(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ

Người thực hiện: Lê Ngọc Phương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2019

download by :


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phần 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí thuyết
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp
dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3 Các giải pháp thực hiện
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị, đề xuất
TÀI LIỆU THAM KHẢO

2
2
3
3
4
5
6

18
18
19

1

download by :


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa và kỳ thi THPT Quốc gia trong 2
năm vừa qua, có 1 số dạng tốn về hình học khơng gian trong các đề thi mà học
sinh thường gặp như tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạn thẳng hay phức tạp hơn là 1 số
bài toán cực trị mà ta thường vận dụng phương pháp véctơ để xử lý. Tuy nhiên vẫn
còn nhiều học sinh gặp lúng túng trong cách vận dụng phương pháp véctơ để giải
quyết các dạng toán này. Nguyên nhân là khái niệm véctơ và các phép toán véctơ

được đưa vào đầu chương trình lớp 10. Đây là vấn đề hồn tồn mới đối với việc
giải tốn có nội dung liên quan tới véctơ, là vấn đề khó đối với nhiều học sinh. Để
giảm bớt khó khăn và làm tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh về vấn đề này,
dưới đây tơi xin được trình bày một sáng kiến kinh nghiệm với đề tài
“HƯỚNG DẪN GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ”
Qua đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được khai thác
trong bài viết này đã có các lời giải khác nhau trong các tài liệu, nhưng qua thực tế
dạy học sinh tôi định hướng cho học sinh khai thác và xây dựng bài toán bởi một số
hướng khác nhau từ một bài toán đơn giản bằng cách đặc biệt hoá, khái quát hoá, từ
bài toán phẳng giúp học sinh phát triển bài tốn mới có tính chất tương tự trong
khơng gian. Góp phần phát huy tính tích cực của học sinh, tăng cường khả năng tự
học, tự khám phá. Rèn luyện cho học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi
bài tập tơi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô
giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học
sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái
quát phương pháp đường lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài tốn cụ thể các em
có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài tốn tương tự.
Thứ hai đó là mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khá
giỏi trước đến nay. Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng
tạo Tốn cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực
độc lập sáng tạo của mình.
2

download by :


1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán sử dụng phương pháp véc tơ để tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạn
thẳng hay phức tạp hơn là 1 số bài tốn cực trị trong mặt phẳng và trong khơng
gian.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu tơi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
+ Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học của giáo viên và HS).
+ Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn...)
+ Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông
qua trao đổi trực tiếp).
+ Phương pháp thực nghiệm.

3

download by :


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động
cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả
năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc
lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lơgíc và biện chứng trong quan
niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn.
2.1.2. Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần

phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã
biết với tri thức của nhân loại.
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có
khả năng và ham thích Tốn học, các mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các mơn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngồi ra cịn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về hình học khơng gian
các em thường có tâm lí: bài tập trong phần này q khó, hình vẽ khơng trực quan,
khơng biết cách trình bày lời giải một bài toán như thế nào cho mạch lạc, dễ đọc.
Đặc biệt các kiến thức trong hình học phẳng các em quên nhiều, khó vận
dụng vào việc giải bài tập trong khơng gian. Trong khi đó các kiến thức về véc tơ
các em mới làm quen trong lớp 10, lượng kiến thức ít và khi ứng dụng vào việc giải
bài tập hình học khơng gian nó giúp các em cảm thấy như mình đang làm một bài
tập trong mơn đại số (là mơn học các em khơng có tâm lí sợ như mơn hình học)
2.1.3. Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển

4

download by :


cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối
tượng học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh trong năm học 2017-2018, 2018-2019

2.2.2. Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học:
Thơng qua việc cho học sinh làm bài tập hình học khơng gian kết quả thu
được có 45% học sinh có thể vẽ đúng hình và làm được một số ý đơn giản.
2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh địi hỏi nhiều cơng sức và thời gian. Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em cịn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập hình học khơng
gian
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lơgíc cịn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học.
Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
khơng chỉ đối với HS mà cịn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới
các em. Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động cơ học
tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến
thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,
chưa thấy được ứng dụng to lớn của mơn hình học trong đời sống.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hố nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngồi việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.
5

download by :

