Bài tập cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số chọn lọc

Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

CHƯƠNG III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị
nguyên dương n p, ta thực hiện như sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải
chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
1 1 1
1 2n  1
   ...  n  n , n  N *
2
2
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2 4 8

Giải
1 1

Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành 2 2 là mệnh đề đúng
1 1 1

1 2k  1
   ...  k  k
2
2
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 nghĩa là: 2 4 8

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
1 1 1
1
2k 1  1
   ...  k 1  k 1
2 4 8
2
2

Thật vậy
1 1 1
1
1
VT     ...  k  k 1
2 4 8
2 2
k
2 1 1
 k  k 1
2
2
k 1
2 1
 k 1 VP

2

Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi n  N *
un n3  3n 2  5n chia hết cho 3 , n  *
2:
Chứng
minh
rằng:
Ví dụ

Giải
Bước 1: Với n 1 , vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng.
3
2
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n k , tức là: uk k  3k  5k chia hết cho 3.

Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với
3

Ta có:

n k  1:

2

uk 1  k  1  3  k  1  5  k  1
1


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

 k 3  3k 2  5k   3  k 2  3k  3
uk  3  k 2  3k  3

Vậy uk 1 chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:
n(n  1)
2
a) 1 + 2 + … + n =
n(n  1)(2 n  1)
12  22  ...  n2 
6
 n(n  1) 
1  2  ...  n 
 2 
c)
3

3

3

2

1.4  2.7  ...  n(3n  1) n(n  1)
1.2  2.3  ...  n(n  1) 

b)

d)
2

n(n  1)(n  2)
3

e)
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

1
1
1
n

 ... 

n(n  1) n  1
f) 1.2 2.3

3
a) n  11n chia hết cho 6.
3

b)

2

n  3n  5n chia hết cho 3.

2 n 2
 32 n 1 chia hết cho 5.
c) 7.2

3
d) n  2n chia hết cho 3.

2 n 1
 2n2 chia hết cho 7.
e) 3

f)

n

13  1 chia hết cho 6.

B. DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
u : *  
n  u( n )

dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.


un+1 – un > 0 với  n  N*


un1
un

1

với n  N* ( un > 0).
 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.


un+1 – un< 0 với  n  N*

2


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân


un1
un

1

với n  N* (un > 0).
3. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*.

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số:
1
a )un   2
n

b)un 

2n  1
5n  2

Giải
1
a ) un   2
n
 1
un 1  un 

 n 1


2 


1
 
n

1


2 
 0, n  N *
 n(n  1)

Nên là dãy số giảm.
2n  1
5n  2
un 1 5n  2 2n  3 10n 2  19n  6

.

 1, n  N *
un
2n  1 5n  7 10n 2  19n  7

b ) un 

Nên là dãy số giảm.
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số:

U 1 3
n  N *

U

2U
 n 1
n

Giải

Ta có: U1=3
U2=2U1=3.2
U3=2.U2=3.22
.....................
Dự đốn: Un=3.2n-1.Sau đó khẳng định bằng quy nạp.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a)

un 

2n 2  1
n2  1

 1
un   
 3
d)

n  ( 1)n
un 
2n  1
b)

un 

c)

n

un n  cos2 n

e)
Bài 2: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

f)

un 

n 1
n2  1

(n  1)!
2n

3


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

a)

un 

2n  1
3n  2

un 

b)

un 

4n  1
4n  5

c)

n2  n  1

un 
un 

2

( 1)n
n2

2 n

u n  cos n
n
n2  1
d)
e) n
f)
Bài 3: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

a)
d)

un 

2n  3
n2

un 

b)

un 

1
n(n  1)

n 2  2n

c)
n

un 

2

n  n 1

un n2  4

2

n  2n  n

e)

f)

un ( 1)n cos


2n

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào thõa mãn
u0 1, u1 2, un 3un  1  2un 2 , n 2,3, 4......

A. 1;2;4;8;16;36…
C.

B. 1;2;8;16;24;54…

un 2n  1

n
D. un 2 ( n=0;1;2….)

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. 10
B. 1024

u1 2

n
un 1 2 .un

víi n 1

C. 2048

1

u1 
2

un un  1  2 n
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:

A. 1274,5

B. 2548,5

Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. 210.11!
B. -210.11!

. Ta có u5 bằng:
D. 4096

víi mäi n 2

C. 5096,5
u1  1

un 2n.un 1 víi mäi n 2
10

C. 2 .11

10

. Khi đó u50 bằng:
D. 2550,5

. Khi đó u11 bằng:
D. -210.1110

u1 1

u u  n víi n 1
Câu 5: Cho dãy số (un):  n 1 n
Ta có u11 bằng

A. 36

u
Câu 6: Cho dãy số  n 
3
A. 4

B. 60
1

u1  2

u n  1
2  u n 1
với 

4
B. 5

Câu 7: Cho dãy số (u n ) với
1
A. 2

u n ( 1) n 1 cos

3
B. . 2

C. 56

D. 44

víi n = 2, 3, ...

. Giá trị của u4 bằng
5
C. 6

2
n . Khi đó u12 bằng:
1

C. 2

6
D. 7

D.



