ) ( )
, .
x u x
y f u u u x y y u
′ ′ ′
= = ⇒ =
.
3.2. Các công thức :
•

( ) ( )
0 ; 1C x
′ ′
= =

•
( ) ( )
( )
1 1
. . . , , 2
n n n n
x n x u n u u n n
− −
′ ′
′
= ⇒ = ∈ ≥¥
•
( )
( )
( )
( )
1
, 0 , 0
2 2
u
x x u u
x u
′
′ ′
= > ⇒ = >

•
( ) ( )
sin cos sin . cosx x u u u
′ ′
′
= ⇒ =
•
( ) ( )
cos sin cos .sinx x u u u
′ ′
′
= − ⇒ = −
•
( ) ( )
2 2
1
tan tan
cos cos
u
x u
x u
′
′ ′
= ⇒ =
•
( ) ( )
2 2
1
cot cot
sin sin

u
x u
x u
′
′ ′
= − ⇒ = −
.
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
• Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
( )
y f x=
tại điểm
0
x
là :

( ) ( )
0 0
.df x f x x
′
= ∆
.
• Cho hàm số

( )
y f x=
có đạo hàm
( )
f x
′
thì tích
( )
.f x x
′
∆
được gọi là vi phân của hàm số
( )
y f x=
. Kí hiệu :
( ) ( ) ( )
. .df x f x x f x dx
′ ′
= ∆ =
hay
.dy y dx
′
=
.
4.2. Công thức tính gần đúng :

( ) ( ) ( )
0 0 0
.f x x f x f x x
′

+ ∆ ≈ + ∆
.
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
• Định nghĩa :
( ) ( )
f x f x
′
′′ ′
=  
 
• Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s f t=
tại thời điểm
0
t
là
( ) ( )
0 0
a t f t
′′
=
.
5.2. Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
( )
( ) ( )
1

, , 2
n n
f x f x n n
−
′
 
= ∈ ≥
 
 
¥
.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
12
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT

1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
• Cách 1 : Theo quy tắc
o Bước 1 : Cho
x
một số gia
x∆
và tìm số gia
y∆
tìm
( ) ( )
y f x x f x∆ = + ∆ −
. Lập tỉ số
y

x
∆
∆
o Bước 2 : Tìm giới hạn
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
• Cách 2 : Áp dụng công thức:
( )
( )
( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
.

1.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
a)
( )
3
2 1f x x x= − +
tại
0
2x =
; b)
( )
2 1
2
x
f x
x
−
=
+
tại
0
1x =
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
a)
( )
3
3 4f x x= +
tại
0

3x =
; b)
( )
3
khi
khi
2 2
10 16 2
x x x
f x
x x

− ≥
=

− <

tại
0
2x =
.
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
3 2
2 1y x x= − +
; b)
( )
2
3 2y f x x x= = − +
.

1.3. Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :
a)
( )
2
3 1f x x x= − +
tại
0
3x =
; b)
( )
2
2f x x x= −
tại
0
1x =
;
c)
( )
2
3 3
2
x x
f x
x
− +
=
+
tại
0

4x =
; d)
( )
2
cosf x x=
tại
0
4
x
π
=
;
Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên
¡
.
a)
( )
2
khi
khi
4 3
1
1
3 5 1
x x
x
f x
x
x x


− +
 >
=

−

− ≤

; b)
( )
2
3
khi
khi
2 0
0
x a x
f x
x bx x

+ ≤

=

− + >


;
c)
( )

2
3 2f x x x= − +
; d)
( )
5
f x x=
.
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
( )
3 2
3 2 1f x x x x= − + +
; b)
( )
3
f x x=
;
c)
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
; d)
( )
1

sin
f x
x
=
;
Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
( )
3 2
4f x x x= −
; b)
( )
khi
khi
sin cos 0
2 1 0
x x x
f x
x x
+ >

=

+ ≤

;
c)
( )
2
4

3f x x x= +
; d)
( ) ( )
3
tan 2 1f x x= +
.
Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của
( )
3 2
: 3 6 5C y x x x= − + −
có hệ số góc âm ?
.
1.4. Các ví dụ minh họa :
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
13
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
= − + −
4 3
1
2 2 5
3
y x x x
; b)
= − −
3 2
( 2)(1 )y x x
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a)
+
=
−
2 1
1 3
x
y
x
; b)
− +
=
−
2
3 3
1
x x
y
x
; c)
+ −
=
− +
2
2
1
1
x x
y
x x