2.3 Các giải pháp đã thực hiện
Quy trình chung để giải bài tốn hình học khơng gian
bằng phương pháp véctơ
Bước 1. Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các
giả thiết, kết luận của bài tốn hình học khơng gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài tốn thơng qua việc tiến hành các phép
biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận véctơ thành các tình chất hình học khơng gian tương
ứng.
Dạng 1. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của 4 điểm
A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng khi và chỉ khi
A, B, C, D là 4 điểm đồng phkhi với mọi điểm O bất kỳ ta có
, trong đó
Ví dụ 1. (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp
là hình bình hành tâm . Gọi
là mặt phẳng không đi qua
lần lượt tại

thỏa mãn

giá trị biểu thức

, có đáy
và cắt các cạnh
. Tính tỉ số

khi

đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Đặt

với

, khi đó:
.

Ta có:

.
(*).

Vì 4 điểm

đồng phẳng nên từ (*) ta có:
.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có:
,
dấu ‘=’ khi

.

Vậy

.

Dạng 2. Phần quan hệ song song
6

download by :


Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ
khi

.

Bài toán 2. Cho hai

không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc

(P) . Khi đó :AB//(P)

.

Bài tốn 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (MNP).
Khi đó:

.

Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng
tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1. Chứng minh : MN // EF.
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
Theo bài ra:+M là trọng tâm của tam giác AA 1B1:
(1)
B1

+N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
N

(2)

A1

+E là trọng tâm của tam giác ABC:

C1

M

(3)
+F là trọng tâm của tam giác BCC1:

F
B

(4)
E

A

C

+
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Từ (1), (2):

(5)

Từ (3), (4):

(6)

Từ (5), (6):

(7)

Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
7

download by :


Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các
cạnh AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
B1

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
+ M là trung điểm AA1:

(1)

+ N là trung điểm B1C1:

(2)

+

N

D1

A1

(3)

M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

C

B

Từ (1), (2):

D

A

Suy ra:

C1

(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian
Từ (4) : MN // (DA1C1).
Ví dụ 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các
cạnh AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1.
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N).
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
B1

G

C1

A1

+ M là trung điểm AA1:

(1)

+ N là trung điểm CC1:

(2)

M

N

B

+ G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

(3)
+

A
C

(4)

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Ta có:

8

download by :


Từ (5) và (6) , do

không đồng phẳng nên ta có:

Ta có:
Từ (8) và (9):
Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian
Từ (7) :

(11)

Từ (10) :

(12)

Từ (11) và (12) :
Bài tập vận dung
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB 1A1; N, I lần
lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : EN//AI.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam
giác ABA1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA1C1).
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm
BB1, CC1, AA1. G là trọng tâm tam giác A1B1C1.
Chứng minh:
1. (MGC1)//(BA1N)
2. (A1GN)//(B1CE).
Dạng 3. Phần góc và khoảng cách

9

download by :


Bài tốn 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo cơng thức:

Bài tốn 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là :
Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương

, điểm A thuộc l.

Tính khoảng cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
Đặt

, gọi N là hình chiếu của M lên l.

Khi đó:

và

Khoảng cách cần tìm :
Bài tốn 7. Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC). Tính khoảng cách từ M đến
(ABC) và góc giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
Đặt

,

, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó :
Do

nên

Khi cho biết x, y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng
Nếu

thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa
thì AM

và

.

, cịn

(ABC).

Bài tốn 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương
đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương

;

.

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
+ Góc giữa hai đường thẳng :

10

download by :


+Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), khi đó:
Do

.

. Khoảng cách cần tìm:

Ví dụ 4. Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và
O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A 1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn
thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng

Chọn hệ véc tơ cơ sở

. Hãy tính đường cao của lăng trụ.
A1

C1
O1

.

