(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề góc, khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song

CHUN ĐỀ 15: GĨC, KHOẢNG CÁCH,
QUAN HỆ VNG GĨC, QUAN HỆ SONG SONG

A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
GĨC TRONG KHƠNG GIAN

I.
1)

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
+

Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

+

Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các
góc được tạo bởi hai đường thẳng.

+

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường
thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc
trùng) với a và b.
a//a'
Tức là:

b//b'

a,b

a ', b '

Chú ý:
*

0a , b 90

*

Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm
(thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng
song song với đường cịn lại.

* Nếu

u1 ,

thẳng a và b thì:
a,b u

1

u1 .u 2

u1 . u 2

Tức là: cos a , b


download by :

2)

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
+ Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng P bằng 90°.
Tức là: a
+

a ,P

P

90

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và
hình chiếu a ' của nó trên P gọi là góc giữa đường thẳng
a và mặt phẳng P .
Tức là: Nếu a
a, P

P

và a ' là hình chiếu của a trên

P

thì

a, a '

Chú ý:
* 0 a,P
* Nếu
*

Để tìm hình chiếu a ' của a trên P ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm M a P

Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên P . Khi đó, a ' là đường
thẳng đi qua hai điểm A và M.
3) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng P và Q , ta có thể thực hiện theo một trong các cách
sau:
Cách 1: Theo định nghĩa
a

P
P,Q

b

a,b

Q

download by :

Cách 2: Khi xác định được P
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng R
+ Bước 2: Tìm

p

R

P

q

R

Q

Khi đó: P , Q

c thì ta làm như sau:

Q
c.

p,q

Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho:
P p c
Q q c

Cách 3: Theo định lí về hình chiếu

cos

S ' S.cos

AI.
1)

S '
S

KHOẢNG CÁCH
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là MH, với H là hình chiếu vng góc của M trên
mặt phẳng P .
MH

P

d M,P

MH

H P

Phương pháp giải chung:Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vng góc của
điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên
mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau:
Cách 1:

download by :


+

Bước 1: Tìm một mặt phẳng Q chứa M và vng góc với P

+

Bước 2: Xác định giao tuyến:PQ

+

Bước 3: Trong Q , dựng MH , H.

P

Q

Vì

P
Q

Q

MH

P

MH

d M , PMH

Cách 2:
Nếu đã biết trước một đường thẳng d P thì ta sẽ dựng Mx / /d , khi
đó: H Mx P là hình chiếu vng góc của M trên P .
d M , PMH

2)

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

a) Đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vng góc với mỗi
đường ấy gọi là đường vng góc chung của a và b. Đoạn thẳng MN
gọi là đoạn vng góc chung của a và b.
b)

Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau TH1: Khi a, b chéo nhau và a b .
+

Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và vng góc với a tại M.

+

Bước 2: Trong P dựng MN b tại N.

+

Bước 3: Đoạn MN là đoạn vng góc chung của a và b
d a , b MN

TH2: Khi a, b chéo nhau và a

b.

download by :


Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.


Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến
một mặt phẳng.
* Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và song song với a.
a//P

* Bước 2: d a , b

b

P

da,P

M a

d M,P


Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng
song song:

* Bước 1: Dựng hai mặt phẳng P , Q sao cho a
*

P//Q

b.

Bước 2: Khi đó d a , b d P , Q d M , Q

III. QUAN HỆ SONG SONG
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt
phẳng : ♦Phương pháp1:
Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó
khơng nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt
phẳng.

1.

a // b
b
(P) a //(P) a
(P)
♦Phương pháp2:

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a
nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)
♦Phương pháp 3:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng
a và mặt phẳng (P) khơng có điểm chung cùng vng góc với một đường thẳng b.

download by :


♦Phương pháp 4:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng
a và mặt phẳng (P) khơng có điểm chung cùng vng góc với một mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 5:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng
a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P)
khơng có điểm chung)

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song
song: ♦Phương pháp 1:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó).

2.

a // b
a (P)
b (Q)

(P) (Q) c

♦Phương pháp 2:

download by :


Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q)
chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a.
Q

a

(P) // a
a (Q)
(P) (Q) b

b
P

♦Phương pháp 3:
Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần
lượt theo hai giao tuyến a và b thì a//b.
(P) //(Q)
(R) (P) a

(R) (Q) b

♦Phương pháp 4:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao

tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó.
(P) // a
(Q) // a
(P) (Q) b

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song
song: ♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa
hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

3.

download by :


a//Q
b//Q
a,b P

a b I

♦Phương pháp 2:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) khơng có điểm chung cùng vng góc một đường thẳng a
thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 3:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) khơng có điểm chung cùng vng góc một mặt phẳng(R)
thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 4:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng song song một mặt phẳng(R)
thì chúng song song với nhau.

download by :


P

Q

R

IV.

QUAN HỆ VNG GĨC
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc mặt
phẳng: ♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường
thẳng d vng góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)
d a
d b
a, b (P)

a b

♦Phương pháp 2:
Sử dụng tính chất:d //

,mà

(P) thì d

(P)

♦Phương pháp 3:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vng góc với nhau và cắt nhau theo
giao tuyến x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến
x thì vng góc với mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 4:

download by :


Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.

(P) (R)
(Q) (R)
(P) (Q) a

♦Phương pháp 5:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng a vuông góc
với mặt phẳng này thì nó vng góc với mặt phẳng kia.

(P) //(Q)

a (P)

a

(Q)

♦Phương pháp 6:
Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường thẳng
a vng góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vng góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng
góc: ♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này
chứa một đường thẳng vng góc mặt phẳng kia.

2.

download by :


a

(P)

a (Q)

(P)

(Q)

♦Phương pháp 2:
Sử dung tính chất:
(P) //(Q)

(R)

(R) (P)

(Q)

♦Phương pháp 3:
Sử dụng tính chất: (P)

d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P)

(Q)

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng
góc: ♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau ta chứng minh đường thẳng
này vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

3.

d

(P)

a (P)

d

a

download by :


♦Phương pháp 2:
Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),
mà đường thẳng d vng góc mặt phẳng (P), thì d vng góc với đường thẳng a.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng –giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1.1 BÀI TỐN GIAO TUYẾN
Ví dụ 1. Cho tứ diện
Gọi , và
lần lượt là trung điểm của
tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng:
A.
B.
C. qua
và song song với
D. Khơng có.
Lời giải.

và

Giao

A

M
I
B

D
K
J
C

Ta có

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho tứ diện
và
là:
A.

Gọi

là trọng tâm của tam giác

Giao tuyến của mặt phẳng

là trung điểm của

download by :


B.

C.
D.

là trung điểm của
là hình chiếu của trên
là hình chiếu của trên
Lời giải.
A

B

D
G

N
C

là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng

và

Ta có

là điểm chung thứ hai giữa

hai mặt phẳng
và
Vậy Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp
có đáy

là hình bình hành. Gọi
điểm
và
Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
A.
B.
là tâm hình bình hành
C.
là trung điểm
D.
là trung điểm
Lời giải.

download by :

lần lượt là trung


S

A

M

D

B

là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
Gọi
Trong mặt phẳng
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng

Vậy

và

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho 4 điểm không đồng phẳng
Giao tuyến của
và
là:
A.
B.
C.
Lời giải.

Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

D.
A
I
D

B

K
C

Điểm

là trung điểm của

suy ra

Điểm

là trung điểm của

suy ra

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Chọn A.
Ví dụ 5. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
mặt phẳng
và
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. qua và song song với
B. qua và song song với

download by :

là giao tuyến của hai


C. qua
Lời giải.

và song song với

D.

qua

và song song với

d

S

A

D

B

C

Ta có

(với

1.2 CÁC BÀI TỐN GIAO ĐIỂM
Ví dụ 1. Cho tứ diện
Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
tam giác
Giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
A. điểm
B. giao điểm của đường thẳng
và
C. giao điểm của đường thẳng
và
D. giao điểm của đường thẳng
và
Lời giải.

).

và
là

A

E

B

D
F

G

C

M

download by :

;

là trọng tâm


Vì là trọng tâm tam giác
Ta có là trung điểm của
Gọi

là trung điểm của

là giao điểm của

Vậy giao điểm của
Ví dụ 2. Cho tứ diện
trên cạnh

và

và

mà

suy ra

là giao điểm
Chọn B.
Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và

sao cho

Gọi

là giao điểm của mặt phẳng

điểm
và cạnh

nằm
Tính

tỉ số
A.

B.

C.

D.

Lời giải.
A
P

S
I

B

D
Q
R
C

Gọi

là giao điểm của

và

Nối

Xét tam giác

bị cắt bởi

ta có

Xét tam giác

bị cắt bởi

ta có

với

cắt

tại

DẠNG 2 :QUAN HỆ SONG SONG CỦA ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG
Ví dụ 1. Cho tứ diện
Gọi
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
song song với
B.
song song với
C.
chéo
D.
cắt
Lời giải.

download by :

Chọn


A

B

M
D

Gọi

lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
lần lượt là trọng tâm các tam giác

Từ
và
suy ra:
Ví dụ 2. Cho hình chóp
tự là trung điểm của
A.
cắt

và

Chọn A.
có đáy

là hình bình hành tâm
và
Khẳng định nào sau đây đúng?
B.
//

C.
Lời giải.

D.

Gọi

//

S
M
N

P

A

B

O
D

Ta có
Và

C

là đường trung bình của tam giác
là đường trung bình của tam giác

Từ

suy ra

Lại có

//

//
//

suy ra

//
suy ra

suy ra

//
//

đồng phẳng.
//

hay

//

Chọn B.

download by :

theo thứ


DẠNG 3 :QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Ví dụ 1. Cho hình chóp
với đáy
là hình thang vng tại và
, có
,
. Cạnh bên
vng góc với đáy
, là trung điểm của
. Chỉ ra mệnh đề sai
trong các mệnh đề sau:
A.
C. Tam giác

E

B

A

C

D

Từ giả thết suy ra

là hình vng

Ta có
Vì
nên suy ra

Do đó A đúng.
vng tại
Do đó B đúng.

