Tuyển tập 42 Hệ phương trình Ôn thi Đại học 201523330

H Ph ng Trình
Ơn Thi Đ I H

Tác gi : Nguy n Th Duy

ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com

Tuy n t p 42 H ph

ng trình ƠN THI Đ I H C 2015

Tác gi : Nguy n Th

L i nói đ u : Cũng nh tiêu đ c a bài vi t , thì
Đ I H C năm
g m:

bài vi t này g m 42 h ph

ng trình vơ t ơn thi

Ph n I. Các bài tốn s d ng ph ng pháp nhân t , liên h p , n ph , hàm s .
Ph n II. Các bài toán s d ng ph ng pháp đánh giá.
Ph n III Phân tích h ng đi hai bài tốn Kh i A và Kh i B năm

Tồn b các bài toán d i đây là do s u t m trên các m ng xã h i và l i gi i là do tác gi c a bài vi t
Nguy n Th Duy trình bày. Hi v ng và mong mu n các b n có đ c nhi u ph ng pháp gi i h cũng
nh nh ng ph ng án đ i m t khi g p nó đ bi n bài tốn h ph ng trình tr nên đ n gi n hóa và

gi i quy t nó m t cách d dàng.

n I. Các bài toán s d ng ph

ng pháp nhân t , liên h p , n ph , hàm s .

x 2  y 2
2
1



x  y xy
Bài toán 1 Gi i h ph ng trình  xy
x 2  y 2  1  1  x 2  2x

x y
 L i gi i. Đi u ki n : x  y  0 ; xy  0
Ph

ng trình đ u c a h ph

x  y 

2

ng trình đ

c vi t l i thành :



 2xy

x, y  



2

x y 1
2
1
2


0

2  0
xy
x  y xy
xy
x y
x  y  1
x y 1 x y 1 2 1x y


0 2
2
xy

x y
x  y  x  y  0
 V i x  y  1 th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có












2 7
1 7
y 
x 
3
3
3x 2  4x  1  0  

2 7
1 7
y 
x 
3
3
2

2
 V i  x  y  x  y th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có





1  2x  x 2  x 2  y 2 

V y h ph



 


x  1
0 2

2
x  y  1




1
 2  x 1
2
x  y2

2


x  1
 ptvn

y  0


2  7 1 7  2  7 1 7 
;
;
 ; 

 3
  3

3
3

 


ng trình đã cho có nghi m : x , y  

3
3
2

x  y  3x  6x  3y  4  0

Bài tốn 2 Gi i h ph ng trình 
x  1 y  1  x  6 y  6  x 2  5x  12y


 L i gi i Đi u ki n : x  ; y  1



Ph

ng trình m t t

Th vào ph

ng đ

ng v i :









3







x 3  3x 2  6x  4  y 3  3y  x  1  3 x  1  y 3  3y  y  x  1
ng trình hai ta đ

c:

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  


www.MATHVN.com
2

x  1 x  2  x  6  x  7  x  7x  12
  x  1  x  2  2   x  6   x  7  3   x
 x 1

x 6
 x  2  

 x  4  0

2

 x 2 2

x 7 3

 2x  8



x  2  0
suy ra :
x  6  0

Do x  2 nên 

x 1

 x 2
x 2  x 6
x 6
1
x 4  


0


2   x 7 3
2 
x 7 3
x 2 2
 x 2 2

x 6



x 2 2

   

T đó suy ra x, y  2, 3 là nghi m duy nh t c a h ph

Bài toán 3 Gi i h ph

ng trình 

2
2

 2x  xy  x  1  x  3y  y  x  y  2
ng trình  2
4x  y 2  4xy  6x  3y  2  0



x, y  

2
2
 L i gi i Đi u ki n : 2x  xy  x  1  0 ; x  3y  y  0

X lý ph

ng trình hai ch’ng ta có

y  2x  1
4x 2  y 2  4xy  6x  3y  2  0  2x  1  y 2x  2  y  0  
y  2x  2
 V i y  2x  2 th xu ng ph ng trình hai thì







3

4x 2  x  1  4x 2  x  2  3x 

 3x
4x 2  x  1  4x 2  x  2
1
1
 4x 2  x  1  4x 2  x  2   2 4x 2  x  1  3x 
x
x
x  0

 2x 4x 2  x  1  3x 2  1   2
2  x  1
2

2
4x 4x  x  1  3x  1



 V i y  2x  1 th xu ng ph

 



4x 2  1  4x 2  3x  2  3x  1 . Ý

ng trình hai thì

2
3
2 1
Do đó h ph ng trình có nghi m x, y  1, 0 ;  ,  
3 3

xy  2  x  y  y
 xy  x  y
Bài toán 4 Gi i h ph ng trình 
 x  1 y  xy  x  x 2  4

t

ng gi i t

ng t tr

   







 L i gi i Đi u ki n : x, y  0 ; xy  x  y
Chúng ta có :



xy  x  y



cx 

ng h p trên ta đ









x, y  



xy  2  0





xy  2  x  y  y  xy  x  y





xy  2  y 





x  y 0

x  y

x y
y  xy  2
1



0

0


x
y
xy  x  y
xy  2  y

x
y
xy  2  y
 xy  x  y

2

4
4 
2
 x  1  x  1 
T ph ng trình hai y  xy  x  x 
2  2
x 1
x  1

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com








x  y y  xy  2
















www.MATHVN.com
y  xy  2

Hay nói cách khác : y  xy  2  0 



xy  x  y
Do đó t ph

V y h ph



1





x  y

xy  2  y

ng trình m t x  y  0 suy ra th xu ng ph

ng trình hai ta đ

0

c:

x  y  1
x  y  0



 3
2
1  17


x
y
x  2x  3x  4  0

2

ng trình ban đ u có nghi m k trên 

x 2  2 xy  1  2 y  2  6  2y 2

Bài toán 5 Gi i h ph ng trình 
2
2
 x  y  y  1  5
 L i gi i Đi u ki n : xy  1 ; y  2



C ng chéo theo v c a h ph

 

ng trình ta đ

c:



x  5  2 xy  1  2 y  2  6  2y  x  y
2

2

x, y  



   y  1
2

2

 x 2  5  2 xy  1  2 y  2  7  2y 2  x 2  2y 2  2xy  2y
 xy  1  y  2  y  xy  1 









xy  1  y  2  xy  y  1  0



1
 xy  y  1  0  xy  y  1 
 1  0
 xy  1  y  2

xy  1  y  2


V i xy  y  1 k t h p v i ph ng trình hai ch’ng ta có
xy  y  1











xy  y  1

2
2

 

