Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (691.21 KB, 29 trang )
1
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích
thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong siêu mạng hợp phần
Lê Thị Miền
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa Vật lý
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 604401
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Năm bảo vệ: 2011
Abstract.
Trình bày siêu mạng hợp phần và phương trình đông lượng tử cho phonon âm (sóng
âm) trong bán dẫn khối: siêu mạng hợp phần, phương trình động lượng tử và bài toán gia tăng
sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối. Phân tích phương trình động lượng tử và hệ số gia
tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần: phương trình động lượng tử
của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần, biểu thức giải tích của hệ số
gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Tính toán số và vẽ đồ thị
cho siêu mạng hợp phần GaAs-Al0.3Ga0.7As: tính toán số trường hợp khí electron không suy
biến, tính toán số trường hợp khí electron suy biến.
Keywords. Sóng âm; Phonon âm; Vật lý lý thuyết; Vật lý toán
Content.
1. Lý do chọn đề tài.
Trong vài thập kỷ gần đây, công nghệ Laser phát triển mạnh và được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhiều tác giả đã và đang quan tâm nghiên cứu các
màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp của vật liệu. Trong các hệ có cấu trúc nanô,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một
vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của
electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật liệu
khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Các quy luật lượng tử đã bắt đầu có hiệu lực
đáng kể mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
2
năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn, do đó
đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự như khí electron thấp chiều
1 4,9
.
Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy chùm
phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra nhiều hệ các
cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây
lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó,
các nhà vật lý đặc biệt chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều ưu
điểm là do có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số, từ đó có thể tạo ra các bán dẫn siêu
mạng có đặc trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng những yêu cầu và mục đích sử
dụng khác nhau.
Công nghệ laser cho phép ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc thấp
chiều, trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán dẫn khối hiệu
ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến và không suy biến, cả
quá trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon. Trong siêu mạng hợp phần, hiệu
ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm đã được
nghiên cứu, bài toán về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần đang còn để ngỏ.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh
hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng phương trình động
lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát của
phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng hợp phần.
3. Mục đích nghiên cứu
3
Bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm) giam
cầm chúng tôi xây dựng công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần. Từ đó, chúng tôi đã khảo sát và tính toán số các kết quả cho
một siêu mạng hợp phần điển hình là GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As trong hai trường hợp khí điện
tử không suy biến và có suy biến.
4. Bố cục luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình
bày làm 3 chương.
Một số vấn đề liên quan về siêu mạng hợp phần và phương trình động lượng tử
được trình bày ở chương I.
Trong chương II, phương trình động lượng tử được xây dựng cụ thể, từ đó xây
dựng được biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần.
Việc tính số, vẽ đồ thị và thảo luận đánh giá kết quả cho một siêu mạng điển hình
GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As được trình bày ở chương III
4
CHƢƠNG 1
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ
CHO SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Siêu mạng hợp phần
1.1.1. Bán dẫn siêu mạng
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu bán dẫn có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp
nhau.
Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d
A
nằm xen kẽ giữa các lớp
mỏng B có bề dày d
B
. Chọn hướng vuông góc với các lớp bán dẫn làm trục siêu mạng
Oz. Khi đó, khoảng cách d = d
A
+ d
B
gọi là chu kì của siêu mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng
ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần.1
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần
Bán dẫn siêu mạng hợp phần là bán dẫn gồm các lớp bán dẫn A và B khác nhau
thỏa mãn hàng rào thế trong các hố lượng tử đa lớp trở thành trong suốt với hiệu ứng
đường ngầm, các hố lượng tử đa lớp trở thành bán dẫn siêu mạng hợp phần.
Ta có phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp phần ở trạng thái
n,k
có dạng:
22
2 2 2
,
2
cos( )
22
n
nk
k
n
kd
n
m m d
(1.3)
Hàm sóng tổng cộng của electron trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần
trong gần đúng liên kết mạng có dạng
0
1
0
1
e
z
S
ik r ik jz
n
j
xy
r e z jd
L L S
Trong đó L
x
, L
y
tương ứng là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y
5
1.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài toán gia tăng sóng âm (phonon âm) trong
bán dẫn khối.
1.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
2
,
1
( ) ( ) ( )
2
p p q q q q p q p q q
p
q p q
e
H t p A t a a b b C a a b b
mc
(1.6)
Ta có:
2
,
1
, ( ) ( ) ,
2
, , ( ) .
q q q p p
t
t
t
p
k k k k k
k p k p
t
t
k p k
e
i b b H t p A t b a a
t m c
b b b C b a a b b
(1.7)
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q p
tt
t
p
i b b C a a
t
(1.8)
Và thu được phương trình động lượng tử của phonon trong bán dấn khối.
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.15
t
q q q q p p q q
t t t
p
p p q l s
ls
b i b C n n dt b
t
eE q eE q
i t t il t J J
mm
1.2.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
()
1
()
2
it
t
it
t
B b e dt
b B e d
6
tt
b i b
t
(1.16)
Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có
1
2
1
00
11
22
,
()
exp ( )( ) is t 1.17
t
q q q q p p q q
t t t
p
l s p p q
ls
i b i b C n n dt b
eE q eE q
J J i t t il t
mm
Hay viết dưới dạng khác:
2
00
22
,
1 1 1
11
( ) ( )
22
()
1
( ) exp ( )( ) is t
2
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
t
it
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
dt B e d i t t il t
2
00
22
,
íl t
()
()
1
2 ( )
q p p q l s
p l s
i t il t
q
p p q
eE q eE q
C n n J J
mm
Be
d
i l i
Trong đó:
()x
là hàm Delta-Dirac.
2
00
22
,
11
( ) ( )
22
()
()
1
1.18
2 ( )
i t i t
q q q
q p p q l s
p l s
it
q
p p q
i B e d i B e d
eE q eE q
C n n J J
mm
B s l e
d
i l i
Từ phương trình (1.18) ta có:
7
2
00
22
,
( ) ( )
()
( ) 1.19
p p q
q q q q
p
p p q
l s q
ls
nn
i B i B C
i l i
eE q eE q
J J B s l
mm
Từ (1.19) đặt
0
2
eE
a
m
( ) ; 0 1.20
()
p p q
p
q
p p q
nn
li
thu được phương trình tán sắc:
2
2
( ) ( ) ( ) 0 1.22
q q q l
l
q
B C J aq l
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
( ) Im( )
1.23
q l p p q p p q q
lp
q
C J aq n n l
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.23) ta tính hệ số
hấp thụ sóng âm
()q
cho bán dẫn:
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>p
F
;
F
, thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
22
0
2
()
4 2 2
F
m eE q q m q m
qp
s m q q
Trong đó
là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
0
eE
m
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
3/2
2
0
2
exp ;
2
p
p
n A A n
mkT mkT
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
8
2
2
0
2
q
q
C
Vs
(1.25)
Với V
0
thể tích của tinh thể, thường chọn V
0
=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ một
photon:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) exp 2
2 2 2
exp 2 exp 1.26
24
q
q
q q q q
nm
q S sh
s kT kT
q
S sh S
kT m
Ở đây :
2
2
q
m
S
q kT
K là hằng số Boltzmann;
N
0
là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ.
Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức
q
được thực hiện, ta có
( ) 0q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng âm
thỏa mãn bất đẳng thức
q
ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh sau:
1/2 2
2
0
4
22
2
( ) 2
2 2 2
exp
4
nm
q sh sh S
s kT kT
q
S
m
(1.27)
Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (
( ) 0q
) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm (
( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
9
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon.
1.2.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và
điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
2
2
()
q l p p q p q p q p q
lp
q C J aq n l l
(1.28)
Đặt
p q p q
l
trong trường hợp
1
, dùng công thức biến đổi:
22
2
22
l
l
Jl
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
()
qp
p
q C n
(1.29)
Trong đó:
0
eE
m
Và xét bán dẫn không suy biến, thì từ phương trình (1.26) ta có phương trình sau:
2
2
22
3
0 0 0
22
22
22
22
22
22
( ) . . exp exp
22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
q
z
z
zz
zz
AC
PP
q d dP P dP
mkT mkT
q p q q p q
m m m m
q p q q p q
m m m m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo P
z
,
P
của (1.30), ta nhận được:
10
2
22
2
0
2
2
2
2
0
.
( ) exp
22
.2 2
1/ 2
!2
2
q
q
l
q
m n m q
q
q kT m
kT s
mq
I
q
q kT m
m
2
2
2
2
2
2
2
0
exp
22
1/ 2
1.31
!2
2
q
q
l
q
mq
q kT m
mq
I
q
q kT m
m
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi
trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
!2
2
exp
2
q
q
l
q
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
q kT m
m
mq
I
q
kT q kT
m
2
1.32
2
q
m
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
22
22
22
1.33
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
Thì
( ) 0q
, còn nếu:
11
22
22
22
1.34
22
22
m q m q
II
q kT m q kT m
mm
Thì ta có
( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 2
1/2
2 2 2
0
22
2
2
2
0
2
2
( ) exp exp
2 2 2 2 2
1/ 2
exp
!2
2
2
q
q
q
l
q
q
n m m m q
q
s kT q kT q kT m
mq
I
q
kT q kT m
m
m
I
q
q kT
m
2
1.35
2
q
q
m
Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm
( ) 0q
đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm
( ) 0q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số
gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser.
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.
2.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong bán
dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng khi có
mặt trường bức xạ laser
)sin(
0
tEE
có dạng:
H = H
e
+ H
ph
+ H
e-ph
(2.1)
12
Trong đó:
H
e
=
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
: năng lượng của các điện tử không tương tác
H
ph
=
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
: năng lượng của các phonon âm không tương tác
H
e-ph
=
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
: năng lượng tương tác điện tử phonon âm
H =
knkn
kn
n
aatA
c
e
k
,,
,
))((
+
qmqm
qm
qm
bb
,,
,
,
+
)(
,,
,
,,
,
,,
''
'
qmqm
kn
qkn
m
nn
qm
knn
m
q
bbaaIC
(2.2)
Gọi
t
qm
qmqm
bbtN
,
,,
)(
là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng:
t
qmqm
qm
Hbb
t
tN
i ,
)(
,,
,
t
pheqmqm
t
phqmqm
t
eqmqm
qm
HbbHbbHbb
t
tN
i
,,,
)(
,,.,,,
,
(2.3)
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
+
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
+
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
TÍNH.
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmqm
Hbb ,
,,
=
t
knkn
kn
nqmqm
aatA
c
e
kbb
,,
,
,,
))((,
13
t
eqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.4)
2. Số hạng thứ 2
t
phqmqm
Hbb ,
,,
=
t
qm
qmqmqm
qmqm
bbbb
''
''''''
,
,,,
,,
,
t
phqmqm
Hbb ,
,,
= 0 (2.5)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
=
t
qm
qm
knn
qm
kn
qkn
m
nn
m
q
qmqm
bbaaICbb
''
''
'
''''
'
'
'
'
,
,
,,
,
,
,,
,,
)(,
t
pheqmqm
Hbb
,
,,
=
t
qm knn
kn
qkn
qm
qqmmqqmm
qm
m
nn
m
q
aabbIC
'' '
''''''
'
'
'
'
, ,,
,
,
,
,,,,
,
,
)(
=
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
-
knn
m
nn
m
q
IC
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
aab
,
,
,
'
(2.6)
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
t
kn
qkn
qm
m
q
t
kn
qkn
qm
m
q
aabCaabC
,
,
,
,
,
,
''
t
tN
i
qm
)(
,
knn
m
nn
I
,,
,
'
'
tqmFCtqmFC
kn
qkn
m
q
qkn
kn
m
q
,,,,
,
,
,
,
'
'
(2.7)
Với
tqmF
kn
qkn
,,
,
,
'
=
qm
qkn
kn
baa
,
,
,
'
Tương tự ta viết phương trình động cho
tqmF
px
py
,,
1
2
,
,
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
qmpypx
Hbaa ,
,,,
21
(2.8)
14
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
=
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
+
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
Tính
1. Số hạng thứ 1:
t
eqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
kn
knkn
nqmpypx
aatA
c
e
kbaa
11
1111
121
,
,,
1,,,
,
=
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
knkn
qmpypx
aabaa
1111
21
,,
,,,
,
1111
21
,,
,,,
,
knkn
qmpypx
aabaa
=
qmpypx
knknknkn
pypx
baaaaaaaa
,,,
,,,,
,,
21
11111111
21
=
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
(2.9)
2. Số hạng thứ 2
t
phqmpypx
Hbaa ,
,,,
21
=
t
qmqm
qm
qmqmpypx
bbbaa
1111
11
1121
,,
,
,,,,
,
=
11
11
,
,
qm
qm
t
qmqmqmpypx
bbbaa
111121
,,,,,
,
111121
,,,,,
,
qmqmqmpypx
bbbaa
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
,
qmqmqm
bbb
=
21
,, pypx
aa
1111
,,,
qqmmqm
b
(2.10)
3. Số hạng thứ 3:
t
pheqmpypx
Hbaa
,
,,,
21
=
t
qm
knn
qmqm
kn
qkn
m
nn
m
qqmpypx
bbaaICbaa
11
1
'
11
1111
11
11
'
1
1
'
11
1
121
,
,,
,,
,
,,
,,,
,
=
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
15
1111
11
11
'
1
21
,,
,
,
,,,
,
qmqm
kn
qkn
qmpypx
bbaabaa
1111
11
1
12
'
1
,,,
,
,
,
,
qmqmqm
kn
px
kp
ny
bbbaa
qmqmqmpy
qkn
pk
xn
bbbaa
,,,,
,
,
,
11112
11
'
1
11
1
11
,,
qqmm
2
11
1
11
'
1
,
,
,
,
py
kn
px
qkn
aaaa
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
t
tqmF
i
px
py
,,
1
2
,
,
tA
c
e
k
kn
n
1
,
11
1
t
qm
kp
nxpy
knkp
ny
kn
px
baaaa
,
,
,,
,,
,
,
,
11
12
1112
1
11
1
11
11
,
,
qm
qm
t
qqmmqmpypx
baa
111121
,,,,,
1
'
11
11
1
'
11
1
1
,
,
,,
m
nn
qm
knn
m
q
IC
t
py
kn
px
qkn
qqmm
qmqmqmpy
qkn
pk
xnqmqmqm
kn
px
kp
ny
aaaa
bbbaabbbaa
2
11
1
11
'
1
11
11112
11
'
1
11
11111
11
1
12
'
1
,
,
,
,
,,
,,,,
,
,
,,,,
,
,
,
,
1
2
,
,
( , , )
xp
yp
F m q t
''
12
11
1 1 1 1
'
2
1 1 1
,,
,
,,
,,
t
mm
q x p y p
nk
n n n k q
t
nnk
i
C I a a a a
11
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
2
11
, , , , , , , , , , ,
,
mm
q x y x p q y p m q m q m q x p y p q m q m q m q
t
mq
C I a a b b b a a b b b
2
1 1 2 1 , 1 2
exp
t
x y m q
t
i e e
p A t p A t dt dt
cc
Khi xét hệ phonon không cân bằng, ta giả thiết hệ điện tử ở trạng thái cân bằng
nghĩa là hàm phân bố Fermi- Dirac của electron không phụ thuộc vào thời gian
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 4 2 2 3 3
, , , , , , , ,n k n k n k n k n k n k n k n k
t
tt
a a a a a a a a
=
1 1 4 2 2 3
1 4 2 3
1 , 2 ,
,,
n n n n n n
k k k k
f k f k
(2.19)
16
Tính (2.17) ta có:
,
()
mq
Nt
t
' ' ' ' ' '
11
1 1 1 1 1
''
1 1 1
2
1
,,
, , , ,
, , , ,
1
t
m m m m
k q k k q k
n n n n n n n n n n
n n k n n k
I C C I f k q f k q
11
'
1
11
,
,
mm
q
nn
mq
CI
''
11
1
1 , 2 , ,
,
,
m q m m q q
k q q k
n n n
f k q q N t
''
11
1
, 2 , ,
,
,
1
m q m m q q
k q k
n n n
f k q N t
'
2
1 1 , 1 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k q A t k A t dt dt
cc
m
q
C
'
11
'
1 1 1
,
,,
t
mm
q
nn
nnk
CI
' ' '
11
11
1
1,
,,
,
n n n
k k k q k q
n n n
f k f k q
11
'
1
11
,
,
mm
q
nn
mq
CI
''
1 1 1 1
1
, 2 , ,
,
,
m q m m q q
k q k q
n n n
f k q N t
''
1 1 1 1
1
1 , 2 , ,
,
,
1
m q m m q q
k q q k
n n n
f k q q N t
'
2
1 1 , 1 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt dt
cc
,
()
mq
Nt
t
''
'
2
2
2
1 , 1
,
,,
1
1
t
mm
q m q n
n n n
n n k
I C dt N t f k q f k
,1
1
mq
Nt
n
fk
'
1
n
f k q
1
'
2 2 , 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt
cc
'
,1
1
m q n
n
N t f k q f k
,1
1
mq
Nt
n
fk
'
1
n
f k q
1
'
2 2 , 2
exp
t
n m q
n
t
i e e
k A t k q A t dt
cc
(2.20)
17
(2.20) là phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong bán dẫn
siêu mạng.
2.1.2. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần:
Xét siêu mạng hợp phần, phổ năng lượng của electron có dạng:
22
2 2 2
,
2
cos( )
22
n
np
p
n
pd
n
m m d
2n
e
k A t
c
2
2
22
2
2
n
ee
k A t k A t
mc mc
'
2
n
e
k q A t
c
'
2
2
22
2
2
n
k q e
e
k q A t A t
mc mc
'
2
n
e
k q A t
c
'
2
2
22
2
2
n
k q e
e
k q A t A t
mc mc
'
22n
n
ee
k A t k q A t
cc
'
2n
n
eq
k k q A t
mc
'
22n
n
ee
k A t k q A t
cc
'
2n
n
eq
k k q A t
mc
Thay vào (2.20) ta được phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm
trong siêu mạng hợp phần:
,
()
mq
Nt
t
''
'
2
2
2
1 , 1
,
,,
1
1
t
mm
q m q n
n n n
n n k
I C dt N t f k q f k
,1
1
mq
Nt
n
fk
'
1
n
f k q
1
'
2 , 2
exp
t
n m q
n
t
eq
i
k k q A t dt
mc
'
,1
1
m q n
n
N t f k q f k
,1
1
mq
Nt
n
fk
'
1
n
f k q
1
'
2 , 2
exp
t
n m q
n
t
eq
i
k k q A t dt
mc
Thay
,mq
m
q
18
Tacó:
1
'
22
t
nm
n
t
eq
k k q q A t dt
mc
1
'
1 2 2
t
nm
n
t
eq
k k q q t t A t dt
mc
1
'
22
t
nm
n
t
eq
k k q q A t dt
mc
1
'
1 2 2
t
nm
n
t
eq
k k q q t t A t dt
mc
Với
2
0
e E q
mc
Áp dụng công thức:
exp izsin exp is
s
s
t J z t
,
()
mq
Nt
t
''
'
2
2
,
2
2
,
,,
()
mq
mm
l q n
n n n
l
n n k
Nt
J I C f k q f k
1
exp
i
t
1 1 1
exp
t
i
t dt
'
n
n
f k q f k
2 2 1 1
exp exp
t
ii
t t dt
(2.25)
Vậy:
,mq
''
'
2
2
2
2
,
,,
1
mm
l q n
n n n
l
n n k
J I C f k q f k
1
1
i
i
'
n
n
f k q f k
2
1
i
i
(2.26)
Đổi
'
,n n k k q
ở số hạng thứ nhất của (2.26) ta có:
19
,mq
''
'
2
2
2
,
,,
2
mm
l q n
n n n
l
n n k
J I C f k q f k
,mq
''
'
2
2
2
,
,,
2
mm
l q n
n n n
l
n n k
J I C f k q f k
'
nm
n
k q k q l
(2.29)
Công thức (2.29) là công thức tính hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong
siêu mạng hợp phần. Để thiết lập công thức này ta chưa thực hiện một phép gần đúng
nào đối với cường độ trường Laser. Như vậy công thức này có thể áp dụng cho cả
trường hợp trường ngoài mạnh.
,mq
''
'
2
2
,
,,
mm
qn
n n n
n n k
I C f k q f k
''
n m n m
nn
k q k q k q k q
(2.30)
Số hạng chứa hàm
thứ nhất trong (2.30) thể hiện sự hấp thụ photon, còn số hạng
thứ 2 thể hiện sự phát xạ photon. Như vậy tốc độ thay đổi phonon có cả sự đóng góp
của quá trình hấp thụ, phát xạ photon gây ra. Vì vậy ta có thể viết lại:
, , ,m q m q m q
(2.31a)
Trongnđó:
' ' '
'
2
2
,
,
,,
mm
m q q n n m
n n n n
n n k
I C f k q f k k q k q
(2.31b)
Phương trình (2.31b) tổng quát cho cả trường hợp khí electron không suy biến (phụ
thuộc vào dạng hàm phân bố). Khi thiết lập phương trình này, chúng ta không thực
hiện một gần đúng nào với trường laser, vì vậy có thể áp dụng phương trình (2.31) để
nghiên cứu các quá trình khi có mặt của trường laser mạnh (hấp thụ nhiều photon).
20
2.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần:
2.2.1. Trường hợp khí electron không suy biến:
Xét trường hợp khí electron không suy biến thì hàm phân bố Fermi-Dirac trở thành
hàm phân bố Boltzman:
1
1
Fn
Fn
k
n
k
f k e
e
'
'
'
1
1
F
n
F
n
kq
n
kq
f k q e
e
(2.32)
Với
F
là mức Fermi.
1
B
kT
,
B
k
hằng số Boltzman,
T
nhiệt độ tuyệt đối
Thay (2.32) vào (2.31b) ta được:
2 2 2
' 2 2
'
'
'
2
cos( ) cos( )
2
2
22
,
,
,,
nn
n n n
n
F
k k q q k
k d k d
mm
mm
m q q
nn
n n k
I C e e e
'
2 2 2
22
'
2
cos( ) cos( )
22
nn
n n n m
n
k k q q
k
k d k d q
mm
Thay
2
2m
suy ra:
2
22
'
22
'
'
3
2
2
2
cos( )
2
2
,
4
,
,
2
1
4
n
nm
n
F n n
m
q
q
kd
m
q
q
mm
m q q
nn
nn
Sm
I C e e e
(2.34)
Công thức (2.34) là công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong bán dẫn siêu mạng hợp phần trong trường hợp khí electron không suy biến.
2.2.2. Trường hợp khí electron suy biến.
Xét trường hợp khí electron suy biến, trong bán dẫn siêu mạng hợp phần, hàm
phân bố Fermi-Dirac được lấy gần đúng là hàm bước nhảy có dạng:
21
1
0
Fn
n F n
Fn
khi k
f k k
khi k
Ta có:
22
22
2
n n n x y
k
k k k
m
22
cos( )
n
n F n x y n
f k k k k d
,
' ' ,
222
cos( ) 2
n
F x y x
n n n
f k q k d k k q k q
Thay vào (2.31b) ta được:
,
' ' ,
'
2
2
222
,
,
,,
cos( ) 2
m m n
m q q F x y x
n n n n
n n k
I C k d k k q k q
,
',
222
cos( ) 2
n
F x y x
nn
k d k k q k q
,
',
2
cos( ) cos( ) 2
nn
n n x m
nn
k d k d q k q q
Trường hợp 1:
'
,
,
2
2
2
2
cos( )
4
nm
n
n
F n m y
n
q k d k
q
,
'
,
2
2
2
22
cos( )
4
n
nm
F n m
n
n
y
k d q
k
q
.
2
,
2
'
,
22
'
2
,
2
'
'
,
22
cos( )
2
2
4
,
2
,
cos( )
,
4
2
2
n
nm
Fn
n
n
n
nm
F n m
n
n
kd
q
mm
m q q y
nn
k d q
nn
q
S
I C dk
q
,
'
,
'
'
2
2
2
2
2
22
,
,
cos( )
24
2
n
nm
F n m
n
mm
n
q
nn
nn
k d q
S
IC
22
,
'
,
2
2
22
cos( )
4
n
nm
Fn
n
n
kd
q
Thay
2
2m
vào ta có:
,mq
,
' , '
'
3
2
2
2
2
2
2
4 2 2
,
,
2
cos( )
4 2 2
m m n
q F n m n m
n n n n
nn
Sm m
I C k d q q q
q q m
,
,'
2
2
2
22
cos( )
22
n
F n n m
nn
m
k d q q
qm
Trường hợp 2:
'
,
,
2
2
2
2
cos( )
4
nm
n
n
F n m y
n
q k d k
q
Làm tương tự ta thu được kết quả giống trường hợp 1.
Vậy:
,mq
'
'
3
2
2
2
4
,
,
2
4
mm
q
nn
nn
Sm
I C A
q
B
(2.36)
Trong đó:
,
,'
2
2
2
22
cos( )
22
n
F n m n m
nn
m
A k d q q q
qm
'
2
2
2
22
cos( )
22
n
F n n n m
n
m
B k d q q
qm
Công thức (2.36) là công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phononâm) giam cầm
trong bán dẫn siêu mạng hợp phần trong trường hợp khí electron suy biến.
Khi không có sự hấp thụ photon (dấu dưới) thì hệ số gia tăng phonon âm giam
cầm luôn luôn âm, nghĩa là không thể có phát xạ phonon. Khi có sự hấp thụ photon
23
(dấu trên) thì có thể phát xạ phonon nếu thỏa mãn điều kiện
q
đồng thời A, B đều
phải dương và A > B.
CHƢƠNG 3
TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As.
Từ các biểu thức giải tích đã thu được, ta có thể khảo sát bằng số sự phụ thuộc của
hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm vào nhiệt độ, biên độ, tần số của trường
laser, chiều dài hố lượng tử và số sóng của bán dẫn siêu mạng hợp phần. Trong chương
này chúng ta sẽ tính số biểu thức (2.34) và (2.36) cho hai trường hợp khí electron
không suy biến và khí electron suy biến, từ đó vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần điển
hình GaAs-Al
0.3
Ga
0.7
As.
3.1. Tính toán số trƣờng hợp khí electron không suy biến:
Hình 3.1: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào nhiệt
độ ứng với số sóng q = 1,5.10
7
(đường liền), q =1,6.10
7
(đường gạch), q
=1,8.10
7
(đườngchấm).
24
Hình 3.2: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào tần số
trường Laser ứng với nhiệt độ T = 400K(đường liền), T = 450K(đường gạch),
T = 500K (đườngchấm).
Hình 3.3: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào biên độ
trường Laser ứng với nhiệt độ T = 300K(đường liền), T = 350K(đường gạch),
T = 400K (đườngchấm).
25
Hình 3.4: Hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào độ
rộng hố thế ứng với nhiệt độ T = 400K(đường liền), T = 450K(đường gạch), T = 500K
(đườngchấm).
3.2. Tính toán số trƣờng hợp khí electron suy biến:
Hình 3.5: Hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng hợp phần
trường hợp suy biến phụ thuộc vào tần số trường Laser ứng với số sóng q = 10
7
m
-
1
(đường liền), q = 1,5.10
7
m
-1
(đường gạch), q = 2.10
7
m
-1
(đườngchấm).