.
Ví dụ 3. Chứng minh các công thức tổng quát sau
a)
( )
2
2
1 1
1 1 1 1
2 2
2
1 1 1
1 1 1
2
a b
a c b c
x x
a b
a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c
+ +
′
 
+ +
=
 ÷
 ÷
+ +
 

+ +
; (
1 1 1
, , , , ,a b c a b c
là hằng số) .
b)
( )
2
1 1
2
1 1
2
1 1
1 1
. 2 .
b c
a a x a b x
a b
ax bx c
a x b
a x b
+ +
′
 
+ +
=
 ÷
 ÷
+
+

 
; (
1 1
, , , ,a b c a b
là hằng số) .
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
= + +
2 4
( 1)y x x
; b)
+
=
−
2
3
( 1)
( 1)
x
y
x
; c)
=
− +
2 2
1
( 2 5)
y
x x
.

Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
= − +
2
2 5 2y x x
; b)
= − +
2
( 2) 3y x x
; c)
( )
= + −
3
1 1 2y x
.
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2sin 3 cos5y x x=
; b)
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=
−
; c)
2
1 tan 3

2
1 tan 3
x
y
x
+
=
−
.
• Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là
đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2
(sin cos )y x x= +
; b)
tan coty x x= +
;
c)
= + +
3 5
2 1
tan2 tan 2 tan 2
3 5
y x x x
; d)
( )
2 3
tan sin cos 2y x
 

=
 
.
Ví dụ 8. Cho hàm số :
( )
3 2
1
2 5
3
y f x x x mx= = − + +
. Tìm
m
để :
a)
( )
0f x x
′
≥ ∀ ∈¡
; b)
( ) ( )
0 , 0;f x x
′
> ∀ ∈ + ∞
;
c)
( ) ( )
0 , 0;2f x x
′
< ∀ ∈
; d)

( ) ( )
0 , ;2f x x
′
≥ ∀ ∈ −∞
.
Ví dụ 9. Cho hàm số :
( ) ( )
3 2
4 5 1
3 2
m m
f x x x m x m= − + − + +
. Tìm
m
để :
a)
( )
0 ,f x x
′
< ∀ ∈¡
; b)
( )
0f x
′
=
có hai nghiệm cùng dấu.
•
Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5 4 3 2

1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x= + − − + −
; b)
2 4
1 1
0,5
4 3
y x x x= − + −
;
c)
4 3 2
4 3 2
x x x
y x= − + −
; d)
5 3
4 2 3y x x x x= − + −
;
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
14
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
e)
2
3
2
2
x b a
y c x b

a
x
= + + + −
(
, ,a b c
là hằng số) .
Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5
(2 3)( 2 )y x x x= − −
b)
(2 1)(3 2)y x x x= − +
c)
( )
1
1 1y x
x
 
= + −
 ÷
 
d)
2 1
1
x
y
x
−
=
−

e)
3
2 5
y
x
=
−
f)
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
g)
2
2 4 5
2 1
x x
y
x
− +
=
+
h)
2
1

1
y x
x
= + −
+
i)
2
5 3
1
x
y
x x
−
=
+ +
k)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
.
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
3 2 2

(2 3 6 1)y x x x= − − +
; b)
2 5
1
( 1)
y
x x
=
− +
c)
2 3 2 2
( 1) ( 1)y x x x x= − + + +
; d)
2
1
y x
x
 
= −
 ÷
 
;
e)
2
1 2y x x= + −
; f)
2 2
1 1y x x= + − −
;
g)

y x x x= + +
; h)
3
3
3 1y x x= − +
;
i)
2
3
2 1
3
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
; k)
( )
5
2
1y x x= + +
.
Bài 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
sin
sin

x x
y
x x
= +
; b)
3 3
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=
+
;
c)
xx
xx
y
2cos2sin2
2cos2sin
−
+
=
; d)
4sin cos5 .sin 6y x x x=
;
e)
sin 2 cos 2
sin 2 cos2

x x
y
x x
+
=
−
; f)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
−
=
−
;
g)
1
tan
2
x
y
+
=
; h)
tan 3 cot 3y x x= −
;
i)
2
2

1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−
; k)
2
cot 1y x= +
;
l)
4 4
cos siny x x= +
; m)
3
)cos(sin xxy +=
;
n)
xxy 2cos2sin
33
=
; o)
( )
sin cos3y x=
;
p)
( )
2 2

sin cos cos3y x
 
=
 
; q)
2
5 2
3
cot cos
2
x
y
x
 
−
 
=
 
 ÷
+
 
 
 
.
Bài 10. a) Cho hàm số
( )
x
x
xf
sin1

cos
+
=
. Tính
( ) ( )












4
';
2
';';0'
ππ
π
ffff
.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
15
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
b) Cho hàm số
( )

x
x
xfy
2
2
sin1
cos
+
==
. Chứng minh:
3 ' 3
4 3
f f
π π
   
− =
 ÷  ÷
   
Bài 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
( ) ( )
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x= + − +
;
b)
( ) ( )
4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x= − + −
;
c)

( ) ( )
8 8 6 6 4
3 sin cos 4 cos 2sin 6siny x x x x x= − + − +
;
d)
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
x x
y
x x x
+ −
=
+ + −
;
e)
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
y x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
; f)
( )
tan . 1 sin

4 2
sin
x
x
y
x
π
 
− +
 ÷
 
=
;
g)
sin sin 2 sin3 sin 4
cos cos2 cos3 cos4
x x x x
y
x x x x
+ + +
=
+ + +
; h)
2 2 2 2cos , 0 ;
2
y x x
π
 
 
= + + + ∈

 ÷ ÷
 
 
.
Bài 12. Cho hàm số
xxy sin=
chứng minh :
a)
( ) ( )
2 ' sin 2cos 0xy y x x x y− − + − =
;
b)
'
tan
cos
y
x x
x
− =
.
Bài 13. Cho các hàm số :
( )
xxxf
44
cossin +=
,
( )
xxxg
66
cossin +=

. Chứng minh :
( ) ( )
0'2'3 =− xgxf
.
Bài 14. a) Cho hàm số
2
1 xxy ++=
. Chứng minh :
yyx =+ '.12
2
.
b) Cho hàm số
cot 2y x=
. Chứng minh :
2
' 2 2 0y y+ + =
.
Bài 15. Giải phương trình
' 0y =
biết :
a)
sin 2 2cosy x x= −
; b)
2
cos siny x x= +
;
c)
3sin 2 4cos 2 10y x x x= + +
; d)
( )

1 sin 2 2cos 2y m x x mx= − + −
.
Bài 16. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx= − + + −
. Tìm
m
để :
a)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt ;
b)
'y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức ; (*)
c)
' 0 ,y x≥ ∀ ∈¡
;
d)
( )
' 0 , 1 ; 2y x< ∀ ∈
;
e)
' 0 , 0y x> ∀ >
.
Bài 17. Cho hàm số
( )

3 2
1
1 3
3
y mx m x mx= − + − − +
. Xác định
m
để :
a)
' 0 ,y x≤ ∀ ∈¡
.
b)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :
2 2
1 2
3x x+ =
.
Bài 18. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=

+
. Xác định
m
để hàm số có
' 0,y ≤

x∀ ∈
( )
1 ;+∞
.
Bài 19. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số:
3 2
3y x x mx m= + + +

có
' 0y ≤
trên một đoạn có độ dài bằng 1 . (*)
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
16
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Bài 20. Cho hàm số
( )
( )
( )
4 2 2
9 10 1 laø tham soáy mx m x m= + − +
. Xác định
m

để hàm số có
' 0y =
có 3
nghiệm phân biệt .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

2.1. Phương pháp :
• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
tại
( )
0 0
;M x y
, có phương trình là :
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y
= − +
( 1 ) .
• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
có hệ số góc là
k
thì ta gọi
( )
0 0 0
;M x y
là tiếp điểm

