Các phương pháp tính giới hạn của hầm số

1
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XYZ
TRƯỜNG THPT ABC

CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
NĂM HỌC: 2011 - 2012
NĂM HỌC: 2011 - 2012
3


PHẦN LÝ THUYẾT CƠ BẢN
PHẦN LÝ THUYẾT CƠ BẢN
4


1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Định lí 1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi hoặc
0
x x
→
x
→ ±∞
thì giới hạn đó là

duy nhất
duy nhất
.
.



Định lí 2: (Các phép toán về giới hạn của hàm số)
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi thì:
x a
→
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
) lim lim lim
) lim . lim . lim
lim
) lim lim 0
lim
) lim lim lim 0
x a x a x a
x a x a x a
x a

x a x a
x a
x a x a x a
a f x g x f x g x
b f x g x f x g x
f x
f x
c g x
g x g x
d f x f x f x
λ µ λ µ
→ → →
→ → →
→
→ →
→
→ → →
± = ±
 
 
=
 
 
= ≠
= ≥
5


2. NGUYÊN LÝ KẸP GIỮA
2. NGUYÊN LÝ KẸP GIỮA

DẠNG 1: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) được xác định tại
mọi lân cận của điểm (có thể trừ ra điểm ). Nếu:


0
x
0
x
a) Với mọi thuộc lân cận đó và


0
x x
≠
( ) ( ) ( )
.f x g x h x
≤ ≤
b) Nếu thì


( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x h x L
→ →
= =
( )
0
lim .

x x
g x L
→
=
DẠNG 2: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) được xác định tại
mọi . Nếu:


x
∈
¡
a) Với mọi có


( ) ( ) ( )
.f x g x h x
≤ ≤
x
∈
¡
b) Nếu thì


( ) ( )
lim lim
x x
f x h x L
→±∞ →±∞
= =
( )

lim .
x
g x L
→±∞
=
6


3. QUY TẮC LÔPITAN
3. QUY TẮC LÔPITAN
Nếu hai hàm số f(x), g(x) có đạo hàm (khả vi) ở lân cận
0
,x
( ) ( )
0 0
0f x g x
= =
và ở lân cận đồng thời
( )
' 0g x
≠
0
,x
( )
( )
0
'
lim
'
x x

f x
A
g x
→
=
thì
( )
( )
0
lim .
x x
f x
A
g x
→
=
7
Bài toán 1
Bài toán 1
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ


0
0
I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng:
( )
( )

0
lim
x x
f x
g x
→
với f(x), g(x) là các hàm đa thức nhận làm nghiệm.
0
x x
=
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0 0 0
0
0 1
1
0 1 1

0
2 2
0 0
0
lim lim lim
lim 0
x x x x x x
k
k
k k
x x
k k
x x f x
f x f x
g x x x g x g x
f x
f x
f x g x
g x g x
→ → →
→
−
= = =
−
= = + >
8
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
2
1

1 0
) lim
1 0
x
x
a
x
→
−
 
 ÷
−
 
( ) ( )
( )
1 1
1 1
lim lim 1 1 1 2
1
x x
x x
x
x
→ →
− +
= = + = + =
−
3 2
4 3 2
1

2 0
) lim
0
2
x
x x
b
x x x x
→
+ −
 
 ÷
− + + −
 
9
CHÚ Ý
CHÚ Ý
 Nếu tam thức có hai nghiệm
( )
2
f x ax bx c
= + +
1 2
,x x
thì
( ) ( ) ( )
1 2
.f x a x x x x
= − −
 Phép chia đa thức cho

( )
3 2
P x ax bx cx d
= + + +
theo sơ đồ Hocnơ sau đây:
( )
0
x x
−
0
x
0
ax b
+
a
b
c
d
a
2
0 0
ax bx c
+ +
0
Khi đó:
( )
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
.P x x x ax ax b x ax bx c

 
= − + + + + +
 
10
CHÚ Ý
CHÚ Ý
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
a b
a b
a b
a b
a b
a ab b
a b
a b
a ab b
−
• − =
+
−
• − =
+ +
+
• + =
− +
11

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
2
1
1 0
) lim
1 0
x
x
a
x
→
−
 
 ÷
−
 
( ) ( )
( )
1 1
1 1
lim lim 1 1 1 2
1
x x
x x
x
x
→ →
− +
= = + = + =

−
3 2
4 3 2
1
2 0
) lim
0
2
x
x x
b
x x x x
→
+ −
 
 ÷
− + + −
 
( )
( )
( )
( )
2
2
3
3
1 1
1 2 2
2 2 5
lim lim .

4
2
1 2
x x
x x x
x x
x x
x x x
→ →
− + +
+ +
= = =
+ +
− + +
12
BÀI TẬP TỰ LÀM
BÀI TẬP TỰ LÀM
( )
( )
( )
( )
3 2
2
2
0
0
0
2 8
1) lim :14
3 2

1 sin 2 cos2
2) lim : 1
1 sin 2 cos2
1 1 sin3
3) lim :3 2
1 cos
2
4) lim cot : 0
sin 2
x
x
x
x
x x x
HD
x x
x x
HD
x x
x
HD
x
x HD
x
→
→
→
→
+ − −
− +

− −
−
+ −
− +
−
 
−
 ÷
 
13
Bài toán 2
Bài toán 2
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI


0
0
I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng:
( )
( )
( ) ( )
( )
0
0 0
lim ; 0

x x
f x a
f x a g x
g x
→
−
= =
14
Bài toán 2
Bài toán 2
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI


0
0
Khi đó ta thực hiện phép nhân liên hợp ta được:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
( )
0 0 0
0
2
0 1
0 1
1 0
1
1 0
1
lim lim lim
lim .
2 .
x x x x x x
x x
f x a
x x f x
f x a
g x
g x f x a x x g x f x a
f x
f x
a g x
g x f x a
→ → →
→
−
−

