(SKKN mới NHẤT) một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài tốn tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một
bài tốn khó đối với học sinh trung học phổ thơng nói chung và học sinh khối
11 nói riêng. Bài tốn này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh,
đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia. Liên quan đến dạng tốn này đã có
nhiều cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn
sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp
với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một
quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tự nhiên”. Do khơng có đủ cơ sở lý
thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại
có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì khơng có
đủ cơ sơ lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ cơng thức, khơng tìm
được mối liên hệ giữa các bài tốn, khơng tự xây dựng được một lớp các bài
tốn cùng dạng và quy trình để giải các bài tốn đó; Điều này làm ảnh hưởng
đến khả năng tìm tịi sáng tạo tốn của học sinh – một yếu tố rất quan trọng
đối với người học tốn.
Trong q trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 và bồi dưỡng học sinh
giỏi, tơi đã tìm tịi đúc kết và rút ra được một số phương pháp cơ bản để tìm giới hạn
của các bài tốn dạng này. Vì vậy tơi chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm là :
“Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trong phạm vi đề tài này tơi khơng có tham vọng đưa ra một hệ thống
kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt tốn học; ở đây tơi chỉ
trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số và giới hạn tơi
đã tích luỹ, tìm tịi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh nắm được
một số phương pháp cơ bản để tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ
thức truy hồi. Trên cơ sở từ một số bài toán điển hình tơi sẽ đưa ra phương
pháp giải cho bài tốn đó và một nhóm các bài tốn tương tự; đồng thời giúp
học sinh khái quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải
cho các bài tốn đó, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học

sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 11A2 và 11A8 trường THPT Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hoá.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Thực hành qua các bài dạy
+ Tổng kết, đánh giá qua năm học 2016-2017 trên đối tượng là học sinh 2 lớp
11A2 và 11A8.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Theo quan điểm của cá nhân thì đề tài này có một số điểm mới như sau:

Trang 1

download by :


+ Hệ thống lại cho học sinh ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số
cho bởi hệ thức truy hồi.
+ Xuất phát từ một số bài tốn cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa, tơi
đã hướng dẫn học sinh giải. Trên cơ sở đó cho học sinh nhận dạng các loại bài tập
và đưa ra phương pháp giải tương ứng; đồng thời gợi ý để học sinh tự tìm ra một số
kết quả mới như giải quyết bài toán tổng quát hơn, phức tạp hơn.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Một số định nghĩa liên quan đến dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương.
Ký hiệu
Định nghĩa 1.2. Cho dãy
Dãy
được gọi là dãy số tăng (đơn điệu tăng) nếu

.
Dãy
được gọi là dãy số giảm (đơn điệu giảm) nếu
[4].
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số
Dãy
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số
sao cho
.
Dãy
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại hằng số
sao cho
.
Dãy
vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn [4].
2.1.2. Cấp số cộng
2.1. Định nghĩa
Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d (
), d là số thực khơng đổi gọi là “cơng sai”.
2.2. Tính chất
Số hạng tổng quát của cấp số cộng: un =
Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
Sn=u1+ u2+ u3+...+ un =

=

[4].

2.1.3. Cấp số nhân
3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un .q (
là số không đổi gọi là “cơng bội ”.
3.2. Tính chất
Số hạng tổng qt:un = u1 .qn-1
Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Sn=u1+ u2+ u3+...+ un =

, (q 1).

(Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)[4].
2.1.4.Giới hạn của dãy số
Trang 2

download by :

); q


Định nghĩa 4.1. Dãy số
được gọi là có giới hạn 0 nếu với mọi số dương
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi đều có trị
tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu
hoặc
.
Định nghĩa 4.2. Dãy số
được gọi là có giới hạn là số thực L nếu
. Kí hiệu
hoặc
[5].
Một số giới hạn cơ bản

1.

2.

3.

Định lí 4.1 (Định lý giới hạn kẹp giữa)
Cho hai dãy số
. Nếu
và
Định lý mở rộng:. Cho ba dãy số

thì
thỏa mãn

với
[5].