( )
0
'f x k⇒ =
(1)
 Giải phương trình (1) tìm
0
x
suy ra
( )
0 0
y f x=

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :
( )
0 0
y k x x y= − +
 Chú ý :
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại
( )
( )
0 0
,M x y C∈
là
( )
0
tank f x
α
′
= =
Trong đó

α
là góc giữa chiều
dương của trục hoành và tiếp tuyến .
 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng
1−
.
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1 1
;A x y
:
 Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
y f x=
tại
( )
0 0 0
;M x y
:
( ) ( ) ( )
0 0 0
' . 1y f x x x y= − +

 Vì tiếp tuyến đi qua
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0 1 0 0
; ' . *A x y y f x x x f x⇒ = − +
 Giải phương trình(*) tìm
0

x
thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
2.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Cho đường cong
( ) ( )
3 2
: 3C y f x x x= = −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
trong các trường hợp
sau :
a) Tại điểm
( )
0
1 ; 2M −
;
b) Tại điểm thuộc
( )
C
và có hoành độ
0
1x = −
;
c) Tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành .
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )

1 ; 4A − −
.
Ví dụ 2. Cho đường cong
( )
3 1
:
1
x
C y
x
+
=
−
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
: 4 21 0d x y− − =
;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( )
: 2 2 9 0x y∆ + − =
;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

2 5 0x y− + =
một góc
0
30
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
3 2
3 9 5y x x x C= + − +
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
, hãy tìm tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 4. Cho hàm số
( )
2
1
2 3
x
y
x
+
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
(Khối A

– 2009) .
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
17
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Ví dụ 5. Cho hàm số
( )
3 2
3 2y x x C= − + −
. Tìm các điểm thuộc đồ thị
( )
C
mà qua đó kẻ được một và chỉ một
tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
.
(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)
Ví dụ 6. Cho
( )
C
là đồ thị của hàm số
2
6y x x= −
. Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của
( )
C
cắt
trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
2.3. Bài tập áp dụng:
Bài 21. Cho hàm số

( )
2
: 2 3C y x x= − +
. Viết phương trình tiếp với
( )
C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
2x =
;
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :
4 9 0x y− − =
;
c) Vuông góc với đường thẳng :
2 4 2011 0x y+ − =
;
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1 ; 0A
.
Bài 22. Cho hàm số :
( )
3 1
1
x
y C
x
+
=

−
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm
( )
1 ; 1M − −
;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
bết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
: 4 1 0d x y− + =
;

e) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( )
: 4 8 0x y∆ + − =
.
Bài 23. Cho hàm số :
( )
3 2
3y x x C= −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
1 ; 2I −
.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị
( )
C
không đi qua
I
.
Bài 24. Cho hàm số
( )
2
1y x x C= − −
.Tìm phương trình tiếp tuyến với
( )

C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
1
2
x =
;
b) Song song với đường thẳng :
( )
: 2 0d x y+ =
.
Bài 25. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 1 1y x mx m x= + + + +
,
m
là tham số thực .
Tìm các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ
1x
= −
đi
qua điểm
( )
1 ;2A
.
(Dự bị A

1
- 2008)
Bài 26. Cho hàm số
( )
3 1
1
1
x
y
x
+
=
+
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp
tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm
( )
2 ; 5M −
.
(Dự bị D
1
- 2008)
Bài 27. Cho hàm số
( )
3
3 4y x C= +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng

( )
: 3 6 0d y x− + =
góc
0
30
.
Bài 28. Cho hàm số
( )
3 2
3 9 5y x x x C= − − + −
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
, hãy tìm tiếp tuyến
có hệ số góc lớn nhất.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
18
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Bài 29. Cho hàm số
( )
2 1
1
x
y C
x
−
=
−
. Gọi
( )

1 ; 2I
. Tìm điểm
( )
M C∈
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
M

vuông góc với đường thẳng
IM
.

(Dự bị B
2
- 2003)
Bài 30. (*) Cho hàm số
( )
2
1
=
+
x
y C
x
. Tìm điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến của

( )
C
tại
M
cắt hai trục
tọa độ tại
,A B
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
2
.

