Đề thi trắc nghiệm môn Đại số (có đáp án) Đại học Kinh tế Quốc dân

ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 60 phút
Câu 1. Cho các véc tơ: 𝑋 = (1, −1, 2, 3); 𝑌 = (0, 1, −5, 1). Véc tơ đối của véc tơ 3𝑋 − 2𝑌 là:
A. (−3, 5, −16, −7)

B. (3, − 5, 16, 7)

C. (−3, 5, 16, −7)

D. (−3, 5, 16, −7)

Câu 2. Cho hệ véc tơ: 𝑋 = (1, −2, 1, −1); 𝑌 = (0, 1, −1, −3); 𝑍 = (0, 2, 𝑚, 6). Điều kiện để hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính là:
A. 𝑚 ≠ −1

B. 𝑚 ≠ −2

C. 𝑚 ≠ −3

D. 𝑚 ≠ −

1
2

Câu 3. Cho các véc tơ: 𝑋 = (2,1, −1); 𝑌 = (1, 5, −2); 𝑍 = (3, −7, 𝑘). Véc tơ 𝑍 biểu diễn tuyến tính qua hệ hai véc tơ 𝑋, 𝑌 khi 𝑘 =
A.

1

B. −

3

1
3

C. 𝑘 = 0

D. 𝑘 ≠

4
3

Câu 4. Hệ ba véc tơ 𝑋 = (1, 𝑘, −1); 𝑌 = (2, 3, 0); 𝑍 = (𝑚, 7, 2) là một cơ sở của không gian véc tơ ℝ3 khi
A. 3𝑚 − 4𝑘 ≠ 6

B. 3𝑚 − 4𝑘 ≠ 7

C. 3𝑚 − 4𝑘 ≠ 8

D. 3𝑚 − 4𝑘 ≠ 9

Câu 5. Cho các mệnh đề sau:
M1: Nếu hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại một véc tơ trong hệ véc tơ đó biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ cịn lại.
M2: Nếu hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì hệ véc tơ đó khơng có hệ véc tơ con nào phụ thuộc tuyến tính.
M3: Nếu hệ véc tơ chứa 2 véc tơ tỷ lệ thì hệ véc tơ đó phụ thuộc tuyến tính.
M4: Nếu hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì một véc tơ bất kỳ trong hệ véc tơ đó ln biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
Mệnh đề SAI là:
A. M1

B. M2

C. M3

D. M4

Câu 6. Cho hai véc tơ: 𝑋 = (2,0, −1, 3); 𝑌 = (5, −1, −2, −2) và hệ gồm 5 véc tơ:
𝑋1 = 2𝑋 − 𝑌
𝑋2 = 𝑋 + 𝑌
𝑋3 = 3𝑋 + 2𝑌
𝑋4 = 𝑋 − 4𝑌
{𝑋5 = 5𝑋 − 2𝑌
1


Hạng của hệ véc tơ {𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 , 𝑋5 } bằng:
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 7. Cho ánh xạ
𝑓: ℝ ⟶ [0, +∞)
𝑥 ⟼ 𝑥2
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề SAI là:
A. 𝑓 ([−1,2]) = [0,4]

B. 𝑓 −1 ([1,9]) = [−3, −1] ∪ [1,3]

C. 𝑓 là đơn ánh

D. 𝑓 là toàn ánh

Câu 8. Cho hai ánh xạ:
𝑓1 : ℝ ⟶ ℝ

𝑓2 : [0, 𝜋] ⟶ ℝ

và

𝑥 ⟼ 𝑥3

𝑥 ⟼ cos 𝑥

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề ĐÚNG là:
A. 𝑓1 và 𝑓2 không là đơn ánh

B. 𝑓1 và 𝑓2 không là song ánh

C. Chỉ có 𝑓1 là song ánh

D. Chỉ có 𝑓2 là tồn

ánh
Câu 9. Cho tập hợp: 𝐿 = {𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )|𝑥1 = 𝑥2 = 2𝑥3 } ⊂ ℝ3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề SAI là:
A. 𝐿 là một không gian con của không gian véc tơ ℝ3

