skkn04 một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị đại số

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************

Đề tài:
"Một số kinh nghiệm
Giải bài toán cực trị đại số"
Phần thứ nhất

mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Nh chúng ta đà biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình
toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong
những dạng toán khó, lại hay thờng gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS.
Mặc dầu vậy, chúng ta vẫn cha có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta
đầy đủ những phơng pháp, những dạng toán cơ bản thờng gặp và cũng cha
có một phơng pháp tìm cực trị nào tối u cho mọi dạng toán.

ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đà đợc làm quen với loại
toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng
nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với HS.
Với những lí do nh vậy, tôi đà tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh
nghiệm giải bài toán cực trị Đại số. Với mong muốn đợc trình bày một vài
kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong
đợc sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả.

II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu:
1. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra
một số sai lầm thờng mắc phải.
- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng
phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả
năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo,
ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.

*********************************************************************************
1

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
2. Mục đích nghiên cứu:
Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học
sinh và đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể
vận dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể.
Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác
nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phơng
pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ
thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tơng tự.

III. Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
1. Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh THCS (chđ u lµ häc sinh líp 8, 9)
2. Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kÕt qu¶ häc tËp cđa häc sinh.
- Thùc nghiƯm gi¶ng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh
giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực
nghiệm giảng dạy chuyên đề.
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

*********************************************************************************
2

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Phần thứ hai.

nội dung đề tài
I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định trên miền D vµ M , m ∈ R
.
Ta nãi: M lµ giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của f (x, y,...) trên D
nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mÃn:
i) Với mọi x, y, . . . ∈ D th× F(x,y, . . .) ≤ M (hoặcF(x,y, . . .) m ),
ii) Tồn tại x0, y0, . . .∈ D sao cho F(x0,y0, . . .) = M (hoặc = m)
2. Chú ý:
Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần
nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến

miền giá trị của biến. Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ F(x,y, . . .) ≤ M (hc F(x,y, . . .) ³ m ) víi mäi x, y, . . .∈ D
+

ChØ ra sù tồn tại x0, y0, . . . D để F(x0,y0, . . .) đạt cực trị.

Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất
của A II. Những sai lầm th ờng gặp khi giải toán cực trị:
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc:
A=

3
2

4x - 4x + 5

Lêi gi¶i sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị
lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta cã: 4x2 - 4x + 5 = (2x -1)2 + 4 ³ 4, "x
Þ

£ 3, "x
4x2 - 4x + 5 4
ị Max A = 3 x = 1
3

4

2

*********************************************************************************
3

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định A có tử

số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra
nhận xét tử mẫu là các số dơng.

Ta đa ra một ví dụ:
Xét biểu thức B =

2

1

x -4

Với lập luận phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi
1
mẫu nhỏ nhất, do mÉu nhá nhÊt b»ng - 4 khi x = 0 , ta sÏ ®i ®Õn: max B = - 4

1
1

không phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với x = 3 thì 5 - 4 .

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất
đẳng thức: ĐÃ máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và
mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thªm nhËn xÐt: 4x2 - 4x + 5 = (2x -1)2 + 4 4 nên tử
và mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0 , do ®ã A

lín nhÊt khi vµ chØ khi 1 nhá nhÊt Û 4x2 - 4x + 5 nhỏ nhất.
A

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cña: A = x2 + y 2 biÕt x + y = 4
Lêi gi¶i sai:
Ta cã: A = x2 + y 2 ³ 2xy
Do ®ã, A nhá nhÊt Û x2 + y 2 = 2xy

⇔x = y =

2

Khi ®ã MinA = 22 + 22 = 8
Ph©n tÝch sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm.
Ta mới chứng minh đợc f (x, y) g(x, y) , chứ cha chứng minh đợc f (x, y) m với
m là hằng số.

Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thøc ®óng
x ³ 4x - 4 sÏ suy ra: x2 nhá nhÊt Û x2 = 4x - 4 Û (x - 2)2 = 0 Û x = 2 .
DÉn ®Õn: Minx2 = 4 Û x = 2
DƠ thÊy kÕt qu¶ đúng phải là: Min x2 = 0 x = 0
(1)

Lời giải đúng:
(x + y)2 = 42 x2 + 2xy + y2 = 16
Ta cã:
³ 0 (2)
(x - y)2 0 ị x2 - 2xy + y2
Ta lại có:
Từ (1) , (2) : 2(x2 + y)2 ³ 16 Þ x2 + y 2 ³ 8
MinA = 8 ⇔ x = y = 2
Vậy
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
*********************************************************************************
2

4

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + x

Lêi gi¶i sai:
ỉ
A = x + x = ỗx +

1ử
x+

ố

1

ữ -

4ứ 4

ổ
=ỗ x+

ố

1

ử2
ữ

2ứ

1
-

4

1
Vậy MinA = - 4
1
Phân tích sai lÇm: Sau khi chøng minh f (x) ³ - 4 , cha chỉ ra trờng hợp

1
xẩy ra dấu đẳng thøc f (x) ³ - 4 . XÈy ra dÊu đẳng thức khi và chỉ
1
khi x = - 2 , vô lý.
Lời giải đúng:

Để tồn tại x phải có x ³ 0
Do ®ã A = x + x ³ 0
Min A = 0 ⇔ x = 0
VÝ dơ 2: T×m giá trị lớn nhất của:
A= xyz(x + y)( y + x)(z +
x) Víi x, y, z ³ 0 vµ x + y + z = 1

Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab Ê (a +
b)2 4(x + y)z £ (x + y + z)2 = 1
4(x + z)x £ ( y + z + x)2 = 1
4(x + x) y £ (z + x + y)2 = 1

Nh©n từng vế (do hai vế đều không âm)
64xyz(x + y)( y + x)z + x) £ 1
MaxA = 64

1

Ph©n tÝch sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra
dấu đẳng thức. Điều kiện để A = 1 lµ:
64
ìx + y = z
ï

y+z=x

ï

ìx = y = z = 0
ï

íz + x = y

íx + y + z =1

ïx + y + z =1

ï

ï

*********************************************************************************

ï

ïx, y, z 0
ợ

5

ợx, y, z 0

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
mâu thuẫn



Lời giải đúng:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

1 = x + y + z 3.3 xyz
2 = (x + y) + ( y + z) + (z + x) ³ 3.3

(1)
(x + y)( y + z)(z + x)

(2)

Nh©n tõng vÕ (1) víi (2) do 2 vế đều không âm)
2

ổ ử3
29.3 Aị AÊỗ ữ

ố9ứ

ổ2
MaxA = ỗ

ử3
ữ

ố9 ứ

1
x=y=z=

3

III. một số ph ơng pháp giải bài toán tìm cực trị đại số
1. Ph ơng pháp tam thức b ậc
hai: a, Nội dung phơng pháp:
Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức
bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.

b, Ví dụ:
Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 - 8x + 1
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x2 - 4x + 1
3/ Tìm giá trị nếu cã cña C = -3x2 - 4x +1
4/ Cho tam thøc bËc hai P = ax 2 + bx + c

-Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
-Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thøc bËc hai.
1/ A = x2 - 8x + 1 = (x - 4)2 -15 ³ -15 Þ min A = -15 Û x = 4 2/
B = 2x2 - 4x + 1 = 2(x -1)2 -1 ³ -1 Þ min B = -1 x = 1

*********************************************************************************
6

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
ổ
x - 2ư 2 7 7 Þ max C = 7 Û x = 2
3/ C = -3x 2 - 4x + 1
= -3ỗ

ữ

3ứ

ố
2

4/ P = ax

ổ

2

+ bx + c = aỗ x

ố

+

Nếu a > 0 : min P = -

b
+

a

x+

+

3
cử
ữ

aứ

b2 - 4ac

Ê

3

3
ổ

b ử

= aỗ x -

ố
x=

ữ

2

3

b2 - 4ac
-

2a ứ

4c

b

4a2a

+

Nếu a < 0 : max P = -

b2 - 4ac

Ûx=

b

4a2a

D¹ng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x2 + x +1)2
HD: MinA Û Min(x2 + x + 1)
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau:
(x)]

2k

B=

[f

(k ẻ N )

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất cña C = x(x − 3)(x − 4)(x − 7)
HD: Dùng phơng pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là
hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai.
3

