Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp

TICH PHAN
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHAN
1. Tính tích phân băng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phương pháp tích phân từng phân.

Định lí. Nêu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a:b] thi:
b

|

[ucon

b

(x)dx = (u(x)v(x))
b

b

hay [uav =W|
a

a

b

|

— [seo

(x)dx

b

— | sản

a

a

Áp dụng cơng thức trên ta có qui tắc cơng thức tích phân từng phân sau:

e Bước l: Viết f(x)dx dưới dạng d

= „v đx bằng cách chọn một phân thích hợp

cua f(x) lam u(x) va phan con lai dv = v (x)dx.
e© Buéc 2: Tinh du =udx va v= [a
e

Budc 3: Tinh [vai

= [way

e

Buéc 5: Ap dung cng thttc trén.

= fv (x)dx.

va uv

b
a

Ví dụ 5: a)Tính tích phân I= ị opedx (DH-KB-2009)
3+Inx

|

7

dx

?

= [PPX
(x +1) ae.
(x +1)
(x
3

Inx

+1)

3

_

mm .—.

=3/
dx
—
-3
_3
,=3|—=
a
(x4)
(x+l)|,
4
OX

ax

(x+I

Đặt
u = Inx = dụ =®Š
X

dv=

dx

(x +1)’

¡—_ 1x
x+II

. Chọn v=——

x+I

+f

3

dx
x(x +1)

In3 im

ģ dx

_ In3 tin

pX+ỈĨ

4

2


Vậy :

I=Š+In3)~ln2

b) Tính | xin xdx
1

dx
du = —
Giat:

Dat

dv = xdx

4

2

[gnxe+x=

2

1

=>

e

na

1

x

=—

4

2

2

2

|ø

_s|xa=Š-~
23
2
4l

2

_£

4

+t

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

2
a) [P
1

2

x

= dx

1

b) | xcos xdx

c) [xevax

0

a) Dat

d) fe

0

a =Ìn x
Giai:

5

du

0

- 2

1

v=—dx

ol

4

cos xdx

`

. Do do:

Ay

2 inx
Inx’
1¢dx
In2 1{
1Ý
15-4ln2
| x w&=-——4x| +]41x s=—= TT
7
T
|
ya}
=a
64
4\
4x J),
256

b) Dat

H — X
v=cos xdx

2
0

—

H — X

=>

dv =e'dx

1

|

2

.

Do đó

2 - |sinxdy=

0

| sede =e
0

v=sinx

7

[xesxdr=(xsinx)

c)Đặt

du = dx

=>

0

du = dx
vr=e

- [edx=e-e'
0
J

Z
2

1

+eosa

. Do do:

1
0

=e-(e-1)=I.

—

7Ø

2 =—-—].

0

2


u=e
d) Dat

,

dv = cos xdx

du =e dx
v=sinx
x

7z

7

=> Je

cos xdx =e" sin

x|2 -[e
QO

0

sin xdx.

o

du, = e dx

dv, = sin xdx

1.Vv, =—COSX
_

x

2

=

7F

a

|e’ cos.xde =e

__

+e

x

2

cosx|2 —|e

0

0

eosadx

o

2ƒ

7z

2

©2|e eosadr=e

-1©

0

2Í

Đặt

u, =e

2

|e eosady=

e* -]

0

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phân.

b

b

|[rooea
a

b

[Pe In xdx
a

b

ae

cos xdx

fe

a

cos xdx

a

u

P(x)

Inx

P(x)

e

dv

e'dx

P(x)dx

cosxdx

cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phân là làm thế nào để chọn

u và đv = vdy thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chon
u 1a phan cua f(x) ma khi lay dao ham thi don gian, chon dv = v dx 1a phan cua f(x)dx 1a

vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phân:


4
8
Nếu tính tích phân [rcoocow

mà P(x)là đa thức chứa x và Q(%) là một trong

a

những hàm số: e“, cosax,
f = P(x)
dv = O(x)dx

sinzx thì ta thường đặt

du = P (x)dx

=>

v= | O(x)dx
B

Nếu tính tích phân | P(x)O(z)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số
a

= O(x)
In(ax) thi ta dat

‘i

du =Q (x)dx

= P(x)dx

=>

v= | P(x)dx

Nếu tính tích phân 7 = fe cosbxdxhoic

8
J= fe

sin bxdx thi

a

_

ta dat

hoac dat

|u=e

HH

‘du = ae“ dx

dv = cosbxdx

>>

x

u=e

dv = sinbxdx

1.

v=—sinbx
‘du = ae“ dx

>>.