B. Số chiều của 𝐿 bằng 2

C. Số chiều của 𝐿 bằng 1

D. Véc tơ (−4, −4, −2) là một cơ sở của 𝐿

Câu 10. Nếu ba ma trận vuông cùng cấp 𝐴, 𝐵, 𝐶 thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 = 𝐶 thì ma trận tích 𝐴𝐵𝐴 =
A. 𝐵𝐴2 + 𝐶𝐴

B. 𝐴2 𝐵 − 𝐶

1
−1
Câu 11. Cho ma trận 𝐴 = (
0
−2

−2
5
6
8

A. 0

B. −6

0
1
1
2

C. 𝐴2 𝐵 + 𝐴𝐶

D. 𝐴2 𝐵 + 𝐵𝐶

−1
2
). Phần tử nằm ở dòng 3 cột 1 của ma trận 𝐴∗ là
3
3
C. 2

D. 3

2


Câu 12. Cho ma trận 𝐴 vuông cấp 2 thoả mãn 𝐴′ − 3𝐸2 = (
A. (

6
−1

−4
)
5

B. (

6
−4

3
−1

−4
). Khi đó, 𝐴 =
2

−1
)
5

C. (

0
−1

−4
)
−1

D. (

0
−4

−1
)
−1

Câu 13. Cho các mệnh đề:

(i) Phép cộng và phép nhân ma trận có tính chất kết hợp.
(ii) Phép cộng ma trận có tính chất kết hợp nhưng phép nhân ma trận khơng có tính chất này.
(iii) Phép cộng và phép nhân ma trận có tính chất giao hốn.
(iv) Phép nhân ma trận có tính chất giao hốn nhưng phép cộng ma trận khơng có tính chất này
Mệnh đề đúng là:
A. (i)

B. (iii)

C. (iv)

D. (ii)

Câu 14. Khẳng định nào sau đây luôn đúng với mọi ma trận vuông 𝐴, 𝐵 cấp 𝑛 (𝑛 là số tự nhiên)?
A. (𝐸𝑛 + 𝐴)2 = 𝐸𝑛 + 2𝐴 + 𝐴2

B. (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2

C. 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴2 𝐵

D. det(𝐴 + 𝐵) = det(𝐴) + det (𝐵)

Câu 15. Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch. Hai mệnh đề nào sau đây sai ?
(i) det(𝐴−1 𝐵𝐴) = det(𝐵)
(ii) det(𝐴−1 𝐵−1 𝐴𝐵) = 1
(iii) det (𝐴𝐵−1 ) = det (𝐴−1 𝐵)
(iv) det(𝐴′ 𝐵) = det(𝐵′ 𝐴)
3

A. (iii)

B. (i)

C. (ii)

D. (iv)

Câu 16. Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 là ma trận dạng tam giác trên với phần tử 𝑎𝑛𝑛 = 7 và phần bù của 𝑎𝑛𝑛 là 𝑀𝑛𝑛 = −3. Tích các phần tử nằm trên
đường chéo chính của 𝐴 là
B. (−1)𝑛 (−21)