−
= =
   
+ − +
   
= =
 
+
 
( )
,f x a
+
15
CHÚ Ý
CHÚ Ý
Phương pháp được mở rộng cho các giới hạn:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0

0
0 0
1 2
1 0 2 0 0
1 2
1 0 2 0 1 0 2 0
1 2
1) lim ;
2) lim ; 0
3) lim ;
x x
x x
x x
f x a
f x a g x b
g x b
f x f x
f x f x g x
g x
f x f x
f x f x g x g x
g x g x
→
→
→
−
= =
−
−
= =

−
= =
−
16
III. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
2
1
8 3 0
) lim
0
2 3
x
x
a
x x
→
+ −
 
 ÷
+ −
 
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
lim

8 3 1 3
1 1
lim .
24
8 3 3
x
x
x
x x x
x x
→
→
−
=
+ + − +
= =
+ + +
17
III. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
0
1 1 0
) lim
0
3 2 9
x
x
b
x
→

+ −
 
 ÷
− +
 
( )
( )
( )
0
0
3 2 9
lim
2 1 1
3 2 9 3
lim .
2
2 1 1
x
x
x x
x x
x
x
→
→
+ +
=
− + +
+ +
= = −

− + +
18
BÀI TẬP TỰ LÀM
BÀI TẬP TỰ LÀM
( )
1
2
2 2
3
1
2 1 1
1) lim :
1 2
2 2 1
2) lim :
4
1 3
1
3) lim 0 :
2
3 2 3
4) lim :
1 2
x
x
x a
x
x x
HD
x

x x
HD
x x
x a x a
a HD
a
x a
x x
HD
x
→
→
→
→
− −
 
 ÷
−
 
+ −
 
−
 ÷
− − −
 
− + −
 
>
 ÷
 

−
− −
 
 ÷
−
 
19
Bài toán 3
Bài toán 3
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHỨA CĂN THỨC BẬC BA
CHỨA CĂN THỨC BẬC BA


0
0
I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng:
( )
( )
( ) ( )
( )
0
3
3
0 0
lim ; 0
x x

f x a
f x a g x
g x
→
−
= =
20
Bài toán 3
Bài toán 3
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHỨA CĂN THỨC BẬC BA
CHỨA CĂN THỨC BẬC BA
0
0
Khi đó thực hiện phép nhân liên hợp
ta được:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )

( )
( )
0 0
0
0
3
3
2 2
3
3
0 1
2 2
3
3
0 1
1 0
1
2
2 2
3
3
1 0
1
lim lim
lim
lim .
2
x x x x
x x
x x

f x a
f x a
g x
f x f x a g x
x x f x
f x f x a x x g x
f x
f x
a a g x
f x f x a g x
→ →
→
→
−
−
=
 
+ +
 
 
−
=
 
+ + −
 
 
= =
   
+
+ +

 
 
 
( ) ( )
2 2
3
3
f x f x a
+ +
21
CHÚ Ý
CHÚ Ý
Phương pháp được mở rộng cho các giới hạn:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
3
3
0 0
3
3 3
0 0
3
3
3
0 0
3 3
1 2
3 3
1 0 2 0 1 0 2 0
1 2
3 3
1 2
3 3 3 3
1 0 2 0 1 0 2 0
3 3
1 2
1) lim ; 0

2) lim ;
3) lim ;
4) lim ;
5) lim ;
x x
x x
x x
x x
x x
f x a
f x a g x
g x
f x a
f x a g x b
g x b
f x a
f x a g x b
g x b
f x f x
f x f x g x g x
g x g x
f x f x
f x f x g x g x
g x g x
→
→
→
→
→
+

= − =
±
= =
±
±
= =
−
±
= =
−
±
= =
±
m m
m
m
m m
22
III. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:
3
2
4 2 0
) lim
2 0
x
x
a
x
→

−
 
 ÷
−
 
( )
( )
( )
2
2
3 3
2
2
3 3
4 8
lim
2 4 2 4 4
4 1
lim .
3
4 2 4 4
x
x
x
x x x
x x
→
→
−
=

 
− + +
 
 
= =
+ +
23
III. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:
3
3
1
1 0
) lim
0
2 1
x
x
b
x
→
−
 
 ÷
− +
 
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
3 3
2
1
3 3
2
3 3
2
1
3 3
1 2 2 1
lim
1 1
2 2 1
lim 1.
1
x
x
x x x
x x x
x x
x x
→
→
 
− − − − +
 
 

=
 
− + +
 
 
− − − +
= =
+ +
24
BÀI TẬP TỰ LÀM
BÀI TẬP TỰ LÀM
( )
3 3
1
3 3
0
2
3
1
2
2
3
1
2 1 2
1) lim :
3
1
1 1 4
2) lim :
3

2 1 1
1 2
3) lim :
1 3
2 1 3 1
4) lim : 0
2 1
x
x
x
x
x x
HD
x
x x
HD
x x
x x x
HD
x
x x x
HD
x x x
→
→
→−
→
− −
 
 ÷

−
 
− + +
 
 ÷
+ − +
 
+ + +
 
−
 ÷
+
 
− + − +
− + − +
25
Bài toán 4
Bài toán 4
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHỨA CĂN THỨC BẬC CAO
CHỨA CĂN THỨC BẬC CAO
0
0
I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng:
0
1 1 0
lim

0
n
x
ax
x
→
+ −
 
 ÷
 
Đặt ẩn phụ: ta được:
1 ,
n
t ax
= +
1 2
0 1 1
1 1 1
lim lim lim .
1 1
n
n n n
x t t
ax t a a
x n
t t t
a
− −
→ → →
+ − −

= = =
− + + +