3
2

4


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

1 n
u n  n 1
(
u
)
2
Câu 8: Cho dãy số n với

. Khi đó u n  1 bằng:
1 n
2 n
2 n
u n 1  n
u n 1  n
u n 1  n 1
2
2
2
A.
B.
C.

Câu 9: Cho dãy số có

u1 1
 n N* 

u

2
u

3
u
n 1
n 2
 n

A. un 3 2un 2  3un 1

B. un 3 2un 2  3un

D.

u n 1 

n
2n

. Khi đó số hạng thứ n+3 là?
C. un 3 2un 2  3un 1

D. un 3 2un 2  3un  1

n
Câu 10: Cho dãy số có cơng thức tổng qt là un 2 thì số hạng thứ n+3 là?
3
A. un 3 2

n
B. un 3 8.2

n
D. un 3 6

n
C. un 3 6.2

Câu 11: Cho tổng Sn 1  2  3  ..........  n . Khi đó S3 là bao nhiêu?
A. 3
B. 6
C. 1
Câu 12: Cho dãy số
A. Dãy tăng

un   1

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
B. Dãy giảm
C. Bị chặn
D. Không bị chặn

un 

1
n  1 là dãy số có tính chất?

Câu 13: Dãy số
A. Tăng
C. Khơng tăng không giảm
Câu 14: Cho dãy số
un 1 sin

un sin

A.
C. là dãy tăng

un 

1
A. 2

B. Giảm
D. Tất cả đều sai


n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?


n 1

Câu 15: Dãy số

D. 9

n

B. Dãy số bị chặn
D. dãy số không tăng, không giảm.
3n  1
3n  1 là dãy số bị chặn trên bởi?
1
B. 3
C. 1

D. Tất cả đều sai

Câu 16: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm:
n2  1
B. un = n

n

n

A. un = sin n
C. un =
Câu 17: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn
A. un =

n 1

  1  2n  1
D. un =

1
B. un = n + n

2

n 1

n
2n + 1D. un = n  1

C. un =
Câu 18: Cho dãy số (un) vói un = 3n. Hãy chọn hệ thức đúng:

u1  u9
u5
2
A.
1  u1  u2  ...  u100 

u2 u4
u3
2
B.
u100  1
2

C.
D. u1u2 ...u100 u5050
Câu 19: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng un + 1 bằng:
5


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

A. 3n + 1
B. 3n + 3
C. 3n.3
Câu 20: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n bằng
A. 2.3n
B. 9n
C. 3n + 3

Câu 21: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng un - 1 bằng:

D. 3(n + 1)
D. 6n

3n
B. 3

A. 3n - 1
C. 3n - 3
D. 3n - 1
n
Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3 . Số hạng u2n - 1 bằng:
A. 32.3n - 1
B. 3n.3n - 1
C. 32n - 1
D. 32(n - 1)
Câu 23: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dưới đây là dãy số tăng, nếu biết cơng thức số hạng
tổng qt un của nó là:

  1

n 1

sin


n

2n

  1  5 n  1
B.

A.
Câu 24: Xét các dãy
1, 2, 3, 4, …
1 1 1
1, , ,
3 5 7 …

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …

C.

1
n 1  n

n
D. n  1
2

(1)
(2)
(3)

1 1 1 1 1
1, , , , ,
2 2 3 3 3,…

(4)
Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng:
A. (1) là dãy đơn điệu giảm, (2) là dãy đơn điệu giảm, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không tăng
B. (1) là dãy đơn điệu tăng, (2) là dãy đơn điệu tăng, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không tăng
C. (1) là dãy đơn điệu tăng, (2) là dãy đơn điệu giảm, (3) là dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không giảm
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 25: Dãy số  n  xác định bởi công thức un = 2n + 1 với mọi n = 0, 1, 2, … chính là:
A. Dãy số tự nhiên lẻ
B. Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17
C. Dãy các số tự nhiên chẵn.
D. Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn
Câu 26: Trong các dãy số sau, dãy số nào thoả mãn:
u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - 1 - 2un - 2 , n = 2, 3, …?
A. 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
B. 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, …
C. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n + 1 với n = 0, 1, 2, …
D. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n với n = 0, 1, 2, …
Câu 27: Xét các câu sau:
Dãy 1, 2, 3, 4, … là dãy bị chặn (dưới và trên)
(1)
u

1 1 1
1, , ,
Dãy 3 5 7 … là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng

(2)

B. Chỉ có (2) đúng
6


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

C. Cả hai câu đều đúng
Câu 28: Đặt S1(n) = 1 + 2 + 3 + … + n
S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2
S3(n) = 13 + 23 + 33 + … + n3
Ta có
A.

S1  n  

3n  n  1

S3  n  

B.

2

n 2  n  1

u n (  1) n 1 sin
2n

S2  n  

n  n  1  2n  1
3

2

4
C.
Câu 29: Dãy số nào sau đây là dãy tăng:

A.

