(SKKN CHẤT 2020) áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Mục lục

STT

NI DUNG

1

MC LC

2

A. PHN M U
I.Lý do chọn đề tài
1.Cở sở lý luận
2.Cơ sở thực tiễn
II. Mục đích nghiên cứu
III.Phương pháp nghiên cứu

3

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ D
B. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài I
Bài II

4

ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲN

DẠNG 1
DẠNG 2
DẠNG 3

ÁP DỤNG TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
5
C.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC
1.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
2.BÀI HỌC KINH NGHIỆM
6

D. KẾT LUẬN

7

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

A.PHN M U
I.L DO CHN TI:
1.C s khoa học:
Tốn học có vai trị và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống,
giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các mơn khoa học khác có hiệu quả. Thơng qua

việc học tốn, học sinh có thể nắm vững được nội dung tốn học và phương pháp giải
tốn, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa
Tốn học cịn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế tốn học có vai trị
quan trọng trong trường phổ thơng, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ
thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết
bài toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình tốn học THCS . Trong q
trình dạy tốn ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và qua q trình
tìm tịi bản thân tơi thấy hai bài tốn được áp dụng nhiều trong quá trình chứng minh bất
đẳng thức .Thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải
tốt các bài tốn về bất đẳng thức góp phần nâng cao tư duy tốn học, tạo diều kiện cho
việc học tốn nói riêng và trong q trình học tập nói chung.
2. Cơ sở thực tiễn

2

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Bt ng thc l loi toỏn m hc sinh THCS vẫn coi là loại tốn khó. Nhiều học sinh
khơng biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải loại toán này
như thế nào.
Thực tế cho thấy tốn Bất đẳng thức có nhiều trong chương trình THCS, nhưng khơng
được trang bị một số bài tập cơ bản nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp
và giải quyết loại tốn này.
Các bài tốn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu như có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt
nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thơng.

Đối với các giáo viên cịn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh

giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức
của mình. Đối với học sinh sẽ khắc phục được những hạn chế trước đây giúp các em có
tinh thần tự tin trong học tập bộ mơn tốn.
Với những kinh trong quỏ trỡnh dạy học của bản thõn tôi xin giới thiệu bạn bè đồng
nghiệp, các nhà chuyên môn và các cấp quản lý giáo dục đề tài kinh nghiệm: “ÁP DỤNG
HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Đề tài này sẽ góp phần quan trọng trong việc giảng dạy tốn học nói chung và Bất
đẳng thức nói riêng, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ụn thi tuyển sinh
vào lớp 10 THPT chuyờn và khụng chuyờn .
Đề tài này cũn giúp học sinh biết thêm phương pháp giải Bất đẳng thức một cách
nhanh chóng và hiệu quả, Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh
trong quá trình học tập.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
-

Nghiên cứu hai bài toán cơ bản và quen thuộc

Thông qua nội dung phương pháp và các bài tập mẫu nhằm rèn luyện kỹ năng và

phát triển trí tuệ cho học sinh
-

Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập tương tự

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG:
-

Hai bài toán cơ bản.

-

Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS.
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI : HAI BÀI TỐN CƠ BẢN

Bài I.
Víi a,b,c ,x,y > 0. Chøng minh3

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Giải.

Luụn ỳng vi mi a,b,c ,x,y > 0 dÊu “ =” xÈy ra

Suy ra b¶ng sau:
suy
ra
( víi a,b,c ,x,y > 0)

hoc

dấu = xẩy ra khi

Bài II. áp dụng Bµi I ta chøng minh

(áp dụng bài tốn I)

Giải :

dÊu = xÈy ra

( víi a,b,c ,x,y > 0)

Suy ra b¶ng sau:

dÊu = xÈy ra

(

víi a,b,c ,x,y,z > 0)

4

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Nhn xột: Khi ỏp dng vo chng minh bất đẳng thức ta phải xác định rõ bài
toán thuộc dạng nào trong các bài tốn trên, xem có phải biến đổi bài tốn rồi mới áp
dụng khơng, biến đổi như thế nào cho phù hợp…
ÁP DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1
Áp dụng bài toỏn 1
Bµi 1. Cho a , b, c > 0, vµ a + b + c = 1. chứng minh

Giải. áp dụng bài toán I với x, y > 0 ta có

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Nhận xét :Nếu bài toán này ta áp dụng trực tiếp từ vế trái thì không cho
kết quả mà phải biến đổi mẫu ở về trái c+1= c+ a+b+c rồi áp dụng x = c+a,
y= b+c thì bài toán trở nên dễ dàng.

Bài 2.Cho a, b > 0 và a + b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải : ¸p dơng bµi to¸n I :

với x, y > 0 ta có

5

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

( vì ab
(a+b)2/4 )
Min A = 14 khi và chỉ khi a = b =1/2
Nhận xét : Đối với bài toán này ta phải đa mẫu về dạng (a+b)2 thì mới
có kết quả

Bài 3.Cho a, b, c,d,e > 0 vµ a + b + c + d + e = 4. Tìm GTNN

Giải. áp dụng bài toán I

Nhõn vế theo vế

16(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)

44 abcde

6

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Giỏ tr nh nht B = 16 khi và chỉ khi a = b = 1/4; c = 1/2; d = 1 ; e = 2 ;
Bµi 4.Cho a, b, c > 0 CM

Gii áp dụng bài toán I: với x, y > 0 ta có

Cộng vế theo vế ta được đpcm

Dấu “=” xẩy ra khi và
chỉ khi a = b = c .
NhËn xÐt: Ta thÊy (2a+3b) + (b+2a+2c) = 2(2a+2b+c) nên phải nghĩ
ngay kết hợp hai biểu thức này lại

Bài 6. Cho a, b, c > 0 và

.CM

Giải . áp dụng bài toán I :

vi x, y > 0

7

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Suy ra đpcm .Du = xy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Bµi 7. ( Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm 2012- 2013)
Cho x, y, z > 0 và x+y+z =1.
Tìm MinF biết F =

Giải Ta có (

(

)-

)=

=0

suy ra áp dụng bài toán I

với x, y > 0 ta cã 2F =

MinF =1/4 khi vµ chi khi x = y= z = 1/3
Nhận xét: Đây là bài toán rất cơ bản nhưng để giải được bài này ta phải phối
hợp được giữa hai biến trên một biểu thức, vì x 2 +y2, x -y có trong x4 - y4 nên ta nghĩ
ngay phải thêm nó vào để làm cho bài tốn gọn hơn và dễ chứng minh hơn.

8

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức Dng 2
p dng bi ton 2
Bài 1.Cho a , b, c > 0 vµ ab + bc + ac = 670. CM

Giải. áp dụng bài toán II

Du “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =
Nhận xét: Ta thấy nếu tổng các biểu thức ở mẫu thì khơng cho ta được được điều gì
nên ta phải nghĩ hướng tạo xuất hiện bình phương ở tử, từ đó cho ta tổng các mẫu có
xuất hiện biểu thức a3 + b3+ c3 -3abc đây là bài tốn quen thuộc ở lớp 8, phân tích
thành nhân tử sẽ xuất hiện biểu thức a+b+c và ab+bc+ac nên chứng minh bài tốn
được dễ dàng.
Bµi 2. Cho a,b,c > 0 và abc = 1. cm

Giải

Ta có áp dụng bài to¸n II

9

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Du = xy ra khi v ch khi a = b = c = 1
Bài 3. Cho a,b c >0 .Chng minh rng:

Gii. áp dụng bài toán II.
Tacú
Tng tự

.

Từ (1) (2) (3)
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét: Ta thấy vai trị của a, b,c trong bài tốn này là như nhau nên ta tách
2a+b+3c = (a+b) +(a+c) + 2c rồi áp dụng, tuy nhiên ở đây không thấy được kết
quả liền mà phải cộng lại đặt nhân tử ta sẽ được đpcm
Bài 4 (Olimpic 30/04):
Cho 3 số dương a, b, c. CMR:

Gii: áp dụng bài toán II. Ta cú: VT

10


download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

VT

2( a 3 b 3 c 3 ) a 2 (b c ) b 2 ( c a ) c 2 ( a b)
(a3 b3

a 2 b b 2 a ) (b 3

c3

b 2 c bc 2 ) ( a 3

c3

a 2 c ac2 ) 0

( a b ) 2 .( a b ) (b c ) 2 .(b c ) ( c a ) 2.( c a) 0 (luôn đúng).