A. −21
𝑎
Câu 17. Nếu |𝑑
𝑔
A. 15

𝑏
𝑒
ℎ

𝑐
3𝑔
𝑓 | = −5 thì |3ℎ
𝑖
3𝑖

𝑎
𝑏

𝑐

𝑑 − 7𝑎
𝑒 − 7𝑏 | có giá trị là
𝑓 − 7𝑐

B. −15

C. 105

𝑎
(
Câu 18. Phần bù đại số của phần tử 𝑏 trong ma trận 𝑥
𝑢
A. 𝑢𝑧 − 𝑥𝑤

B. 𝑥𝑤 − 𝑢𝑧

0 0
4 3
|
Câu 19. Giá trị của định thức | 0 0
−1 2
0 3
A. 108
B. −108

D. (−21)𝑛

C. 21

−3
0
0
0
0

0
0
0
1
0

𝑏
𝑦
𝑣

D. −105

𝑐
𝑧 ) là
𝑤

C. 𝑏𝑤 − 𝑐𝑣

D. 𝑐𝑣 − 𝑏𝑤

C. 324

D. −324

0
0
3|| là
5
0

Câu 20. Cho các mệnh đề sau đây liên quan tới hạng của các ma trận vng cùng cấp 𝐴, 𝐵, 𝑃, trong đó 𝑃 là ma trận khả nghịch.
(i) Hạng của 𝐴 là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của 𝐴
(ii) 𝑟(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑟(𝐴) + 𝑟(𝐵)
(iii) 𝑟(𝐴𝐵) = min{𝑟(𝐴), 𝑟(𝐵)}
4


(iv) 𝑟(𝑃𝐴) = 𝑟(𝐴)
Số mệnh đề đúng là
A. 3

B. 4

C. 2

1 −1 3
Câu 21. Cho ma trận 𝐴 = ( 3 4 −2
−7 −7 1
A. 1
B. 2

D. 1

2
1 ). Khi đó, hạng của ma trận 𝐴 là 𝑟(𝐴) =
−4
C. 3
D. 4

Câu 22. Cho ma trận
3
2
𝐴=(
−2
4

𝑚
0
−1
0

−2
1
1
−2

4
0
)
−2
5

Khi đó, det(𝐴) =

A. −4𝑚 + 3

B. −4𝑚 − 3

C. 4𝑚 + 3

D. 4𝑚 − 3

Câu 23. Cho hệ phương trình tuyến tính
3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
{𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥3 = −2
3𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 3
Điều kiện để hệ phương trình đã cho là hệ Cramer là
A. 𝑚 ≠ −

2
3

B. 𝑚 = −

2
3

C. ∄𝑚

D. ∀𝑚

Câu 24. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm 10 phương trình 8 ẩn có hạng bằng 3. Khi đó, mỗi hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần
nhất đó gồm có
A. 5 nghiệm

B. 7 nghiệm

C. 2 nghiệm

D. 8 nghiệm
5


Câu 25. Cho hệ phương trình tuyến tính
2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = 1
{ 𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = −2
3𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 2𝑥3 = 3
Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghiệm là
A. 𝑚 ≠

19
2

B. 𝑚 =

19
2

C. ∄𝑚

D. ∀𝑚

Câu 26. Giả sử 𝑋 = (2𝛼 + 3𝛽, 𝛼 − 2𝛽, 𝛼, 𝛽) là nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm 4 ẩn số. Khi đó, một
hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình là

A. 𝑃1 = (2, 1, 1, 0), 𝑃2 = (3, −2, 0, 1)

B. 𝑃1 = (2, −2, 1, 0), 𝑃2 = (3, 1, 0, 1)

C. 𝑃 = (2, 1, 1, 0)

D. 𝑃 = (3, −2, 0, 1)

Câu 27. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 5 ẩn số có dạng ma trận 𝐴𝑋 = 𝑂, trong đó ma trận hệ số 𝐴 thỏa mãn điều kiện 𝐴′ =
−2𝐴. Khi đó, hệ thuần nhất đã cho
A. có nghiệm khơng tầm thường

B. có duy nhất nghiệm tầm thường

C. vơ nghiệm

D. có ma trận hệ số vng và khả nghịch

Câu 28. Giả sử một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:
0,1 0,3 0,4
𝐴 = (0,5 0,2 0,2)
0,3 0,3 0,2
Số 0,5 trong ma trận A là:
A. tỷ phần chi phí mà ngành 2 trả cho việc mua sản phẩm của ngành 1, tính bình quân cho 1 đơn vị giá trị hàng hoá của ngành 2
B. tỷ phần chi phí mà ngành 1 trả cho việc mua sản phẩm của ngành 2, tính bình quân cho 1 đơn vị giá trị hàng hoá của ngành 1
C. tỷ phần chi phí mà ngành 2 trả cho việc mua sản phẩm của ngành 1, tính bình quân cho 1 đơn vị giá trị hàng hoá của ngành 1
D. tỷ phần chi phí mà ngành 1 trả cho việc mua sản phẩm của ngành 2, tính bình quân cho 1 đơn vị giá trị hàng hoá của ngành 2

6

Câu 29. Giả sử một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất. Mối quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 3 ngành và cầu cuối cùng đối với hàng hóa mỗi
ngành được cho trong bảng sau (đơn vị: tỷ USD):
Ngành cung ứng sản phẩm (O)

Ngành sử dụng sản phẩm (I)
Cầu cuối cùng
1

2

3

1

20

90

40

270

2

50

10

70

180

3

60

50

20

350

Tổng cầu đối với ngành 1 là
A. 420 tỷ USD

B. 130 tỷ USD

C. 150 tỷ USD

D. 400 tỷ USD

Câu 30. Giả sử một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:
0,1 0,3 0,2
(
𝐴 = 0,5 0,1 0,3)
0,3 0,4 0,1
và tổng cầu đối với ngành 2 là 320 triệu USD. Khi đó, cầu của ngành 2 đối với sản phẩm của ngành 1 là
A. 96 triệu USD

B. 120 triệu USD

Câu 31. Một ví dụ về ánh xạ tuyến tính là:
𝑥1
𝑥3 + 𝑥1 − 2𝑥2
3
3
A. 𝑓1 : ℝ → ℝ ; 𝑓2 (𝑥2 ) = ( 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥1 )
𝑥3
2𝑥3 + 4𝑥2
𝑥1
𝑥1 − 2𝑥2
3
3
C. 𝑓3 : ℝ → ℝ ; 𝑓2 (𝑥2 ) = (𝑥2 + 3𝑥3 + 3)
𝑥3
2 + 4𝑥2

C. 90 triệu USD

D. 112 triệu USD
𝑥1
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3
B. 𝑓2 : ℝ → ℝ ; 𝑓1 (𝑥2 ) = (
)
2𝑥1 (𝑥2 + 3𝑥3 )
𝑥3
𝑥1
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3
3

2
D. 𝑓4 : ℝ → ℝ ; 𝑓1 (𝑥2 ) = ( 2
)
2𝑥1 + 𝑥3 − 1
𝑥3
3

2

7


𝑥1
2𝑥1 − 𝑥2
Câu 32. Cho ánh xạ tuyến tính f: ℝ → ℝ thoả mãn 𝑓 (𝑥2 ) = ( 3𝑥2 + 𝑥1 ). Khi đó, ma trận của ánh xạ tuyến tính f là:
𝑥3
2𝑥3 − 3𝑥2
3

2
(
A. 𝐴 = 1
0

−1
3
−3

0
0)

2

3

2
(
B. 𝐴 = 3
2

−1
1
−3

0
0)
0

2
(
C. 𝐴 = 3
2

−1
1)
−3

2
(
D. 𝐴 = 1
2

−1
3)
−3

Câu 33. Ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ2 → ℝ3 thỏa mãn
−7
−4
1
1
𝑓 ( ) = ( 7) ; 𝑓 ( ) = ( 5)
3
2
3
−1
là ánh xạ:
2𝑥1 + ⋯
𝑥1
A. 𝑓 (𝑥 ) = ( 𝑥1 + ⋯ )
2
−9𝑥1 + ⋯

𝑥1 + ⋯
𝑥1
C. 𝑓 (𝑥 ) = (2𝑥1 + ⋯)
2
3𝑥1 + ⋯

4𝑥1 + ⋯
𝑥1

B. 𝑓 (𝑥 ) = ( 𝑥1 + ⋯ )
2
3𝑥1 + ⋯

3𝑥1 + ⋯
𝑥1
D. 𝑓 (𝑥 ) = ( 𝑥1 + ⋯ )
2
2𝑥1 + ⋯

Trong đó, dấu ... là số hạng chứa 𝑥2 thích hợp.
Câu 34. Cho dạng tồn phương 𝑓 có ma trận
2
𝐴 = (−1
2

−1
1
−3

2
−3).
4

Khi đó, biểu thức của dạng toàn phương 𝑓 là:
A. 𝑓 = 2𝑥12 + 𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 6𝑥2 𝑥3

B. 𝑓 = 2𝑥12 + 𝑥22 + 4𝑥32 − 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3

C. 𝑓 = 4𝑥12 + 2𝑥22 + 8𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥1 𝑥3 − 6𝑥2 𝑥3

D. 𝑓 = 𝑥12 + 𝑥22 + 2𝑥32 − 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3

1
2

Câu 35. Cho biết ma trận của dạng toàn phương 𝑓 là
8


4
2
𝐴=(
−2
4

2
2
−1
0

−2
−1
1
−2

4
0
)
−2

8

Khi đó, số hệ số khác 0 ở dạng chính tắc của dạng toàn phương 𝑓 là:
A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Câu 36. Dạng toàn phương 𝑓 = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 là dạng toàn phương xác định dương nếu
A. 𝑓 luôn nhận giá trị dương với mọi bộ số thực (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) không đồng thời bằng 0
B. Tất cả các hệ số 𝑎𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) đều dương
C. 𝑓 luôn nhận giá trị dương với mọi bộ số thực (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
D. Tất cả các hệ số 𝑎𝑖𝑖 (𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) đều dương
Câu 37. Cho dạng toàn phương 𝑓 = −3𝑦12 + 5𝑦2 𝑦3 − 3𝑦32 . Sau phép biến đổi nào trong 4 phép biến đổi sau thì dạng tồn phương 𝑓 sẽ
được đưa về dạng chính tắc của các biến (𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 )?
5

A. 𝑧1 = 𝑦1 , 𝑧2 = 𝑦2 , 𝑧3 = −3𝑦3 + 𝑦2
5

25

2

3

B. 𝑧1 = −3𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧2 =

2
5

𝑦2 + 𝑦3 , 𝑧3 = 𝑦3
2

C. 𝑧1 = 𝑦1 , 𝑧2 = −3𝑦3 + 10𝑦2 , 𝑧3 = 𝑦3
5

D. 𝑧1 = 3𝑦3 + 𝑦2 , 𝑧2 = 𝑦2 , 𝑧3 = 𝑦3
2

Câu 38. Cho hai ma trận
4
2
𝐴=(
−2
4

2
2
−1
0

−2
−1
1

−2

4
0
)
−2
8

và

0 −1 1 2
𝐵 = (3 0 −2 0)
1 4 0 1

9


Các phần tử thuộc cột 2 của ma trận 𝐵𝐴 là:
A. (−3, 8, 9)

B. (−3, −8, 9)

2
Câu 39. Cho dạng tồn phương 𝑓 có ma trận là (−1
2

C. (−3, 8, − 9)
−1
1
−3

D. (−3, −8, − 9)

2
−3). Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?
3

A. Dạng chính tắc của dạng tồn phương 𝑓 có đúng 4 hệ số bằng 0
B. Dạng chính tắc của dạng tồn phương 𝑓 có đúng 1 hệ số khác 0
C. Dạng chính tắc của dạng tồn phương 𝑓 có đúng 2 hệ số khác 0
D. Dạng chính tắc của dạng tồn phương 𝑓 có đúng 3 hệ số khác 0
3 1
Câu 40. Một giá trị riêng của ma trận (1 −2
2 −3
A. 𝜆 = 2
B. 𝜆 = 1

2
−3) là:
1
C. 𝜆 = 3

D. 𝜆 = 4

10