1
v=——cosbx
\

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phân hai lần sau đó trở thành tích
phân ban đâu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Phương pháp đồi biến số
b

Bài tốn: Tính Ï = | ƒ(z)dk,
*Phhương pháp đổi biến dang I

Định lí. Nêu — 1) Hàm x = (7) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; /Ø|.
2) Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên |: 8 |.

3) u(a) =a, u(P) =b,


b

8

thì J =| 70x = | ƒu)/w (4:

c t——\)|a

Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:

a) Tinh tích phân

I= | (cos*x —1)cos?x.dx (ĐH-KA-2009)
7#

b)7 = [eve

+ 5dx

c) J = | (sin' x +1)cos aay

DS Geer| a

0

Giai: a) l=

0

1

2

5

cos’ x.dx —[cos

2

x.dx

0

2

2

Ta có: I, = [cos?x.dx = +f (1+cos2x).dx =

J

24

2

8

0

0

a(x

2\

x

5sin 2x) 2-4

2

>

4

Mat khac xét I, = | cos x.dx = | cos*x.cosx.dx
3

- 3

= | d-sin? x)’ d(sin x) =
9
^

8

VayLy [=1,-L=—--—
IT
R754

1 in? X— 2m
5
3

X +sinx

nx

||2 = &
15

0

7

d(x +5

b) Ta có d(x + 5) =3x dx—> d(x +5) = x°dx
Ị

3

=r-[WsseÐ
0
1

1

3

3

5]

=| (x +5)'a@e +5)= 2
3
3 1,
0

4
10

==N6—-—5.
3
5 V9

a

1

=“@`+5)/x'+5
lo 9
0


7#

c) Ta có J = | cin’ x+l)d(sinx)
0

= sản

Cn|®

2

rsinx] 2=
0

Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:

a) | 4= xá:

soe

b) | dx

I+x°

.

Giải:

7

a) Đặt x = 2sSIn/,

7

.

re| =5: 5 |-Khix=000ìt=0.Khi

.

77

x=Z2 thi t=.

Tu x =2sint > dx = 2costdt

4

2

[Va

2

eas = | V4—4sin'r.2cosra

0

= 4| cos’ tát = 7.

0

0

In

b) Đặt

=tanr,rc| —E c2 |, Khi x =O

„

Ta có: x = tanƒ —> dđx =

x

dx

=>

l+x

0

1

—=

dt

dt

l]+ tan“ /£ cos“

0

thị /=

A

=:

cos’t

—.—

thi t=O,
khi x=1

x

>

7

x

{

—

0

O

z

= | dt=tl4 =—.
4

Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tơng qt hơn như:
Nêu
RK

Vx

2

—a’

hàm
`

sơ

dưới

RK

dâu

7?

RK

tích
La

phân
^

có

chứa

4

Tr

căn
w

dạng

V a+x
2

4

`

Lv

RK

rẻ

Voi

Va

2

—x

2

.

.

,dat x=asinf,

hoặc x =acost,
e

Av a

2

—X

2

va

`

(trong trong đó a là hăng sơ dương) mà khơng có cách biên đối nào khác thì

2

`

^

4

La

nên đơi sang các hàm sô lượng giác đê làm mât căn thức, cụ thê là:
e

2

re

Voi

Va

2

+x

2

v

te

7

“5°95

7

t€[0; z].

A

, dat x=atant,

re(-2.4]

hoặc x=acott,

te (0;7r).

oA

Ae

`

La

NX


eôâ Vi \x a., t

7T 7
te|-;

xo,

sint

a

2

2

|\{o}

77

hoac x = ;

re[0zI\|S}

COSf

2

*Phhng phỏp đổi biến dạng II
Định lí : Néu ham s6 u =u(x)don điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a:b] sao cho
u(b)

f (dx = g(u(x))u (x)dx = g(u)du thi I |

ƒ(z)dx=

| g(u)du.
u(a)

1

Vi du 3: Tinh J = [eve

+ 5dx

0

Giai: Dat u(x) =x° +5.Tacé6

u(O) =5, u(1) =6

6

6

Từ đó được:

J = = | vu

a = <(6V6 ~5v5) =< V6 - V5

= ;

5

Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đôi biến dạng II:
a) [@x+œ:
)

“fe

xIn x

of ——————dx
#12
x +x4+1

2z
d) Jace

e) J costa

—

ds

3

Giai: a) Dat

= 2x + Ï khi x =Ư thì uw =1. Khi x = lthì

Ta có du

[ax
0

5

= 2dv = dx =.

dv=—

1

[udu =
1

u°

121

Do 46:
3

I
2
= —(3°
1! -1) ) =60“.3

b)Dat u =Inx. Khi x =e thi „=1. Khix =é” thì „=2.

=3


e7

dx

Ta có đụ =—— =>
x

2

dx

2
\ —In2—Inl=In2.

du

= | —=Ìnw
xIn x
) ul

€e

c)Dat u = x° +x+1.Khi x =O thi wu =1. Khi x =1 thiu =3
Tac6 du =(2x+1)dx. Do do:

Ỉ 54x+2
yx

d)Dat

f [——=2Ìnw|
2du

đdx=

+x+1

3

J ou

=2(In3—lnl)
= 2ln3.

]

= 2x—]. Khi x = lthì ¿ =1. Khi x=2

thì

= 3.

d
Ta có du = 2dx => dx =". Do dé:

{ đ

fdu 1B 1d yd

}(2x-l’

|

27

.

eyDat u = 3x ——~. Khi x=
Ta có du =3dx

2J,”
wT

d
=> dx =“.

7T...

27...

An

Do do:

3

= ={ sin
3

3

—sin 4

G2 |

[sos3x —27) ay = 1 [cos udu = 1 ina

3
3#
3
3

[|

3

thi w=, khi x =~ thi u=—>~,

4

+ lần

= v3 B=.
3L 2

23

slầ

2z

2u]

2

3.Phương pháp tích phân từng phân.

Định lí. Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên | a;b] thi:
b

|

[ucon

b

(x)dx = (uv)

a

b

hay [uav —= UV
a

b
a

b

~[vdu,
a

b

` [seo

|

(x)dx


Áp dụng cơng thức trên ta có qui tắc cơng thức tích phân từng phân sau:

e Bước l: Viết f(x)dx dưới dạng d

= „v đx bằng cách chọn một phân thích hợp

cua f(x) lam u(x) va phan con lai dv = v (x)dx.
e© Buéc 2: Tinh du =udx va v= [a
e

Budc 3: Tinh [vai

= [way

e

Buéc 5: Ap dung cng thttc trén.

= fv (x)dx.

va uv

b
a

Ví dụ 5: a)Tính tích phân I= f opedx (DH-KB-2009)
3+Inx

ơ

|

7

dx

3

3

"(+
=|

3

Inx

=3|=?l=m
(Xx +1)
Ă (X +è)

(x ahs

â

?

OX

(@&+D[

4

ax

Ă(x+è

t u = Inx => du =
dv =

dx

. Chọn v=——

+b

x+I

1, =x]

+f

x +1),

3

dx

In3

[S|

dx

x(x +1) _

_

n3

¡px +ÍỈ

Ine

4

2

Vậy : I=Š+In3)=ln2
b) Tính | xin xdx

SỐ

Giat:

u=Inx

Dat

>

dv = xdx

4

[gnxe+x=
)

dx
du = —

2

2

e

na

1

x

x

y=—
4

2

2
2

_s|xa=Š-~
23
2
4l

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

|ø

2

.

4

+1


10
7

a) [P

1

x

= dx

In x

|x

b) Dat

c) [xevax

0

2

ol
` Ai
pdx

In2

&=-——4x| Fo45x ao
H — X

2

1

64

7

2

.

| xcos.adx =(xsin.x) 2 - |sinxdy=
0

0

c)Đặt

H — X

dv = e'dx

| sede =e

1

0

du = dx

=>

v=e

|

- [edx=e-e'

15-4In2

=a
256

J),

. Do do:

v=sinx

—

2

1

tal4\ a4x

du = dx

=>

dv = cos xdx

0

“Do do:

2

1

cos xdx

dụ - đ*

=

dv = —~ dx
4
In x

d) fe

0

a =Ìn x

Giải: a) Đặt

2

b) | xcos xdx

7
2

1

—

+eosa

7Ø

2 =—-—].
2

0

. Do do:

1

=e-(e-1)=I.

0

x

u=e

—>

d) Đặt | ay = cos xdx

du =e’ dx

v=sinx

2

HW

=> Je

cos xdx =e’ sin

0

Đặt~

u, =e

-

| dv, =sin xdx

2

x|2 — Je
0

>

o

du, = e dx
Vv, =—COS x

a

7

a

=

| e eosady=e
0

sin xdx.

+

x
2

cosxl2 —|e
0

o

eosadx


11

ñ

ñ

z

Zz

2’

2

cosxdy =e" -1

[e' cos.xde =

0

e* —]

.

0

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phân.

b

b

|[rooea

b

[Pe In xdx

b

ae

cos xdx

fe

cos xdx

u

P(x)

Inx

P(x)

e

dv

edx

P(x)dx

cosxdx

cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần 1a lam thé nao để chon

u và đ =vdx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chon

u 1a phan cua f(x) ma khi lay dao ham thi don gian, chon dv = v dx 1A phan cua f(x)dx 1a
vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phân:
8

e

Néu tính tích phân [rcoocow

mà P(x)là đa thức chứa x và Q(%) là một trong

a

những hàm số: £đ”,

cosax,

f = P(x)

du = P (x)dx

dv = O(x)dx

=>

sinax thi ta thudng dat

v= | O(x)dx
B

e Néu tính tích phân | P(x)O(z)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số
a

= O(x)
In(ax) thi ta dat

e

‘i

= P(x)dx

du =Q (x)dx
>

v= | P(x)dx

Nếu tính tích phân J = fe cosbxdxhoic
a

8
J= fe

sin bxdx thi


12
(

ta dat

u-e”

—=‹4

dv = cosbxdx

du = ae“

ax

dx

1.
y= pon bx
\

hoac dat

u=-e

HH

‘du = ae“ dx
=>

dv = sinbxdx

<

1

vy =——cosbx
\

hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần

sau đó trở thành tích phân ban đâu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cân tính.
ILTICH PHAN MOT SO HAM SO THUONG GAP
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

=|

8

ax

a

+bx+c

(a0).

(trong do ax’ +bx+c #0 véi mọi xe |ø: 8Ì)

Xét A =b -4ac.
B

dx

+)Néu ^=0nm /= |

Do

tính được.

đ| X———

|

+)Néu A > 0 thi J =

"

1Í

dx

slặ=x)G-x}

(trong do x, =

p=

“b+VA
2a

2a

FP

a(x, —x,)

X—X, ||
B

+) Néu a
_=b=NA,

f= [—“_-[
ax +bx+c

B
dx

13
b

—N\

1

|/-A

patx+— =|
t t>dx=—,|-—>
2q
4a’ 5
2Vz
IX +

b) Tính tích phân: ƒ =

|—————————
đx,

ax

ax

ta tinh duoc L
.

(a z 0) .

+bx+e

mx+n

(trong d6 f(x) =—,;

1+te°t)dt,
5 )

lién tuc trén doan |ơ: 8 Ù

+bx+c

+) Bang phương pháp đồng nhất hệ số, ta tim A va B sao cho:

mxt+n

— A(2Qax +b) .

B

ax’ +bx+ce

ax’t+bxt+ce

ax’ +bxte

ĐJTa có1=

i

Ũ

mx+n
2

|

dv=|

„ ax tbxtco

â

A(2ax

ý 0X tbXtc

+b)

=SCOTiy

Tich phan "ax “+bx+€

m.

8

dx

Tich phan | —.—-———_

ax

+bx+c

b

c) Tính tích phân / = |

P(x)

Ũ
A(2ax+b
!
a+ |

=

Aln|

Ax

B

2

* ax’ +bxtc

?+px+d|
X+C

ch

£

tinh dugc.

đx với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

e_ Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc băng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
e©_ Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ c6 nghiém don @,,@,,...,@, thi dat

P(x)

Q(x)

A |+ A,

x-ở

x-Œ,

+ Khi O(x) = (x-#z)(x

+...

A

x-ữ.

+ px+q),A = pˆ -4a < 0thì đặt
P(x)
O(x)

A
x-a@

.

Bx+C
x + pxt+q


14

+ Khi Q(x) =(x—ø#)(x-) ` với œ z B thì đặt
P(x) = A + B + C >
O(x) x-a@ x-B (x-B)
1

„

oo.
`
4x+11
Vi dy 7. Tinh tich phan: | ~———— dx.

yx +5x+6
GIải:
Cách 1.Băng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:

4x+11

_ ARx+5) |

x+5x+6
+]

x +5x+6
—>

+ +5x+6— x+5x+6.

_ 2Ax+
- (5
( A+B )

x +5x+6

2A=4

5A+DB=Ill

|

x 15x46

iss
4x+11

\{-3;-2}

\{-3;-2}

|B=l

2(22x
7+5
3),

x +5x+6_

VxGll

VxeU

A=2

>

ta

Dod

B

TL

x +5x+6

dv= hàn
2x+5

x +5x+6

vn a2)

d+ |S

x +5x+6

J x +5x+6

=2in|x? +546) +n 272) 1 =mn2.
x+3II0

2

Cach 2. Vi x° +5x +6 =(x+2)(x +3) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:

4x+ll

x+5x+6

—

_ AB
x+2

x+3

, Vxell \{-3;-2}

4x+11

(A+B)x+3A+B

45x46

x +5x+6

A+B=4
3A+2B-II

<>

A=3
B=1

, Vxell \{-3;-2}


15
x

5

4x+II

3

=

+5x+6

I

+

x+2

x+ả

, Vxell

\{-3;:-2}.

1

Do

[Tag
fx
dx = [2
J2
x +5x+6

x+2
x+3

l

=3In|x + 2|
„

¬=

1

`

Vi du 8:Tinh tich phan:

0

dx

|

9

+ In|x +3

0

=Ìn—.
2

.

x +x4+1

Giai:
1

1

|

dx

J x

+x+1

Do |

|

dx
= |,
—

|

;

xt+—]

Dat
x + — = —— tant,

4

ref 252

dx

z 3

lun

Vay

3

+—

-Ƒ3;
vy (L+ tan’

x +x+1

.

)dt

“(1+ tan’ t)

=

=

(1+ tan

2

2

f

3

.

6

6

1

2

x

Vi du 9. Tinh tich phan: |

>

J x

—]

dX.

Gia:
1

1

rox

|

0

x

=

-]

1

ax= [0
0

x

=5

5 {1
|=

x

=

-]

2 +—In|x

Jar= [rar
1

5

1
—

1

dx

fe
x—
0

-l|Ì2==+~In~

0
2. Tích phân các hàm lượng giác

0

t) dt

23

73

3

|x

dt
= ——t|~

6

13

= ——
9


16

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
7

a) J= [sin 2xsin
7 xdx:
2
7z

b)K= [cos xin” x+cos” x)đx;

c) ÂM

= [Em sa
Xa

l+cosx
Gial

lí

x

lí

a) J == | cos
2 ,

ax

1

=5 | cos xy
2 ,

3

7

>

=—sin5x
10

3

.

7F

1

2

>

——sin9x
xz
|

.

2

2

4

=—.
az
45

.

b) Tacé

cos x(sin* x +cos* x) =cos x| (sin? x+cOS” x)

—=cosx

1-2 sin? 2x) = cos “1 _=( -sos43)| = 3 cos xt —cos xcos4x

2

4

—2sin” xcosˆ x
]

4

4

= “C08 x-+—(cos5ix+ cos3x).
7z

7z

7z

7z

2

K= [cos x(sin* x + cos* x)dx = = [cos xdx + _ [cos 5xdx + s]ea 3xảx
0

0

-

=—sin

C)

Asin’x
l+cosx

—> MJ =2.

Fi.
i 3 1 1 4
+——sin3x|2 =—+————=—.

x|2 +—sin5x|2

0

40

0

0

4sin°xsinx _ 4(1=cos * x)sinx
l+cosx

l+cosx

4

40

24

15

= 4(1—cos x)sinx

17
2.2.Dạng 2: Đối biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tinh

dx

I -|

asinx +bcosx+c

Phuong phap:
x
Dat t= tan—=>
2

cu

Taco:

[=

sInx =

2at

dx=

5

l+í

27.
l+t

7

dx

=

asinx +bcosx+c

đ

Ví dụ 11. Tính

I-f

va COSX=

l+í

5

(c—b)t

2dt

ook ee,
đã biệt cách tính.

+2af+b+c

=—

4cosx+3sinx+5
x

1

2

2

Giai: Ta...

|

5

dx

x

2dt

2

1+t

“ares
2dt
147

-{

cosx+3sinx+3

1-?¢
1+t

> +3

-{

2t
l+f

> = dx

dt

t?+3t+2

> +3

tanŠ +1

t+1

2

=In— l+C=In_—^—+cC.
x
t+2

2.2.2. Tinh I =|
Phuong phap:

asin’

/ = |

—_

tan—+2

2

x+bsinxcosx+ccos’

x+d

dx

(a+d)sin’ x+bsin xcosx+(c +d )cos* x
dx

cos’ x
(a+d)tan’x+btanx+(c+d)

7
Da

ghế

=

6X —?

d.

6

=

—

l—=

at
Ìcrarrmreaa

đã tính được.


18
dx

Ví dụ 12. Tính: 7 -|

sin’ x + 2sin xcos x —3cos’ x
dx

dx

Giai:Ta col -|

-|

COs” x

sin’ x+2sinxcosx—3cos’x J te’x+2tex—3

dx
Dat t = tgx > dt =—,;
COS’ x
|

>I]/=

Tính [ =

dt

=

>

+23

|

dt

1

——————————_-—ln

J(í-l)(+3)

4

f£—Ì

+C=1in
4
t+3

tex —1
tex+3

+C

2.2.3.

msinX+NCOSX+ P
asinx+bcosx+c

Phuong phap:

+)Tim A, B, C sao cho:

msin
x +ncosx+
Vay [=

p= A(asinx+bcosx+c)+B(acosx—bsinx)+C, Vx+)

msinx + NCOSx+ P

:

asinx+bcosx+c

-A| dx+ BỊ

X=

acosx—bsinx

1

dx +C]

asinx+bcosx+c

Tich phan | ax

Tich phan |

pcos vec
ax

asinx+bcosx+c

Ví dụ 13. Tính: 7 =

dx

asinx+bcosx+c

tính được

acos x—bsinx
Tích phân | TC

,

tính được.

C€OS x + 2SIn

+43

dx = Inlasinx+bcosx+c\+C

4cos x + 3sSIn x

dự,

GIải:
Bằng cách cân băng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:

cosx+2sinx = A(4cosx+3sin x)+B(—4sinx +3cos x), Vx
cosx+2sinx =(44+3B)cosx+(3A—4B)sin x, Vx


19

ot ae

A==

3A _AB4B=2~°

I - ((2-3

5

¬

]

PT...

5 4cosx+3sinx

5

2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn

(Xem ví dụ 17, 20, 21)

2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng | R{(sinx,cosx) dx, với R{sin x,cos x)là một hàm hữu
ti theo sinx, cosx

Dé tinh nguyén ham trén ta đôi biên sơ và đa vê dạng tích phân hàm hữu ti ma ta da

biết cách tính tích phân.
e

Ộ
x
2dt
Truong hop chung: Dat t = tan— => dx =
5
2
l+t

=.

Ta có sinx=

e©

2t
+t

› ›COS X =

1-t°

l+t

5

Những trường hợp đặc biỆt:
+) Néu R (sin X,COS x)là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R{(—sinx,—cos x) = R(sin x,cos x)thì đặt 7 =/gx hoặc t=cot gx, sau dé
đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.

+) Néu R(sin x,cosx)1a hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
R(—sin x,cos x) =—R(sin x,cos x) thi đặt t = cos x.

+) Nếu #(sin x,cos x)là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
R(sin x,—cos x) =—R(sin x,cos x) thi đặt 7 = sinx.
3.Tich phan ham v6 ti

3.1 .Dang 1: Biến đổi về tích phân vơ tỉ cơ bản


20

rod

X

Vi du 14. Tinh tich phan: J = | —————=.
4 Vx +]+ Vx

Giai

fen Ji) ax =F («41+ a

[eel
Ví dụ 15:Tính tích

|

x dx

P

tại: ÍlS
—————-=
Gial:

phân

2(2v2- 2)

(a

|

J |(xV1+x”

—-x!)dv=

2/2 -1
l5

-

3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)

3.3Dang 3: Biến đổi làm mất căn
Gơm:

Đơi

biên sơ t là tồn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng

=f

Vi du 15:Tinh

> V1— x? dx

Gia:
1

1

I= |xvI=a?äx

= |xZvi-x” xdx

0

Đặt t=
Tacó:

0

VI-xˆ ©í” =l-x ©x
xdx=-tdt Khi

=l-f

x=0 thit=1,khi x =1 thi t=0
0

Vậy

I=-|(d~#J4t =

3

5

Ị

5jJ

0

2

=_h | =“

3

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

15