VD: Tìm giá trị lớn nhất của M =

4x2 - 4x + 5

-Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có
mẫu là bình phơng nhị thức.
VD: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña P =

x2 + x +1
(x +1)2

HD: P =1-

1 +
1
x +1 (x + 1) 2

*********************************************************************************
7

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
y=
Đặt

3

ổ

có P = y

x+1

MinP =

2

1 ,

1ử

- y +1 = ỗ y -

2

ữ

2ứ

ố

3
+

3


4

4

1
4y= 2x=1

Cách 2: Viết P dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
P=

4x2 - 4x + 4
4(x + 1)

3 ổ x -1 ử
=

2

+ỗ

2

ữ

ỗ

ữ

4 ố 2(x + 1 ứ

MinP = 3 x = 1

3


,

4

4

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ
giữa các biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc A = 3xy - x2 - y2
BiÕt x, y là nghiệm của phơng trình: 5x + 2 y =
10

Gi¶i:
Ta cã: 5x + 2 y = 10 Û y = 10
5x

2
2

1
ịA=

4

+ 160x -100) =

(-59x

59 ộ
=

ổ

2

59 ổ
ỗ-x

4ố
6400ự

x - 80 ử2

ờ- ỗ

ữ +

4ờ ố
ở

59 ứ

ỳ-25 =-

3481 ỳ
ỷ

160 ử
+

ữ

59 ứ
59 ổ
ỗx -

4ố

- 25

80 ử2
ữ +

59 ứ
ỡ

59 ổ

125
A=

59

-

4

ỗx ố

80 ử
ữ

59 ứ

2

125
Ê

59

1600
59

- 25

80

x
. VËy max A = 125 Ûïí = 59

59

ï
ï

y

ỵ

95

= 59

c, TiĨu kết:
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức
bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn
kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán
để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2. Ph ơng pháp miền giá trị của
hàm số: a, Nội dung phơng pháp:
*********************************************************************************
8

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
8

Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhÊt cđa hµm sè f (x) víi x ∈

Gäi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đà cho, tức là hệ
phơng trình (ẩn x ) sau cã nghiƯm:
(1)

f (x) = y0
x ∈D

(2)

T d¹ng cđa hệ (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp.
Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng a Ê y0 Ê b (3) .

Vì y0 là một giá trị bất kỳ của f (x) nền từ (3) ta thu đợc: Min f (x) = a
và Max f (x) = b trong đó x D.
Nh vậy thực chất của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc
hai và sử dụng điều kiện D 0.
b, Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
A=

x

2

- x +1
x + x +1
2

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm:
a = x2 - x +1 (1)
+ x +1
2

x

2

Do x + x + 1 ¹ 0 nªn (1) Û ax2 + ax + a = x2 - x + 1
Û)(a -1)x2 + (a + 1)x + (a -1) = 0(2)
+

TH1: NÕu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

+

TH2: Nếu a ạ 0 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là D ³ 0 , tøc lµ:
(a +1)2 - 4(a -1)2 ³ 0
Û (a + 1 + 2a - 2)(4 + 1 - 2a + 2) ³ 0
Û (3a -1)(a - 3) £ 0

Û 1 £ a £ 3 (a ¹ 1) .
3
Với a = 1 hoặc a = 3 thì nghiƯm cđa (2)
3 lµ:

−

x = (a + 1) = (a
+1) 2(a -1) 2(1 a)

*********************************************************************************
9

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên B×nh


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
1
Với a = 3 th× x = 1, víi a = 3 thì x = 1
Gộp cả hai trờng hợp 1 vµ 2 ta cã:
1
MinA = 3 Û x = 1 , MaxA = 3 ⇔ x = −1
C¸ch kh¸c:
A = 3x2 + 3x + 3 - 2x2 - 4x - 2 = 3 - 2(x + 1) 2 £ 3
x2 + x + 1
x2 + x + 1
Þ max A = 3 Û x = -1
A = 3x2 - 3x + 3 = x2 + x + 1 + 2(x2 - 2x + 1) =1 + 2(x -1)2
³1
3 3(x2 + x + 1) 3
3x2 + 3x + 3 3(x2 + x + 1)
3(x2 + x +1)
ị MinA =

1

3x=1

Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:
1/ Chøng minh: 1 £ x2 - x +1 £ 3

3

x2 + x +1

2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau cã nghiƯm (v« nghiƯm):
x2 - x + 1 - m = 0
x2 + x + 1

c, Tiểu kết:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu
thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về
phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Phơng pháp này
có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có
nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình.

3. Ph ơng pháp sử d ụng các bất đẳng thức
quen thuộc: a. Nội dung phơng pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
ỡ f (x) Ê M , "x ẻ D
M = Maxf (x) ớ

$

ợ x0 ẻ D : f (x0 = M

*********************************************************************************
10

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên B×nh

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
ỡ f (x) ³ M , "x Ỵ D m
= Min f (x) ớợ$x0 ẻ D : f (x0 = m

Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)
trên miền D nào ®ã, ta tiÕn hµnh theo hai bíc:
+ Chøng minh mét bất đẳng thức
+ Tìm giá trị x0 ẻ D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc
trở thành đẳng thức. Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nh Côsi,
Trêbsep, Bunhiacôpxki thì các giá trị nh vậy thờng đợc tìm thấy nhờ phần 2
trong cách phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.

b, Các bất đẳng thức thờng dùng:
1/ a2 ³ 0. Tỉng qu¸t a 2 k ³ 0, k nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
2/ - a2 £ 0. Tỉng qu¸t (-a)2k £ 0, k nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
3/ a 0. Xẩy ra dấu đẳng thức a = 0
4/

a £ a £ a XÈy ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a =
0
5/ a + £ a + b Xẩy ra dấu đẳng thức ab 0 (a, b cïng dÊu)
b
a - ³ a + b XÈy ra dấu đẳng thức ab 0 (a, b cïng dÊu)
b
a + b + c £a +b +c XÈy ra dấu đẳng thức ab 0; bc 0; ac ³ 0 ;

-

ab ³ 0 Þ 1 £ 1 . Xẩy ra dấu đẳng thức a
= b
a
b
7/ a + b ³ 2 víi a, b cïng dÊu. Xẩy ra dấu đẳng thức a = b
a
b

6/ a b;

8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dơng a, b bất kỳ.
a +
b

ab

(hoặc a2 + b2 2ab) . Xẩy ra dấu đẳng thức a =
b

2

+ §èi víi "a

³ 0; i = 1,..., n :

a1 + a2 + ... + an

1

9/ Bất đẳng thức Bunhia c«pxki:

n

³n

a .a ...
a
1 2

2


*********************************************************************************
11

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Nếu (a1 , a2 ,...an ) vµ (b1 , b2 ,...bn ) là những số tuỳ ý, ta có:
(a 2 + a 2 2 +,... + a
1

2

n n
) . (b 2 + b 2 +,... + b 2 ) ³ (a b + a b + ... + a b )2

n

1
i

2

n

1 1

2 2

DÊu b»ng xÈy ra Û a = a j (víi quy íc r»ng nÕu ai = 0 th× bi = 0 ).
b

bj
i

10/ Bất đẳng thức Trêbsép.
+ Nếu
thì

a1 a2 ³ ... ³ an ,

b1 ³ b2 ³ ... ³ bn

n(a1b1 + a2b2 ...an bn ) ³ (a1 + a2 ... + an ).(b1 + b2 ... + bn ).

DÊu b»ng xÈy ra Û ai = a j hc bi = bj ; ai , b j tuú ý
+ NÕu
th×

a1 ³ a2 ³ ... ³ an ,

b1 ³ b2 ³ ... ³ bn

n(a1b1 + a2b2 ...an bn ) ³ (a1 + a2 ... + an ).(b1 + b2 ... + bn ).

DÊu b»ng xÈy ra Û ai = a j hc bi = bj ; ai , b j t ý.
c, C¸c vÝ dơ:
VD1: Cho biĨu thøc xy + yz + zx
= 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + y 4 + z 4
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với

(x, y, z)

và

( y, z, x)

1 = (xy + yz + zx)2 £ (x2 + y 2 + z 2 )( y2 + z 2 + x2 ) Þ 1 £ (x2 + y2 + z 2 )2

(1)

Mặt khác, đối với (1, 1, 1) vµ x2 , y 2 , z 2 ), ta cã:
(1.x2 +1.y2 + 1.z 2 )2 £ (12 + 12 +12 )2 .( y 4 + z 4 + x4 )

Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1 £ 3( y 4 +
z

4

(2)

+ x4 ) = 3P Þ P ³ 1
3

VËy MinP

ìx = y =z
ï
1
x x
ïy
= Ûí
1
1
1
3
ï
=
=
ïy 2 x 2 z 2

ịx=y=z

ợ

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
+
a/ A =
biết x + y =
x -1

y-2

4

*********************************************************************************
12

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên B×nh


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************

b/ B =

x -1 +

y-2

x

y

Giải:
a/ Điều kiện: x 1; y 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:

a + b
2 ab

ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
a + b Ê 2(a 2 + b2 )
A = x -1 + y - 2 £ 2(x -1 + y - 2) = 2

Cách khác: Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện: x 1; y 2
Êa +
b
a
2
b

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:

Ta xem các biểu thức:

x -1,

là các tích:

y-2

x -1
y-2

=

1.(x -1)

= 2.( y - 2)
2

1 + x -1 1
x -1
1.(x -1)
x
=
x
Ê

Theo bất đẳng thức C«si:

1
MaxB =
2

+

2
4

2+
=

4

2

2x

= 2

2+y- 2
2
y - 2 = 2( y - 2) £
.=
= 2
y
4
y 2
2y 2
2 2
ìx -1 = 1
ìx = 2
ớ

x

=2

ợ -2
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ớ

y

ợ =4
A= x - 2 + x - 3

Gi¶i:
Ta cã: A = x - 2 + x - 3 ³ x - 2 + 3 - x = 1
Þ MinA = 1 Û (x - 2)(3 - x) ³ 0 Û£ x Ê 3

*********************************************************************************
13

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x - 3 = 3 - x để áp dụng bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x -1 + x - 2 + ... + x - 2000
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b Ê a + b đối

với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có: y = ( x -1 + x - 2000 ) + ( x - 2 + x -1999 ) + ... + ( x - 999 + x -1000 )
y1 = ( x -1 + x - 2000 ) ³ 1999 ị min y1 = 1999 x ẻ

y

2

[1 ; 2000]

= ( x - 2 + x -1999 ) ³ 1997 ị min y2 = 1997 x ẻ

]

2000 Y1000 = ( x - 999 + x -1000 ) ³ 1 ị min Y1000 = 1 x ẻ
1000

[2 ;
[999,

]

Vậy Min y = 1 + 3 + 5 + ... + 1999 = 10002 = 1000000 , đạt đợc khi x ẻ[ 999, 1000]
Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
y = x -1 + x - 2 + ... + + x - 2004

2/ Chøng minh bất đẳng thức:
y = x -1 + x - 2 + ... + x - 2004 106

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x -1 + x - 2 + ... + x - 2002

d, TiÓu kết:
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linh
hoạt cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận
dụng. Vì vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.

4. Ph ơng pháp dùng ẩn ph ụ:
Đối với dạng toán này, nếu biết cách dùng ẩn phụ sẽ giúp chúng ta
nhìn nhận ra vấn đề một cách rõ ràng.
Ví dụ 1:
HÃy tìm giá trị lớn2 nhất
và giá2 trị
bé nhất của biểu thức x 2 +y2
2
2
2 2 2
víi ®iỊu kiƯn: (x -y +1) + 4x y -x -y = 0.(1)
Lời giải:
Điều kiện (1) biến đổi đợc vỊ d¹ng(x2+y2)2-3(x2+y2)+1+4x2=0 (2)
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x(3).
*********************************************************************************


14

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Đặt u=x2+y2 . Khi ®ã tõ (3) ta cã u2-3u+1 £ 0 (4)
Hay (3- 5 )/2 £ u £ (3+ 5 )/2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức x2+y2 là
(3+ 5 )/2 khi x=0
Giá trị bé nhất của biểu thức x2+y2 lµ
(3- 5 )/2 khi x=0.
VÝ dơ 2:
Cho hai sè x,y ạ 0 thay đổi thoả mÃn (x+y)xy=x2+y2-xy.Tìm giá trị lớn nhất
1

1

của biêu thức C= x3 + y3 .
1

1

Lời giải:
1

1

Đặt t= x + y . Tõ gi¶ thiÕt cã x + y = x
1

1

1

1

1

3

1

1

+ y

2

1

Suy ra C=t2 vµ x + y = 4 ( x + y )2+ 4 ( x - y )2

1

1
- xy (chia c¶ hai vÕ cho x2y2).

2

³

1

1
1 2
4 ( x + y ) ( Đẳng thức xẩy ra

1
khi x = y ) Þ 4t ³ t2.Suy ra 0 Ê t Ê 4 nên t2 Ê 16.
Từ đó suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi và chỉ khi x=y=

2

2

Cách 2:Có thể đặt u=x+y,v=x.y(điều kiện u 4v).
IV. một số Bài tập tự luyện:
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/ A = 4x2 − 20x + 35

b/ B = −2x2 + 3x + 1

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc sau:
a/ A = (x −1)(x − 2(x − 3)(x − 5)

b/ B = x2 − 2x + y 2 + 4 y + 5

3/Cho phơng trình: ( 3m2 + 2m + 1)x2 − (2m2 + 10m + 3)x cã 2 nghiƯm
−1 = 0 x1 , x2 . T×m giá trị lớn nhất của tổng x1 + x2 .
4/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hµm sè sau:
a/ y
=

x2 + x +
1
2
x +1

b / y = x2 + x + 1
x2 + 1

5/ Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A = (1 −x)2 x)3 với

x 1

(1

(HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với
1 − x 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x
2 ;
2 ;
3 ;
3 ;
3 )
6/ T×m giá trị nhỏ nhất của hàm số:

5

y = 3x +

số không

âm:

2 9x2

*********************************************************************************


15

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
(HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x; 2 - 9x2 )
7/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 51 - 4x -1

8/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:

N = x + x -1

9/ T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a/ A = x2 - 2x + 1 + x2 - 6x + 9
b/ B =
10/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x+
é y + (x - y) ù

(HD: y(x-y) £

ê

ë

2

ú

û

xy(x - y)
4 x x

x2

2
=

4

x + 9 - 6 x + x +1 - 2
1
với x>y>0

;

x+

x

3

=

3

+

3

x
+

3

x

4
+

x

3

4. 4

4
27

)

Phần thứ ba.

Kết luận
Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đà hết sức cố gắng, mạnh
dạn trình bày kinh nghiệm của mình khi giải bài toán cực trị đại số nh trên.
Có những ví dụ tôi đà đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so
sánh và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự.
Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trớc hết chúng ta
cần cung cấp cho học sinh một cách tờng minh các khái niệm mới mẻ,
những kiến thức trừu tợng mà trong chơng trình SGK cha đề cập tới nh:
Khái niệm " Miền nghiệm ", Bất đảng thức cô-Si, Bunhiacopski, . . ..
Đồng thời, cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học
sinh làm quen các dạng toán một cách tự nhiên và hiệu quả. Bên cạnh đó
cần phải chú ý những sai lầm thờng gặp và thống kê những bài tập vận
dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp, có lời giải chính xác.

Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên
cứu bản thân tôi cha thể nêu ra đợc cách giải tổng quát mà chỉ thông
qua các ví dụ minh hoạ mong bạn đọc cùng t duy sáng tạo. Tuy nhiên
nếu khi đà quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm ra một phơng pháp
cụ thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng.

Sau mấy năm ứng dụng đề tài này vào chơng trình dạy học, tôi thấy việc
giải quyết các bài tập về cực trị đợc học sinh giải quyết linh hoạt hơn và có những
bài giải ngắn gọn và rất dễ hiểu, các em dễ tiếp thu và vận dụng, nhất là số học
sinh giải đợc nhiều những bài toán tìm cực trị tơng đối khó. Do đó,

*********************************************************************************
16

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này. Hy vọng rằng,
nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu
toán những điều thú vị và bổ ích.
Mặc dầu trong quá trình tìm tòi, học hỏi, tôi đà rất cố gắng
chọn lọc kiến thức và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng, dễ
hiểu nhng dẫu sao cũng không tránh khỏi những hạn chế, những sai sót,
tôi rất mong các đồng chí, đồng nghiệp và các em học sinh chỉ bảo,
đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm này đợc hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

*********************************************************************************
17

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình


Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS

********************************************************************************
Danh mục tài liệu tham khảo:

1. Tuyển tập toán "30, 45 năm toán học và tuổi trẻ" do hội toán học Việt
Nam biên soạn.
2. Sách "Bồi dỡng đại số cho học sinh lớp 8" do nhóm tác giả: Vũ Hữu
Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều biên soạn.
3. Sách giáo khoa toán 8, toán 9
4. Sách giáo viên toán 8, toán 9.
5. Tuyển tập "Các dạng toán dành cho học sinh THCS" do tác giả Phan
Duy Khải biên soạn.
6. Một số cuốn tạp chí Thế giới trong ta

*********************************************************************************
18

Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình