Chuyên đề nguyên hàm (tiết 41 – 44)

Chuyên đề: Nguyên hàm (Tiết 41 – 44)
I. Nội dung của chuyên đề
1. Định nghĩa nguyên hàm
2. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp
3. Tính chất của nguyên hàm
4. Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, tính chất
5. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
6. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
II. Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ và những phẩm chất, năng lực
1. Kiến thức
+ Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp, hàm mở rộng
+ Các phương pháp tính nguyên hàm
2. Kỹ năng
+ Thành thạo các bước tính nguyên hàm bằng định nghĩa.
+ Biết sử dụng đổi biến số trong việc tính nguyên hàm.
+ Nhận biết lớp hàm dưới dấu tích phân từ đó lựa chọn phương pháp tính.
3. Tư duy, thái độ
- Xây dựng tư duy logic, biết nhận dạng các bài tập về dạng quen thuộc.
- Giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong lập luận, tính tốn
- Rèn luyện ý thức kỷ luật, tinh thần trách nhiệm, tích cực hợp tác nhóm, chủ động
hồn thành nhiệm vụ được giao.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực cá nhân.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học (cơng thức, kí hiệu).
- Năng lực suy luận, dự đoán.
- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
III. Bảng mô tả các mức độ nhận thức.
Mức độ nhận
thức

Vận dụng
Vận dụng
Nhận biết
Thông hiểu
thấp
nâng cao
Nội dung
Định
nghĩa Biết được hàm Tính được
nguyên hàm
nào là nguyên nguyên hàm các
hàm của hàm hàm thường gặp
nào
Bảng nguyên Nhận biết
Hiểu được
hàm các hàm được các hàm
nguyên hàm của
thường gặp
thường gặp và từng hàm thường
nguyên hàm
gặp
của các hàm đó
Tính chất của Biết sử dụng
Tính được
ngun hàm
tính chất để
nguyên hàm của
tính nguyên
các hàm là tổng,
hàm

hiệu các hàm
thường gặp
1


Tính nguyên
hàm dựa vào
bảng nguyên
hàm

HS tính được
nguyên hàm
của các hàm
trong bảng
nguyên hàm và
bảng mở rộng

Hiểu được các
hàm dưới dấu
tích phân có thể
dễ dàng biến đổi
thành tổng, hiệu
các hàm thường
gặp từ đó sử
dụng tính chất

Xác định được
mối quan hệ giữa
hàm số dưới dấu
tích phân với các

hàm thường gặp
để từ đó sử dụng
các kiến thức liên
quan phân tích,
biểu diễn hàm số
đó theo các hàm
thường gặp.

Tính nguyên
hàm
bẳng
phương pháp
đổi biến số

Hs nhận dạng
được đặt biểu
thức nào làm
biến số mới

Sử dụng được
biến số mới và
tính được nguyên
hàm theo biến số
mới đó

Sử dụng được
biến số mới và kết
hợp các phép biến
đổi mới tính được
nguyên hàm

Tính nguyên
hàm
bẳng
phương pháp
nguyên hàm
từng phần

Hs nhận dạng
được đối với
lớp hàm nào thì
dùng phương
pháp từng phần

Sử dụng được Hs phải sử dụng
phương
pháp phương pháp từng
nguyên hàm từng phần hơn 1 lần
phần và tính
được
nguyên
hàm theo phương
pháp đó

Xác định được mối
quan hệ giữa hàm
số dưới dấu tích
phân với các hàm
thường gặp để từ đó
sử dụng các kiến

thức liên quan phân
tích, biểu diễn hàm
số đó theo các hàm
thường gặp. Tuy
nhiên việc phân tích
biểu diễn hàm số
dưới dấu tích phân
địi hỏi học sinh
phải có kỹ năng
phân tích biến đổi ở
mức độ cao hơn
mơi có thể thấy
được mối quan hệ
với các hàm cơ bản
Sau khi đổi biến
đòi hỏi học sinh
phải phân tích hàm
số dưới dấu tích
phân về các hàm cơ
bản
Hs phải biết kết
hợp phương pháp
từng phần với đổi
biến số trong việc
tính ngun hàm.

IV. Tiến trình dạy học chun đề
1. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Kế hoạch dạy học,

+ Các phiếu học tập sử dụng trong chuyên đề
+ Bảng phụ (Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp, hàm mở rộng)
- Chuẩn bị của HS: Sách, vở, nháp, ôn tập các kiến thức liên quan bài học
2. Phương pháp dạy học
Thảo luận nhóm, sử dụng phương tiện dạy học trực quan, đàm thoại, tình huống,
động não, giảng giải, thuyết trình
3. Thiết kế tiến trình dạy học chuyên đề

2


Tiết 41
Bảng mô tả các mức độ nhận thức câu hỏi và bài tập
Chuẩn được đánh giá
Câu hỏi và bài tập
Nhận biết được các hàm thường gặp có Nguyên hàm của các hàm lũy thừa, mũ,
trong bảng nguyên hàm
sin,cos
Hiểu được các bảng ngun hàm và tìm Tính các ngun hàm sau
được các nguyên hàm các hàm có trong
1
3
+) ∫ 2 dx =
+) ∫ x dx =
bảng
x
+) ∫ xdx =

x
+) ∫ cos dx =

2

+) ∫ e3x dx =
+) ∫
Xác định được mối quan hệ giữa hàm số
dưới dấu tích phân với các hàm thường
gặp để từ đó sử dụng các kiến thức liên
quan phân tích, biểu diễn hàm số đó theo
các hàm thường gặp. Vận dụng tính chất
suy ra nguyên hàm cần tính.

1
sin 2 2x

dx =

Tính các nguyên hàm sau
3
a) ∫ ( x + x ) dx =
2

b) ∫  x + ÷dx =
x

2
c) ∫ cos xdx =

d)

 e3x − 3 

∫  ex ÷ dx =

Hoạt động khởi động:
a) Mục tiêu: Hs hiểu được định nghĩa nguên hàm, ghi nhớ bảng nguyên hàm các
hàm thường gặp, các tính chất cơ bản của nguyên hàm
b) Phương tiện: Bảng phụ về bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. GV cho HS độc lập trả lời các câu hỏi sau:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
+)y = ln x
+) y = x 3
+)y = sinx
+)y = cos x
+)y = tan x
+)y = cot x
2x
+)y = e
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV. Các thành viên trong lớp hỗ
trợ nhau để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
3. Từ câu trả lời của học sinh. GV hình thành cho học sinh định nghĩa nguyên hàm
4. Học sinh ghi nhận kiến thức, ghi bài.
Hoạt động 1: Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp
a) Mục tiêu: Học sinh nắm được và ghi nhớ bảng nguyên hàm các hàm thường gặp,
b) Phương tiện: Bảng phụ về bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
3


c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. Giáo viên cho học sinh đọc SGK (5 phút)
2. Học sinh đọc hiểu trong SGK(5 phút)

3. Cho học sinh tự xây dựng thêm nguyên hàm của một số hàm mở rộng
4. GV cho HS độc lập trả lời các câu hỏi sau:
3
+) ∫ xdx =
+) ∫ x dx =

1
+) ∫ e3x dx =
dx =
2
x
x
1
+) ∫ cos dx =
+) ∫ 2 dx =
2
sin 2x
5. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV. Các thành viên trong lớp hỗ
trợ nhau để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
6. GV Chữa bài, nhấn mạnh những sai lầm thường gặp, củng cố kiến thức
Hoạt động 2: Tìm hiểu tính chất của ngun hàm.
a) Mục tiêu: Học sinh nắm được các tính chất cơ bản của nguyên hàm. Biết sử dụng
các tính chất kết bảng nguyên hàm các hàm thường gặp để tìm nguyên hàm.
b) Phương tiện: Bảng phụ về bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. Giáo viên cho học sinh tự tìm hiểu nội dung tính chất SGK
2. Học sinh đọc hiểu trong SGK
3. GV cho thực hành thông qua các ví dụ sau: Tính
2


3
a) ∫ ( x + x ) dx =
b) ∫  x + ÷dx =
x

3x
 e −3
2
c) ∫ cos xdx =
d) ∫ 
÷dx =
x
 e 
4. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV. Các thành viên trong lớp hỗ
trợ nhau để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
6. GV Chữa bài, nhấn mạnh những sai lầm thường gặp, củng cố kiến thức
Hoạt động 3: Củng cố
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu được muốn tính ngun hàm thì phải làm như thế nào?
b) Phương tiện: Phiếu học tập
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. Giáo viên cho học sinh làm bài tập 1,2/ SGK/141
2. Học sinh làm việc theo nhóm
3. GV quan sát quá trình hoạt động của học sinh
4. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV. Các thành viên trong lớp hỗ
trợ nhau để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
5. GV Chữa bài, củng cố kiến thức, giao bài tập về nhà: Bài 3,4/sgk/141
+) ∫