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c.
Bài 5.(Đề thi HSG Tĩnh Hà Tĩnh 2011-2012)
Cho a, b, c là những số dương thõa mãn abc =1.Chứng minh

Giải ta có áp dụng bài tốn II

Ln đúng. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Nhận xét: Đây là dạng toán cơ bản khi áp dụng cần chú ý đổi biến chứng minh
bài toán phụ
Dạng 3
Áp dụng bài toán 1 và 2
Bµi 1. Cho a, b, c > 0, vµ a +b+c

3. chøng minh

11

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Giải :

Cách 1. áp dụng bài toán I.
(
với a,b,c ,x,y > 0)
Ta chứng minh
Suy ra
Ta có

C¸ch 2. ¸p dụng bài toán II :

vi x, y, z > 0

( v× a+b+c)2 3(ab+bc+ac) )
Suy ra

. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bµi 2.Cho a , b,c > 0 vµ a + b + c =1.CM

Gii: áp dụng bài toán I và áp dụng bài toán II :
y, z > 0

12

download by :

, x,


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức Suy ra
đpcm . Du = xy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Nhận xét: Đây là một bài toán thoạt qua nhìn rất dễ nhng khi vào
chứng minh ta mới gặp khó khăn nếu không nm vững phơng pháp chứng
minh. Trong bài này ta nhất định làm xuất hiện (a +b+c)2 thì mới cho kết
quả đợc
P DNG TèM GI TR LN NHẤT, NHỎ NHẤT
Dạng 1: Áp dụng tìm cực trị trong hình học
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài là a, b, c thỏa mãn điều kiện: 30ab +
4bc + 1977ca = 2012.abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Với
Giải: Ta có:

Áp dụng bài tốn I ta có:
(1)
(2)
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có:

Vậy min Q = 8048 đạt được khi và chỉ khi:
Nhận xét: Bài toán này ta khơng áp dụng được trực tiếp, vì vậy ta nghĩ cách ghép hai
biểu thức

toán thuộc loại này
Bài 2.Cho

ABC. Điểm

13

B

A1

download by :

C


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
K

,

,

.

Tỡm v trớ ca im M biu thức:
có giá trị nhỏ nhất.
Giải: Ta có:
MA1.BC = 2SMBC,
MB1.CA = 2SMAC, MC1.AB = 2SMAB.

Do đó: MA1.BC + MB1.CA + MC1.AB = 2SMBC + 2SMAC + 2SMAB = 2SABC
Mặt khác:

=

Áp dụng bài tốn II
ta có:
khơng đổi Suy ra:

đạt giá trị nhỏ nhất bằng
MA1 = MB1 = MC1

khi và chỉ khi:

M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Nhận xét: Đây là một bài tốn hình học nếu chúng ta khơng nhận ra để áp dụng bài
tốn II thì việc giải rất khó khăn vì vậy khi tìm cực trị trong hình học cần lưu ý tới vận
dụng bất đẳng thức.
Dạng 2: Áp dụng tìm cực trị cho biểu thức

Bài 1

Giải: Vì

Q

Q 8 khi 2 x 1 2x x

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 8 khi

Bài 2 Cho 4 số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tìm giá trị nhỏ nhất c


14

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

R

Gii: T

Cú: a b 0, c d 0, b c 0, d a 0

R (a

R (a c)

R 4 khi a= b = c = d .Vậy: giá trị nhỏ nhất của R là 4 khi a=b = c = d
Bài 3 Cho các số thực dương x,y,z .
Tìm giá trị lớn nhất của:
Giải: Áp dụng bài toán II với các số thực dương x,y,z có:

Mà
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta được B

1.

Vậy giá trị lớn nhất của B = 1 khi x = y = z
Bài 4 Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:
Giải: Áp dụng bài tốn II
Ta có:
(a + b + c)3
a3 + b3 + c3 +

a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc
- 3abc = a3 + b3 + c3 + 24abc


Từ đó suy ra:

= 1.Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 1 khi: a = b = c = 1/3.

15

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Nhn xột: Trong bi toỏn ny chỳng ta áp dụng bài tốn II khơng cho ra kết quả mà
ta suy nghi xem a2 +b2 +c2 +24abc có nhỏ hơn hoặc bằng (a+b+c) 3 hay không, đây là
một cách làm thường gặp ở một số bài chứng minh bất đẳng thức.
Bài tập tương tự

Bµi 1.Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CM

áp dụng bài toán II :
Bài 2.Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ac =3abc

( víi x,y,z > 0) ta cú

Chứng minh
HD áp dụng bài toán II:

Ta có (x+y+1)2 3(xy+ x+y) nên ta phải chứng minh

1
Bµi 3 Cho a, b, c > 0 vµ a2 +b2 + c2 = 3. chứng minh

HD áp dụng bài toán I :
đpcm.

suy ra

Bài 4.Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. chøng minh b + c
HD. ¸p dụng bài toán I

16abc

vi x, y > 0.

Bi 5. Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S=a+b+c.

16


download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Bi 6 Cho 2 s dng a, b thoả mãn: a + b = 1. Tìm GTLN của:
Khi đẳng thức xảy ra thì tam giác có đặc điểm gì?
Bài 7. Một tam giác có diện tích S và độ dài 3 cạnh là a, b, c. Gọi ha , hb , hc lần lượt là
độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c.

CMR:
Bài 8 Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi và S là diện tích.

CMR:
Bài 9

Một

1
p a
Khi đẳng thức xảy ra thì tam giác có đặc điểm gì?
Bài 10. Cho các số dương a, b, c, , ,

1
p b

CMR:

C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1.Kết quả đạt được
Đề tài này giúp học sinh có thêm một cách chứng minh bất đẳng thức một cách
hiệu quả
Số liệu và kết quả thực hiện đề tài

Năm học
2011-2012
2012-2013
2.Bài học kinh nghiệm
Trong quá trình vận dụng đề tài tơi rút ra kinh nghiệm :


17

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức
Vic rốn luyn k nng cho hc sinh phải theo lộ trình
*Bài tập mẫu, phân tích, hướng dẫn
*Bài tập tương tự HS tự làm
*Cho hs đề xuất hướng giải quyết mới nếu
có *Rút ra phương pháp chung
*Kiểm tra, sữa chữa đánh giá kết quả

D. KẾT LUẬN

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, tơi mong muốn đựợc đóng góp một phần nhỏ
bé công sức của mỡnh trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác bất đẳng
thức khi làm tốn, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây
hứng thú cho các em khi học toán. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 8-9, khi áp dụng
các dạng bài tập trên thì tơi thấy hiệu quả học tập của học sinh tăng lên rõ rệt. Tôi mạnh
dạn đưa vấn đề này, các bài tập tơi đưa ra có thể chưa khai thác hết triệt để các tình huống
nhưng nó là việc làm hữu ích cho cả cơ giáo và học sinh. Trên đây là một số kinh nghiệm
trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Những kinh nghiệm chỉ mang màu sắc cỏ nhõn,
chắc chắn sẽ khụng trỏnh khỏi những tồn tại, hạn chế. Tơi rất mong được sự đóng góp, bổ
sung ý kiến của đồng nghiệp, cỏc nhà chuyờn mụn, cỏc cấp quản lý giỏo dục để đề tài
này sớm được ỏp dụng rộng rói vào thực tiễn dạy- học bất đẳng thức ở trường THCS.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Tĩnh, ngày 25 tháng 3 năm 2014 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Duy Hưng Trường
THCS Nguyễn Tuấn Thiện – Hương Sơn – Hà Tĩnh

18

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

TI LIU THAM KHO
1.Nừng cừo pht trin ton 9 – Vũ Hữu Bỡnh – Nhà xuất bản GD
2.Chuyên đề về Bất đẳng thức của – Vừ Giang Giai- Nhà xuất bản Đại Học Quốc
Gia Hà Nội
3.Một số đề thi HSG toán cỏc tỉnh.

19

download by :


áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

20