(Khối D - 2007)
Bài 31. (*) Cho hàm số :
( )
1
x
y C
x
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
∆
của
( )
C
sao cho

( )
∆
và
hai đường
( ) ( )
1 2
: 1 ; : 1d x d y= =
cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
(Dự bị D
2
- 2007)
Bài 32. Cho hàm số
( )
1
1
y x C
x
= +
+
. Chứng minh rằng qua điểm
( )
1; 1A −
kẻ được hai tiếp tuyến với
( )
C
và hai
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 33. (*) Cho hàm số
( )
3 2

1
2 3
3
y x x x C= − +
. Qua điểm
4 4
;
9 3
A
 
 ÷
 
có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị
( )
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .
Bài 34. (*) Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x x
y C
x
+ +
=
+
. Gọi
( )
1 ; 0I −

.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến
nào của
( )
C
đi qua điểm
I
.
(Dự bị B
2
- 2005).
Bài 35. (*) Cho hàm số
( )
4 2
2 1y x x C= − + −
. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có
thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
.
3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân

3.1. Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa và công thức sau :
• Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
f x
′

thì tích
( )
.f x x
′
∆
được gọi là vi phân của hàm số
( )
y f x=
.
Kí hiệu :
( ) ( ) ( )
. .df x f x x f x dx
′ ′
= ∆ =
hay
.dy y dx
′
=
•
( ) ( ) ( )
0 0 0
.f x x f x f x x
′
+ ∆ ≈ + ∆
3.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
2
3 5
1

x x
y
x
− +
=
−
; b)
( ) ( )
2 3
1 2 3y x x x= + −
.
Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
sin
sin
x x
y
x x
= +
; b)
3 2
1
tan cot 3
2
y x x= −
.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
19
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Ví dụ 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :

a)
8,99
; b)
0
cos46
; c)
0
tan59 45'
.
3.3. Bài tập áp dụng:
Bài 36. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
2
2 3
5 5
x
y
x x
+
=
− +
; b)
2 32
( )y x x= −
;
c)
2
1x
y
x

+
=
; d)
2
1 cos 2
1 cos 2
x
y
x
+
=
−
 
 ÷
 
;
e)
3
cot (2 )
4
y x
π
= +
; f)
sin(cos ) cos(sin )y x x= +
.
Bài 37. Cho hàm số
3 3
sin cos
1 sin .cos

x x
y
x x
−
=
+
.
Chứng minh đẳng thức :
. cos2 . 0y dy x dx− =
.
Bài 38. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
a)
4,02
; b)
0
tan 44 30'
; c)
3
7,97
.
4. Đạo hàm cấp cao

4.1. Phương pháp :
• Dựa theo các định nghĩa sau :
 Đạo hàm cấp 2 :
( ) ( )
f x f x
′
′′ ′
=  

 
 Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
( )
( ) ( )
1
, , 2
n n
f x f x n n
−
′
 
= ∈ ≥
 
 
¥
.
• Chú ý :
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp
n
của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán công
thức tính đạo hàm cấp
n
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
4.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a)
= − + − +
4 3 2

1 2
5 4 7
4 3
y x x x x
. Tìm
′′ ′′′
,y y
;
b)
−
=
+
3
4
x
y
x
. Tìm
( )
′′ ′′′
4
, ,y y y
; c)
= −
3
3y x x
. Tìm
′′
y
.

Ví dụ 2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
3 2
khi1 0 2y y y x x
′′
+ = = −
;
b)
( )
( )
2 2 2
khi2 1 0 .tanx y x y y y x x
′′
− + + = =
.
Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng
*
n∀ ∈¥
:
a)
( )
( )
π
 