. Kết hợp với

Ta có

Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai. Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp
có đáy
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.
B.
C.

là hình thoi tâm

Biết rằng

D.

download by :

(do

)


S

A

D

Vì
cân tại
Tương tự, ta cũng có

mà
mà

C

là trung điểm

Chọn C.

DẠNG 4 :MỐI QUAN HỆ VỀ GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG
Ví dụ 1.
Cho tứ diện
bằng
A.

có
B.

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

C.

D.
A

F
I

B

D
E
J
C

Ta có

là đường trung bình của

Lại có

là đường trung bình của
Tứ giác

.

.

là hình bình hành.

download by :

. Góc


Mặt khác:
Do đó
Ví dụ 2.
Cho hình chóp
và
thẳng
A.
Do

cùng vng góc với mặt phẳng đáy

và mặt phẳng
.
B. .
nên

Xét tam giác vng
Suy ra
Ví dụ 3. Cho hình chóp
vng góc với mặt phẳng đáy
và
A.

.
S

Gọi là trung điểm
Ta có
Do đó
Tam giác vng
Vậy mặt phẳng

download by :

B.


DẠNG 5 :MỐI QUAN HỆ VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG THẲNG –MẶT PHẲNG
Ví dụ 1.Cho hình hộp chữ nhật
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào là sai?
A.

có ba kích thước

,

,

.

B.

C.

Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có

Vậy A đúng.

 Đáp án B. Ta có
 Đáp án C. Ta có
 Đáp án D. Gọi
chứng minh được

Vậy B đúng.

là hình chiếu của

trên

Vậy C đúng.

là hình chiếu của

,
.

. Vậy D sai. Chọn D.

C. PHẦN BÀI TẬP
I. CÂU HỎI NHẬN BIẾT
Câu 1: Xét các mệnh đề sau :
1. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
2. Hai đường thẳng khơng cắt nhau và khơng song song thì chéo nhau.
3. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung

Mệnh đề nào đúng ?
A. 1 và 2 đúng

B. 1 và 3 đúng

trên

. Dễ dàng


download by :


C. Chỉ 3 đúng

D. Cả 1, 2 và 3 đều đúng

Câu 2: Trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao
nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó.
A.2

B.3

C.4

D.5

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác lồi có các cạnh đối không song song. AC cắt
BD tại O, AD cắt BC tại I. khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là :
A. SI

B. SB

C. SC

D. SO

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AD. IK song song với mặt phẳng
nào ?
A. (BCD)

B. (ABD)

C. (ABC)

D. (ACD)

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm trên đoạn AC. Thiết diện của tứ diện cắt bởi (MBD) là :
A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình tam giác

D. Hình vng

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,. Cạnh bên SA (ABCD) và
SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là :
A. 450
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng và SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD). Khi đó:
A. BA SAC
B. BA
SBC
C. BA
SAD
D. BA
SCD
Câu 8: Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình gì ?
A. Hình thang
B. Hình vng
C. Hình chữ nhật D. Hình thoi
Câu 9: Qua một điểm O cho trước có bao nhiêu đường thẳng vng góc với mặt phẳng
cho
trước ?
A. 0

B. 1
C. 2
D. vơ số
Câu 10: Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng
. Qua a có bao nhiêu mặt phẳng vng
góc với
?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vơ số
II. CÂU HỎI THƠNG HIỂU

Câu 1: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong
hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
A. 600
B. 4
Câu 2:
Cho tứ diện AB
CD là?
A. 1200
B. 6
Câu 3:
Cho tứ diện AB
BM. Chọn khẳng định đúng?

download by :

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S
lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính
số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 600
B. 750
Câu 5:
Cho hình chóp S.A
là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. BD SC
C. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD D. SA= SB= SC.
Câu 6:
Cho hình chóp S.A
là các đường cao của tam giác SAB và SAD, Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
A. SC (AFB)
B. SC (AEC)
C. SC (AED)
D. SC (AEF)
Câu 7:
Cho hình chóp S.A
Biết SA =

. Tính góc giữa SC và ( ABCD)

A. 300
B. 600
Câu 8:
Cho hình chóp S.A
với mặt phẳng đáy, SA = a. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là , khi đó
tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. tan = 2
Câu 9:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Cho đường thẳng a vng góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P).
mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P) vng góc với (Q).
B. Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b. và mặt phẳng (P) chứa a, mặt
phẳng (Q) chứa b thì (P) vng góc với (Q).
C. Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a thì
(P) vng góc với (Q).
D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vng góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 10 : Cho hình hộp chữ nhật
có ba kích thước AB = a, AD = 2a, AA1 = 3a.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BD) bằng bao nhiêu?
A. a

B.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP

C.

D.