D. Cả hai câu đều sai.


n

B.

un 

2n  3
3n  2

D. Đáp án khác

C.

un 

1
n  n 1

D.

n

u n (  1) (3  1)

Câu 30: Cho dãy số
A. 10
Câu 31: Cho dãy số
A. 8

un 

B. 9
un 

Câu 32: Cho dãy số
un 

C. 8

D. 11

1 n
8
2n  1 . Số 15 là số hạng thứ bao nhiêu?

B. 6
u1 5

un 1 un  n

C. 5

D. 7

. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

 n  1 n

2
n  n  1
un 5 
2
C.

A.

2n
9
n  1 . Số 41 là số hạng thứ bao nhiêu?
2

un 5 

 n  1 n

2
 n  1  n  2 
un 5 
2
D.

B.

u1 1

2n
u u    1
Câu 33: Cho dãy số  n 1 n
Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
2n
u 1    1
A. un 1  n
B. un 1  n
C. n
D. un n

u1 1

2
Câu 34: Cho dãy số un 1 un  n . Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

n  2n 1  n 1
 n  1 n  2n  2 
un 1 
un 1 
6
6
A.
B.
 n  1 n  2n  1
un 1 
6
C.
D. Tất cả đều sai
u1  2

1

u

2

n

1

un
Câu 35: Cho dãy số 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
 n 1
n 1

n 1
n
un 
un 
un 
un 
n
n
n
n 1
A.
B.
C.
D.
7


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Câu 36: Cho tổng
A.

S  n  12  22  ...............  n 2

S  n 

n  n  1  2n  1
6

S  n 

n  n  1  2n  1
6

. Khi đó công thức của S(n) là?
B.

S  n 

n 1
2

S  n 

n 2  2n  1
6

C.
D.
Câu 37: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+………….+(2n-1)-2n+(2n+1) là
A. S(n)= n+1
Câu 38: Tính tổng
n
S  n 
n2
A.

B.

S  n 

-n

C.

S  n 

2n

1
1
1
1
S  n  

 ......... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1
n
S  n 
n 1
B.

C.

D.

S  n 

n

. Khi đó cơng thức của S(n) là?

S  n 

2n
2n  1

D.

S  n 

1
2n

S n
Câu 39: Tính tổng s (n) 1.4  2.7  ........  n(3n 1) . Khi đó cơng thức của   là gì?

A.

S  n  n  3

B.

S  n   n  1

2

C.

S  n  n  n  1

2

D.

S  n  4n

S n 1.1! 2.2! ...........  2007.2007!

S n

Câu 40: Tính tổng  
. Khi đó cơng thức của   là:
A. 2007!
B. 2008!
C. 2008! 1
D. 2007! 1
Câu 41: Cho dãy số hữu hạn được xác định như sau:
u0 = 1; u1 = -1; u2 = -1; u3 = 1; u4 = 5;
u5 = 11; u6 = 19; u7 = 29; u8 = 41; u9 = 55
Hãy tìm cơng thức tổng qt cho 10 số hạng trên.
2
A. u n n  3n  1, n 0,1,..., 9

2
B. u n n  3n  1, n 0,1,..., 9

2

C. u n n  3n  1, n 0,1,...,9
D. Kết quả khác
Câu 42: Trong dãy số 1, 3, 2, … mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước
nó trừ đi số hạng đứng trước số hạng này, tức là u n u n  1  u n  2 với n ≥ 3. Tính tổng 100 số
hạng đầu tiên của dãy số đó. Đáp số của bài tốn là:
A. 5
B. 4
C. 2
D. 1
u1 3


1
*
un 1  2 un n  
Câu 43: Cho dãy số xác định bởi cơng thức truy hồi:
Tìm cơng thức tính
số hạng tổng qt un của dãy số

A.

un 

3
2n

B.

un 

3
2

n 1

C.

un 

3
2 1
n

D.

un 

3
2 1
n

u1 1

u u
n  *
Câu 44: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi:  n 1 n 2
Tìm cơng thức tính
un

số hạng tổng qt
A. un 2n  1

của dãy số

B. un 2n  1

C. un 2n  2

Câu 45: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi:
mấy:

u1 1

un 1 un  2

D. un 2n  3
Hỏi số 33 là số hạng thứ
8


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

A. u15

B. u17

C. u14

D. u16

C. CẤP SỐ CỘNG (CSC)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
un u1  (n  1)d

2. Số hạng tổng quát:
n2
3. Tính chất của các số hạng:

uk 

uk  1  uk 1
2

với k  2

Sn u1  u2  ...  un 

4. Tổng n số hạng đầu tiên:
II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

với

Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
Giải

n  2u1  ( n  1)d 

n(u1  un )
2

=

2

u1  u3  u5 10

u1  u6 17

u  2d 10
u1  u3  u5 10
u 16
  1
 1

u  u 17
 d  3
2u1  5d 17
Ta có:  1 6

Ví dụ 2: Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
Giải
Ta có:

un u1   n  1 d

u u1  53d (1)
  54
u4 u1 3d (2)
Giải hệ ph ơng trình (1), (2) ta đ ợc :
143
5
u1
, d
2
2
33
u23 u1 22 d 
2