1
1 
 1  ;  2  1,
 x  y  y  1  5  x , y  2,1 ;  1  2,

2
2 2

 
xy  1 ; y  2




 

V y h ph



   

ng trình ban đ u có nghi m k trên 





2y 2  4xy  3y  4x  1  3 y 2  1 y  2x


Bài toán 6 Gi i h ph ng trình 
 y  1  y  2x  2 y  x  1

 L i gi i Đi u ki n : y  1 ; y  2x
Bình ph
Ph

ng ph

ng trình hai ta đ

ng trình m t đ

c: 2

c vi t l i thành : 2y 2

T hai đi u trên suy ra :







x, y  

y  1y  2x   1  y  1y  2x   14
 3y  1  4x y  1  3 y  1y  1y  2x 

y  2


1
3
 y 1 
y  1  2y  1  3 y  1  
2y  3y  1  2  y 
y  5

2
4 y 1 



4
 41 5   23 
Do đó h ph ng trình đã cho có nghi m x , y   ,  ;  , 2  
 72 4   24 
2









 





 x  3y  1 x  y  2x 2y  1  8

Bài tốn 7 Gi i h ph ng trình 
x  5  2 x  y  9y


 L i gi i. Đi u ki n : x  y ; 2y  1

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  


www.MATHVN.com

a  x  y
2x  2a 2  b 2  1
2




x  y  a
Đ t b  2y  1  

 x  3y  2b 2  a 2  2 khi đó h ph ng trình tr
2
2y  1  b
a, b  0
x  9y  a 2  4b 2  4




2
2
2
2

 a  2b  1 a  b  2a  1 b  8
a  2b  1


 2
 2
2
2
2
2
2
1
2
1
8
a

b
a
b
a
b






2
1
4
a
a
b








x  y  1
x  2
Do đó suy ra 
là nghi m duy nh t c a h ph ng trình 


2y  1  1
y 1




 y 1 x y  x y 1 y  x 2

Bài tốn 8 Gi i h ph ng trình 
x, y 
x y2  8  y x 2  8  8





 











 L i gi i Đi u ki n : x  y  0 và x 

Ph

2

 









ng trình m t c a h ph









ng trình tr thành :



 1 a  a 2  1 b  a 2  b2  2  a  1 b  1 a  b  2  0

ng trình hai c a h ph

ng trình đ

c vi t l i thành :







x y 2  8  8  y x 2  8  x 2 y 2  8  16x y 2  8  64  y 2 x 2  8



 x 2  2x y 2  8  y 2  8  0  x  y 2  8
a
x
b
 V i
x

 V i


x
x
 y2  8




1
y
ta
có
:

 y2  8
x

1

ta có : 

 V i a b  2  0 
K t h p v i đi u ta đ



2

ng trình m t đ

x  y  1
x  4, 5







y  3, 5
y  1  y2  8
 y2  8





y  1

1


x  3


 y2  8
y  1


x  y  y  2  0 ph



   

9 7


2 2

ng trình là x, y  3,1 ;  ,

c nghi m c a h ph



x y  y  0

ng trình vơ nghi m vì



c vi t l i thành : x  y  4  x 2  y 2  2xy  x  y  4  2xy




1

2x 2 y  1  x 2  4y  4

 4x y  1  4y x  1  x 2  y 2  4 x  y  8

2
2y 2 x  1  y  4x  4


T đi u trên và k t h p v i ph

ng trình hai đa đ



c:



 

  4 x  y   8  6 x  y   2xy x  y   16  12 x  y  2
1 và 2  suy ra : x  y  4x  y   12 x  y   16  0  x  y  4  0  x  y  4

xy x  y  8  2 x  y
2

2

2

T

x, y  



Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có :







 0  x  y2  8

 x  y 2  x  y  2xy  4

Bài tốn 9 Gi i h ph ng trình 
2
2
xy x  y  8  x  y  4x y  1  4y x  1
 L i gi i Đi u ki n : x, y  1
Ph

a  1

b 1



8

a  x  y

Đ t
 a 2  b 2  x khi đó ph
b y



b

 

thành :

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com

2x  y  1


D u = x y ra khi và ch khi 2y  x  1  x  y  2 là nghi m duy nh t c a h ph
x  y  4



x  y  2y  1  x  y  5

Gi i h ph

Bài toán

a  x  y


Đ t

b  2y  1



T cách đ t, ta có :

x, y  

ng trình 

y 2  2  xy  y



 L i gi i Đi u ki n : x  y  0

 a 2  b 2  x  y  1 khi đó ph

ng trình 

ng trình m t tr thành : a 2  b 2  a  b  4

a  x  y
x  y  a 2



 a 2b 2  a 2  b 2  x  y  1  x  y 2y  1  2xy  2y  2y 2  1


2
y
b


2
1

b  2y  1









M t khác , t ph ng trình hai 2xy  2y  2y 2  4 nên suy ra a 2b2  a 2  b 2  3 .
Do đó ta có h ph ng trình

a 2  b 2  a  b  4
a b 1
 2
a  b 2  a 2b 2  3




 x y


Gi i h ph

Bài toán

x  2
là nghi m duy nh t c a h ph

y  1

ng trình 



ng trình ban đ u 

y  y x  y  1  x  xy  y 2



x 2y  3x  2  2x 2  3x





x, y  

y 1  0

 L i gi i Đi u ki n : x  y  1

a  x  y

khi đó ph
b  y

Đ t







ab a  b  ab  a  b



ng trình m t tr thành :

2



 





 1  ab a  b  1  a  b  1 a  b  1  ab  a  b  1

V i ab  a  b  1 ta có :

y  1
xy  y 2  1  x  y  y  xy  y 2  1  x  x y  1  y  1 y  1  0  
x  y  1



Đ tt 

y  1  0  y  t 2  1 th xu ng ph

 



ng trình hai ch’ng ta có

x
x t  1  3x  2  2x  3x t  0  t  1 x  3 t  1 x  2  0  
x

2



2







2

TH1. V i y  1 th vào ph













y  1  1  1

y 1 1  2





ng trình  ta có :


     2 y 1  0  y 1  0  y  1
y  1  y  1  1  1   y  1    y  1   2 y  1  1  0 vơ nghi m vì VT  0
y  1 

y 1 1  2 

y 1

3

3



2

ng trình  ta có : x  1 ho c x  2

TH2. V i x  y  1 th vào ph




2



V y h ph



y 1

2

2

     

ng trình đã cho có nghi m x, y  1,1 ; 2,1 

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com





y 3  2 y  1 x  y  2y  1

Bài tốn

Gi i h ph ng trình  3
y  y 2  y  2  2y 2  y x  y  y 2x


 L i gi i Đi u ki n : x  y Khi đó ph ng trình hai có d ng :



X lý ph

y y x y

2



c:

y  1
x y  0   2
y  y  1  2 x  y
ng trình hai suy ra x  0

 



y 1  2 y 1

V i y  1 th xu ng ph



x, y  



y  y x  y  1
y y x y 2  0  
y  y x  y  2


2

ng trình m t ch’ng ta đ

y  1 y



V i y 2  y  1  2 x  y ta có :



1.

