Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán 8 năm 2021-2022

..,

HOC

e cờ

e

h4

À4 =

\

=

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề cương ơn tập học kì 1 mơn Tốn 8 năm 2021-2022
1. Phần số học
- Nhân Đơn Thức Với Đa Thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các
tích với nhau.
- Nhân Đa Thức Với Đa Thức
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa
thức kia rơi cộng các tích lại với nhau.

- Nhimg Hang Dang Thức Đáng Nhớ.

+ Binh phương của một tổng.

Bình phương của một tổng = bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ hai rồi
cộng với bình phương số thứ hai.
(A + B)* = A? + 2AB + B?
+ Bình phương của một hiệu
Bình phường của một hiệu = bình phương sơ thứ nhât trừ đi hai lân tích sơ thứ nhât nhân sơ thứ 2 rơi
cộng với bình phương sô thứ hai.

(A - B)= A7 - 2AB +Bˆ
+ Hiệu hai bình phương.
Hiệu hai bình phương băng hiệu hai sơ đó nhân tơng hai sơ đó.

A?—B2=(A +B)(A -B)
+ Lập phương của một tổng.

Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai
+ 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.
(A +B) = A? + 3A7B + 3AB? + BP

+ Lập phương của một hiệu.

Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai +
3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương số thứ hai.
(A - B) = A? - 3A7B + 3AB? - BP
+ Tong hai lập phương.
—
Tông của hai lập phương = tông hai sơ đó nhân với bình phương thiêu của hiệu.

A? +B? =(A + B)(A?— AB + B’)
+ Hiệu hai lập phương.

Hiệu của hai lập phương băng: Hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiểu của tổng.
A3—B?=(A_—-B)(A7+ AB+B”)
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tứ chung.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
- Phân
- Phân
- Phân
- Chia
Muốn

tích đa thức thành nhân tử
tích đa thức thành nhân tử
tích đa thức thành nhân tử
đơn thức cho đơn thức.
chia đơn thức A cho đơn thức

bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
bằng phương pháp nhóm hạng tử.
bang phuong phap phối hợp nhiều phương pháp.
B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
Nhân các kêt quả vừa tìm được với nhau.
- Chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức
B), ta chia môi hạng tử của A cho B rôi cộng các kêt quả lại với nhau.

- Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
- Phân thức đại sô.
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B. Trong đó A,B là những đa
thức và B khác 0.

A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức băng I.
Số 0, số 1 cũng là những phân thức đại sé.
- Hai phân thức bằng nhau.

Hai phân thức A/B và C/D được gọi là băng nhau nếu A.D = B.C
Ta viết: A/B = C/D nêu A.D = B.C
- Tính chất cơ bản của phân thức.
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng
phân thức đã cho.
A/B = A.M/B.M (M là một đa thức khác 0)
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì ta được một phân thức
băng phân thức đã cho.
A/B=A:N/B:N(N

là một nhân tử chung).

- Quy tắc đổi dấu.

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
A/B = -A/-B
- Rút gọn phân thức.
Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cân) để tìm nhân tử chung.
Chia cả tử và mâu cho nhân tử chung.
- Quy đồng mâu thức nhiêu phân thức.

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có
cùng mâu thức và lân lượt băng các phân thức đã cho.
- Phép cộng các phân thức đại số.
+ Cộng hai phân thức cùng mẫu thức.
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
+ Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau.
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng
mâu thức vừa tìm được.

- Phép trừ các phân thức đại số.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Muốn trừ phân thức A/B cho phân thức C/D, ta cộng A/B với phân thức đối của C/D.
A/B - C/D = A/B + (-C/D)
- Phép nhân các phân thức đại số.
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

A/B . C/D = A.C/B.D
- Phép chia các phân thức đại số.
Muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D khác 0, nhân nhân A/B với phân thức nghịch đảo của C/D.
A/B : C/D = A/B . D/C voi C/D#

0

2. Phan hinh hoc
- Tứ giác.

Tứ giác ABCD là hình gơm bồn đoạn thăng AB, BC, CD, DA, trong do bat ki hai đoạn thắng nào cũng

không cùng năm trên một đường thăng.

Tứ giác lỗi là tứ giác ln nằm trong một nửa mặt phắng có bờ là đường thắng chứa bắt kì cạnh nào của
tỨ giác.
Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360 độ.
- Hình thang.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang vng là hình thang có một góc vng.
- Hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tính chất:
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Hình thang có hai đường chéo bằng

nhau là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Hình thang có hai góc kề một đáy băng nhau là hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo băng nhau là hình thang cân.
- Đường trung bình của tam giác, hình thang.
Đường trung bình của tam giác.
Đường thăng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điêm của cạnh thứ ba.

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Đường trung bình của hình thang.
Đường thăng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì di qua trung
điêm của cạnh bên thứ hai.

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và băng nửa tổng hai đáy.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

- Hai điểm đối xứng qua một đường thắng.
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thăng d nếu d là đường trung trực của đoạn thăng nối hai
diém do.

- Hai hình đối xứng qua một đường thang.
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thăng d néu mỗi điểm thuộc đường hình này đối xứng với
mơi điêm thuộc hình kia qua đường thăng d và ngược lại.
Nếu hai đường thăng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thăng thì chùng băng nhau.
- Hình có trục đối xứng.

Đường thăng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường
thăng d cũng thuộc hình H.

Đường thắng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.
- Hình bình hành.
Tính chất.
Trong hình bình hành:
Các cạnh đối băng nhau.
Các góc đối bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Dâu hiệu nhận biết.
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có các góc đối băng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
- Hai điểm đối xứng qua một điểm.
Hai điểm đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điềm của đoạn thăng nối hai điểm đó.
- Hai hình đối xứng qua một điểm.
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc
hình kia qua điêm © và ngược lại.- Nêu hai đoạn thăng (góc, tam giác) đơi xứng với nhau qua một điêm
thì chúng băng nhau.

-Hình có đối xứng tâm.

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
-Hình chữ nhật.
Tính chất.
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng.
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Dâu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
Tứ giác có ba góc vng là hình chữ nhật.
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hình thang cân có một góc vng là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
-Tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền băng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyên ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác
vng.
-Khoảng cách giữa hai đường thắng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thắng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thăng này đến
đường thăng kia.

-Hinh thoi.
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh băng nhau.

tinh chat.
Trong hinh thoi:
Hai đường chéo vng góc với nhau.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Dâu hiệu nhận biết hình thoi.
Tứ giác có bốn cạnh băng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh băng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hanh có một đường chéo là đường phân giác của một góc 1a hinh thoi.
-Hình vng.
Tính chất.
Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh băng nhau.
Hình vng có các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình vng.
Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là hình vng.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau là hình vng.
Hình chữ nhật có một đường chéo là được phân giác của một góc là hình vng.
Hình thoi có một góc vng là hình vng.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vng.
3. Bai tap minh hoa
Bai 1: Thuc hién cac phép tinh sau
a, (x7-1 )( x* + 2x)
b, (x +3 )( x? + 3x -5 )

c, (x -2y )( x’y? - xy + 2y )

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

d, ( 1/2xy -1 )( x? -2x -6)

Hướng dẫn:
a) Ta c6: ( x? -1 )( x* + 2x ) = x7( x7 + 2x ) - (x? + 2x)
= x44
2x3 - x? - 2x.
b) Ta c6 (x +3 )( x7 + 3x -5 ) =x( x* + 3x -5 ) + 3( x* + 3x -5 )

= x3 + 3x? - 5x + 3x? 4+ 9x - 15 =x? + 6x7 + 4x - 15
c) Ta c6 (x -2y )( x’y - xy + 2y ) = x( x’y” - xy + 2y ) - 2y( x’y” - xy + 2y )
= x3y? - x*y
+ 2xy - 2x*y?
+ 2xy? - 4y?
d) Ta có ( 1/2xy -l )( xỶ -2x -6 ) = 1/2xy( xỶ -2x -6 ) - ( xỶ -2x -6 )

= 1/2x4y - x’y - 3xy -XxÌ+2x+6
Bai 2: Thuc hién cac phép tinh sau:

a, Xy( XY”
+ yỶ )
b,2y(x+yz+ZX)

c, XếV“( X” + y*)

Hướng dẫn:

a) Ta có: xy( xy” + `) = xy.xy?
+ xy.y? = x’y? + xy’,
b) Ta có: 2y( x + yz + 2x ) = 2y.x + 2y.yz + 2y.zx = 2xy + 2y’z + 2xyz
c) Ta có: x^v“( x + yˆ ) = x?y?.x? + x?y7.y? = xty? + xˆyỶ.
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a,(ab-1)+(a+b}

b, xÌ+ 2x7 + 2x + I(ab - 1) +(a+b)7
c, x? - 2x - 4y” - 4y

Hướng dẫn:
a) Ta có (ab-1)?+ (a+b)

=a’b? - 2ab + 1 + a7 + 2ab + bZ

= a’b? +.a° +b? + 1 =(a*b? +a’) +(b?4+1)
=a(b+1)+(bB+1)=(a+1)(b+l)
b) Ta có x + 2x7+2x+