= +
 ÷
 
sin sin
2
n

n
n
ax a ax
; b)
( )
( )
π
 
= +
 ÷
 
cos cos
2
n
n
ax ax
;
c)
( )
( )
( )
+
−
 
=
 ÷
+
 
+
1

1 !
1
n
n
n
n
a n
ax b
ax b
.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
20
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
4 1
2 1
x
y
x
+
=
−
; b)
2
3 5
1
x x

y
x
− +
=
+
.
Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
4 4
sin cosy x x= +
; b)
8sin .cos3 .cos4y x x x=
.
• Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp
n
của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã
cho thành tổng của các hàm số có một trong các dạng :
+
1
; sin ; cosax ax
ax b
rồi áp
dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp
n
của hàm số đã
cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .
4.3. Bài tập áp dụng:
Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

a)
.cos3y x x=
tìm
y
′′
; b)
2
sin 2y x=
tìm
y
′′′
;
c)
( )
5
2 1y x= +
tìm
( )
5
y
; d)
2
3 1
2
y
x x
x
=
+ +
−

tìm
( )
4
y
.
Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
( )
2 ' sin " 0xy y x xy− − + =
nếu
xxy sin=
;
b)
( )
0"1218 =+− yy
nếu
xy 3cos
2
=
;
c)
0" =+yy
nếu
xx
xx
y
cossin1
cossin
33
−

+
=
;
d)
[ ]
4
2 4 40y xy y
′′′ ′′
+ − =
nếu
( )
2
2
1y x= −
;
e)
( )
"1'2
2
yyy −=
nếu
4
3
+
−
=
x
x
y
;

f)
( )
0'.4".14
2
=−++ yyxyx
nếu
2
1 xxy ++=
;
g)
( )
2 2
1 " ' 0x y xy k y
+ + − =
nếu
(
)
k
xxy 1
2
++=
,
( )
k ∈¥
.
Bài 41. Tìm đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
2 1

2
x
y
x
−
=
+
; b)
2
3
2
y
x x
=
− −
;
c)
2
2
2 1
x
y
x x
+
=
− +
;
d)
2
2

4 5 3
2 3 1
x x
y
x x
− +
=
− +
; d)
8sin .sin 2 .sin3y x x x=
;
e)
6 6
sin cosy x x= +
;
f) Cho
cos3y x=
. Chứng minh
( )
( )
2
2
1 3
n
n
n
y y= −
.
5. Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn
5.1. Phương pháp :

Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm :
( )
( ) ( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f
f x
x x
→
−
=
−
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
21
ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f
x x
→
−

−
, sau
đó tính đạo hàm của hàm
( )
f x
tại điểm
0
x
rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết quả của giới hạn .
5.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→
; b)
1
75
lim
2
3 23
1
−
+−−

→
x
xx
x
.
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :
a)
→
+ + + −
−
L
2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
; b)
2
1
)1(
1
lim
−
−+−
→
x
nnxx

n
x
.
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
a)






−
→
xx
x
4
tan.2tanlim
4
π
π
; b)
x
x
x
sin21
4
sin
lim
4
−







−
→
π
π
.
5.3. Bài tập áp dụng:
Bài 42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
1
8 3
lim
2 3
x
x
x x
→
+ −
+ −
; b)
3
1
3 2
lim

1
x
x x
x
→
− −
−
;
c)
→
− + +
+ − −
0
1 2 1 sin
lim
3 4 2
x
x x
x x
; d)
3
3
2
2
3 4 24 2 8 2 3
lim
4
x
x x x
x

→
− + + − −
−
;
e)
1
1
lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
; f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x
x
→
+ −
+ −

;
Bài 43. Tìm các giới hạn sau :
a)
π
→
− ≠lim( ) tan , ( 0)
2
x a
x
a x a
a
; b)
x
xx
x
sin
112
lim
3
2
0
+−+
→
;
c)
0
cos5 cos3
lim
.sin 2
x

x x
x x
→
−
; d)
)1tan(
23
lim
1
−
−+
→
x
xx
x
;
e)
xx
x
x
sin
cos1
lim
3
0
−
→
; f)
2
cos3 1 sin3

lim
1 sin 3
x
x x
x
π
→
+ +
+
g)
3
2 2
0
2 1 4 1
lim
1 cos
x
x x
x
→
+ − +
−
; h)
3
0
sin1tan1
lim
x
xx
x