III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu
và cơng sai của nó:
a) un = 3n – 7

b)

un 
un 

un 3n

3n  2
5

7  3n

2

c)

d)
e)
Bài 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
u2  u5  u3 10

u4  u6 26
a) 

 u3  15

u 18
b)  14

un n2

n
un   1
2
f)

u7  u3 8

u .u 75
c)  2 7

u7  u15 60

 2
u  u2 1170
d)  4 12

Bài 3: hãy tính các tổng sau:
9


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

a) Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số thứ 2 bằng
105, số cuối bằng 999
b) Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1/3, số thứ 2 bằng
-1/3, số cuối bằng -2007
3

3

Bài 4: Cho cấp số cộng có d > 0: và có u1  u15 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585.
tìm cấp số cộng đó
Bài 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng
bình phương của chúng bằng 120.
Bài 6: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình
phương của chúng bằng 165.
Bài 7: Cho một cấp số cộng

 un  có u5 + u19 = 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của

 un 
u

Bài 8: Cho một cấp số cộng  n  có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66. Hãy tính tổng 346 số hạng
đầu tiên của cấp số cộng đó.
Bài 9: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các
bình phương của chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng
các bình phương của chúng bằng 66.
Bài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Nếu cấp số cộng

(u n ) )

với công sai d có u 5 0 và u10 10 thì:

A. u1 8 và d = -2
B. u1  8 và d = 2
C. u1 8 và d = 2
D. u1  8 và d = -2
Câu 2: Một cấp số cộng có 9 số hạng. Số hạng chính giữa bằng 15. Tổng các số hạng đó
bằng:
A. 135
B. 405
C. 280
D. Đáp số khác
Câu 3: Cho cấp số cộng (u n ) có u 5 12 và tổng 21 số hạng đầu tiên là S 21 504 . Khi đó u1
bằng:

A. 4
B. 20
C. 48
D. Đáp số khác
2
Câu 4: Cho cấp số cộng (u n ) . Tìm u1 và cơng sai d biết S n 2n  3n

A. u1  1; d 4

B. u1 1; d 3

C. u1 2; d 2

D. u1  1; d 4

2
Câu 5: Cho cấp số cộng (u n ) . Tìm u10 biết S n 3n  2n

A. u10 50

B. u10 53

C. u10 55

D. u10 60

Câu 6: Cho cấp số cộng (u n ) . Tìm u1 và cơng sai d biết u5 18; 4 Sn S2 n
A. u1 2; d 3
B. u1 2; d 2
C. u1 2; d 4

D. u1 3; d 2
Câu 7: Cho CSC : -2 ; u2 ; 6 ; u4 . Hãy chọn kết quả đúng:
A. u2 = -6 ; u4 = -2
B. u2 = 1 ; u4 = 7
C. u2 = 2 ; u4 = 8
D. u2 = 2 ; u4 = 10
Câu 8: Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác
không)
10


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

A. Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng
B. Bình Phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng
C. c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành cấp số cộng
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai
Câu 9: Cho CSC có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên lần lượt là 100 và 10.
Khi đó tổng của 110 số hạng đầu tiên là?
A. 90
B. -90
C. 110
D. -110
Câu 10: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Cho
đó:

CSC  un 

có d khác khơngkhi

A. u2  u17 u3  u16
B. u2  u17 u4  u15
C. u2  u17 u6  u13
D. u2  u17 u1  u19
Câu 11: Cho CSN -2;4;-8….tổng của n số hạng đầu tiên của CSN này là?



 2 1    2
1    2

n





 2 1  2

n





 2 1    2

2n



1    2

1 2
A.
B.
C.
Câu 12: Viết 3 số xen giữa các số 2 và 22 để được CSC có 5 số hạng.
A. 7;12;17
B. 6,10,14
C. 8,13,18



 2 1   2

D.

2n



1 2

D. Tất cả đều sai

Câu 13: Cho dãy số un 7  2n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
A. Ba số hạng đầu tiên của dãy là: 5;3;1

B. số hạng thứ n+1 của dãy là 8-2n
C. là CSC với d=-2
D. Số hạng thứ 4 của dãy là -1
1
1
u1  , d 
4
4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Câu 14: Cho CSC có
5
4
5
4
s5 
s5 
s5 
s5 
4
5
4
5
A.
B.
C.
D.

Câu 15: Cho CSC có d=-2 và s8 72 , khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu?
1
1
u1 

u1 
u

16
16
16
B. 1
C.
D.
Câu 16: Cho CSC có u1  1, d 2, sn 483 . Hỏi số các số hạng của CSC?

A. u1 16
A. n=20

B. n=21

C. n=22

D. n=23

Câu 17: Cho CSC có u1  2, d  2, s 8 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
A. S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của CSC
B. S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của CSC
C. S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của CSC
D. Tất cả đều sai
2
Câu 18: Xác định x để 3 số 1  x, x ,1  x lập thành một CSC.
A. Khơng có giá trị nào của x
B. x=2 hoặc x= -2

C. x=1 hoặc -1
D. x=0
2
Câu 19: Xác đinh a để 3 số 1  3a, a  5,1  a lập thành CSC.

A. a 0
B. a 1
C. a  2
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
2
2
2
2
2
2
A. a  c 2ab  2bc B. a  c 2ab  2bc C. a  c 2ab  2bc

D. Tất cả đều sai.
2
2
D. a  c ab  bc

11


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Câu 21: Cho CSC có

A. u1  20, d  3
Câu 22: Cho CSC có
A. 24

u4  12, u14 18 . Khi đó số hạng đầu tiên và cơng sai là

B. u1  22, d 3

C. u1  21, d 3

D. u1  21, d  3

u4  12, u14 18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là?