Khi đó
[5].
Định lý 4.2
Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”[1].
Nhận xét: Giả sử dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn thì
.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong
sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:
Bài tập 1. Cho dãy số (un) xác định như sau:
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi

là một cấp số nhân.

b) Tính limun”[1].
Bài tập 2. Cho dãy số (

) xác định bởi

Bài tập 3. Cho dãy số (un) xác định bởi

a) CMR:
b) CMR:

. Tính limun [1].

Trang 3

download by :

. Tính lim

[2].


Bài tập 4. Cho dãy số (
Tính lim

[8].

) xác định bởi

( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011).

Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận
xét sau đây:
Đây là bài tốn tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh
thường lúng túng trong việc tìm ra các giải cho bài tốn.
Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài tốn trở nên
rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh
có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định cơng thức tổng
qt của dãy số (un) nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt của một cấp số cộng, cấp
số nhân; hoặc sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số như nguyên lý kẹp, định lý
về sự tồn tại của dãy số để tìm giới hạn của dãy số.
Với các bài tốn được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh
giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh biết
cách nhận dạng, phân tích bài tốn để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề khơng
dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải quyết vấn đề
này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.
Trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
đã tổng hợp và đưa ra một số phương pháp để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức
truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi xin đưa ra 3 phương pháp cơ bản để
tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau đây.
Phương pháp 1: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách
xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách
sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số.
Phương pháp 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử
dụng nguyên lí kẹp.

2.3.1. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa một dãy số cho bởi hệ thức truy
hồi khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi đề tài này tơi chỉ trình bày phương
pháp tìm số hạng tổng qt của dãy số dãy số bằng cách biến đổi công thức truy hồi,
sau đó sử dụng đổi biến để đưa dãy số về cấp số cộng hoặc cấp số nhân.. Trên cơ sở
tìm được số hạng tổng quát của dãy số ta tính giới hạn của dãy số đã cho.

Trang 4

download by :


Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định như sau

. Hãy xác định số

hạng tổng quát của dãy số.
Nhận xét: Để giải quyết bài tốn này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau :
Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp)
Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2
u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2
...
Dự đoán un = 1+(n-1).2
Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp tốn học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng)
Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2
n N*
Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, cơng

sai d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2
Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định

.

a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi

là một cấp số nhân.

b) Tính limun[1].
Giải
a) Ta có

.

Nên (vn) là một CSN có cơng bội

và v1

b) Từ câu a) suy ra

. Do đó
. Do đó

.
.

Nhận xét
1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến
để dãy (vn) là một CSN? Từ đó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm

số b sao cho
Do vậy nếu đặt
2. Ngồi ra có thể đặt

thì

nên (vn) là một cấp số nhân.
, khi đó ta có

Suy ra
Trang 5

download by :

.


3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới :
" đề xuất bài tốn tổng qt hơn cùng với quy trình để giải bài tốn đó"
Bình luận: Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý
thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh
trung học phổ thông thì các kiến thức đó là q tầm. Trong phạm vi đề tài này tác
giả chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách
giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài tốn đó bằng các kiến thức
phổ thông.
Từ cách đặt vấn đề của giáo viên học sinh có thể đưa ra bài tốn tổng qt hơn
như sau :
Bài tốn 1.1. Tìm số hạng tổng qt của dãy số (un) xác định bởi

.

Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
Bài tốn này có khái qt hơn ví dụ 1.1, cách giải bài toán này tương tự . Trên
cơ sở đó giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo hai hướng:
Hướng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ số đó
bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi.
Bài toán 1.2..Cho dãy số (un) xác định bởi 

.Xác định số

hạng tổng qt của dãy số. Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
Hướng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao?
Bài tốn 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi

. Trong

đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng qt của dãy ? Từ
đó tính giới hạn của dãy số đó.
Rõ ràng đây là bài tốn tổng qt hơn, cách giải bài tốn này địi hỏi sự tư duy
và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tơi thấy : Đối với bài tốn mới
này một số học sinh thường giải được theo cách 1 (phương pháp quy nạp) nhưng
các em gặp khó khăn khi đốn tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài
toán này theo cách 2 ? Với bài toán 1.2. Từ giả thiết bài tốn ta tìm cách biến đổi về
dạng: un+1 -

= k(un – ) với

.

Đến đây nhiều học sinh có thể chưa nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể gợi

ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn+1 = un+1 - thì (vn) lập thành một cấp số nhân với
cơng bội k, từ đó ta có cách giải quyết như sau :
Đặt vn = un n N* lúc đó (vn) lập thành cấp số nhân với cơng bội là k,
v1=a +

.

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : vn = v1.kn-1=
Khi đó: un =a.kn-1+b
Với bài toán 1.3 ta định hướng như sau:

Trang 6

download by :


Trường hợp 1. Với k =1 dãy số (un) xác định bởi

. Trong đó

f(n) là một biểu thức phụ thuộc n.
Khi đó ta biến đổi như sau:
un =(un - un-1)+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1
= f(n-1)+f(n-2)+ ... + f(1)+a. Trong đó f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) tính được.
Ví dụ minh hoạ 1: Cho dãy số (un) xác định như sau

. Hãy

xác định số hạng tổng qt của dãy ? Từ đó tính
.

Giải
Ta có: un=(un - un-1 )+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1
=
=

. Do đó limun = 2.

Trường hợp 2. Với
. Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: u n+1 – kun =
f(n), từ đó hãy biểu diễn un tương tự như cách làm ở trên"
Ta có:
un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1
= f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1.
(Tổng này tính được tùy theo k và f(n) của bài tốn cho)
Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định như sau

. Hãy xác

định số hạng tổng quát của dãy ?
Hướng dẫn
Áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta được un= 2n+1 – n – 1.
Đến đây giáo viên đặt vấn đề: ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu
thức chứa un-1 thì sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho bởi
Thì việc tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số này sẽ được giải quyết
như thế nào?
Giáo viên có thể định hướng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo hướng
giải Bài toán 1.2, muốn vậy ta cần tìm 2 số và sao cho:
un+1 - un = (un - un-1)
Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có :
(ta giả thiết rằng

0, vì nếu
= 0 thì q = 0, bài tốn trên giải quyết vì khi đó
là cấp số nhân).
Đặt vn=un+1 - un ta có vn= .vn-1 do đó (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là
, v1= u2 – u1=b– a và vn= n-1v1 hay un+1 - un = n-1(u2 – u1)
(1)
Ta lại có un+1 - un= (un - un-1)
un+1 - un = (un - un-1)
Trang 7

download by :


Nên tương tự trên ta cũng có un+1 - un = n-1(u2 – u1)
Trường hợp 1: Nếu
trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có
( - )un =

n-1

(u2 – u1) -

n-1

(u2 –

u1)

Trường hợp 2: Nếu = ta có:
un = (un - un-1)+ (un-1– un-2)+ 2(un-2 – un-3) + …+

= vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + …+ n-2v1 + n-1u1
n-2
n-3
=
v1 +
v1 + 2 n-4v1 + …+ n-2v1 + n-1u1
= ( n-2 + n-2 + …+ n-2)v1 + n-1u1
(n-1) số hạng
= (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1u1 = (n – 1)
= (n – 1)b. n-1 + (n – 2)a. n-1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là

n-2

(nếu
n-1

un = (n – 1)b.
với

,

(2)

+ (n – 2)a.

n-1

(nếu

n-2

(b –

(u2 – u1) +

a)+

n-1

n-1

u1

.a

)
= )

được xác định bởi

Bài toán đã được giải quyết.
Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) được xác định

.

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. suy ra limun [2].
Áp dụng kết quả trên ta có số hạng tổng qt
Do đó lim
.

Ví dụ minh hoạ 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci
[3].
Ta có số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là : un=
Nhận xét: Như vậy với cách làm trên ta đã hướng dẫn học sinh tự xây dựng
các bài toán mới và quy trình giải các bài tốn đó một cách tự nhiên, không phải sử
dụng đến các kiến thức vượt chương trình như lý thuyết về phương trình sai phân
tuyến tính, phương trình đặc trưng hay phương trình hàm sinh... Điều đó ngồi
việc giúp học sinh nhớ và giải được toán mà điều quan trọng hơn là đã giúp học sinh
phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề phát triển tư duy sáng tạo. Thực tế qua theo dõi
các đề thi HSG các tỉnh nhiều năm qua cũng thấy có khá nhiều bài toán tương tự.
Ta tiếp tục xét thêm một số ví dụ:
Thực tế giải tốn cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn, nếu linh hoạt
biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết được một cách dễ dàng. Ví dụ sau cho
thấy rõ điều đó.
Trang 8

download by :


Ví dụ 1.3. Cho dãy số (un) thỏa mãn:

với

.Hãy tìm

số hạng tổng qt của dãy số đó? Từ đó tìm
[6].
Hướng dẫn
Theo giả thiết ta có: (un+1 – un)=(un – un-1) +1
Đặt vn=(un+1 –un) thì ta có vn+1 - vn =1 nên (vn) lập thành cấp số cộng với v1 = 0 và

cơng sai d = 1, do đó:
Sn-1 = v1+ v2 + ... + vn-1 =

=

=

Mặt khác ta có: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + ... + (u2 – u1) + u1
= vn-1+ vn-1 + ... + v1 + u1 = Sn-1 + u1 =
Vậy un =

.

Ví dụ 1.4.Cho dãy số (un) xác định như sau:

với

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số [7].
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un =

(un+1 – 3un)2 =
(1)

Do đó ta cũng có

(2)

Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được:
(vì

un+1 + un-1 = 6un
suy ra un+1 - un-1 >0)

Do đó bài tốn đã cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định
.Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?
Đs:
Bài tập vận dụng
Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định
a) CMR dãy số (vn) với vn = un –1 ,

. Đặt Sn= u1+u2+… +un,
là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Trang 9

download by :

với


b) Tính limSn [1].
ĐS:

Bài 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi
a) CMR

.

b) CMR dãy (vn) với
ĐS:

là một cấp số nhân. Tính limun [1].

.

Bài 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi

.Tính lim

[6].

ĐS: lim
Bài 1.4. Cho dãy số (un) xác định bởi

.Tính limun [8].

ĐS: limun = 2.
Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định như sau

.Tính limun

[8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999).
ĐS:

.

Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định như sau

. Tính limun [7].

ĐS

Bài 1.7. Cho dãy số

ĐS:

xác định

,

.
Trang 10

download by :

.Tính

.


Bài 1.8. Cho dãy số (un) xác định bởi

.Tính lim

(Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD:

và lim

2.3.2. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng

cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
*Nhận xét: Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả với các bài tốn mà việc tìm
cơng thức tổng qt của dãy số gặp khó khăn.
Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 2.1. Cho dãy số (
Giải
* Chứng minh (

) xác định bởi

. Tính lim

) là dãy số tăng bằng quy nạp, tức là

>

Khi n = 1 ta có
Giả sử
, khi đó
. Vậy
* Ta chứng minh dãy ( ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy
Khi n = 1 ta có

>

Giả sử
, khi đó
.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả
sử limun = a, thì

.
* Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có
Hay

. Vì

nên a = 2. Vậy

Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được số hạng tổng quát của dãy (un) là
, tuy nhiên việc xác định số hạng tổng quát của (un) không phải
là đơn giản và mất nhiều thời gian. Với phương pháp tính giới hạn như bài giải trên,
bài tốn được giải quyết tương đối gọn nhẹ.
Ví dụ 2.2. Cho các dãy số

được xác định như sau

Chứng minh rằng các dãy số
có giới hạn và
[5].
Nhận xét: Dựa vào dữ kiện đề bài tìm số hạng tổng qt của hai dãy số
rất khó khăn.
Giải
Trang 11

download by :

là


Ta xét hai trường hợp sau:

(i) Nếu
thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy
là dãy giảm bị chặn dưới bởi
, còn dãy
là dãy tăng bị chặn trên bởi . Do đó theo định lý tồn tại
và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được
.
(ii) Nếu
tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 2.3. Cho dãy số
được xác định
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó [5].
Hướng dẫn
Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được
là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó
theo định lý ta có tồn tại
. Từ đẳng thức
chuyển qua giới
hạn ta được
nhưng do
nên chỉ lấy
. Vậy
.
Ví dụ 2.4. Cho dãy số (

) xác định bởi

.Chứng

minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
(Sáng tác dựa trên Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải
Trước hết ta nhận xét rằng > 0, với mọi n,
Thật vậy, ta có u1 = 2017 >0. Giả sử

, ta chứng minh

Từ hệ thức truy hồi suy ra
Do đó ta có

.

Mặt khác ta có
(vì

)

Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
hạn. Giả sử limun = a, khi đó

, do đó dãy (un) có giới hạn hữu

Và ta có
. Vậy
Ví dụ 2.5. Cho dãy số (

.

)xác định

.Tính lim

( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8].
Hướng dẫn
Trang 12

download by :


* Nhận xét rằng
( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)
* Dãy số ( ) là dãy tăng.
* Giả sử dãy (

) bị chặn trên, khi đó (

) có giới hạn hữu hạn và lim

= a (a > 0)

Ta có
. Phương trình vơ nghiệm.
Vậy dãy (un) khơng bị chặn hay

.

* Ta có

.Do đó

Ví dụ 2.6. Cho dãy số (

) xác định

.

. Tính lim

(Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011).
Hướng dẫn
* Ta có

, do đó dãy (un) là dãy số

tăng.
* Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a (
).
Từ hệ thức truy hồi suy ra
lý). Vậy:

. Hay

(vơ

.

* Từ (*) suy ra

hay

Do đó lim

.

Vậy: lim

.

Bài tập vận dụng
Bài 2.1. Cho dãy số

thỏa mãn

.Chứng minh dãy số trên

có giới hạn và tìm giới hạn đó [6].
Trang 13

download by :


ĐS: lim

.

Bài 2.2. Cho dãy (
ĐS: lim

) xác định

(với a >0). Tính lim

.

.

Bài 2.3. Cho dãy (

) xác định

dãy số

. Chứng minh rằng

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó[8].

ĐS: limyn= 6.
Bài 2.4. Cho dãy số (

ĐS: limun =

) xác định bởi

(a > 0).Tính limun

[8].

Bài 2.5. Cho dãy số (

) xác định

.Đặt

. Tính

limSn [6].
ĐS:limSn = 2.

Bài 2.6. Cho dãy (

) xác định bởi

.Tính

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5].
Bài 2.7. Cho dãy (

) xác định

.Tính

ĐS:

.

Bài 2.8. Cho dãy số thực

được xác định bởi

trong đó

là một số thực thuộc đoạn

và

.Chứng minh rằng dãy số

hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó[8].
Trang 14

[4].

download by :

có giới


Bài 2.9. Cho số thực .Cho dãy số
. Chứng minh rằng dãy số
giới hạn đó [8].
Bài 2.10. Cho dãy số (

ĐS: lim

được xác định bởi:
và
có giới hạn hữu hạn khi

) xác định bởi

và tính

. Tính lim

.

=1.

2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
cách sử dụng định lý về nguyên lý kẹp
Ta xét một số ví dụ

Ví dụ 3.1. Cho dãy số (un) xác định bởi

a) Chứng minh rằng

.

b) Chứng minh rằng

. Tính limun [1] .

Giải
a) Bằng quy nạp ta chứng minh được
Với n = 1 thì u1 =
Giả sử
và

. Ta chứng minh

.

đúng.
, ta chứng minh

. Do đó

. Thật vậy, ta có
. Vậy

b) Từ câu a) suy ra
Do đó ta có
Mà lim

.
=0, nên theo ngun lí kẹp thì limun = 0.

Nhận xét: Với ví dụ này việc xác định số hạng tổng quát hoặc sử dụng tính đơn điệu
của dãy số để tìm giới hạn gặp nhiều khó khăn. Bên cạnh đó đề bài cho câu a). Đây
cũng là gợi ý để ta giải quyết bài toán này theo nguyên lý kẹp.
Trang 15

download by :


Ví dụ 3.2. Dãy số

thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm
Giải

và
[8].

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:

.

Thật vậy: ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với
Giả sử bất đẳng thức đúng với

, tức là

Do đó bất đẳng thức đúng đến

.

Mặt khác do

.

. Khi đó ta có

nên từ bất đẳng thức trên và ngun lý kẹp ta có

Ví dụ 3.3. Cho dãy số (un) xác định bởi

a) Chứng minh rằng

và

.

.

.

b) Tính limun [1].
Hướng dẫn
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được
Từ hệ thức truy hồi ta có

.

b) Từ câu a) ta có
Mà lim

= 0. Nên theo ngun lí kẹp ta có limun = 0.

Ví dụ 3.4. Cho dãy số (un) xác định bởi

a) Chứng minh

(– 1 < a < 0).

.

b) Tính limun [1].

Hướng dẫn
Nhận xét rằng – 1 < un < 0, với mọi n (kiểm tra bằng chứng minh quy nap). Từ đó
suy ra 0 < un + 1 < 1 và
>1
Suy ra

, nên dãy

Do đó
Trang 16

download by :

là dãy giảm


Nên
Hay
Vì

. Suy ra limun = -1.

Bài tập vận dụng
Bài 3.1. Cho dãy số (un) xác định bởi
a) Chứng minh rằng
b) Tính lim
ĐS: lim

.

. (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)[8].

=0.

Bài 3.2. Cho dãy số (un) xác định bởi
a) Chứng minh rằng
b) Tính lim
ĐS: lim

.
.

. (Đề thi HSG Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) [8].

=2.

Bài 3.3. Cho dãy số (un) xác định bởi

a) Chứng minh rằng
b) Tính lim

.

.

.

ĐS: lim =1.
Bài 3.4. Cho dãy các hàm số

xác định như sau
.Tìm
Trang 17

.

download by :


ĐS:

, với mọi

[6].

Bài 3.5. Cho dãy số (un) xác định bởi
ĐS: lim =
.
Bài 3.6. Chứng minh rằng

. Tìm lim

[7].

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối

tượng học sinh trong khi giải các bài tốn về tìm số hạng tổng qt và tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Đề tài đã đưa ra được ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số
được cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa
cũng như các bài tốn khó trong các đề thi học sinh giỏi.
Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp
cũng như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.
Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn
dắt học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài tốn mới, dần dần hình thành cho các em
khả năng làm việc độc lập, phát triển tư duy sáng tạo, phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi mới của
Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ
mơn Tốn.
Đề tài của tơi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11 ,được
học sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và
giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn các
phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ để
giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp sau khi áp
dụng sáng kiến này vào giảng dạy, đánh giá qua bài kiểm tra thu được kết quả như
sau :

Lớp
Năm

Tổng
số HS

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8
Số

Tỷ lệ
Trang 18

Số

Tỷ lệ

download by :

Điểm dưới 5
Số

Tỷ lệ


học
2016
2017

lượng

lượng

lượng

11A8 (Ban
cơ bản)

41

7

17,1 %

22

53,6 %

12

29,3 %

11A2(Ban
nâng cao)

44

31

70,4%

8

18,2%

5

11,4 %

III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một q trình tìm tịi, nghiên cứu và
đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một
năm triển khai thực hiện đề tài này với cách xây dựng và phát triển các bài tốn, xây
dựng quy trình giải quyết các bài tốn một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhận thấy
các em đã nắm được vấn đề, biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các bài
toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Từ đó giúp cho các em yêu thích mơn tốn hơn,
chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên
cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng
cho học sinh khá giỏi để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
và kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông sau này.
Trong quá trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng khơng
tránh khỏi những thiếu sót.Tơi rất mong được các thầy cơ giáo, các bạn đồng nghiệp
góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn. Hy vọng tài liệu này có thể sử dụng làm
tài liệu tham khảo cho học sinh và thầy cô giáo trong quá trình học tập, giảng dạy.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Trịnh Công Hải

Trang 19

download by :