Toán học Chủ đề 4: Một số dạng toán về chứng minh số phức26265
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (795.32 KB, 19 trang )
Ỏhuyên Đ S ớh c
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 1
CH
Đ 4. M T S
I. CÁC VÍ D
M CL C
D NG TOÁN V CH NG MINH S
RÈN LUY ộ Kơ ộĂộỒ
PH C ........ 3
.................................................. 3
II. BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN............. 12
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 2
Ỏhuyên Đ S ớh c
ỎH
ớh
Đ 4. Ộ T S
D ộỒ TOỦộ V ỎH ộỒ ỘIộH S
ớH Ỏ
ng pháp: Ta nh c l i m t s công th c c b n sau:
Cho s ph c z x yi, x,y
Lúc đó
z x yi .
z x2 y 2 .
z z.z . Công th c này ch ng minh d dàng nh sau
2
2
2
z.z x yi x yi x2 y 2 x2 y z .
I ỎỦỎ VÍ D
ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ
Ví d 1. Ch ng minh r ng:
a) z1 z2 z1 z2 ;
z z
c) 1 1 , z 2 0
z2 z2
b) z1 .z2 z1 .z2 ;
Áp d ng: Cho ba s
ph c
z1 ,z2 ,z 3
đ u có môđun b ng 1. Ch ng minh
z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z1z3 .
Gi i
Gi s :
z1 x1 y1i, z2 x2 y2 i, x1 ,x2 , y1 , y2
a) Ta có:
z1 x1 y1i
Mà
V y
và
z2 x2 y 2 i
nên
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1 z2 x1 x2 y1 y2 i
z1 z2 z1 z2
.
b) Ta có:
z1 .z2 x1 y1i x2 y2 i x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i
M t khác:
z1 .z2 x1 y1i x2 y2i x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i
z1 .z2 x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i
V y
z1 .z2 z1 .z2
.
c) Ta c n ch ng minh b đ sau:
1
z. 1
nên ta có
Vì z
z1 z
1
, z 0
1
1
1
z. 1 z. 1 z z
z
z
1
Áp d ng b đ trên, ta có:
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 3
z1
1
1
1
z1 . z1 . z1 .z2 z1 . z2
z2 z2
z2
Áp d ng: Vì
z1z2 z3 1
z1z2 z2 z3 z3 z1
1
z1
z2
.
ĐPCM
nên
z1z2 z 2 z 3 z 3 z1
z1z2 z3
z1z2 z2 z3 z3 z1
1
1
1
z1z2 z3
z1 z 2 z 3
z1 z2 z 3 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3
L u
Ta có công th c t ng quát sau: Cho n s ph c
z1 ,z2 ,...,z n
b tk .
Ta ln có:
z1 z2 z3 ... zn z1 z 2 z 3 ... z n
z1z2 z3 ...zn z1 .z2 .z3 ...zn .
Tr
c h t ta ch ng minh:
z1 z2 z3 ... zn z1 z2 z3 ... zn
n
Gi s : zk ak bk i, k 1,2,3,...,n và z zk a bi
k 1
n
n
k 1
k 1
Trong đó a a k , b bk
Ta có:
z a bi
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
a k bk a k bk i z k
Hay z1 z2 z3 ... zn z1 z2 z3 ... zn
Bây gi ta ch ng minh z1z2 z3 ...zn z1 .z2 .z3 ...zn * * b ng quy n p
z1 a1 b1i, z2 a 2 b2i
V i n 2 : Gi s
Ta có: z1.z2 a1 b1i a 2 b2i a1a 2 b1b2 a1b2 a 2 b1 i
Suy ra: z1 .z2 a1a2 b1b2 a1b2 a 2 b1 i
M t khác: z1.z2 a1 b1i a 2 b2i a1a 2 b1b2 a1b2 a 2 b1 i
V y v i n 2 đ ng th c đúng
Gi s
đúng v i n k, n 2 ta s ch ng minh h th đúng v i n k 1
Th t v y:
Đ t z z1z2 ...z k , ta có: z z1z2 z3 ...zn z1 .z2 .z3 ...zk
V i hai s ph c z và zk 1 ta có: z.zk1 z.zk1 z1 .z2 .z3 ...zk .zk1
H th c cu i đ
c ch ng minh v i n k 1.
Ví d 2. Ch ng minh r ng:
a) z1 .z2 z1 . z2 ;
b)
z
z1
1
z2
z2
Áp d ng: Tìm mơ đun các s ph c sau:
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 4
Ỏhuyên Đ S ớh c
u
x2 y 2 2xyi
xy 2 i x4 y 4
x2 y 2 i 2xy
w
,
x y 2i
H
xy
, x, y
ng d n gi i
a) Cách 1. Đ t z1 x1 y1i, z2 x2 y2 i, x1 ,x2 , y1 , y2
z1 x12 y12
Ta có:
.
z2 x22 y 22
và
T đó
z1 z2 x12 y12 , x22 y 22
x
2
1
y12 x22 y 22
x12 x22 y12 y 22 x12 y 22 y12 x22 1
M t khác:
z1 .z2 x1 y1i x2 y2i x1x2 y1y2 x1y2 y1x2 i
Do đó
x1x2 y1y2 x1y2 y1x2
2
z1 .z2
và
T
2
x12 x22 y12 y22 x12 y22 y12 x22 1
ta suy ra đi u ph i ch ng minh
2
Cách 2. Vì z z.z nên
z1 .z2
2
2
z1 .z2 .z1.z2 z1.z2 .z2 .z1 z1.z1.z2 .z2 z1 . z2
2
Suy ra: z1 .z2 z1.z2
b) Cách 1. Tr
c h t ta ch ng minh b đ : z1 z
1
z
Th t v y: z. 1 z .
1
,z
1
1
1 1
hay z1 z ,z
1
z
z z
Áp d ng b đ trên ta có:
*
*
z1
1
z1 .
z1 .z21 z1 z21 z1 z2
z2
z2
1
z1
z2
Cách 2.
Vì z2 z2 nên
L u
z1 .z2
z1 . z2
z1 . z2
z1
z1
z .z
z .z
1 2 1 22
2
2
2
z2
z2
z2 .z2
z2
z2
z2
z2
Khơng có cơng th c: V i m i s ph c z1 ,z2 : z1 z2 z1 z2 . Tuy nhiên ta có b t
đ ng th c sau: z1 z2 z1 z2
Th t v y, g i u1 bi u di n z1 , u 2 bi u di n z 2 thì u1 u2 bi u di n z1 z2
Ta có: z1 z2 u1 u2
* TH 1: Khi z1z2 0 thì :
u1 u 2
2
u1 u 2
2
2
2
2
2
2
2
u1 u 2 2u1 .u 2 u1 u 2 2 u1 u 2 cos u1 , u 2
u1 u 2 2 u1 u 2 u1 u 2
z
2
1
z2
2
Do đó
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 5
z1 z2 u1 u2 z1 z2
* TH 2: Khi z1z2 0 thì rõ ràng z1 z2 z1 z2
V y z1 z2 z1 z2 , z1 ,z 2
z
z1
1
z2
z2
Áp d ng: Ta s áp d ng
Ta có:
u
T
x y 2xyi
2
2
xy 2 i x 4 y 4
x
x
y
2
y2
2
2
x 2 y 2 2xyi
x
2
y2
2
4x 2 y 2
2x 2 y 2 x 4 y 4
xy 2 i x 4 y 4
2
2
1
ng t : w
x2 y 2 i 2xy
x y 2i
xy
x2 y 2 2xy
x y 4xy
2
x y
2
x y
2
1.
Ví d 3. a) Ch ng minh: S ph c z là s th c khi và ch khi z z .
ph c z1 ,z2 đ u có mođun b ng 1, z1 .z2 1 . Ch ng minh
V n d ng: Cho hai s
z
z1 z 2
là s th c.
1 z1z 2
b) Ch ng minh: S ph c z là s
o khi và ch khi z z
z z
1
2
V n d ng: Ch ng minh hai s ph c phân bi t z1 ,z 2 th a z1 z2 khi và ch khi z z
1
2
là s
o.
Gi i
Đ t z a bi, a,b
a) Ta có: z z a bi a bi 2bi 0 b 0 z là s th c.
V y, z là s th c khi và ch khi z z
V n d ng: Ta có:
2
z1 z1 z1 1 z1
1
z1
t
1
ng t ta có z 2 z
2
1
1
z1 z2
z1 z2
z1 z2
z1 z2
z z2
1
z ÑPCM
Xét z 1 z z 1 z z 1 z .z
1 1 1 z1 z 2
1 2
1 2
1 2
1 .
z1 z 2
b) Ta có:
z z a bi a bi 2a 0 a 0 z là số ảo.
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 6
Ỏhuyên Đ S ớh c
o khi và ch khi z z
V y, z là s
V n d ng: Ta có
z1 z 2
là s
z1 z 2
o
z1 z 2
z z2
z z 2 z1 z 2
z z 2 z1 z 2
1
1
0 1
0
z1 z 2
z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 .z1 z 2 z1 z 2 .z1 z 2 0
z1 z 2 . z1 z 2 z1 z 2 . z1 z 2 0
2
2 z1 z1 z 2 z 2 0 z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2
Ví d 4. Cho s ph c z th a mãn
2
z1 z 2
2z 1
là s th c. Ch ng minh r ng z là s th c.
z1
Gi i
Ta bi t r ng s ph c w là s th c w w. Do đó
2z 1 2z 1
2z 1 2z 1
2z 1
là s th c
z 1
z 1
z1
z1 z1
2z 1 z 1 2z 1 z 1
2zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z z
z là s th c.
Ví d 5. Cho n là s nguyên d
n
n
6 17i 3 28i
a) z
;
4 3i 5 6i
ng ch ng minh r ng:
13 6i
b) z
4 5i
2n
3 4i
n
Gi i
a) Ta có
n
n
n
n
6 17i 3 28i
z
3 2i 3 2i
4 3i 5 6i
Suy ra:
n
n
n
n
n
n
n
z 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i
n
3 2i 3 2i z
V y z là s th c.
b) Ta có
13 6i
z
4 5i
2n
n
3 4i 2 i
n
n
2n
n
2
3 4i 2 i
n
3 4i
n
n
3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25n
V y z là s th c.
Ví d 6. Ch ng minh r ng
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 7
2
2
2
2
a) z z' z z' 2 z z' , z,z'
2
b) 1 z1 .z2 z1 z2
2
1 z1z2
z1 ,z2 ,z3 .
c) V i m i s ph c
2
2
z
z2
1
2
, z1 ,z2
Ch ng minh r ng:
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
2
2
2
2
4 z1 z2 z3 .
Gi i
a) Ta có:
VT z z' z z' z z' .z z' z z' .z z'
2
2
z z' z z' z z' . z z'
z.z z.z' z' z z'.z' zz z.z' z' z z'.z'
2
2
2
2 z 2 z' 2 z z'
VP
2
b) Ta có:
2
VT 1 z1 .z 2 z1 z 2
2
1 z1 .z 2 .1 z1 .z 2 z1 z 2 .z1 z 2
1 z1 .z 2 1 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2
1 z1
2
2
2
z 2 z1 z 2
2
*
M t khác:
VP 1 z1z2
z1 z2
2
2
2
2
1 2 z1z2 z1z2 z1 2 z1 z2 z2
T
và
2
1 z1
2
2
2
z2 z1 z2
* *
2
ta suy ra đi u ph i ch ng minh.
c) Ta có
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 . z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
z1 z1 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z2 z2 z3 z3 z1 z3 z2 z3 z3
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2 1
T
ng t
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 . z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
z1 z1 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z2 z2 z3 z3 z1 z3 z2 z3 z3
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2 2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 . z1 z 2 z3 z1 z 2 z3 z1 z 2 z3
z1 z1 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z2 z2 z3 z3 z1 z3 z2 z3 z3
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
3
Page 8
Ỏhuyên Đ S ớh c
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 . z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
z1 z1 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z2 z2 z3 z3 z1 z3 z2 z3 z3
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2 4
C ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta đ
2
2
c
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3
2
2
2
4 z1 z2 z3 .
Ví d 7. Ch ng minh r ng n u s ph c z3
1
z
3
2 thì z
1
2.
z
Gi i
Ta có:
3
1
1
1
3
z z 3 3 z , m t khác ta có: z1 z2 z1 z2 .
z
z
z
Do đó
3
1
1
1
1
1
1
z
z3
3 z z3
3 z 23 z
3
3
z
z
z
z
z
z
Đ t a z
1
lúc đó ta đ
z
c
a 3 2 3a a 2 a 1 0 a 2 hay z
2
Ví d 8. Ch ng minh r ng n u z 1 thì
1
2
z
2z i
1 .
2 iz
Gi i
Gi s
z a bi, a,b
theo gi thi t ta có
a 2 b2 1 a 2 b2 1
Khi đó
4a 2 2b 1
2z i 2a 2b 1 i 2a 2b 1 i
2
2 iz
2 b ai
2 b ai
2 b a2
2
Do đó
4a 2 2b 1
2
2
2z i
1
1 4a 2 2b 1 2 b a 2
2
2 iz
2 b a2
2
a 2 b2 1
Ví d 9. Cho z1 và z 2 là hai s ph c th a z1 2z2 2z1 z2 . Ch ng minh r ng v i m i s
th c a, ta có: z1 az2 az1 z2 .
Gi i
Gi s
z1 p qi, z2 r si v i p,q,r,s
Khi đó
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 9
z1 2z2 2z1 z 2 p 2r i q 2s 2p r i 2q s
2
2
2
p 2r q 2s 2p r 2q s
2
2
2
2
p 2r q 2s 2p r 2q s
2
p2 4pr 4r 2 q 2 4qs 4s2 4p2 4pr r 2 4q 2 4qs s2
r 2 s2 p2 q2 1
Ta có:
z1 az2 az1 z2 p ar i q as ap r i aq s
2
2
2
p ar q as ap r aq s
2
2
2
2
p ar q as ap r aq s
2
p2 2apr a2 r 2 q 2 2aqs a2s2 a2 p2 2apr r 2 a2 q 2 2aqs s2
p 2 q 2 a 2 p 2 q 2 r 2 s2 a 2 s 2 r 2
a 2 1 p 2 q 2 a 2 1 r 2 s2
2
đúng d n đ n đi u ph i ch ng minh.
Ví d 10. Ch ng minh r ng v i m i s ph c z , có ít nh t 1 trong hai b t đ ng th c sau
x y ra z 1
1
2
ho c z2 1 1
H
ng d n gi i
1
z 1
2 * .
Gi s ta có đ ng th i
2
z 1 1
Đ t z a bi, a,b
Lúc đó
2
1
2 a 2 b2 4a 1 0
1 a b2
2
*
2
2
1 a 2 b2 4a 2 b2 1 a 2 b2 2 a 2 b2 0
L y (1) c ng (2) v theo v ta đ
a
2
b2
2
z1 ,z2 ,z3 là ba s
2
c:
2a 1 0 (vô lý). T
2
1
đó ta đ
c đi u ph i ch ng minh. Ví d
10*. Cho
th c phân bi t sao cho z1 z2 z3 r 0 . Ch ng minh r ng: N u
z1z2 z3 , z 2z3 z1, z 3z1 z 2 là các s th c thì r 1 và z1z2z3 1.
H
ng d n gi i
Vì z1 ,z2 ,z3 là ba s th c phân bi t và z1 z2 z3 r 0 nên
z1 , z2 , z3 , z1 z2 , z2 z3 , z3 z1 đ u khác không
và z1 z1 z2 z2 z3 z3 r2 .
N u z1z2 z3, z 2z 3 z1, z 3z 1 z 2 là các s th c thì ta có
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 10
Ỏhuyên Đ S ớh c
z1z2 z3 z1z2 z3 z1.z2 z3
z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 .z3 z1
z3z1 z2 z3z1 z 2 z3 .z1 z 2
Do đó
r 2 z1z2 z3
r 2 z1z2 z3
r 2 z1z 2 z3 z1z 2 z3
r2
T
4
2
2
z1z2 z3 z z z z z z
z
z
.z
z
.z
z
z
z
z
r
z
r
z
z
z
z
r
z
1 1 2 2 3
1 2 3 3
3
1 2
1 2
3
1 2 3 1 2
3
t :
ng
z z z
z z z
z z z
r2
1 2 3 2 3 1 3 1 2 .
2
2
z1z2z3 z z r z
z2z3 r z1 z3z1 r 2z 2
1 2
3
Áp d ng tính ch t c a t l th c
a c ac
b d bd
Ta có:
z1z2 z3 z2z3 z1
z z z
z 1 z2 z3 z1 1
r2
1 2 3
1
z1z2 z3 z z r 2z
z1z2 r 2 z3 z2z3 r 2z1
z2 z3 z1 r2 z1 r2
1 2
3
T
ng t :
z 1 z2 1
z 1
z 1
z 1
z z
r2
r2
1
2
3
1
1 2 1
z1z2 z3 z r 2 z r 2 z r 2
z1z2z3 z r 2 z r 2
z1 z2
1
2
3
1
2
Suy ra:
z z z r 2
2
z z z r 2
1 2 3
r 1
r 1
1 2 3
z
1
1
2
1
z1z2 z3 1
z1z2 z3 1
2
z1 1 z1 r
z
r
1
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 11
II. ọÀI T ớ VÀ ỎỨU H I Tờ Ỏ ộỒHI Ộ KHỦỎH ỜUỌộ
Câu 1. Cho s ph c z x yi, x,y
.
1.1. Ph n th c c a s ph c z b ng:
A. z z
B. z z
D.
1
zz
2
D.
1
zz
2
C.
1
zz
2
C.
1
zz
2
1.2. Ph n o c a s ph c z:
A.
1
zz
2i
B.
1
zz
2i
H
Đ t z x yi, x,y
z x yi.
1
x zz
z z 2x
2
Từ đó
z
z
2yi
y 1 z z
2i
V y ch n đáp án
ng d n gi i
D và
ọ
Câu 2. Cho s ph c z a bi, a,b
. Kh
A. a z và b z .
B. a z và b z .
C. a z và b z .
D. a z và b z .
H
ng đ nh nào sau đây đúng
ng d n gi i
Ta có
z a2 a a
z a 2 b2
z b2 b b
V y a z và b z .
V y ch n đáp án Ọ
Câu 3. Cho z là s ph c th a mãn
o. Tìm kh ng đ nh đúng
C. z 2
B. z 1
A. z 5
z1
là s
z 1
H
D. z 2
ng d n gi i
Ta có:
z1
là s
z 1
o
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1 z 1
0
0
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1 .z 1 z 1 .z 1 0
z 1 . z 1 z 1 . z 1 0 z.z 1 z 1 z 1
2
V y z 1. V y ch n đáp án B
Câu 4. Cho z1 ,z2 . Kh ng đ nh nào sau đây sai
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 12
Ỏhuyên Đ S ớh c
A. z1 z2 z1 .z2 là s th c
C.
zz
z3 z
3
là s
z2
o
D.
2
là s th c
2
là s th c
1 z.z
H
Đ nh h
z
B. z2 z
ng d n gi i
ng: Ta s d ng k t qu sau: z z z và z là s
o khi và ch khi z z
Ta có:
A) z1 z2 z1 .z2 z1 z2 z1 .z 2 z1 .z 2 z1 .z 2 z1 .z 2 z1 z 2
z1 z2 z1 .z 2 z1 z 2 z1 .z 2
V y z1 z2 z1.z 2 là s th c
B) z2 z
C)
2
zz
3
z z
zz
1 z.z
2
3
z z
z
z2 z
D)
3
2
2
z z2 z2 z . V y z2 z
2
3
z2
1 z.z
zz
3
z z
3
z2 z
.V y
là s th c
zz
3
z z
2
1 z.z
2
.V y
3
z2 z
là s
o
là s
o. V y đáp án D sai
2
1 z.z
V y ch n đáp án D
Câu 5. Cho s ph c z th a mãn
A. z
B. z là s
o
2z 1
là s th c. Kh ng đ nh nào sau đây sai
z2
C. z z
H
D. z z
ng d n gi i
2z 1 2z 1
2z 1 2z 1
2z 1 2z 1
2z 1
là s th c
z2 z2
z2
z2
z2
z2
z2
2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z
V y z là s th c.
V y ch n đáp án ọ
Câu 6. Đ ng th c
A.
z1
z2
2
2
2
1
z
z
z
z
1
2
1
2 i z1 iz 2 i z1 iz 2 b ng
4
B. z1.z2
C. z1 z2
H
D. z1 z2
ng d n gi i
Ta có
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 13
2
2
2
z1 z 2 z1 z 2 i z1 iz 2 i z1 iz 2
z1 z 2 z1z 2 z1 .z 2 z1 .z 2 z1 z 2 z1z 2 z1 .z 2 z1 .z 2
iz1 z 2 z1z 2 z1 .z 2 iz1 .z 2 iz1 z 2 z1z 2 z1 .z 2 iz1 .z 2
4z1z 2
Suy ra:
2
2
2
1
z1z2 z1 z2 z1 z2 i z1 iz2 i z1 iz2 , z1 ,z2 .
4
V y ch n đáp án ọ
Câu 7. Ch n đ ng th c đúng trong các đ ng th c sau:
2
A. z1z2 1 z1 z2
2
z1z2 1 z1 z2
B.
2
2
b) z1z2 1 z1 z2
2
D.
2
2
1 z1
2
C.
1 z1
b) z1z2 1 z1 z2
2
2
1 z
2
2
1 z
2
2
2
2
1 z1
1 z1
1 z
2
2
1 z
2
2
H
2
2
2
1 z
z1z2 1 z1 z 2
1 z1
ng d n gi i
2
2
z1z 2 z1 z 2 z1z 2 1 z1 z1 z 2 z1z 2 z 2
2
2
2
V y ch n đáp án Ọ
6z i
1 . Tìm kh ng đ nh đúng
2 3iz
Câu 8. Cho s ph c z th a đi u ki n
A. z 1
B. z 3
C. z
H
Ta có:
1
3
D. z
1
3
ng d n gi i
6z i
1 6z i 2 3iz
2 3iz
6z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz
2
2
27z.z 3 z
2
1
1
z
9
3
V y ch n đáp án C
Câu 9. G i z là s ph c khác 0 sao cho z3
8
z3
9. Tìm kh ng đ nh đúng
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 14
Ỏhuyên Đ S ớh c
2
3.
z
A. z
B. z
2
3.
z
C. z
H
2
3.
z
D. z
2
3.
z
ng d n gi i
Ta có:
3
2
8
2
2
8
2
3
3
z z 3 3z. z z 3 6 z , m t khác ta có:
z
z
z
z
z
z
z1 z2 z1 z2 .
Do đó
3
2
8
2
3
z z 3 6 z
z
z
z
3
z
2
8
2
2
z3
6 z 96 z
3
z
z
z
z
z
2
2
6 z 90
z
z
3
Đ t a z
1
lúc đó ta đ
z
c:
a 3 6a 9 0 a 3 a 2 3a 3 0 a 3.
V y ch n đáp án Ọ
Câu 10. Cho a,b,c,d
A. a2 b2 2 c2 d 2
C. a2 b2 2n c2 d2
n
th a a bi c di . Tìm kh ng đ nh đúng
n
B. a2 b2 c2 d2
D. a2 b2 c2 d 2
H
n
ng d n gi i
Gi s : c di r cos isin v i r c2 d 2 1 .
Theo đ :
c di
n
r n cosn isin n a bi r n a2 b2 2
T (1) r c2 d 2 r2n c2 d 2
n
T (2) r n a2 b2 r2n a2 b2
V y a2 b2 c2 d 2
.
n
V y ch n đáp án D
Câu 11*. Cho s ph c z th a mãn đi u ki n 11z10 10iz 9 10iz 11 0. Tìm kh ng đ nh
đúng
A. z 1
B. z 1
C. z 1
D. z
1
3
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 15
H
ng d n gi i
Ta có 11z10 10iz9 10iz 11 0 z9 11z 10i 11 10iz.
Hay: z9
11 10iz
(*)
11z 10i
Đ t z x iy v i x,y . T (*) suy ra:
10 2 x 2 y 2 112 220y
f x, y
11 10iz
z
11z 10i
g x, y
112 x2 y 2 10 2 220y
9
Xét các tr
ng h p:
N u z 1 thì x2 y2 1 nên:
10 x
y 11
g x, y 112 x 2 y 2 10 2 220y 10 2 x 2 y 2 21 x 2 y 2 10 2 220y
2
2
2
2
220y f x, y .
Do đó z9 1 z 1 (mâu thu n).
N u z 1 thì x2 y2 1 nên:
10 x
y 11
g x, y 112 x 2 y 2 10 2 220y 10 2 x 2 y 2 21 x 2 y 2 10 2 220y
2
2
2
2
220y f x, y .
Suy ra z9 1 z 1 (mâu thu n).
N u z 1 thì g x,y f x,y (th a mãn)
V y z 1 . V y ch n đáp án ọ
Cách 2. Casio nhanh ch ng b ng cách th tr c ti p.
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 16
Ỏhuyên Đ S ớh c
Đ s d ng file word, q th y cẫ vui lịng đóng góp chềt kinh phí đ t o đ ng l c cho tác gi
ra đ i nh ng chuyên đ khác hay h n
STT
1
TÊN TÀI LI U
Đ
CH
ỎỦỎ ớHÉớ TOỦộ Ỏ
GIÁ
ọ N {27 Trang}
MÃ S
50K
SP_PTCB
25K
SP_BDHH
45K
SP_THD
30K
SP_CMDT
70 K
SP_TDK
65K
SP_PT
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
5 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 64-68}
2
Đ 2_BI U DI N HÌNH H C S
CH
PH C {13 Trang}
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
5 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 69-74}
3
Đ 3_T P H ớ ĐI M {22 Trang}
CH
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
5 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 75-79}
4
Đ 4_CH ộỒ ỘIộH Đ NG TH C {16 Trang}
CH
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
5 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 80-84}
5
Đ 5_TÌM S
CH
PH C TH Ọ ỘỪộ ĐI U KI N
{37 Trang}
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
11 đ word thi th
THPT Qu c
gia 2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 85-94}
6
CH
Đ
ớH
ộỒ TờÌộH S
PH C {33 Trang}
T ng:
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 17
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
10 đ word thi th
THPT Qu c
gia 2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 95-104}
7
Đ 7_H ớH
CH
ộỒ TờÌộH {16 Trang}
30K
SP_HPT
60k
SP_LG
60k
SP_UD
100K
SP_VD
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
5 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 105-109}
8
Đ 8_D ộỒ L
CH
NG GIÁC S
PH C {41 Trang}
T ng:
10 đ word thi th
THPT Qu c
gia 2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 110-119}
9.
Đ 9_ NG D NG S
CH
PH C GI I TOỦộ S
Ỏ P
T ng:
6 đ word thi th THPT Qu c gia
2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 120-125}
10
Đ 10_TUY N CH N 100 CÂU S ớH Ỏ V N
D NG VÀ V N DUNG CAO
CH
T ng:
file đ bài {không l i gi i, dùng
đ phát cho h c sinh}
10 đ word thi th
THPT Qu c
gia 2017
có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 125-134}
H
ng d n thanh tốn
Q th y cơ thanh tốn cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuy n kho n, mình s l p t c g i tài
li u cho quý th y cô.
N u trong ngày mà th y cô ch a nh n đ
Th y c
c thì vui lịng g i đi n tr c ti p cho mình.
SĐT
NGÂN HÀNG
TÊN TÀI KHO N
TR ộ ĐÌộH Ỏ
TR N ĐÌộH Ỏ
TR ộ ĐÌộH Ỏ
S
4010205025243
0161000381524
55110000232924
TÀI KHO N
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 18
Ỏhuyên Đ S ớh c
CHI NHÁNH
TH A THIÊN HU
TH A THIÊN HU
TH A THIÊN HU
N i dung: H và tên_email_ma tai li u
Ví d : Nguy n Th _HHKG_TTKC
L u
Th y cẫ đ c k file PDF tr
bán l i ho c chia s cho ng
c khi mua, tài li u mua ch dùng v i m c đích cá nhân khẫng đ
i khác.
CHÚC QUÝ TH Y CÔ D Y T T VÀ THÀNH CÔNG TRONG S
NGHI P TR ộỒ ộỒ
Ths. Tr n ình C . S T: 01234332133. Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu
ThuVienDeThi.com
Page 19
c
I