B1

Giả sử
Ta có:

A

C

O

Suy ra:

Vì:

B

nên

Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, cịn

khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của hình chóp.

Chọn hệ véc tơ cơ sở
Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
N là hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng BD.
Do AN DB

11

download by :


S

D

C

A
N

B

Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta được

.Vì vậy :

Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO.
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

Vậy:

.

Ví dụ 6. Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng

, cạnh bên

SC vng góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.
Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN.
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở
+Ta tìm góc

giữa SM và CN?

12

download by :


Ta có:

Khi đó:
+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:

Do PQ là đoạn vng góc chung của SM và CN nên:

Ví dụ 7. Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA

vng góc vng góc với đáy,
thẳng SB và AC, mặt phẳng

. Mặt phẳng

song song với các đường

song song với các đường thẳng SC và AB. Tính

giá trị của góc giữa hai mặt phẳng

và

.
A

Chon hệ véc tơ cơ sở
.
Giả sử

tương ứng vng góc hai mặt phẳng
,cịn

C

là các véc tơ bất kì khác ,
góc hai mặt phẳng

và

và
.
S

Thế thì:

B

Đặt
Ta có:

13

download by :


Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ
duy nhất. Chọn

nên

không được xác định

là một trong các véc tơ vng

góc với
Tương tự :
Chọn :
Khi đó :

.

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của
góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h.
Tính cosin của góc:
1.Giữa AB1 và BC1.
2.Giữa AB và B1C.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC
Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết rằng các
điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Dạng 4. Phần quan hệ vng góc
Bài tốn 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vng góc với nhau khi và chỉ
khi

.

Bài tốn 10. Cho hai
thuộc (P) . Khi đó :AB (P)

không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không
.

14

download by :

Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD.A 1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các
đường chéo BA1 và CB1 sao cho:

. Chứng minh rằng:

.
C1

D1

Chọn hệ véc tơ cơ sở
A1

Khi đó:

B1

Theo bài ra :

N

M
D

C

A
B

Mặt khác:

Do đó:
Ví dụ 10. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng
nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A 1 bằng nhau. Chứng minh rằng:
.
Chọn hệ véc tơ cơ sở
Theo giả thiết :

. Gọi m là độ dài cạch hình hộp ta có:

15

download by :


D1

C1
O1
B1

A1

Từ (1) và (2) suy ra

.
D
C

A
B

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh
AD và BB’. Chứng minh : MN A’C.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA=a

, AC=2a, AB=a,

. Gọi

M và N là hai điếm sao cho:
Chứng minh: SC (AMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A.
Vẽ SO (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC (SOE)).
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong quá trình dạy về “Phương pháp véctơ” đối với học sinh lớp 11B1, tác
giả thấy học sinh rất hứng thú, các bài toán khi áp dụng phương pháp thơng thường
gặp mà gặp khó khăn thì sử dụng “Phương pháp véctơ” mọi chuyện đã trở nên dễ
dàng hơn. Để kiểm nghiệm chính xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút ở lớp 11B 1 và
11B4, trong đó lớp là lớp 11B 1 thực nghiệm đề tài này, còn lớp 11B4 là lớp đối
chứng. Đề kiểm tra như sau:
Câu 1 (5 điểm). Cho hình chóp
giao điểm của

và

cắt các cạnh

. Gọi

. Mặt phẳng
,

,

,

là giao điểm của

không qua

và

,

là

, song song với mặt phẳng

của hình chóp lần lượt tại

,

,

,

.

Chứng minh rằng
16

download by :


Câu 2 (5 điểm). Cho hình chóp
điểm thỏa mãn:
lần lượt tại

có đáy
là hình bình hành. Gọi là
Một mặt phẳng đi qua
cắt các cạnh

. Chứng minh rằng:

Sau khi chấm bài tác giả thu được kết quả như sau

Điểm

0-2,5

3-4,5

5-6,5

7-8,5

9-10

0%

4%

10%

32%

54%

96,2%

3,8%

0%

0%

0%

Lớp thực nghiệm
(50 học sinh)
Lớp đối chứng
(52 học sinh)

Các bài điểm 9 – 10 có cách giải phổ biến như sau:

Câu 1.

Suy

ra

S
Q

M
P
F

Vì bốn điểm

,

,

,

D

A

đồng phẳng nên

N
B
C

ta có
E

.
Câu 2.

Gọi

là giao điểm của hai đường chéo

và

. Ta có:

suy ra
Do
suy ra

17

download by :


Vì

đồng phẳng nên ta có

Kết quả kiểm tra của 2 lớp thực nghiệm và đối chứng cho thấy, ở lớp 11B1
đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt “Phương pháp véctơ” vào việc giải bài tập;

học sinh thấy hứng thú vì tính tự nhiên và gần gũi nhưng đạt hiệu quả bất ngờ của
phương pháp này. Còn ở lớp 11B4, mặc dù đã hoàn thành các kiến thức về véctơ
nhưng khi gặp các dạng toán nêu trên, học sinh không biết phải giải như thế nào.
Trao đổi “Phương pháp véctơ” với các đồng nghiệp tác giả cũng nhận được
các phản hồi tích cực. Mặc dù kết quả này khơng áp dụng được cho nhiều bài toán,
tuy nhiên với những hiệu quả mà nó mang lại trong từng bài tốn đã kích thích tính
sáng tạo và tư duy cho người học, gợi trí tị mị ham hiểu biết vào những lĩnh vực
khác của tốn học. Đó cũng là điều tác giả tâm đắc nhất trong khi thực hiện đề tài
này.

18

download by :


3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi
rút ra được một số kết quả sau:
- Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận tốn học về vấn đề cần
nghiên cứu của đề tài cho học sinh cho những lớp thực nghiệm
- Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệm
thực nghiệm sư phạm.
- Giáo viên: Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để
thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận
nội dung mơn học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở
lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
- Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri
thức của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri
thức trong tình huống đa dạng

- Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ
năng giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành
tính độc lập, tính tự giác ở người học, thơng qua đó hình thành và phát triển nhân
cách của các em.
3.2 Kiến nghị, đề xuất
Xuất phát từ những kiến thức cơ bản trong chương trình học để xây dựng
những cách làm mới đạt hiệu quả cao là phẩm chất mà người học toán và làm tốn
cần phải có. Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi mơn Tốn sẽ thực sự
thành cơng nếu giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tòi khai thác từ những
kiến thức cũ những cách làm mới sáng tạo và đạt hiệu quả cao.

19

download by :


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Ngọc Phương

20

download by :

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập Hình học 11 (Cơ bản), NXB Giáo Dục Năm
2007
2. Ba thập kỷ đề thi toán vào các trường đại học Việt Nam. Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
3.Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ. Nhà xuất bản Giáo dục
Năm 1997
4.Tuyển tập các đề thi thử THPT Quốc gia 2018 - 2019. Nguồn Internet.

21

download by :


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Ngọc Phương
Chức vụ và đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn trường THPT Thạch Thành 1

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

“Sử dụng phần mềm
Geometer’s sketchpad làm
phương tiện trực quan trong
dạy học hình học không gian

Cấp tỉnh
(QĐ số 932/
QĐ-SGD ngày
11/9/2008)

C

2007- 2008

Cấp tỉnh
(QĐ số 871/
QĐ-SGD ngày
18/12/2012)

C

2011-2012

B

2013-2014

C

2016-2017

lớp 11”
2.

‘Xây dựng bài toán bất đẳng
thức từ các tính chất của hàm
số mũ và hàm số logarit”

3.

Một số kinh nghiệm dạy
“Khoảng cách” trong Hình
học khơng gian

4.

Phép co trong mặt phẳng và
ứng dụng.

Cấp tỉnh
(QĐ số 753/
QĐ-SGD ngày
03/11/2014)
Cấp tỉnh
(QĐ số 1112/
QĐ-SGD ngày
18/10/2017)

----------------------------------------------------

22

download by :