Tiết 42. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm và tính chất.
Bảng mô tả mức độ nhận thức câu hỏi và bài tập (có phụ lục đính kèm)

4


Chuẩn được đánh giá
Bài tập
Nhận biết được tích phân cần tính là các Bài tập: Tính tích phân
hàm thường gặp và bảng áp dụng cơng
3
thức tích phân để tính được tích phân của 1a) ∫ x dx
các hàm số đó
2x
2a) ∫ e dx

3a) ∫ sin 2xdx
Hiểu được các hàm dưới dấu tích phân có Bài tập: Tính tích phân
thể dễ dàng biến đổi thành tổng, hiệu các
hàm thường gặp từ đó sử dụng tính chất
2
1b) ∫ (2x + 3) dx
tích phân để tính tích phân
2b)

∫ ( 3e

3x

− 4e −2x ) dx

 π



3b) ∫ sin  − x ÷+ cos 3x  dx

 4

Xác định được mối quan hệ giữa hàm số Bài tập: Tính tích phân
dưới dấu tích phân với các hàm thường
2x + x 2 x
1c)
gặp để từ đó sử dụng các kiến thức liên
∫ x 2 dx
quan phân tích, biểu diễn hàm số đó theo
4x
các hàm thường gặp. Vận dụng cơng thức 2c) e + 3 dx
∫ ex
tích phân và tính chất suy ra tích phân cần
tính.
3c) ∫ cos3x.cos xdx
Xác định được mối quan hệ giữa hàm số Bài tập: Tính tích phân
dưới dấu tích phân với các hàm thường
2x 2 + x + 2
1d)
gặp để từ đó sử dụng các kiến thức liên
∫ 2x + 1 dx
quan phân tích, biểu diễn hàm số đó theo
các hàm thường gặp. Tuy nhiên việc phân 2d)
e x + e − x + 2dx
∫
tích biểu diễn hàm số dưới dấu tích phân

địi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích
2
biến đổi ở mức độ cao hơn mơi có thể thấy 3d) ∫ (tanx + 1) dx
được mối quan hệ với các hàm cơ bản. Sau
đó Vận dụng cơng thức tích phân và tính
chất suy ra tích phân cần tính. Cũng có thể
việc tính tích phân cần sử dụng đến khái
niệm vi phân từ đó hình thành phương
pháp đổi biến số để tính tích phân
Hoạt động 1. Tính tích phân bằng cách sử dụng công thức
1
xα +1
α
x
dx
=
+ C và ∫ dx = ln x + C
∫
x
α +1
5


a) Mục tiêu: Giúp HS nhận dạng và định hướng được cách giải với dạng bài tập quy
1
α
về sử dụng các công thức ∫ x dx và ∫ dx
x
b) Phương tiện: Bảng phụ tính chất của lũy thừa, máy chiếu đa vật thể, phấn viết
bảng.

c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV chia lớp thành 6 nhóm (mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh), yêu cầu các nhóm tính
các nguyên hàm sau
3
2
a) ∫ x dx
b) ∫ (2x + 3) dx

2x 2 + x + 2
2x + x 2 x
d)
∫ 2x + 1 dx
∫ x 2 dx
2. Học sinh hoạt động theo nhóm đã phân cơng.
3. Đại diện của nhóm trình bày kết quả đã làm được. Các nhóm cịn lại đặt câu hỏi
với nhóm đang trình bày. Đại diện nhóm trả lời (nếu cần có thể có sự trợ giúp của các thành
viên cịn lại trong nhóm).
4. GV cho các nhóm đánh giá sản phẩm của các nhóm cịn lại. Sửa sai (nếu có) trong
bài làm của HS, chốt kiến thức, chính xác hóa lời giải.
1
Hoạt động 2. Tính ngun hàm bằng cách sử dụng cơng thức ∫ e kx dx = .e kx + C
k
c)

a) Mục tiêu: Giúp HS nhận dạng và định hướng được cách giải với dạng bài tập quy
kx
về sử dụng công thức ∫ e dx
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV u cầu các nhóm tính các tích phân sau

2x
3x
−2x
a) ∫ e dx
b) ∫ ( 3e − 4e ) dx

e 4x + 3
dx
c) ∫
d) e x + e − x + 2dx
ex
2. Học sinh hoạt động theo nhóm đã phân cơng.
3. Đại diện của nhóm trình bày kết quả đã làm được. Các nhóm cịn lại đặt câu hỏi
với nhóm đang trình bày. Đại diện nhóm trả lời (nếu cần có thể có sự trợ giúp của các thành
viên cịn lại trong nhóm).
4. GV cho các nhóm đánh giá sản phẩm của các nhóm cịn lại. Có thể hướng dẫn
hoặc giải mẫu nếu có ý học sinh gặp khó khăn. Sửa sai (nếu có) trong bài làm của HS, chốt
kx
kiến thức, chính xác hóa lời giải, khắc sâu cơng thức ∫ e dx khi vận dụng vào bài tập.
Hoạt động 3. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm các hàm lượng giác
a) Mục tiêu: Giúp HS biết nhận dạng và vận dụng nguyên hàm các hàm số lượng
giác vào tính nguyên hàm các hàm lượng giác.
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng, bảng phụ về nguyên hàm của
một số hàm lượng giác và một số cơng thức lượng giác (hạ bậc, tích thành tổng, các hệ thức
cơ bản,…).
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV phân tích cách sử dụng các cơng thức tìm nguyên hàm của các hàm lượng
giác cơ bản và các công thức lượng giác thường sử dụng.
2. Yêu cầu các nhóm tính các tích phân sau:
6

a) ∫ sin 2xdx

 π


b) ∫ sin  − x ÷+ cos 3x  dx

 4

2
d) ∫ (tanx + 1) dx

c) ∫ cos3x.cos xdx
3. Yêu cầu các nhóm thảo luận, nêu cách giải từng bài tập nêu trên, nêu khó khăn
của từng thành viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.
4. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện tính các tích phân trên.
5. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn, hoặc
GV hướng dẫn HS thực hiện với các ý khơng có nhóm nào giải được. Chốt kiến thức và
chỉnh sửa tồn tại của học sinh.
Hoạt động củng cố
a) Mục tiêu: Giúp học sinh có cái nhìn tổng thể về các sử dụng bảng nguyên hàm
trong việc tính nguyên hàm, phát triễn năng lực nhận biết, tổng quát hóa bài toán, liên hệ
với thực tế.
b) Phương tiện: Phiếu học tập, bảng phụ
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. Giáo viên chia nhóm, phát phiếu học tập cho học sinh
2. Học sinh thảo luận theo nhóm tính các ngun hàm sau
2x + 1

2x 2 + 3x + 4
3
2
dx
dx
a) ∫ (x + 2 x )dx
b) ∫
c) ∫
2x + 1
x

π

d) ∫ sin  2x + ÷dx
4


2
e) ∫ sin x.sin 2xdx

f) ∫ cot 2 x dx

x.e 2x − 2x 3
ex
dx
dx
g) ∫ e dx
h) ∫
i) ∫ x
x

e +2
3. Giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm, trình bày chi tiết từng phần và
u cầu tất cả các thành viên trong nhóm tích cực tham gia thảo luận, học sinh khá giỏi chịu
trách nhiệm hướng dẫn và giảng giải cho học sinh trung bình, yếu
4.Giáo viên quan sát hoạt động của học sinh và hướng dẫn cho học sinh nếu học sinh
gặp khó khăn.
5. Đại diện các nhóm trình bày kết quả trước lớp
6. Giáo viên chữa bài và rút kinh nghiệm, tổng kết bài học
Tiết 43. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Chuẩn được đánh giá
Câu hỏi và bài tập
Nhận biết được cơng thức đổi biến số và Tính các ngun hàm sau
vận dụng cơng thức tính trong một số a) (2x + 1)5 dx
∫
trường hợp đơn giản
2
3
b) ∫ 2x(x + 2) dx
2x + 3

Hiểu và nhận dạng được để tính nguyên Tính các nguyên hàm sau
hàm theo phương pháp đổi biến
x5
dx
c) ∫ 3
x +1
d)
Vận dụng thấp

∫

ln x + 1.ln x
dx
x

Tính các nguyên hàm sau
7


Chuẩn được đánh giá

Câu hỏi và bài tập
2
e) ∫ sin x.sin 2xdx

f)
Vận dụng cao

∫( e

x 2 +1

)

+ x xdx

Tính các nguyên hàm sau
x
dx
x −1

g)

∫ 1+

h)

∫ cosx dx

1

Hoạt động 1: Xây dựng công thức đổi biến số
a) Mục tiêu: Hs hiểu được được nội dung định lý 1 sgk/142
b) Phương tiện: SGK
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. GV: Nhắc lại cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV.
3. GV giải thích cho học sinh nội dung định lý
4. Học sinh ghi nhận kiến thức, ghi bài.
Hoạt động 2: Áp dụng
a) Mục tiêu: Hs biết áp dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
b) Phương tiện: SGK, máy chiếu đa vật thể
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/tồn lớp)
1. GV: u cầu học sinh đọc các ví dụ trong sgk
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV.
3. Giáo viên chia nhóm, phát phiếu học tập cho học sinh
4. Học sinh thảo luận theo nhóm tính các ngun hàm sau
x5
5
2

3
(2x
+
1)
dx
2x(x
+
2)
dx
dx
a) ∫
b) ∫
c) ∫ 3
x +1
ln x + 1.ln x
dx
x

d)

∫

g)

∫ 1+

x
dx
x −1

2
e) ∫ sin x.sin 2xdx

h)

f)

∫( e

x 2 +1

)

+ x xdx

1

∫ cosx dx

5. Yêu cầu các nhóm thảo luận, nêu cách giải từng bài tập nêu trên, nêu khó khăn
của từng thành viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.
6. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện tính các ngun hàm trên.
7. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn, hoặc
GV hướng dẫn HS thực hiện với các ý khơng có nhóm nào giải được. Chốt kiến thức và
chỉnh sửa tồn tại của học sinh.
Tiết 44 Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Chuẩn được đánh giá
Câu hỏi và bài tập
Biết được khi nào thì sử dụng phương Tính các ngun hàm sau
pháp từng phần và vận dụng công thức a) (2x + 1).sinxdx

b) ∫ x.ln xdx
∫
tính trong một số trường hợp đơn giản
8


Chuẩn được đánh giá
Câu hỏi và bài tập
Hiểu và nhận dạng được để tính nguyên Tính các nguyên hàm sau
hàm theo phương pháp từng phần và tính
 2 1 
2
3x
c) ∫  x + 2 ÷ln xdx
d) ∫ ( x + 2x ) .e dx
được theo phương pháp
x 

Vận dụng thấp

Tính các nguyên hàm sau
e)

Vận dụng cao

∫( x

2

+ 2 ) sin 2 xdx

f)

∫ x ln( x

2

+ 1)dx

Tính các nguyên hàm sau
g)

∫

x + sinx
dx
cos2 x

h)

∫ x tan

2

xdx

Hoạt động 1: Xây dựng công thức nguyên hàm từng phần
a) Mục tiêu: Hs hiểu được được nội dung định lý 2 sgk/144
b) Phương tiện: SGK
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)

1. GV: Nhắc lại cơng thức tính đạo hàm của tích
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV.
3. GV hướng dẫn học sinh xây dựng công thức nguyên hàm từng phần

∫ u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′(x)dx
4. Học sinh ghi nhận kiến thức, ghi bài.
Hoạt động 2: Áp dụng
a) Mục tiêu: Hs biết áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần tìm nguyên hàm
b) Phương tiện: SGK, máy chiếu đa vật thể
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/toàn lớp)
1. GV: Yêu cầu học sinh đọc các ví dụ trong sgk
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV.
3. Giáo viên chia nhóm, phát phiếu học tập cho học sinh
4. Học sinh thảo luận theo nhóm tính các ngun hàm sau
 2 1 
a) ∫ (2x + 1).sinxdx
b) ∫ x.ln xdx
c) ∫  x + 2 ÷ln xdx
x 

d)

∫( x

g)

∫

2

+ 2x ) .e3x dx

x + sinx
dx
cos2 x

e)

∫( x

h)

∫ x tan

2

+ 2 ) sin 2 xdx
2

f)

∫ x ln( x

2

+ 1)dx

xdx

5. Yêu cầu các nhóm thảo luận, nêu cách giải từng bài tập nêu trên, nêu khó khăn

của từng thành viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.
6. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện tính các ngun hàm trên.
7. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn, hoặc
GV hướng dẫn HS thực hiện với các ý khơng có nhóm nào giải được. Chốt kiến thức và
chỉnh sửa tồn tại của học sinh.

9


Phụ lục : Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
Hàm thường gặp

Hàm mở rộng

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

xα +1
+ C, (α ≠ −1)
α +1

1 (ax + b)α +1
α
(ax
+
b)
dx
=
.

+ C, (α ≠ −1)
∫
a
α +1
1
1
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
1 ax +b
ax + b
e
dx
=
e
+C
∫
a
1 a kx +m
kx + m
a
dx
=
.
+C
∫
k ln a
1
∫ s in(ax+b)dx = − a cos (ax+b) + C
1
∫ cos(ax + b)dx = a s in(ax+b) + C
1

1
∫ cos2 (ax + b) dx = a tan(a x + b) + C
1
1
∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot(a x + b) + C

1

∫ x dx = ln x + C
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+C
ln a
∫ s inxdx = − cosx + C
x
∫ a dx =

∫ cosx dx = s inx + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

dx = tan x + C
dx = − cot x + C

10


Phụ lục: Bài tập
Phiếu học tập 1 (tiết 47-48)
CH1: Tính các nguyên hàm sau:
1
3
+) ∫ 2 dx =
+) ∫ x dx =
x
+) ∫ xdx =
+) ∫ e3x dx =

x
1
+) ∫ cos dx =
+) ∫ 2 dx =
2

sin 2x
CH2: Tính các nguyên hàm sau:
a)

∫( x

3

2

b) ∫  x + ÷dx =
x

 e3x − 3 
d) ∫ 
÷dx =
x
e



+ x ) dx =

2
c) ∫ cos xdx =

Phiếu học tập 2 (tiết 49-50)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
3
a) ∫ x dx

2
b) ∫ (2x + 3) dx

2x + x 2 x
d)
∫ x 2 dx
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
c)

2x
a) ∫ e dx

b)

e 4x + 3
dx
c) ∫
d)
ex
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) ∫ sin 2xdx

2x 2 + x + 2
∫ 2x + 1 dx

∫ ( 3e

3x

− 4e −2x ) dx

e x + e − x + 2dx

 π


b) ∫ sin  − x ÷+ cos 3x  dx

 4

2
d) ∫ (tanx + 1) dx

c) ∫ cos3x.cos xdx
Bài 4 (BTVN). Tính các nguyên hàm sau:
3
2
a) ∫ (x + 2 x )dx

2x + 1
dx
b) ∫
x

2x 2 + 3x + 4
dx
c) ∫
2x + 1

π

d) ∫ sin  2x + ÷dx
4


2
e) ∫ sin x.sin 2xdx

f) ∫ cot 2 x dx

g) ∫ e

x.e 2x − 2x 3
dx
h) ∫
x

ex
dx
i) ∫ x
e +2

2x + 3

dx

11

Phiếu học tập 3 (tiết 51)
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến
5
a) ∫ (2x + 1) dx

ln x + 1.ln x
dx
x

d)

∫

g)

∫ 1+

x
dx
x −1

2
3
b) ∫ 2x(x + 2) dx

c)

∫

2

e) ∫ sin x.sin 2xdx

f)

∫( e

h)

x5
x3 + 1
x 2 +1

dx

)

+ x xdx

1

∫ cosx dx

Phiếu học tập 4 (tiết 52)
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
 2 1 
a) ∫ (2x + 1).sinxdx
b) ∫ x.ln xdx
c) ∫  x + 2 ÷ln xdx
x 


d)

∫( x

g)

∫

2

+ 2x ) .e3x dx

x + sinx
dx
cos2 x

e)

∫( x

h)

∫ x tan

2

+ 2 ) sin 2 xdx
2

xdx

12

f)

∫ x ln( x

2

+ 1)dx


Nguyên hàm của hàm số
Kiến thức cần nhớ
1. Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
Hàm thường gặp

Hàm mở rộng

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

xα +1
+ C, (α ≠ −1)
α +1

1 (ax + b)α +1
α
(ax

+
b)
dx
=
.
+ C, (α ≠ −1)
∫
a
α +1
1
1
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
1 ax +b
ax + b
e
dx
=
e
+C
∫
a
1 a kx +m
kx + m
a
dx
=
.
+C
∫
k ln a

1
∫ s in(ax+b)dx = − a cos (ax+b) + C
1
cos(ax
+
b)dx
=
s in(ax+b) + C
∫
a
1
1
∫ cos2 (ax + b) dx = a tan(a x + b) + C
1
1
dx
=
−
cot(a x + b) + C
∫ sin 2 (ax + b)
a

1

∫ x dx = ln x + C
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+C
ln a
∫ s inxdx = − cosx + C
x
∫ a dx =

∫ cosx dx = s inx + C
1

∫ cos

2

x

dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C
2. Tính chất
+) ∫ af ( x)dx =a ∫ f ( x) dx
+)

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

+) ∫ f ( x).g ( x)dx ≠ ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx
3. Định lý: Nếu ∫ f ( x)dx =F ( x) + C thì ∫ f (u )du =F (u ) + C (hay ∫ f (u ).u′dx =F (u ) + C )
( Trong đó u = u(x) là hàm số theo x)

13