Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwar

1

Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức
Cauchy-Schwar

Trần Thị Minh Ngọc

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp; Mã số: 60 46
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi
quốc gia, quốc tế. Nghiên cứu về dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz . Tìm hiểu về dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng
của nó trong đại số và lượng giác. Trình bày từ dạng hằng đẳng thức thứ
hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để được các kết quả mới
và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Giới thiệu bất đẳng
thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một số đề mở rộng.
Keywords: Toán sơ cấp; Hằng đẳng thức; Bất đẳng thức
Content
Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ
đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có
sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả
những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất
đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế.
Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất
hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế. Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan
trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên

cứu và phát triển.
Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các
bất đẳng thức khác hoặc trong hình học. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày
2

một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng
thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” . Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi
kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức
mới và lạ. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại
số hoặc lượng giác.
Luận văn gồm 2 phần:
Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế.
Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz .
Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài.
Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác.
Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng
giác.
Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một
số mở rộng.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các
vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu
sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.

3

Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế.
1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Với
,
ii
a R b R

( 1, )in
, chứng minh rằng
2
22
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
ab a b
  
    

    
    
  

Chứng minh.
Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange).
Từ đẳng thức
2

2 2 2
1 1 1 1
()
n n n
i i i i i j j i
i i i i j n
a b ab ab a b
     
    
  
    
    
   

Suy ra
2
22
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
ab a b
  
    

    
    
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

12
12

n
n
a a a
b b b
  

Cách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2).
Xét hàm số
 
 
2
2 2 2
1 1 1 1
2
n n n n
i i i i i i
i i i i
f x x a x ab b a x b
   

    


   

Ta có
 

0fx
với mọi giá trị của
x

Nếu
2
1
0
n
i
i
a






i
a
=0
1,in
thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi
2
1
0
n
i
i

a



suy ra
4

2
22
1 1 1
'0
n n n
i i i i
i i i
ab a b
  
    
   
    
    
  

2
22
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
ab a b
  

    

    
    
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
12

n
n
a a a
b b b
  

Cách 3. (Áp dụng bất đẳng thức trung bình).
Ta có
 
22
1
2
k k k k
x y x y

1,kn

Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được
 
22

11
1
2
nn
k k k k
kk
x y x y




Kí hiệu
22
11
,
nn
kk
kk
A a B b




Chọn
k
k
a
x
A


,
k
k
b
y
B

ta có
22
11
1
nn
kk
kk
xy




Và thu được
1
1
n
kk
k
xy
AB




2
2 2 2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
a b A B a b
  
    
  
    
    
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
k
kk
k
aA
xy
bB
  

k
.
1.2. Bất đẳng thức AM-GM.
Trong luận văn này, ta cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau:
5

Với
12
, , ,
n
a a a
là các số thực không âm, ta luôn có:
1
1
1
1
n
n
n
ii
i
i
aa
n








.
Ở đây ta ký hiệu
12

1
.
n
in
i
a a a a



.
Chứng minh.
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh
quen thuộc nhất như sau:
Cách 1:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số không âm thì sẽ đúng với 2n
số không âm.
2
1 1 1
1 1 1 1
22
n n n
i i n i
i i i
a a a
n n n

  





  
.

11
2
1
11
1 1 1
2 2 2
nn
n
nn
i i i n
i
ii
a a a
n



   
  
   
   


.

1

2
2
2
1
1
1
2
n
n
n
ii
i
i
aa
n








.
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với
2
k
n 
. Bất đẳng thức AM – GM sẽ được
chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây:

Nếu bất đẳng thức đúng với
nk
thì cũng đúng với
1nk
.
Thật vậy:
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
ii
i
i
aa
k













.

11
11
1
11
1
11
kk
k
kk
i i i
i
ii
a a k a





   
  
   
   



.
Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra:
6


1
11
1 1 1
1
11
1
1 1 1
.
k
k k k
k
kk
i i i i
i
i i i
a a k a a
  



  

   



   

   



  
.

11
11
1
11
1
11
kk
k
kk
i i i
i
ii
a a k a





   
  
   

   


. (đpcm)
Cách 2:
Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với
2nk
, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
1nk
.
Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
11
k
k
ik
i
ki
i
k a a
k
Sa
kk











.
Theo giả thiết quy nạp ta thu được:

 
1
1
1
1
1
k
k
ik
i
k
k a a
S
k








.
Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi
1nk
ta cần chứng minh:
 
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
ik
i
i
i
k a a
a
k














.
Ký hiệu:
1
11
1
1
,
k
k
kk
ik
i
aa










.
Ta thu được:

 
11
1.
k k k
kk
   

  

 
 
0
k k k
k
     
    
.
 
 
1 2 3 2 1
0
k k k k k
k
         

   

       

.
7

 
     
11
0
k k k k k k
        


        

.
 
   
2
1 2 1 2 3 2 1
0
k k k k k k k
           
      

           

Bất đẳng thức đúng vì

,0


.
Các trường hợp riêng:
1.
 
22
2
0
2
ab
ab a b

   
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
2.
 
2
, 0:
2
ab
a b ab a b

    
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
ab
.
3.

3
, , :
3
abc
a b c abc





. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc
.
4.
3 3 3
, , :
3
abc
a b c abc


. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc
.
1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế.

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất
1.1. Các định lý
Bổ đề 1.1. Với mọi số thực x, y, z ta luôn có kết quả sau:

     
 
222
2 2 2
2 2 2 2 2 2 9x y z y z x z x y x y z          

Chứng minh
Biến đổi vế trái, ta có
 
2
2 2 2
2 2 4 4 8 4 4x y z x y z xy xz yz       

8

 
2
2 2 2
2 2 4 4 8 4 4y z x y z x yz xy zx       

 
2
2 2 2
2 2 4 4 8 4 4z x y z x y xz zy xy       

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.1 Cho
, , , , ,a b c x y z
là những số thực dương tùy ý. Khi đó ta luôn có
  

  
2 2 2 2 2 2
2
3
ax by cz a b c x y z a b c x y z           

Chứng minh
Ta có
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )c x y z a y z x b z x y       

(2 2 2 3 ) (2 2 2 3 ) (2 2 2 3 )c x y z z a y z x x b z x y y           

2( )( ) 3( )a b c x y z ax by cz       

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz


 
2
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )c x y z a y z x b z x y       
2 2 2 2 2 2
( )[(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) ]a b c x y z y z x z x y          

Suy ra
 
2
2 2 2 2 2 2
2( )( ) 3( ) 9( )( )a b c x y z ax by cz a b c x y z           

(sử dụng Bổ đề 1.1)

Từ đó
2 2 2 2 2 2
2( )( ) 3( ) 3 ( )( )a b c x y z ax by cz a b c x y z           

2 2 2 2 2 2
2( )( ) 3 ( )( ) 3( )a b c x y z a b c x y z ax by cz            

2 2 2 2 2 2
2
( )( ) ( )( ) ( )
3
a b c x y z a b c x y z ax by cz            
.
9

Bổ đề 1.2. Chứng minh rằng với mọi số thực
, , ,x y z t
ta có
       
2222
x y z t y z t x z t x y t x y z              


 
2 2 2 2
4 x y z t   

Chứng minh
Ta có:
   

2
22
( ) 2x y z t x y z t t x y z         


2 2 2 2
2 2 2 2 2 2x y z t xy yz zx tx ty tz         

Tương tự ta có:
 
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2y z t x x y z t yz zt ty xy xz xt            

 
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2z t x y x y z t zt tx xz yx yz yt            

 
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2t x y z x y z t tx xy yt zx zy zt            

Cộng từng vế bốn đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2. Cho a, b, c, d, x, y, z, t là các số thực dương tùy ý. Khi đó ta luôn có
 
  
2 2 2 2 2 2 2 2
ax by cz dt a b c d x y z t         

  
1
2
a b c d x y z t      

Chứng minh
Đặt
       
P d x y z t a y z t x b z t x y c t x y z               


   
22P d x y z t t a x y z t x          


   
22b z t x y y c t x y z z         


    
2P a b c d x y z t ax by cz dt           

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có
10

  
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4P a b c d x y z t      

Suy ra
  
2 2 2 2 2 2 2 2
2P a b c d x y z t      

Vậy
    
2a b c d x y z t ax by cz dt         


  
2 2 2 2 2 2 2 2
2 a b c d x y z t      


  
 
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d x y z t ax by cz dt          


  
1
2
a b c d x y z t      
(đpcm)
Bổ đề 1.3. Chứng minh rằng với mọi số thực
12
, , ,

n
x x x
, ta luôn có
2
2
2
1 1 1
24
n n n
j i i
i j i
nn
x x x
  




  

Chứng minh
Đặt
1
n
j
j
Sx




, ta xét
2
2
22
. . 1
24
i i i
nn
S x S S n x x i n

     



Vậy
2
2
22
1 1 1

24
n n n
i i i
i i i
nn
S x nS n S x x
  

   



  


22
2 2 2 2
11
44
nn
ii
ii
nn
nS nS x x

   

(Đpcm)
Định lý 1.3. Cho
12
, , ,
n
x x x
,
12
, , ,
n
y y y
là những số thực dương tùy ý. Khi đó,
ta có
22

1 1 1 1 1
2
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n
x y x y x y
    

     


     
     


    

Chứng minh
Đặt
1
n
j
j
Sx




11

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có
2
2
2
1 1 1
22
n n n
i i i i
i i i
nn
S x y S x y
  



   
  

   


   




  
(a)
Theo đẳng thức (1.5), ta có

2
2
2
11
24
nn
ii
ii
nn
S x x







Mà
1 1 1 1 1 1
2 2 2
i
n n n n n n
i i i i i i i i
i i i i i i
n n n
S x y S y x y x y x y
     
  

    


  

  
     

Thay vào (a) ta có
2
2
22
1 1 1 1 1
24
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
nn
x y x y x y
    

     


  
  
     

    

Khai căn 2 vế, ta có
22

1 1 1 1 1
22
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
nn
x y x y x y
    
     

  
  
     
    

Vậy
22
1 1 1 1 1
2
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
n
x y x y x y
    

     


     

     


    

Bổ đề 1.4. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có kết quả sau
     
 
222
2 2 2
4 4 4 9 ( ) ( ) ( )x y z y z x z x y x y y z z x             

Chứng minh
Ta có
 
2
2 2 2
4 16 8 8 2x y z x y z xy xz yz       

 
2
2 2 2
4 16 8 8 2y z x y x z xy yz xz       

 
2
2 2 2
4 16 8 8 2z y x z x z zy xz xy       

Cộng từng vế ta được

     
 
222
2 2 2
4 4 4 18x y z y z x z x y x y z xy yz zx             

Lại có
12

   
2 2 2 2 2 2
9 ( ) ( ) ( ) 18x y y z z x x y z xy yz zx          

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.4. Cho
, , , , ,a b c x y z
là những số thực dương. Khi đó ta có


  
  
2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( ) ( )x y z a b c a b c x y y z z x ax by cz

              



Chứng minh
Ta có

     
     
    
4 4 4
3 3 3
3
a x y z b y x z c z y z
a x y z x b x y z y c x y z z
a b c x y z ax by cz
       
           
       

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có
     
 
     
2
222
2 2 2
4 4 4
444
a x y z b y x z c z y z
a b c x y z y z x z x y
       



          


     
4 4 4a x y z b y x z c z y z        


 
     
222
2 2 2
444a b c x y z y z x z x y

          


    
3a b c x y z ax by cz       


 
     
222
2 2 2
444a b c x y z y z x z x y

          


Theo (1.7)
    
3a b c x y z ax by cz       

  
2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )a b c x y y z z x       
(đpcm)
13

1.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong đại số.
Bài 1. Cho
,,abc
là những số thực dương. Chứng minh rằng:
 
 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1
3
3
a b c a b c
a b c a b c
   
         
   
   

Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.1 với
1

x
a

,
1
y
b

,
1
z
c

ta có điều phải chứng minh.
Bài 2. Cho
,ab
là những số thực dương. Chứng minh rằng
 
  
2
2
14
2 2 1 2 1 1 2 1
43
a b a a b
b

      



Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.1 với
1,
2 , 1
a b c a
x b y z
  


  

ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. Cho
,,x y z
là các số thực dương. Chứng minh rằng
    
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3
x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx            
Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.1 với
,,
2 2 2
,,
x y y z z x
a b c
x z y x z y

  

  



  


Ta được
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x
z x y z x y

     
           
      

           
           




 
2
2

3
x y z  

14

 
 
   
2 2 2
2
2 2 2
2
23
x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
    
        
 
   
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
23
x y z xy yz zx
x y z x y z xy yz zx
    
        
    
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2
2 2 2
3
x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx             
(đpcm)

1.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong lượng giác.
Ta có thể sử dụng dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để sáng
tạo và chứng minh một số bất đẳng thức trong lượng giác.
Trong phần này, ta luôn giả sử tam giác ABC có:

;;AB c BC a CA b  

 S là diện tích tam giác,
2
abc
p


là nửa chu vi

;;
abc
m m m
lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; B; C

;;
abc
h h h

lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A; B; C
Bài 1. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và độ dài 3 trung tuyến tương
ứng là
,,
abc
m m m
. Chứng minh rằng:
 
 
   
2 2 2
32

23
a b c a b c
a b c a b c m m m a m b m cm         

Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.1 với
,,
a b c
x m y m z m  
ta có
  
 
 
2 2 2 2 2 2
2

3

a b c a b c a b c
a m b m cm a b c m m m a b c m m m           
(1)
15

Ta có
2 2 2
2
24
a
b c a
m




2 2 2
2
24
b
a c b
m




2 2 2
2
24
c

b a c
m



Cộng từng vế 3 đẳng thức trên, ta được:
 
2 2 2 2 2 2
3
4
a b c
m m m a b c    

Thay vào bất đẳng thức (1) ta được điều phải chứng minh.
Bài 2. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng
  
 
 
2 2 2 2 2 2
2
6
3
a b c a b c
a b c h h h a b c h h h S         

Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.1 với
,,
a b c
x h y h z h  

, ta được
  
 
 
2 2 2 2 2 2
2

3
a b c a b c a b c
a h b h ch a b c h h h a b c h h h           

Mà
. . 2
a b c
a h b h ch S  
, từ đó có điều phải chứng minh.


Bài 2. Dạng hằng đẳng thức thứ 2
2.1. Các định lý.
Bổ đề 2.1. Cho
,,x y z R
. Chứng minh rằng:
9( )( )( ) 8( )( )x y y z z x x y z xy yz zx       

Chứng minh
Ta có:
2
( )( )x y y z xy xz yz y     

16

2
( )( )( ) ( )( )x y y z z x xy xz yz y z x       

2 2 2 2 2 2
xyz x y xz x z yz xyz y z y x       

2 2 2 2 2 2
2x y x z y x y z z x z y xyz      

Mặt khác:
( )( )x y z xy yz zx    
2 2 2 2 2 2
x y xyz x z xy y z xyz xyz yz xz       

2 2 2 2 2 2
3x y x z y x y z z x z y xyz      

Mà
2 2 2
3x y y z z x xyz  


2 2 2
3x z z y y x xyz  


2 2 2 2 2 2
6x y x z y x y z z x z y xyz      

 
2 2 2 2 2 2
92x y x z y x y z z x z y xyz       


 
2 2 2 2 2 2
83x y x z y x y z z x z y xyz      

9( )( )( ) 8( )( )x y y z z x x y z xy yz zx        
(đpcm)

Định lý 2.1. Cho
, , 0x y z 
. Khi đó ta luôn có:
     
 
222
1 1 1 9
16
2 2 2
xy yz zx
x y z x y z x y z
  

     

Chứng minh

Ta có:
2 ( ) ( ) 2 ( )( )x y z x y x z x y x z        

 
2
11
4( )( )
2
x y x z
x y z




Tương tự ta có:
 
2
11
4( )( )
2
y z y x
x y z




17


 

2
11
4( )( )
2
x z y z
x y z




     
222
111
2 2 2x y z x y z x y z
   
     

1 1 1
4( )( ) 4( )( ) 4( )( )x y x z x y x z x z y z
  
     
2( )( )( )
x y z
x y y z z x


  

Mà theo kết quả Bổ đề 2.1 ta có:
8

( )( )( ) ( )( )
9
x y y z z x x y z xy yz zx       

     
222
1 1 1 9
16( )
2 2 2
xy yz zx
x y z x y z x y z
   

     

(đpcm)
Hệ quả 2.1. Cho
, , 0x y z 
và
1x y z  
. Chứng minh rằng:
     
 
2 2 2
1 1 1 9
16
1 1 1
xy yz zx
x y z
  


  

Chứng minh
Áp dụng Định lý 2.1 với
1x y z  
ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.2: Cho
, , 0x y z 
. Khi đó ta luôn có:
3
2 2 2 4
yz xy
zx
x y z x y z x y z
  
     

Chứng minh
2
2 2 2
yz xy
zx
x y z x y z x y z

  


     


 
     
222
111
2 2 2
yz zx xy
x y z x y z x y z

    


     


18

Mà theo Định lý 2.1
     
 
222
1 1 1 9
16
2 2 2
yz zx xy
x y z x y z x y z
  

     

 
 
2
99
2 2 2 16 16
yz xy
zx
yz zx xy
x y z x y z x y z yz zx xy

      


       


3
2 2 2 4
yz xy
zx
x y z x y z x y z
   
     
(Đpcm)
Bổ đề 2.2. Cho 4 số thực
, , ,x y z t
. Chứng minh rằng:
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t xyz yzt ztx txy          
.
Chứng minh

Ta có:
22
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x xy yz zx y zt zx tx t          

2 2 2 2 2 2 2 2
x yz x zt x yt y xz y xt y zt z xy z xt        

2 2 2 2 2 2 2 2
2z yt t xy t yz t xz x z y t xyzt      
.
Mặt khác:
( )( )x y z t xyz yzt ztx txy      

2 2 2 2 2 2 2
x yz x zt x yt y xz y xt y zt z xy       


2 2 2 2 2
4z xt z yt t xy t yz t xz xyzt     
.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
2 2 2 2
2x z y t xyzt
.
Vậy
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t x yz yz t z tx t xy          
.
Bổ đề 2.3: Cho 4 số thực dương
, , ,x y z t
. Chứng minh rằng:

19

       
3333
1111
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t

           

2
27( )xyz yzt ztx txy

  
.
Chứng minh
Ta có:

3
3 ( )( )( )x y y z z t x y y z z t        
3
2 2 3 ( )( )( )x y z t x y y z z t       

 
3
2 2 27( )( )( )x y z t x y y z z t       
 
3
11
27( )( )( )
22

x y y z z t
x y z t

  
  

Tương tự ta có:
 
3
11
27( )( )( )
22
y z z t t x
x y z t

  
  

 
3
11
27( )( )( )
22
z t t x x y
x y z t

  
  

 

3
11
27( )( )( )
22
t x x y y z
x y z t

  
  

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
       
3333
1111
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t
   
           


1 2( )
.
27 ( )( )( )( )
x y z t
x y y z z t t x
  

   

Theo Bổ đề 2.2, ta có
( )( )( )( ) ( )( )x y y z z t t x x y z t xyz yzt ztx txy          

20

       
3333
1111
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z t x y z t x y z t
    
           

2
27( )xyz yzt ztx txy

  

Định lý 2.3:
, , , 0x y z t
ta luôn có:
3
3 3 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 3
xyz yzt txy
ztx
x y z t y z t x z t x y t x y z
   
           
.
Chứng minh
Áp dụng định lý:

 
   
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
abc a b c a b c a b c a a a a b b b b c c c c            

Ta có:
3
3
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
xyz yzt txy
ztx
x y z t y z t x z t x y t x y z

   


           


 
 
3333
1 1 1 1 .xyz yzt ztx txy      

       
3333
1111

.
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t y z t x z t x y t x y z




           

Theo Bổ đề 2.3 ta có:
       
3333
1111
2 2 2 2 2 2 2 2x y z t y z t x z t x y t x y z
   
           

2
27( )xyz yzt ztx txy

  
.
Thay kết quả này vào bất phương trình đầu tiên ta có:
3
3
3 3 3
4.2
2 2 2 2 2 2 2 2 27
xyz yzt txy
ztx
x y z t y z t x z t x y t x y z


   


           


3
3 3 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 3
xyz yzt txy
ztx
x y z t x y z t x y z t x y z t
    
           

21

(đpcm).
Hệ quả 2.2: Cho
, , , 0x y z t 
và
1x y z t   
. Chứng minh rằng:
3
3 3 3
2
1 1 1 1 3
xyz yzt txy

ztx
x y y z z t t x
   
       
.
Chứng minh
Áp dụng Định lý 2.3 với
1x y z t   
ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3: cho
, , , 0x y z t 
và
1xyzt 
. Chứng minh rằng:
       
3
33
3
1 1 1 1 2
3
2 2 2 2 2 2 2 2t x y z t x x y z t y x y z t z x y z t
   
           

Chứng minh
Áp dụng Định lý 2.3 với
1xyzt 
ta có điều phải chứng minh.

22



Bài 3. Một số ví dụ mở rộng
Bài 1. (Iran 1998).
Cho
, , 1x y z 
và
1 1 1
2
x y z
  
. Chứng minh rằng:
1 1 1x y z x y z       
.
Chứng minh

Ta có:
 
2
2
1
11
1 1 1
y
xz
x y z x y z
x y z



       





 
1 1 1x y z
x y z
x y z

  
    



 
1 1 1
3 x y z
x y z

     




x y z  

Vậy ta có:
1 1 1x y z x y z       
(đpcm).
Bài 2. Cho
1
i
x 
,
1 in
và
1
1
1
n
i
i
n

x



. Chứng minh rằng:
11
1
nn
ii
ii
xx




Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
 
 
2
22
2
12
1 2 1 2
12
1 1 1
1 1 1
n
nn
n

x x x
x x x x x x
x x x


   
  

            

   


   



23

 
 
2
1 2 1 2
12
1 1 1
1 1 1
nn
n
x x x n x x x
x x x



              






1 2 1 2
1 1 1
nn
x x x x x x         

(đpcm)
Nhận xét: Bài toán này là trường hợp tổng quát cho bài toán bất đẳng thức trong
đề thi IMO - IRAN 1998. Từ bài toán này, áp dụng dạng hằng đẳng thức của bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có bài toán rất hay sau.
Bài 3. Cho
0
i
x 
,
0 in
và
1
1
1
n
i

i
n
x



. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
1
11
2
n n n n
i i i
i i i i
i
n
x x x
x
   



   









   

Chứng minh
Áp dụng Định lý 1.3 với
1
i
i
i
x
x
x


;
ii
yx
, ta có
1 1 1 1 1
1 1 1

2
n n n n n
i i i
i i i
i i i i i
i i i
n x x x
x x x
x x x

    

   

  
   


   

   
   

   

   

    

Mà
11
11
1
nn
i
ii
ii
x
n
xx



  

(theo giả thiết)
Nên ta có
1 1 1 1
1
11
2
n n n n
i i i
i i i i
i
n
x x x
x
   



   









   
(đpcm)
Từ một bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với các bất đẳng thức mới được xây dựng
trong bài ta có thể tiếp tục xây dựng được các bất đẳng thức mới hay và khó. Tác
giả hy vọng rằng qua ba bất đẳng thức ở trên, độc giả sẽ tiếp tục xây dựng được
các bất đẳng thức hay hơn nữa.

24

References
Tiếng việt
1. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp Cauchy-
Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
2. Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức trong tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải
Phòng.
3. Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội.
4. Phan Huy Khải (1997), “500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”, NXB Hà Nội,
Hà Nội.
5. Phan Huy Khải (2001), “10.000 bài toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội.
6. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các bài giảng về
bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
7. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008),
“Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà
Nội.
8. Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 bài toán chọn lọc về hệ thức lượng
trong tam giác”, NXB Trẻ, TP. Hồ Chí Minh.
9. Tủ sách toán học và tuổi trẻ (2007), “Các bài thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục,
Hà Nội.
Tiếng Anh.
1. IMO Shorlist, 1990 – 2004.

2. Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B. (1997), “Inequalities A Mathematical
Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany.
3. Mihai B., Bogdan E., Mircae B. (1997), “The Romanian Society of
Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania.
Danh sách Website.
1. www.diendantoanhoc.net.
25

2. www.math.vn
3. www.mathlinks.ro.
4. www.mathscope.org.
5. www.mathnfriend.net.