B. -24

C. 26

D. – 26

u5  15, u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là?
Câu 23: Cho CSC có
A. 200
B. -200
C. 250
D. -25
Câu 24: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
n 1

un  3n

un   3

u1  1

un 1 2un  1

u1  1

un 1 un  1

A.
B.
C. un 3n  1
CSC
Câu 25: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
A.

B.

2
C. un n

a1 321

a a  3
Câu 26: Cho dãy số (an) xác định bởi  n n 1

D. Tất cả đều là

D.

un  n  1

3

n = 2, 3, 4, ...

Tổng 125 số hạng đầu tiên của dãy số (an) là:
A. 16875
B. 63375
C. 635625
D. 166875
Câu 27: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 và u3 - u15 = 84. Số hạng u17 là:
A. 242
B. 235
C. 11
D. 4
Câu 28: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nàolà cấp số cộng?

u1 1

u u3  1
A.  n 1 n

u1 2

u u  n
B.  n1 n

u1  1

u  u 2
C.  n 1 n

u1 3

u 2un  1
D.  n 1

Câu 29: Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y. Kết quả nào sau đây là đúng?
 x 2

A.  y 5

 x 4

B.  y 6

 x 2

C.  y  6

 x 4

D.  y  6

Câu 30: Nếu cấp số cộng (un) với công sai d có u2 = 2 và u50 = 74 thì
A. u1 = 0 và d = 2
B. u1 = -1 và d = 3

C. u1 = 0,5 và d = 1,5
D. u1 = -0,5 và d = 2,5
Câu 31: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
 x  6

A.  y  2

 x 1

B.  y 7

 x 2

C.  y 8

 x 2

D.  y 10

Câu 32: Cho cấp số cộng -4; x; -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = 36
B. x = -6,5
C. x = 6
D. x = -36
Câu 33: Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
u10  u20
u5  u10
2
A.

B. u19  u20 2u150

C. u10 .u30 u20

u10 .u30
u20
D. 2

u1 150

u u  3 víi mäi n 2
Câu 34: Cho dãy số (un) xác định bởi:  n n  1
. Khi đó tổng 100 số hạng

đầu tiên của dãy số đó bằng
A. 150
B. 300

C. 29850

D. 59700
12


Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Giaovienvietnam.com

Câu 35: Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 và u5 = 1995. Khi đó u1001 bằng
A. 4005

B. 4003
C. 3
D. 1
Câu 36: Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là S 10 = 100,
S100 = 10. Khi đó, tổng của 110 sốhạng đầu tiên là:
A. 90
B. -90
C. 110
D. -110
Câu 37: Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dơng lập thành một cấp
số cộng. Thế thì một cạnh có thể có độ dài bằng:
A. 22
B. 58
C. 81
D. 91
Câu 38: Cho ba s thực a, b, c khác 0. Xét hai câu sau:
1 1 1
, ,
(1) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng (cơng sai khác 0) thì ba số a b c

theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng
1 1 1
, ,
(2) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ba số a b c theo thứ tự đó

cũng lập thành cấp số nhân
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng
B. Chỉ có (2) đúng
C. Cả hai câu đều đúng

D. Cả hai câu đều sai.
Câu 39: Số các số hạng trong một cấp số cộng là chẵn. Tổng các số hạng thứ lẻ và các số
hạng thứ chữan lần lợt là 24 và 30. Biết số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là 10,5; số các số
hạng là bao nhiêu? Đáp số của bài toán là:
A. 20
B. 18
C. 12
D. 8
Câu 40: Cho p = 1, 2, …, 10 gọi Sp là tổng 40 số hạng đầu tiên của cấp số cộng mà số hạng
đầu là p và cơng sai là 2p - 1. Khi đó, S1 + S2 + … + S10 bằng:
A. 80000
B. 80200
C. 80400
D. 80600
1

2

3

Câu 41: Biết C n , C n , C n lập thành cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng:
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
Câu 42: Xét các câu sau:
(1) Dãy số u1 , u 2 , u 3 ,... được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như u n = un - 1 + d
với mọi n = 2, 3, …
(2) Nếu dãy số u1 , u 2 , u 3 ,... là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như u n = u1 + (n + 1)d với
mọi n = 2, 3, …

Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng
B. Chỉ có (2) đúng
C. Cả hai câu đều đúng
D. Cả hai câu đều sai.
Câu 43: Xét các câu sau
(1) Dãy số u1 , u 2 , u 3 ,... được gọi là cấp số cộng với cơng sai d ≠ 0 thì
với mọi k = 2, 3, …

uk 

u k  1  u k 1
2

(2) Nếu dãy số u1 , u 2 , u 3 ,..., u n là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như
u1  u n u k  u n  k với mọi k = 2, 3, …, n - 1

Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng
C. Cả hai câu đều đúng

B. Chỉ có (2) đúng
D. Cả hai câu đều sai.
13


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

2
Câu 44: Tìm tất cả các giá trị của x để 1  s inx;sin x;1  sin 3 x là 3 số hạng liên tiếp của một
CSC



x   k , k  Z
x   k 2 , k  Z
2
6
A.
B.


2
x   k ; x   k
, k Z
2
6
3
C.
D.


5
x   k ; x   k 2 ; x   k 2 , k  Z
2
6
6
Câu 45: Giải phương trình 1  7  13  x 280

A. x 53
B. x 55
C. x 57

D. x 59

x+1  x+4  x+28  155

  

Câu 46: Giải phương trình 
A. x 11
B. x 4
Câu 47: Ba số 10;25;40 có thể là:
A. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng

C. x 2

D. x 1

B. Ba số hạng u1 ; u4 ; u8 của một cấp số cộng
C. Ba số hạng của một cấp số cộng nào đó
D. Khơng thể là ba số hạng của một cấp số cộng
Câu 48: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3, các cạnh lập thành một cấp số cộng. Tìm 3
cạnh đó
1 3
;1;
A. . 2 2

3 5

;1;
B. 4 4

1 5
;1;
C. 3 3

1 7
;1;
D. 4 4

4
2
Câu 49: Bốn nghiệm của phương trình x  10 x  m 0 là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số
cộng. Hãy tìm m.
A. 16
B. 21
C. 24
D. 9

Câu 50: Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng thứ n là u n 1  3n thì cơng sai d bằng:
A. 6
B. 1
C. -3
D. 5

D. CẤP SỐ NHÂN (CSN)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N*(q: công bội)
un u1.q n 1

2. Số hạng tổng quát:
với n  2

uk2 uk  1.uk 1

3. Tính chất các số hạng:
với k  2
 Sn nu1

n
 S  u1 (1  q )
 n
1 q
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 

với q 1
với q 1

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
14


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Ví dụ 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết: u3 3, u5 27
Giải
2

u1q 3
1
 4
u1  , q 3
u
q

27
 1
3

1
1
,1,3, 9, 27
,  1,3,  9, 27
Vậy có hai dãy số: 3
và 3

u3 3


u

27
Ta có:  5

Ví dụ 2: Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216.
Giải
a

; a ; aq
q
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là:
(với q là cơng bội)

Theo giả thiết ta có:
a
 q .a.aq 216 (1)


 a  a  aq 19 (2)
 q
q

3
2
hc q 
2
3

Từ (1) và (2) ta có a 6 và
Vậy 3 số hạng cần tìm là: 4, 6, 9 hay 9, 6, 4.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Tìm CSN biết
u4  u2 60

u5  u3 180

u7  u1 728


u1  u3  u5 91

u7  u1 1460

u1  u3 20

u7  u1 325

u1  u3  u5 65

a)
b)
c)
d)
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
u5 96
u3  u5 90
u20 8u17
6u2  u5 1




u9 192
u2  u6 240
u3  u5 272
3u  2u4  1




a)
b)
c)
d)  3
Bài 3: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết cơng bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2
số hạng đầu bằng 25.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có cơng bội bằng 2 . Tìm 4 góc
ấy
Bài 5: Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, cơng bội q = 3 Hỏi cấp số
nhân ấy có mấy số hạng
Bài 6: Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là
728
Bài 7: Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của
5 số hạng sau bằng 62
Bài 8: Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng
27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng đầu, số hạng
thứ 3 và thứ 9 của 1 CSC. Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13.
15


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng thời các số
x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với cơng sai khác 0. Tìm q.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho CSN có

u1 

1

A. 2

1
, u7  32
2
. Khi đó q là ?

B. 2

C. 4

D. Tất cả đều sai

Câu 2: Cho CSN có u1  1, u6 0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là?
1
1
q  , un  n  1
10
10
A.

Câu 3: Cho CSN có
A. Số hạng thứ 103
Câu 4: Cho CSN có
A. số hạng thứ 5

n

  1
1
1
1
1
q  , un  10n  1
q  , un  n  1
q  , un  n  1
10
10
10
10
10
B.
C.
D.
1
1
u1  1; q 
10 . Số 10103 là số hạng thứ bao nhiêu?
B. Số hạng thứ 104

C. Số hạng thứ 105

D. Đáp án khác

u1 3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

B. số hạng thứ 6

C. số hạng thứ 7

D. Đáp án khác

1
; b, 2
Câu 5: Cho dãy số 2
. Chọn b để ba số trên lập thành CSN

A. b=-1
Câu 6: Cho CSN có
1
1
q  ; u1 
2
2
A.

B. b=1

C. b=2

D. Đáp án khác

1
u2  ; u5 16
4
. Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN?

1
1
1
1
q  , u1 
q 4, u1 
q  4, u1 
2
2
16
16
B.
C.
D.

u4
16384
Câu 7: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 24 và u11
. Số hạng u17 là:
3
3
3
A. 67108864
B. 368435456
C. 536870912

3
D. 2147483648

Câu 8: Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3 ; u2 = -6. Hãy chọn kết quả đúng:

A. u5 = -24
B. u5 = 48
C. u5 = -48
D. u5 = 24
Câu 9: Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với u1 = -3 và công bội q = -2 bằng
A. -511
B. -1025
C. 1025
D. 1023
Câu 10: Cho cấp số nhân (un) có: u2 = -2 và u5 = 54. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của
cấp số nhân đó bằng
1  31000
4
A.

31000  1
2
B.

31000  1
6
C.

1  31000
6
D.

Câu 11: Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , … là một cấp số nhân với:
A. công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 1
B. công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1

C. công bội là 4 và phần tử đầu tiên là 2
D. công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 2
Câu 12: Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, … Đây là một cấp số nhân với
A. Công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 729 B. Công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 64
16


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

2
C. Công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 729

1
D. Công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 729

Câu 13: Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu số giữa số hạng thứ 5 và thứ 4
là 576 và hiệu số giữa số hạng thứ 2 và số hạng đầu là 9. Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp
số nhân này:
A. 1061
B. 1023
C. 1024
D. 768
1
1
q 
u 6 
u
2 và

4 thì:
Câu 14: Nếu một cấp số nhân ( n ) có công bội
1
1
u1 
u1  
128
128
A. u1 8
B. .
C. . u1  8
D.
Câu 15: Cho cấp số nhân (u n ) với u1 7 , công bội q = 2 và tổng các số hạng đầu tiên
S7 889 . Khi đó số hạng cuối bằng:

A. 484

B. 996

C. 242

D. 448

Câu 16: Nếu cấp số nhân (u n ) với u 4  u 2 72 và u 5  u 3 144 thì:
A. u1 2; q 12

B. u1 12; q  2

C. u1 12; q 2

D. u1 4; q 2

1
1
Câu 17: Cho cấp số nhân 16; 8; 4; …; 64 . Khi đó 64 là số hạng thứ:

A. 10

B. 12

C. . 11

D. Đáp số khác

Câu 18: Cho cấp số nhân (u n ) biết u1 5 ; u1 405 và tông Sn 1820 , hãy tìm n
A. n 9
B. n 8
C. * n 6
D. n 7
Câu 19: Cho cấp số nhân (u n ) biết S 2 4 ; S3 13 . Tìm S5
S5 121 hoac

181
16

S5 121 hoac

35
16

S5 144 hoac

185
16

A.
B.
C.
Câu 20: Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân:
A. 1,-3,9,-27,81.
B. 1,-3,-6,-9,-12.
C. 1,-2,-4,-8,-16.

D.

S5 141 hoac

183
16

D. 0,3,9,27,81.

u
Câu 21: Cho cấp số nhân  n  , biết: u1 3, u2  6 . Lựa chọn đáp án đúng.
u3 12
u3  12
u3  18
u3 18
A.
B.

C.
D.
u

Câu 22: Cho cấp số nhân  n  , biết: u1 3, u5 48 . Lựa chọn đáp án đúng.
u3 12
u3  12
u3 16
u3  16
A.
B.
C.
D.
Câu 23: Cho cấp số nhân 
A.

q  4

B.

Câu 24: Cho cấp số nhân 
q

A.

1
9

un 

Câu 25: Cho cấp số nhân 

q 4

un 

B.

, biết: u1  2, u2 8 . Lựa chọn đáp án đúng.
q  12

D.

q 10

, biết: u n 81, un1 9 . Lựa chọn đáp án đúng.

q 9

un 

C.

C.

q 

q  9

1

9

D.

, biết: u1  9, u 2 3 . Lựa chọn đáp án đúng.
17


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

1
3

q 

A.

B.

Câu 26: Cho cấp số nhân 
A.

q  5

q 3

un 

B.

C.

q

q  3

1
3

D.

, biết: u1  2, u 2 10 . Lựa chọn đáp án đúng.

q 8

C.

q  12

D.

q 12

u

Câu 27: Cho cấp số nhân  n  , biết: u1  2, u 2 8 . Lựa chọn đáp án đúng.
u5  512
u5 256

S5 256
q 10
D.
A.
B.
C.
u1 
u
Câu 28: Cho cấp số nhân  n  có

A.

2

B.

1
, u7  32
2
. Khi đó q là ?

1

2 .

C. 4 .
1

D. Tất cả đều sai.

1

u1  1; q 
u
10 . Số 10103 là số hạng thứ bao nhiêu?
Câu 29: Cho cấp số nhân  n  có

A. số hạng thứ 103

B. số hạng thứ 104

u
Câu 30: Cho cấp số nhân  n  , biết:
3
64

u8 

A.

u8 

1
64

1
n 2

3

C.

B.

un 

1
1
3n

D. Đáp án khác

1
2 . Lựa chọn đáp án đúng.
1
1
S8 
S8 
64
264

D.

 un  cho bởi số hạng tổng quát

Câu 31: Trong các dãy số
nhân:
A.

u1  12, q 

B.

un 

C. số hạng thứ 105

C.

un n 

un

sau, dãy số nào là một cấp số

1
3

D.

un n 2 

1
3

u
Câu 32: Cho cấp số nhân  n  có u1 3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. số hạng thứ 6
B. số hạng thứ 5
C. số hạng thứ 7

D. Đáp án khác
u

Câu 33: Cho cấp số nhân  n  , biết: u1 2, u3  8 . Lựa chọn đáp án đúng.
S6 130
u5 256
S5 256
q  4
D.
A.
B.
C.
1
u

; u5 16
2
u
4
Câu 34: Cho cấp số nhân  n  có
. Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
1
1
1
1
1
1
q 4, u1 
q  ; u1 
q  , u1 

q  4, u1 
16
2
2 .
2
2 .
16
B. A.

A.
C.
Câu 35: Xác định x để 3 số 2x-1;x; 2x+1 lập thành một cấp số nhân.
x 

1
3

B.

A.
C.

x  3 .

D.

1
x 
3 .

D. Khơng có giá trị nào của x
18


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

Câu 36: Cho cấp số nhân 

un 

q 2

u20 8u17

u1  u5 272

có

. Cơng bội của cấp số nhân là:

q  4

q 4

q  2

A.
B.

C.
D.
Câu 37: Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời
các số x,2y,3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm q?
q

1
3

A.

q

1
9

q 

B.

1
3

D.

C.

q  3

u1  u3 3

 2
un 
u  u32 5

Câu 38: Cho cấp số nhân
có  1
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
63 2
63 2
63
63
S10 
S10 
S10 
S10 
32( 2  1)
32(1  2)
32( 2  1)
32

B.

A.

Câu 39: Cho cấp số nhân 
cấp số nhân?
u5 

2
35

C.
un 

D.

có tổng n số hạng đầu tiên là:

u5 

1
35

Sn 

3n  1
3n  1 . Số hạng thứ 5 của

u5 

5

C.

u5 3

5
35

A.

B.
D.
Câu 40: Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSN (khác không)
A. Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một CSN
B. Bình Phương của chúng cũng lập thành CSN
C. c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành CSC
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai
Câu 41: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.
1

u1 
2

u u 2
A.  n 1 n

B. un 1 nun
C.
Câu 42: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.
un 

1
1
3n

un 

1
n 2

u1 2

un 1  5un
un n 

3
A.
B.
C.
Câu 43: Xác định x để 3 số 2x-1; x ; 2x+1 lập thành CSN?
1
x 
3
A.
1
x 
3
C.

 x1 12


xn  1
 xn  3
Câu 44: Cho dãy số (xn) xác định bởi

1
3

D. un1 un1  3

D.

un n 2 

1
3

B. x  3
D. Khơng có giá trị nào của x
n = 2, 3, 4, ...

Tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số (xn) là:
19


Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

28697812
A. 1594323

28697813
B. 1594323

717453
C. 398581

28697813

D. 1594324

Câu 45: Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y. Kết quả nào sau đây là đúng?
 x=6

A. y=-54

 x=-10

B. y=-26

 x=-6

C. y=-54

 x=-6

D. y=54

Câu 46: Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số
nhân:
u1 2

u u2
A.  n 1 n
u1  3

u u  1
C.  n 1 n

u1  1

u 3un
B.  n 1

D.

7, 77, 777, ..., 777...7
  
n ch÷ sè 7

Câu 47: Dãy u1 , u 2 , u 3 ,... được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu như ta có
A. q là số tuỳ ý và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, …
B. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q + un - 2q với mọi n = 3, 4, …
C. q ≠ 0; q ≠ 1 và un = un - 1q với mọi n = 2, 3, 4, …
D. q là số khác 0 và un = un - 1 + q với mọi n = 2, 3, …
Câu 48: Xét các câu sau:
(1) Nếu dãy số u1 , u 2 , u3 ,..., u n là cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) thì un = u0qn - 1
với n = 1, 2, 3, …
(2) Nếu dãy số u1 , u 2 , u 3 ,..., u n là cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) thì
u k  u k  1u k 1

với k = 2, 3, …
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng
B. Chỉ có (2) đúng
đều sai.

C. Cả hai câu đều đúng

D. Cả hai câu

Câu 49: Cho cấp số nhân u1 , u 2 , u 3 ,..., u n với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1). Đặt:
S n u1  u 2  ...  u n . Khi đó ta có:
Sn 





u1 q n  1

Sn 



u1 q n  1



Sn 



u1 q n  1  1



Sn 



u1 q n  1  1



q 1
q 1
q 1
q 1
A.
B.
C.
D.
Câu 50: Nếu s hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi vô hạn là một số nguyên dương, công
bội là nghịch đảo của một số nguyên dương và tổng của dãy là 3, thế thì tổng của hai số hạng
đầu tiên là:
1
A. 3

2
B. 3

8
C. 3

D. 2

Câu 51: Cho a1, a2, a3, … là các dãy số dương sao cho: a n 2 a n a n 1 với mọi nguyên dương
m. Khi đó

A. Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân với mọi giá trị dương của a và a2
B. Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = a2
C. Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = 1
D. Dãy số a1, a2, a3, … là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 = a2 = 1
20