H ph

2.

H ph

y 2  y  1  2 x  y
y 2  y  1  2 x  y

ng trình 

y  2 y2  y  1  0
2y  2y x  y  2



y 2  y  1  2 x  y
y 2  y  1  2 x  y


ng trình 
 3
y  y 2  3y  4  0
2y  2y x  y  4









K t h p v i đi u ki n, nghi m c a h ph





ng trình ban đ u th a mãn đi u trên 







 x 1 x y  x y 1 x  9

Bài tốn
Gi i h ph ng trình 
x 2  2x  4 x 2  xy  xy  y  17


 L i gi i Đi u ki n : x  y và x  0
a  x  y


Đ t

b  x

M t khác ph

khi đó ph

ng trình hai đ



x, y  

 



ng trình m t tr thành : a b 2  1  b a 2  1  9
c bi u di n d

i d ng :


  a  b  21


ab a  b   a  b  9

Khi đó h ph ng trình đã cho t ng đ ng 
ab  2   a  b   21  2ab


t u  1  9
ut  t  9
t  a  b




u  2


Đ t
do đó ta có : 
u  2   t  21  2u
t  3
u  ab

u  2   t  21  2u



x 2  xy  2

2

 2x  y  21  ab  2

2

2

V y nên

x  y , x là nghi m c a ph

2

ng trình

X  1

X 2  3X  2  0  
X  2

D a vào đi u ki n k t lu n h ph

2

2

2

2

2

2



x  1
x  4
or 

y  3

y  3



  

x 3  3y 3  3x 2y  xy 2  x  3y

Bài tốn
Gi i h ph ng trình 
2x  1
3
2
3
3x  36y  1  x 3 27y 
x

 L i gi i Đi u ki n : x, y 
Chúng ta có :

  

ng trình ban đ u có nghi m x, y  1, 3 ; 4, 3 

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  

www.MATHVN.com







x 3  3y 3  3x 2y  xy 2  x  3y  x  3y x 2  y 2  x  3y  0







 x  3y x  y  1  0  x  3y  x  9y  x 3  27y 3
Th vào ph

2

2

ng trình hai ta đ

2

2

c:



3x 3  4x 2  1  3 x 6  2x 3  x 2  3x 3  3x 2  x  1  3 x 6  2x 3  x 2  x 2  x







 x  1 3x 2  1 









3

Do đó h ph

 
2

x 6  2x 3  x 2

 x  1 3x 2  1  0
2

 3 x 6  2x 3  x 2 










 x  1 3x  1 x

 

x 6  2x 3  x 2

3

 x

ng trình có nghi m là : x, y   1,





2

x 6  2x 3  x 2

 x

 



 x  x2  x

2

 



 x2  0

 ptvn 

2

 x  x2  x







x 4 2x 2  y 2  y 3 16  2x 2

Bài tốn
Gi i h ph ng trình 
2 x  y  x  1  2 x  y  11


 L i gi i Đi u ki n : x  0 ; x  y  11  0



Ph

ng trình m t đã cho tr thành :





2
2

1   1
1 
1   1
,
,
 ; 


;
3   3 3 3 
3 3 3



 

3

2







x, y  







2x 6  x 4y 2  16y 3  2x 2y 3  2 x 6  8y 3  x 2y 2 x 2  2y  0





 2 x  2y x  2x y  4y
2

V i x 2  2y th xu ng ph

4

2

2

  x y x
2 2

2



 2y  0  x 2  2y

ng trình hai ch’ng ta có

x 2  2x  1  x  x 2  2x  22

x  0

 x 2  2x  3  x  1  x 2  2x  22  5







 x 1 x  3 

x 1
x 1



x  1x  3

x  2x  22  5
2

0

M t khác :

x 3

x 3

1





 x 3

x 2  2x  22  4



x 1
x 2  2x  22  5
x 2  2x  22  5
1
Do đó x  1  y  là nghi m duy nh t c a h ph ng trình 
2
2

 y  1 2x  y  x  x  xy  0
Bài toán 16. Gi i h ph ng trình  2
x  y 2  2xy  3x  2  0


 L i gi i Đi u ki n : 2x  y



Xét ph

ng trình m t , ta có :

y  1 2x  y  x
 y  1  x  1 

M t khác , t ph

2







 x  xy  0  y  1

 





2

x 1

 0 x  0

x, y  





2x  y  y  1 x  1  x 2  y  1

2x  y  x  1  2x  y

ng trình hai 3x  2  x  y



1



x  1 

2x  y



 0  x  0 hay x  1  2x  y  0 suy ra


x  y
y  1  x  1  2x  y  x  y  2x  y   2
x  y 2  2xy  2x  y



www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com
2
 2

K t h p v i ph

x  y  2xy  2x  y
x  2
 2
c : x  y 2  2xy  3x  2  0  
y 0
x  y ; 2x  y



ng trình hai ta đ

   

V y x, y  2, 0 là nghi m duy nh t c a h ph

Bài toán 17. Gi i h ph





ng trình

ng trình ban đ u 



 y 1
x2  1  y  1  2

 2
2
2

 x  4y x  1  6  5 x  1  1 







x

2



x, y  



 1 y  1 


 L i gi i Đi u ki n : x 2  1 ; y  1
2

a  x  1  0

x 2  a 2  1

h ph ng trình đã cho tr thành :

2


y
b
1



b
y
1
0





2
2
3
2
3

 a b b  2
ab  b  2
ab  b  2
 3
 3
 2
a  4ab 2  6  5a 2b
a  4ab 2  3ab 2  3b 3  5a 2b
a  4b 2  5 a  6  5a 1  ab






2

ab 2  b 3  2

 a  b a  3b  0
a  3b
a  3
 3

 2




2
3
2
2
3
ab  b  2
ab  b 3  2
b  1

a  7ab  5a b  3b  0





2
 x2  1  3

a  3

x  10
khi đó ta có 
V i

 x, y  10, 2 ;  10, 2 

b
1

2

y
1
1


y





Đ t





















 







 





x, y  

x x  y  x  y  2y 2y 3  1

Bài tốn 18. Gi i h ph ng trình 
8x 2  8y  2 x 3  y 3  3  8y 2x 2  3x  1

 L i gi i Đi u ki n : x  y  0 ; y  0

T ph

ng trình m t chúng ta có :







 





x x  y  x  y  2y 2  2y  x 2  xy  2y 2 



x  y  2y  0

x  y

 x  y x  2y 
0
1
0 
x  2y 
x  y  2y




x
y
y
2

1
M t khác v i đi u ki n : x  y  0 ; y  0 thì x  y  y 
 0 nên  vô nghi m
x  y  2y
V i x  y  0 thì ph ng trình hai tr thành :







x y







8x 2  8x  3  8x 2x 2  3x  1  4 x  2x 2  3x  1





 2x  1



2


1
3  13
x 
4

x  1 7  1

4
 3  13 3  13   7  1 7  1 
;
;
;

ng trình ban đ u có nghi m : x , y  

  4

4
4

4

 

2 2x 2  3x  1  1


2 2x 2  3x  1  4x  1


V y h ph






2



 

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com



2
 x y  x 1  x 1 x y
ng trình 
2
x  2 x  1  y  y x  1  0

Bài toán 19. Gi i h ph





 L i gi i Đi u ki n : x  1 ; x  y  x  1  0
Đ tt 

x  1  0  x  t 2  1 khi đó ph

x, y  

ng trình m t tr thành :





t2  t  y  1  t2  t  1  y2  t2  t  y  1  t  1  t2  y2







2

t t y 1 t 1
2

T ph





t t y 1 t 1

ng trình hai chúng ta có :



 
2

x  1  1  y2  y



c: 1 y t

Do đó suy ra đ

ta có : y  t  y 

y t



 y t y t  0 

2





t t y 1 t 1
2







 y t y t  0

x  1  0  y  y 2  0  y  0;1  y  t  0



t 2  t  y  1  t  1  0 hay nói cách khác t ph

x  1 th xu ng ph

ng trình hai thì

ng trình m t

y  x  1  0
y  x  1  0
 5  5 5 1

,
 3
 x, y  1, 0 ; 


2
2
 2

2
y  2y  1  0
 y  1  y  y y  0







Do v y h ph

 



   

ng trình có nghi m k trên 





y 3  y  4  3x  x  2 x  2

Bài toán 20. Gi i h ph ng trình 
x  y  5 x  y  2y  4  0


 L i gi i Đi u ki n : x  y ; x  2





x, y  

a  x  y

 a  b 2  2y khi đó ph ng trình hai tr thành :
b  x  y  0
a  5 b  a  b 2  4  0  a b  1  b 2  5b  4

Đ t







 









 a b 1  b 1 b  4  a b  4  x y  4  x y
M t khác xét ph

ng trình m t chúng ta có :



y3  y  x  2  4


y  

 y3  y 
 y3
Do đó h ph







x 2 3 x 2 2

  3 x  2  4 x  2  2
x  2  1   x  2  1  y  x  2  1
x 2

3

2

3

ng trình ban đ u tr thành :

2
2




x  y  4  x  y
x  2  y  2  x  2  y  2
 y 1 y  2  y 1 y 2



y  1  x  2
 x  2  y  1  0
 x 2  y 1  0

2
 2
2
y 2  y  1  y 2  3y  3
x  3

 y  y  1  y  3y  3
y  2




x 2  y 1  0
y  2
 x  2  y  1  0
 x  2  y  1  0




K t h p v i đi u ki n , h ph

Bài tốn 21. Gi i h ph









   

ng trình có nghi m duy nh t x, y  3, 2 


x y  1  x x  y  2
4x 2  9y 2  16  9xy  7x  9y



ng trình 

 L i gi i Đi u ki n : x  y  1www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  




www.MATHVN.com

a  x  y

Đ t
 a 2  b 2  1  x khi đó ch’ng ta có pt 1  a  b a 2  b 2  1  2
b  y 1


V i đi u ta đã đ t thì a 2b 2  xy  y  y 2  x m t khác t ph ng trình hai ta có













4x 2  16x  16  9 xy  y  y 2  x  4 x  2



2



 9a 2b 2

2a 2  2b 2  2  3ab
2x  4  3ab

 2
2
2a  2b  2  3ab  0
2x  4  3ab  0
Nh v y h ph

ng trình đã cho tr thành :













2
2
2
2


 a b a b 1  2
 a b a b 1  2
or
 2
 2
2a  2b 2  2  3ab
2a  2b 2  2  3ab  0




Gi i hai h trên b ng ph ng pháp n ph cho ta nghi m c a h ban đ u là : x, y  2, 2 ; 2,1 

     

 y 2  8x  9  3 xy  12  6x  1

ng trình 
2
 2 x  y  10x  6y  12  y  x  2


Bài toán 22. Gi i h ph





2
 L i gi i Đi u ki n : x  2 ; y  0 ; y  8x  9

X lý ph



2 x y

ng trình hai ta có



2



 10x  6y  12  y  x  2  2 x  y



 2 x 2y



 x 2y



2





2

2



x 2

2

2

2



y

x 2  y

2

V i y  x  2 th nên ph

ng trình m t ta đ



 10x  6y  12 

   

  x 2  y  0  x 2y  x 2 

2

x, y  

2



 2 x 2 y

x 2  y



2







2

x 2  y



2

0

y  0  y  x 2  0

c:

x 2  4x  13  3 x 2  4x  12  1  x  2  y  4

S dĩ ph

ng trình cu i d‘ng ph

ng pháp đ t n ph ta s gi i quy t d dàng Do đó h ph

   

trình ban đ u có nghi m duy nh t x, y  2, 4 


x y  1  y x  1  1
x 2y 2  16x  16y  12  20xy



Bài toán 23. Gi i h ph

a  x  1  0
x  a 2  1


khi đó ph
Đ t

y  b2  1
b  y 1  0





a

Xét ph

2

 





ng trình m t tr thành :









 1 b  b 2  1 a  1  ab a  b  a  b  1  a  b ab  1  1

ng trình hai



x y  16x  16y  12  20xy  xy  2
2 2

x, y  

ng trình 

 L i gi i Đi u ki n : x, y  1

ng









2







 16 x  y  1  16xy  xy  2







2





 16 xy  x  y  1

M t khác : a 2b 2  x  1 y  1  16 xy  x  y  1  16a 2b 2 nên ta có :

xy  2

2

Cu i c‘ng ta đ
V y h ph

c h ph







 16a 2b 2  xy  2  4ab  a 2  1 b 2  1  2  4ab

a 2b 2  a 2  b 2  4ab  1

ng trình 
 a  b ab  1  1





ng trình có hai nghi m k trên 



a  0, b  1


a  1, b  0

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

   
   

 x, y  1, 2

x, y  2,1



Bài tốn 24. Gi i h ph

www.MATHVN.com

ng trình







 2x  y 4x  2y  1  x 2y 2  xy  x 3  y 3  7x 2

 2
x  y 2  x 2  y 2  xy 2  yx 2





x, y  



 L i gi i Đi u ki n : x 2  y 2 ; xy y  x  0
T ph

ng trình m t ta có :





2 4x 2  y 2  2x  y  x 2y 2  xy  x 3  y 3  7x 2
 x  2y  2x  y  x 2y 2  xy  x 3  y 3  0

2

2



  
 x  2y  2x  y   x  y y  x   0
  x  y    x  y y  x   2 y  x   0

 x 2  2y 2  2x  y  x 2 y 2  x  y y 2  x  0
2

2

2

2





2

2

2

x 2  y  y2  x



2



x 2  y  2 y2  x  0

x  y  0
 x 2  y  y2  x  0  x 2  y  y2  x  
x  y  1
TH1. V i x  y  0 th xu ng ph ng trình hai ta có

x  0
 x, y  0, 0 ; 1, 1
2x 2  2x 3  x x  1  0  
x

1




TH2. V i y  x  1 th xu ng ph



    

ng trình hai ta có



2x  1  2x 2  2x  1  x 2  x  ptvn

Ph
ph

ng trình trên d dàng ch ng minh vô nghi m b ng ph
ng trình đã cho có hai nghi m k trên 



 x  7y

ng trình 
2 1  y

Bài toán 25 Gi i h ph

 L i gi i Đi u ki n : x 
Ph



y x y
Đ ta 





y  7x



x x y

x y
;b 
y



x  y  7x





y  8 2xy x  y







x 2  2x  1  2x  1  y 2



8 2

x, y  

x y
y
x y
x
6

6
8 2
y
x y
x
x y

x y
 a 2  b 2  1 do đó ta có
x

2
2


1
a  b  1

a  b  2
 2
a b 


2
ab a  b  6 a  b  8 2ab
a b  1
2




V i x  y và 0  x  1 th xu ng ph ng trình hai ta đ c :



ng hai l n do đó h

2 1 ; y  0

ng trình m t đã cho tr thành :

x  7y






ng pháp bình ph



x y

y

x y
x y
x

x 2  2x  1
2  2x
2
2




x
x
x
x
x 2  2x  5
2
1
2
5
 x 2  2x  1  2 

2 

2  2x
2  2x
x 2  2x  1  2
2
2
 x  2x  5 2x  x  2x  1  0  x  y  6  1



2 1x



V y nên h ph



x 2  2x  1  x 2  2x  1  x 2  2x  1 





 

ng trình có nghi m duy nh t x, y 





6  1, 6  1 

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com


www.MATHVN.com







 x  x 2  x  1 y  y2  y  1  1

Bài toán 26 Gi i h ph ng trình 
2
2
x  y  3
 L i gi i Đi u ki n : x, y 
Tr c h t x  1 nh n xét không là nghi m c a h ph ng trình do đó ta có

x 











x, y  

x 2  x  1 y  y2  y  1  1  x  1 y  y2  y  1  x 2  x  1  x
 x 
x2  x  1

x 1
 x  1

c : y  y2  y  1   

ng trình cho x  1 ta đ

Chia c hai v c a ph

Rõ ràng đ n đây s x y ra hai tình hu ng :

 

2

 x 

 x   x 
a) N u x  1  0 chúng ta có :   y  y  y  1   
 
 
1
 x  1
 x  1  x  1



2





x  1 y  x  0 k t h

p v i ph

ng trình hai thì











x  1  0
1
1
x  1  5  y  1  5

2
2
 x 1 y x  0  
1
x  1  5  y  1 1  5
x 2  y 2  3


2
2




x  1

ng trình m t chúng ta có : 





y x  1  x

1
 1
1
nghi m x, y   1  5 ; 1  5  ;  1  5
2
2
 2

 

 



Bài toán 27 Gi i h ph





1

y 1









 

ng trình đ

do đó h ph



x 1 1 

1

x 1 1







x x 1 2  x 2





 x2  x  2  x  2

 

x, y  



x 1 1  y  x 1





x 2  4x  1

x 2  4x  1

x  3  2


2
2
2
2
 x  x  2  x  2 x  4x  1
x  3  2
 3
x 0
2
6x  16x  16x  0



ng trình ban đ u có hai

1
là hàm s đ ng bi n trên t p xác đ nh c a nó.
t

ng trình m t chúng ta có :





 f y 1  f



x  1 th vào ph



c vi t l i thành :

S dĩ có đi u trên là ta đã đi xét hàm s f t  t 

V iy 

0

xy 2  2  2y 2  x x 2  4y 2  3

ng trình 
y  x y  1  y2  2 x  1  1



ng trình hai c a h ph

y 1



 ; 21 1  5   



 L i gi i Đi u ki n : x 2  4y 2  3 ; x  1  0
Ph






c x 1 y  x

ng h p x  1  0 ta cũng s kh ng đ nh đ

b) V i tr

Tóm l i t ph



 x 
 suy ra
 x  1

và f y  f 

Đ n đây xét hàm s f t  t  t 2  t  1 là hàm s đ n đi u trên



www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com




Do đó h ph

www.MATHVN.com

   

ng trình ban đ u có nghi m duy nh t x, y  0,1 

Bài toán 28 Gi i h ph

 2
4x 2  1
2
2
2x  3  4x  2x y 3  2y 
x
ng trình 
3 3
2
 2  3  2y  x  2x  x  2

2x  1



 L i gi i Đi u ki n : x  0 ; x 
V i đi u ki n x  0 thì ph



x, y  

1 1
3
; y 
2 2
2

ng trình m t tr thành :

4x 2  1
2x  3  4x  2x y 3  2y 
x
3
4 1
 2  2  4  2y 3  2y   3
x x
x
3 3
1
1
 1   2  3  1   1  3  2y 3  2y
x x
x
x
3
3

1 
1
  1     1    3  2y  3  2y 
x 
x




2

2

2













Đ t a  1

1
; b  3  2y ph
x





ng trình  đ



c vi t l i thành :





1
a 3  a  b 3  b  a  b a 2  ab  b 2  1   0  a  b  1  


x
2
 a  21 b   43 b2  1  0 

 

1
V i 2  3  2y  1  th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có
x



x 1

x



3  2y

x 3  2x 2  x  2
1
 2x  1 1   3 x 3  2x 2  x  2
x
2x  1
3
3


1
1
2 3
2
1
1 3
2
2
 2   1   1   1    1    1    1    3 1 

x
x
x
x
x 
x 
x 
x



L p lu n t

3







ng t nh trên ho c xét hàm s f t  t 3  t trên
3

d dàng cho ta :

2



1
2
1
2
5 1
3 5
y 
1   3 1   1    1    x 
x
x
x

x
2
4


 5 1 3  5 
,
 là nghi m duy nh t c a h ph ng trình 
K t h p v i đi u ki n suy ra x , y  
 2

4


 x  1 1  2y  xy  2 xy  y x  1


Bài toán 29 Gi i h ph ng trình 
x, y 
1 4  2x
 2 2
x  
y

x 1


 



 L i gi i Đi u ki n : x  1 ; y  0
Ph

ng trình m t chia c hai v cho y x  1 ta đ











c:

x
x 1



1
2 
y

L y pt 2  pt 3 chúng ta có :

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

2x
x 1



 2



 3


www.MATHVN.com

x
1 4  2x
1
2x
x 

 2  2 2 
 2
y
x 1
x 1 y
x 1
x
1

4
2x
1
2x
x 


  4
y
x 1
x 1
x 1 y
x 1
4
x
x 4
x

 4  x 4 
0x 4
x 1
x 1
x 1



T đó d dàng tìm đ

c nghi m c a h ph



ng trình ban đ u 

 x  4  y  x2  y  1

Bài tốn 30 Gi i h ph ng trình 
2
 2 x  y  6x  2y  4  y  x  1

 L i gi i Đi u ki n : x  0 ; 4  y  0



Ta s đi x lý ph

x, y  



ng trình hai nh sau



2 x y



2

 6x  2y  4  y  x  1



 2x 2  4xy  2y 2  6x  2y  4  y  x  1  2 y x  1











 2  x  1  2y x  1  y 2   x  1  y  2 y x  1


2





2

 2 x 1y
V i y  x  1  0 thay vào ph







x 1  y

ng trình m t ta đ



2





 0  y  x 1  0

c:

x  3  x  x2  x  2

 



 x  1  x  x  2  3  x  x 2  3x  1  0


x  3x  1
2

x 1 x



x  3x  1
2

 x 2  3x  1  0

x 2 3x


1
1
 x 2  3x  1  1 

0
x 1 x x 2  3 x 

1
 x 2  3x  1  0  x 
3 5
2
3 5 5 5 3 5 5 5
,
,

;

ng trình có nghi m x , y  
 2
  2

2
2

 










T đó suy ra h ph

 

n II. Các bài toán s d ng ph

ng pháp đánh giá.






 3  2x 2y  x 4y 2  x 4 1  2x 2  y 4

Bài toán 31 Gi i h ph ng trình : 
2
1  1  x  y  x 3 x 3  x  2y 2

 L i gi i Đi u ki n : x, y 



Vi t h ph
L y ph





2

2
6
4
4
 4  x y  1  2x  x  y
ng trình đã cho l i thành : 
2
1  1  x  y  x 3 x 3  x  2y 2









ng trình hai tr cho ph



4   x y  1

4  x 2y  1



2

ng trình m t ta đ

2

x, y  



1 1 x y







c:





2

 x 3  y2



2

0

x  y
 2
x y 1
x y 1


www.DeThiThuDaiHoc.com
2



 1 1 x y



2

ThuVienDeThi.com


Th l i , suy ra x  y  1 là nghi m www.MATHVN.com
duy nh t c a h ph ng trình 









y 2  4x  1 2  3 4x 8x  1

Bài toán 32 Gi i h ph ng trình 
40x 2  x  y 14x  1


 L i gi i Đi u ki n : 14x  1 ; y 

Chúng ta có :

3











2

4x 8x  1  2y 14x  1  y 2  4x  1  2 40x 2  x

M t khác theo b t đ ng th c AM GM ta đ
3

x, y  





c:

4x 8x  1  2y 14x  1 



 8x  1 .1  2y

14x  1
2

1
8x  1
  8x 
 1   y 2  14x  1
3
2

2
3
 y 2  4x  1  2 40x 2  x  8x  1
2
2
2
2
 y  4x  1  2 40x  x
3

8x .

















2

1
3
đây cũng là nghi m duy nh t c a h ban đ u 
;y 
8
2

1
1
2



2


1  2xy
1  2y 2
ng trình  1  2x
x, y 
 x 1  2x  y 1  2y  2

9

Do đó d u = x y ra khi và ch khi x 
Bài toán 33 Gi i h ph



 L i gi i Đi u ki n : 0  x , y 
Tr









1





1
2

c h t ta đi ch ng minh b t đ ng th c :

1
1  2x 2

1  2y 2



2

2xy  1

1  2xy

Th t v y , theo b t đ ng th c Bunhiacopxki chúng ta có :


1
1


 1  2x 2
1  2y 2


2


 1
1 
4
  2


2
2 

1  2y  1  2xy
 1  2x

2
2 x  y 2xy  1
1
1
2



0
0
1  2x 2 1  2y 2 1  2xy
1  2x 2 1  2y 2 1  2xy



D u

hai :



đ tđ













c khi và ch khi x  y v y thì nhi m v cịn l i khơng h khó khăn v i ph

ng trình

 9  73 9  73   9  73 9  73 
2
9  73
,
,
x 
 x, y  
;


 36
  36

9
36
36
36

 

ng trình đã cho có hai nghi m k trên 





 

x 1  2x  x 1  2x 
Do đó h ph



Bài toán 34. Gi i h ph

x 2  2x  2  y 2  4y  2

ng trình 
6x  y  11  10  4x  2x 2  0




 L i gi i Đi u ki n : y 2  4y  2  0 ; 2x 2  4x  10  0
Áp d ng b t đ ng th c AM GM chúng ta có :

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  


www.MATHVN.com



y  6x  11  10  4x  2x 
Rút g n ta đ

  14  4x  2x

4 10  4x  2x 2

2

2

2
4
c : 4 y  6x  11  14  4x  2x  x  10x  2y  15  0



Ti p t c cho ph



2

ng trình m t chúng ta có :

x 2  2x  2 

y 2  4y  2 

C ng v v i v c a hai ph

2

y 2  4y  2
 2x 2  4x  y 2  4y  3  0
2

ng trình trên ta có



 
2

3x 2  6x  y 2  6y  12  0  3 x  1  y  3

K t h p v i đi u ki n suy ra h ph



2

x  1

0
y  3



ng trình có nghi m duy nh t k trên 

x 2  xy  3y 2  y xy

2

Bài toán 35 Gi i h ph ng trình 
2x
y2

1

1 y
1  2  x
 L i gi i Đi u ki n : 2  x  0 ; y  0



Nh n xét y  0 khơng là nghi m c a h ph

ng trình nên chúng ta có :

2

x  x
x
pt 1     
3
y
y  y



x, y  



x
1x y
y

2  x 


2

V i x  y th vào ph

ng trình hai ta đ

Theo b t đ ng th c AM GM :

2x 

c:

x2
1 2x



1 2x
2

1 x

 vì v y ta đ

1

c:








2

25 x  1
2x 2
1 9
1 9
g x 

  x 1 
  x 1
5x 2 8
2 8
8 5x
1 2x
1 9
1 9
 g x g 2 x   x 1   2 x 1  1
2 8
2 8
D u = x y ra khi x  1 suy ra x  y  1 là nghi m duy nh t c a h ph ng trình 
x2

 

 

















Bài toán 36 Gi i h ph






2 y 2  24
0
x  4 x  1  y 
ng trình 
2y 2  1
 5x  y  5  1  x  y  6




x, y  

 L i gi i Đi u ki n : x  1 ; 5x  y  5  0 ; 2y 2  1 ; 1  x  y
Đ tt 

x  1  0 tr

t  2 

2

c h t ta có đánh giá sau

 0  t 2  4t  4  t 2  4t 

 2y 2  1 
 2
  2y  1

2
 2y  1 
  2y 2  1
 




Ta vi t ph

49
49
 y  4  2
y4
2
2y  1
2y  1

0

 y  4   49 
0

2y

2





 1 y  4  49  y  5

 y  4   49
5t  y  y  t  6 , theo b t đ
www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

ng trình hai l i thành :

2

2

ng th c Bunhiacopxki ta có :




www.MATHVN.com
2






1
1
  5t 2  y 
5t  y  y  t
5y  5t 2    1   .6y  36  5t 2  y  y  t 2  6
5
5



2

2



 5t  y  5 y  t
t  2
x  5
là nghi m duy nh t
D u đ t đ c khi và ch khi : 


y 5
y 5
y 5






c a h ph ng trình ban đ u 
 
4 
 5 x2 
 x 3
x, y  
Bài toán 37 Gi i h ph ng trình  
x y
4y 2  3x  8  5xy  5y


 L i gi i Đi u ki n : x, y  0
S d ng các đánh giá cho ph ng trình m t thì :

4 
4  
2 
4
8
2
2  2
  2x 
 2x 
5 x2 
  2  1 x 
   2x 

x y
x y 
x y 4
x y 


4 x y
2

2

2


















4 
8
 5 x2 
 x  3 x  y  4  2x x  y  4  8
  x  3  2x 
x y
x y 4

 x 2  xy  4x  3x  3y  12  2x 2  2xy  8x  8  0  x 2  xy  x  3y  4  0



Ph









* 
* * 

ng trình hai đ thu n ti n đánh giá thì đ a thành 5xy  5y  4y 2  3x  8  0

  

L y * *  * suy ra :



x 2  xy  x  3y  4  5xy  5y  4y 2  3x  8  0  x  2y  2



2

 0  x  2y  2

V i đi u ki n đ b t đ ng th c x y ra thì x  y  2 là nghi m duy nh t c a h ph

2


7
1
2
2
 x 1 2 x y   4
2 x  y4
Bài toán 38 Gi i h ph ng trình 
x  x 2  3y 2  3

 L i gi i Đi u ki n : x, y 









Áp d ng đánh giá c a b t đ ng th c AM GM ta có : x 4  y 4
Do đó t ph

2

x

2

 y2

Bình ph



2

ng trình m t ta có :







x




7 7
1
7
  4
 2 x 2  y2  2  x 2  y2
4
2 2 x y
2

ng ph

 y2

2





2

x, y  

2

2



ng trình 



1
2

4
x y
x 2  y2



4

 2 x 2  y2



3



2

 x 2  y2  2



x  3
x  3
 2
2
2
2
x  3y  x  6x  9

y  3  2x



ng trình hai x  x 2  3y 2  3  





K t h p v i đánh giá x 2  y 2  2  x 2  2x  3  2  x  1

2

0x 1

Đ i chi u v i t t c đi u ki n đ d u = x y ra suy ra x  y  1 là nghi m duy nh t c a h ban đ u 









 x  1 2  y 2  3 x 2x  1

Bài toán 39 Gi i h ph ng trình 
1
3x 2  x   y x 2  x

2
 L i gi i Đi u ki n : x, y  0

H ph

ng trình đã cho t

ng đ

ng v i :

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

x, y  



 x  1 2  y 2  3www.MATHVN.com
 x  1 2  y 2  3 x 2x  1
x 2x  1



 2
2
1
5x 2  x  1  2y x 2  x
3x  x   y x 2  x



2




















Áp d ng b t đ ng th c AM GM chúng ta có :

2x  1  4x  2
2x  1
 2x  1  x 2  2x  1  y 2 
3
2
 2x 2  4x  2  2y 2  2x  1  2x 2  6x  1  2y 2  0
3

Và t ph





2.4x . 2x  1 

ng trình hai ta có đi u sau :





5x 2  x  1



2

 2y x 2  x  y 2  x 2  x  5x 2  3x  1  y 2  0







Do v y 2. 5x 2  3x  1  y 2  2x 2  6x  1  2y 2  0  2x  1
nghi m duy nh t c a h ph ng trình 

Bài tốn 40 Gi i h ph ng trình

 2x 2  4y 2

4

 xy
2

x  1  xy

















ng đ

ng v i :

2x  xy  4y  4
2

2



 

2x  3y  x x  y  y



 4xy  4y 2  2x 2  3xy  4

Ph

ng trình hai đ





x, y  

 3x  2y  5  2x x y  3  x  y  3

ng trình m t c a h đã cho t



1
3
y 
. là
2
2

0x 

2 3
   x y 1
y x 

 L i gi i Đi u ki n : x  0 ; y  3  0
Ph

2

4xy  4y 2  2x 2  3xy



2

2x

2



 3xy xy  y 2



0

c vi t l i thành :



x  x y3



2





2 x y 3  x  y 3  2 x y 3









 x y 32 x x y 3  2 x y 3 

   



x  y3

K t h p hai đi u trên suy ra x, y  4,1 là nghi m duy nh t c a h ph

n III. Phân tích ý

i A.2014. Gi i h ph

ng hai bài tốn kh i A và B năm





x 12  y  y 12  x 2  12


ng trình 

x 3  8x  1  2 y  1





2

0

ng trình 

x, y  

 L i gi i. Nói chung trên m ng xu t hi n khá nhi u l i gi i cho bài này nh ng bài vi t này là c a
riêng tôi nên tôi s đem nh ng gì mà mình đã ph i đ i m t v i câu h này trong phòng thi. Và hi v ng
nó có ích cho các b n khi đ c bài bi t này Tr c h t , khi nhìn câu h này tơi ph i m t t i 1,2 phút
đ nh h ng c n ph i làm gì. Các b n cũng v y hãy dành vài ph’t đ nháp nó. Vi c quan tr ng đ u
tiên là tìm đi u ki n c a bài toán : x 2  12  2 3  x  2 3 ; y  1 m t công vi c nh nhàng

cho ta
đi m đ u tiên. Ti p theo ta nên làm gì đó là quan sát t ng ph ng trình và rõ ràng
ph ng trình hai khơng h có m i liên h gì nên tơi tìm h ng ph ng trình m t Đây là m t
ph ng trình đ i x ng là vì con s
đ ng th i cũng nh hai bi n x, y đ u có s xu t hi n x , x 2 và

y , y nên n u đ t z  y thì ph

ng trình m t tr thành : x 12  z 2  z 12  x 2  12

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

Đ n đây thì tơi nghĩ ngay đ n ý t ngwww.MATHVN.com
c a b t đ ng th c AM GM mà khơng quan tâm đi u gì khác
đ c bi t là đi u ki n đ dùng b t đ ng th c đó


x 2  12  z 2
2
12
x
z



x 2  12  z 2 z 2  12  x 2

2
2
2
12
12
x
z
z
x







 12

2
2
12
z
x


2
2
2
z 12  x 

2

D u = s x y ra khi và ch khi : x 2  z 2  12  y  12  x 2 th xu ng ph ng trình hai ta có

x 3  8x  1  2 10  x 2

Đ n đây l i khai thác m t trong nh ng k năng gi i h ph ng trình đó là nh m nghi m. Rõ ràng
đi u tôi nghĩ đ n luôn là căn ph i là m t s chính ph ng đó cũng là kinh nghi m đi thi Ta c n x lý
sao cho 10  x 2 là m t s chính ph ng V y thì có th x y ra hai tr ng h p sau : x 2  1 ; x 2  9
và th l i giá tr c a bi n s th y x  3 th a mãn nên tôi s nghĩ đ n vi c liên h p nh sau

x 3  8x  1  2 10  x 2  x 3  8x  3  2











 x  3 x 2  3x  1 





2 x 3 x 3

 10  x  1
2

0

10  x 2  1

2x  6 
 x  3  x 2  3x  1 
  0

2
10  x  1 


ng trình cịn l i s vơ nghi m là vì : x 2  3x  1  0 nh ng đ suy ra nó vơ nghi m chí

Nên cái ph

ít tơi c n đi u ki n x  3  0 nh ng b c đ u tiên tơi làm ch có : x  2 3  0 nên bài làm c a tơi
đ n đây đã có v n đ . V n đ
ch đi u ki n ch t c a x tôi ki m tra l i và d u h i đ c đ t ra cho
tôi là : Ch a có x  0 thì làm sao mà có th áp d ng b t đ ng th c AM GM và n u ch ng minh
đ c x  0 thì tơi đã g n nh hồn thành bài toán Th t v y :









y  12  y 12  x 2  12  x 12  y  12  y 12  x 2  0  x  0

V y là m i chuy n coi nh đã xong Trình bày vào gi y thi c n th n Tơi đ
tốn này 







c đi m tr n v n cho bài



 L i gi i Tr

 1y x y x  2  x y 1 y

x, y 
2y 2  3x  6y  1  2 x  2y  4x  5y  3


c h t , ta nên tìm đi u ki n c a bài tốn đó là x  y  0 ; x  2y ; 4x  5y  3 .

đó Đ ý

ng trình m t xu t hi n hai căn th c

i B.2014 . Gi i h ph

ng trình 





Ti p t c ta s đi phân tích bài tốn Quan sát t ng ph ng trình m t và nh n th y s đ c bi t
ph ng trình hai Nó khơng q r c r i nh
ph ng trình hai nên tơi hi v ng s tìm ra đ c đi u gì
ph

x y ;

y nên ý t

ng c a tôi s là đ a

a  x  y


nh ng cái ph c t p v đ n gi n qua phép n ph phá căn th c Đ t 

và m t đi m đáng

b  y
chú ý đây là h ng t x đ ng m t mình nên tơi s đ a m i liên h gi a a, b v x thì th t tình c ta
có đ

c : a 2  b 2  x do đó ph

ng trình m t đ

1  b  a  a
2

2

c vi t l i thành :





 b  2  a2  1 b
2

Oh, m t ph ng trình hai n a, b có s đ i x ng rõ ràng nên ta s ti p t c đi tìm nhân t hay chính là
khám phá m i quan h gi a a, b Đ làm công vi c này tôi nghĩ r ng ki u gì nó cũng có d ng :
b  ma  n nên v i m i a  b do đó s đi tìm đ c m, n Đ u tiên đ n gi n ch n a  1 hay b  1
thì th t tình c
đây tơi l i đ c đi u luôn đ’ng Ak ra ph ng trình kia s đ c vi t d i d ng :

a  1b  1 f a, b   0 nh

 

ng tôi ch a bi t f a, b nh th nào c Và cũng d a ph

www.DeThiThuDaiHoc.com
ThuVienDeThi.com

ng trình đó