+−+
→
;
i)
→
+ + + + − +
−
2 2 2
2
1
3 2 4 19 3 46
lim
1
x
x x x x
x
.
6. Tính các tổng có chứa tổ hợp
6.1. Phương pháp :
Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi
khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính .
6.2. Các ví dụ minh họa :
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
22
ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Ví dụ 1. Tính các tổng sau :
a)
1 2 3 2 1
1
2 5 3 5 5

n n
n n n n
S C C C nC
−
= + + + +L
;
b)
( ) ( )
2 2 3 3
2
2.1. 2 3.2. 2 1 . 1 .
n
n n n
n n n
S C C n n C
− −
= − + + − −L
.
c)
2 1 2 2 2 3 2
3
1 . 2 . 3 . .
n
n n n n
S C C C n C= + + + +L
; d)
( )
0 1 2
4
2 5 8 3 2

n
n n n n
S C C C n C= + + + + +
.
6.3. Bài tập áp dụng:
Bài 44. Rút gọn các tổng sau :
a)
1 2 1
1
2 ( 1)
n n
n n n n
S C C n C nC
−
+ + + − += L
;
b)
0 1 2 1
2
2 3 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C nC n C
−
+ + + + + +=
;
c)
( )
0 1 2
3

2 5 8 3 2
n
n n n n
S C C C n C= + + + + +
.
Bài 45. (*) Rút gọn các tổng sau :

99 100 198 199
0 1 99 100
1 100 100 100 100
1 1 1 1
a) 100 101 199 200
2 2 2 2
S C C C C
       
= − + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
LL
.
b)
2 18 3 17 20
2 20 20 20
2.1. 2 3.2. 2 380.S C C C= − + +L
.
c)
2 1 2 2 2 3 2 2009
3 2009 2009 2009 2009
1 . 2 . 3 . 2009 .S C C C C= − + − +L
.

d)
0 1 2 2010
4 2010
3 5 7 4023
n n n
S C C C C= − + − +
.
Bài 46. Cho số ngun n thỏa mãn đẳng thức
( ) ( )
( )
3 3
35, 3
1 2
n n
A C
n
n n
+
= ≥
− −
. Tính tổng :

( )
2 2 2 3 2
2 . 3 . 1 .
n
n
n n n
S C C n C= − + + −L
.

(Dự bị B
1
– 2008) .
Bài 47. Chứng minh rằng với n là số ngun dương , ta ln có :

( ) ( )
1 1 2 2 1 1
.2 . 1 .2 . 2 .2 . 2. 2 .3
n n n n n n
n n n n
n C n C n C C n
− − − −
+ − + − + + =L

(Dự bị D
1
– 2008) .
Tìm số ngun dương n sao cho :

( )
+
+ + + + +
− + − + + + =
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2011
n n
n n n n n
C C C C n C
(

k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử )
Phần 2: HÌNH HỌC
Chương III: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
§1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa và các phép toán
• Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn
toàn tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:
' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
23
ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+ =
uur uur
r
;
2OA OB OI+ =

uuur uuur uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :a và b cùng phương a k R b ka≠ ⇔∃ ∈ =
r r r
r r r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
uuur uuur
uuur uuur uuuur
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, ,a b c
r

r r
, trong đó
a và b
r
r
không cùng
phương. Khi đó:
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
• Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng,
x
r
tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
x ma nb pc= + +
r
r r r
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
)1800(,,
00

≤∠≤∠=






⇒==
→→→→
BACBACvuvACuAB
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
, 0u v ≠
r
r r
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Với
0 0u hoặc v= =
r r
r r
. Qui ước:
. 0u v =
r r
+
. 0u v u v⊥ ⇔ =
r r r r
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là
trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng :
Bài giải :
Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :
Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1).
b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
24
ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT
Bài tập
1.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur
r
.
b) Chứng minh:
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
, với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố đònh (P) sao cho:
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất.
2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh
đối đồng qui tại trung điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ
diện)
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
• Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các

cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
thì
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng
• Để phân tích một vectơ
x
r
theo ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng, ta tìm các số m,
n, p sao cho:
x ma nb pc= + +
r
r r r
Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M
sao cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba
véc tơ đồng phẳng .
Bài giải :
Đặt : . Khi đó ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ
.

Ta có
Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : . Hãy phân
tích (biểu thò ) các véc tơ theo các véc tơ .
Bài giải :
Theo hình vẽ thì :
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
25
A
B
C
A'
B'
C'