1=(xÌ+1)+(2xŸ+2x)

=(x+1)(x*-x+1)+2x(x+1)=(x+4+1)(x?74+x41)
c) Ta c6 x” - 2x - 4yŸ - 4y =( x” - 4y“) - (2x + 4y

=(x-2y )(x+2y)-2(x+2y

)

)

=(x+2y )(x-2y-2).
Bai 4: Chung minh rang gia tri của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x#0; y#0) với
biểu thức đó làA = 2/3xy?:( - 1/3xy ) + 2x(y-1)(y+1)

Hướng dẫn:
Ta có A = 2/3xy?:( - 1/3xy ) + 2x(y-1)(y +1) =- 2x7- ly?-14+2x(y-1)(y4+1)

= - 2xy” + 2x( y?- 1) =- 2xy? + 2xy? - 2x =- 2x
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=> Gia tri của biêu thức A không phụ thuộc vảo biến y

Bài 5: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức nỶ + 6n” -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n 2

Hướng dẫn:
Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu ] để tìm số dư và tìm điều kiện gia tri cuan dé thoa man dé

bài. Nhưng bài này ta làm cách biên đội như sau:

Ta có n” + 6n” -7n + 4= (nỉ - 3n”.2 + 3.n.27 - 8 ) + 12nŸ - I9n + 12

=(n-2)+12n(n-2)+5(n-2)+22
Khi
đó ta có: (nÌ + 6n” - 7n + 4)⁄/n -2=(n- 2} +

12n+ 5 + 22/(n - 2)

Để giá trị của biểu thức nỶ + 6n” -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n -2

©(n-2)€UCLN(22)=[+1;+2;+11;+22}
>nC{-20;-9:0;1:3;4;13:24)
Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n € {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24}
Bài 6: Tính chiều cao BH của hình thang can ABCD, biết AC L BD và hai cạnh đáy AB =a, CD =b. Từ

đó suy ra cách vẽ hình.

Hướng dẫn:
——

A

D

B

HC

Rx

Kẻ Bx L BD cắt DC tại E, do cùng với vng góc với BD.
Hình thang ABEC có hai cạnh bên song song, nên AC =BE_

( T1)

và hai đáy AB = CE =a.

Suy ra DE= DC + CE=a+b
Lại có: AC = BÚ (vì là đường chéo của hình thang cân)

(2)

Từ ( 1) và (2 ) suy ra BD = BE nên tam giác BDE vu6n can tai B.
Do BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác BDE, nên
DH = DE/2 = (a + b)/2 và D;*>= 45°. Lúc đó tam giác BDH vng cân tại H.
Vậy BH = (a + b)/2.

Cách vẽ hình:
+ Bước lI: Vẽ A BDE vng cân tại B có đường cao BH và DE = a + b.

+ Bước 2: Kẻ Bx//DE. Lay C € HE sao cho CE = b.
+ Bước 3: Kẻ Cy//DE cắt Bx tại A. Ta được hình thang thỏa mãn yêu câu bài cho.
Bài 7: Cho hai điểm A, B cùng năm trên một nửa mặt phăng có bờ là đường thắng d. Tìm trên d điểm M
sao cho tông MA + MB nhỏ nhât.

Hướng dẫn:
W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vẽ điểm C đối xứng với B qua đường thăng d, giả sử tìm được điểm M trên d thì MB = MC ( 1 ).
Do A, B, d có định nên C cũng có định suy ra độ dài đoạn AC khơng đổi.
Ap dung bất đăng thức tam giác ta có vào A AMC ta duoc: MA + MC > AC (2)

Dau băng xảy ra khi M năm giữa A và C hay MI là giao điểm của AC và đường thăng d
Từ ( 1) và (2 ) suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng AC khi M là giao điểm của AC và đường thăng d
Bài §: Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và §cm. Một trong các đường cao có độ dài là

5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài tốn có mây đáp án ?

Hướng dẫn:
4

D

H

¬

C

Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) va AD = BC = 6( cm )
Từ A kẻ các đường cao AH,AK.
Khi đó ta có:

+ Shbh = AH.CD = 8.AH
+ Shbh = AK.BC = 6.AK
Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:
8.5 =6.AK © AK = (8.5)/6 = 20/3( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:
8.AH = 6.5 © AH = (6.5)/8 = 15/4( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.
Vậy bài tốn này có hai đáp số

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HOC247-

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.
I.Luyện Thị Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPỀTQG các mơn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vat Ly, Hoa Hoc va Sinh Hoc.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Déo va Thầy Nguyễn Đức Tan.
IILKhoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chun Gia
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.

Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cần cùng
doi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học

với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

W: www.hoc247.net

=F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc