skkn chuyên đề giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (977.82 KB, 31 trang )
A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN.
2. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978.
3. Giới tính: Nữ.
4. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa.
5. Điện thoại: 0613 951729.
6. Chức vụ: Giáo viên.
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học.
2. Năm nhận bằng: 2000.
3. Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán.
2. Số năm kinh nghiệm: 12 năm.
[Type text]
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
B. CHUYÊN ĐỀ
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian là nội dung khó trong chương trình toán học phổ thông. Đối với
đa số học sinh việc tìm lời giải cho bài toán hình học không gian là không đơn giản,
nhưng nếu sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không
gian thì học sinh lại tiếp thu tốt hơn. Bởi vì đa số học sinh đều có được khả năng tính toán
tốt hơn khả năng dựng hình, chứng minh.
Mặt khác hình học không gian còn gắn liền với thực tế và cũng là một trong những
nội dung bắt buộc trong các trong các kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học. Do đó tôi viết
chuyên đề này với một mục đích là chỉ ra cho các em học sinh thấy rằng ta có thể dùng
phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian trong đề thi đại học. Qua đó
các em sẽ thấy tự tin hơn trong quá trình tìm lời giải cho bài toán hình học không gian,
không còn có tư tưởng khi gặp câu hình học không gian (nhất là trong đề thi đại học) cứ
nghĩ là khó, bỏ qua.
Tuy các sự kiện của hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức của hình
học giải tích ở những mức độ khó, dễ khác nhau. Do đó có những bài toán hình học
không gian gặp nhiều khó khăn khi chuyển sanh hình học giải tích. Phương pháp tọa độ
hóa bài toán hình học không gian khá hữu hiệu trong việc giải toán hình học không gian,
nhưng ta không nên tuyệt đối hóa nó.
Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy cô đóng
góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Người viết chuyên đề
Đặng Thị Hồng Vân
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 2
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
PHẦN A: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Vào năm 1637, nhà toán học người Pháp là René Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La
Géométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ, đánh dấu một
bước tiến mạnh mẽ của toán học.
Để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, ta thực hiện các bước
sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cố định cho trước, nhất là các điểm có
liên quan đến bài toán
Bước 3: Chuyển bài toán hình học không gian sang hình học giải tích
Bước 4: Giải bài toán hình học giải tích và kết luận.
Nhưng cho dù sử dụng phương pháp nào đi chăng nữa cũng đòi hỏi học sinh phải
nắm được các tính chất về mối quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và đường
thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa mặt phẳng và mặt phẳng để có thể thực hiện
tốt bước 1 và bước 2.
PHẦN B: KIẾN THỨC CẦN NẮM
z
I. Tọa độ của điểm và của vectơ
a. Hệ tọa độ
Hệ gồm ba trục
Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc.
r
Trong đó: i : vectơ đơn vị trên trục Ox
r
j : vectơ đơn vị trên trục Oy
r
k : vectơ đơn vị trên trục Oz
O: gốc tọa độ
Các mp(Oxy), (Oyz), (Oxz) được gọi là các mặt
phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là
không gian Oxyz.
M3
M
r
k
r
i
O
r
j
M2
y
M1
M'
x
b. Tọa độ của vectơ
r
r
r
r
r
Trong không gian Oxyz, a xi y j zk a = (x; y; z).
c. Tọa
độ của điểm
uuuur
r
r r
OM xi yj zk M(x; y; z)
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 3
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
r
r
Định lý: Trong không gian Oxyz, cho a ( a1; a2 ; a3 ) và b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
r r
1. a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
r r
2. a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
r
3. k a = ( ka1; ka2 ; ka3 ), với k R.
r r
4. a.b a1b1 a2b2 a3b3
r
r
Lưu ý: Cho a ( a1; a2 ; a3 ) và b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
1.
2.
3.
4.
a1 b1
r r
a b a2 b2
a b
3 3
r
0(0; 0; 0)
r
a a12 a22 a32
r r
a.b
r r
cos( a; b ) r r
a. b
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
5. Cho A( xA ; y A ; z A ) và B( xB ; yB ; zB ), C( xC ; yC ; zC ). Khi đó:
uuur
AB xB xA ; yB y A ; zB z A
Độ dài AB = ( xB xA )2 ( yB yA )2 ( zB z A )2
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
x A xB y A y B z A z B
;
;
2
2
2
M
.
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
x A xB xC y A yB zC z A z B zC
;
;
3
3
3
a1 kb1
r
r
6. Hai vectơ a và b cùng phương a2 kb2
a kb
3
3
r
r
r r
7. a b a . b = 0
G
.
III. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r
r
Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu n vuông góc với
mặt phẳng ( ).
r
r
Lưu ý: Nếu n là vtpt của mp() thì k. n cũng là vtpt của mp().
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 4
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
2. Tích có hướng của hai vectơ
r
r
r
r
Cho hai vectơ u (a; b; c) và v (a '; b '; c ') . Tích có hướng của hai vectơ u và v , ký
r r
r r
hiệu u, v hoặc u v , được xác định bằng tọa độ như sau:
r r
b c c a a b
;
;
u v =
b' c' c' a' a' b'
Lưu ý:
r
r
Nếu hai vectơ a và b không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong
r r r
mp( ) thì n a b là VTPT của mp( ).
* Tính chất của tích có hướng:
r
r r
r r
r
( a b ) a và ( a b ) b
r r
r r
r r
a b = a . b .sin( a , b )
r
r r r
r
a và b cùng phương a b 0
r r
r r
a b = - b a
r r r
r r
r
a , b và c đồng phẳng ( a b ). c = 0
* Ứng dụng
o Tính diện tích tam giác
S ABC
A
1 uuur uuur
AB AC
2
C
B
o Tính diện tích hình bình hành
A
uuur uuur
S ABCD AB AD
D
B
C
o Tính thể tích hình hộp
VABCD. A' B'C ' D'
A’
uuur uuur uuur
AB AD . AA'
D’
B’
C’
A
B
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
D
C
Trang 5
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
o Tính thể tích tứ diện
VABCD
A
1 uuur uuur uuur
BC BD .BA
6
B
D
C
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
r
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n (A; B; C) có phương trình
tổng quát là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0 (với D = -Ax0 - By0 - Cz0)
Ngược lại, phương trình có có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (với A2 + B2 + C2 0)
đều là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
4. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát của mp:
TH1: Mp song song hoặc chứa trục tọa độ
Mp chứa trục Ox: By + Cz = 0
Mp song song với trục Ox: By + Cz + D = 0 (D 0)
Mp chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
Mp song song với trục Oy: Ax + Cz + D = 0 (D 0)
Mp chứa trục Oz: Ax + By = 0
Mp song song với trục Oz: Ax + By + D = 0 (D 0)
TH 2: Mp song song với mp tọa độ hoặc trùng với mp tọa độ
Mp song song với mp(Oxy): z + D = 0 (D 0)
Mp (Oxy): z = 0
Mp song song với mp(Oyz): x + D = 0 (D 0)
Mp (Oyz): x = 0
Mp song song với mp(Oxz): y + D = 0 (D 0)
Mp (Oxz): y = 0
TH 3: Mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C( 0; 0; c)
có phương trình là
x y z
1 (gọi là phương trình của mp theo đoạn chắn).
a b c
5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mp ( ): Ax + By + Cz + D = 0 và mp ( ' ): A'x + B'y + C'z + D' = 0
r
ur
n k n '
A; B; C k A '; B '; C '
( ) // ( ' )
D kD '
D kD '
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 6
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
r
ur
n k n '
A; B; C k A '; B '; C '
( ) ( ' )
D kD '
D kD '
r
ur
( ) cắt ( ' ) n kn ' A; B; C k A '; B '; C '
r ur
Lưu ý: ( ) ( ' ) n.n ' 0 AA’ + BB’ + CC’ = 0
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mp( ): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0( x0 ; y0 ; z0 ). Khoảng cách từ điểm
M0 đến mp( ), ký hiệu là d(M0, ) được tính theo công thức sau:
d(M0,( )) =
Ax0 by0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
IV. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tham số
r
Cho đường thẳng đi qua điểm M( xo ; yo; zo ) và nhận a (a1; a2 ; a3 ) với a12 a22 a32 0
x xo a1t
làm VTCP, có phương trình tham số là: y yo a2t trong đó t là tham số.
z z a t
o
3
2. Phương trình chính tắc
x xo a1t
Cho đường thẳng có phương trình tham số là: y yo a2t
z z a t
o
3
Nếu a1; a2 ; a3 đều khác 0, thì bằng cách khử tham số t ở các phương trình trên ta có
phương trình chính tắc của đường thẳng là:
x xo y yo z zo
.
a1
a2
a3
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Trong không gian, giữa hai đường thẳng có bốn vị trí tương đối: song song, cắt nhau,
trùng nhau và chéo nhau.
uur
r
a ka '
d // d’
M d M d '
uur
r
a ka '
d d’
M d M d '
x0 ta1 x0' t ' a1'
d cắt d’ y0 ta2 y0' t ' a2' có đúng một nghiệm.
'
'
z0 ta3 z0 t ' a3
r ur
d và d’ chéo nhau a , a ' không cùng phương và hệ pt
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 7
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
x0 ta1 x0' t ' a1'
'
'
y0 ta2 y0 t ' a2 vô nghiệm.
'
'
z0 ta3 z0 t ' a3
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: đường thẳng song song với mặt
phẳng, đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng ta thực hiện các bước sau:
r
r
Bước 1: Tìm vtcp a của đường thẳng và vtpt n của mặt phẳng.
r r
Bước 2: Tính tích vô hướng n . a
r r
r r
Bước 3: Nếu n . a = 0, chuyển sang bước 4, còn nếu n . a 0 thì kết luận
đường thẳng cắt mặt phẳng.
Bước4: Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng, xét xem M có thuộc mặt phẳng
hay không? nếu M cũng thuộc mặt phẳng thì kết luận đường thẳng nằm trong
mặt phẳng, còn nếu M không thuộc mặt phẳng thì kết luận đường thẳng song
song với mặt phẳng.
r
r
r
Lưu ý: Nếu vtcp a của đường thẳng cùng phương với vtpt n của mặt phẳng (tức là a
r
= k n ) thì đường thẳng vuông góc với mp.
5. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng đi qua một điểm M 0 và có
uuuuuur r
M 0M , u
r
vectơ chỉ phương a là: d M ; r
u
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 , trong đó 1 đi qua điểm
uur
ur
M 1 và có vtcp a1 , 2 đi qua điểm M 2 và có vtcp a2 là:
ur uur uuuuuuur
u1 , u2 . M1M 2
d 1 ; 2
ur uur
u1 , u2
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 8
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
PHẦN C: BÀI TẬP
DẠNG 1: Bài toán cho trước ba đường đôi một vuông góc
Bài 1: (KHỐI D – 2012) Cho hình hộp đứng
z
ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác
A'
A’AC vuông cân, AC = a.
a) Tính thể tích của khối tứ diện ABBC.
D'
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải
ACA vuông cân tại A, có AC = a
a 2
a
AA = AC =
AB =
A
2
2
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:
D
a a a
a
x
A(0; 0; 0), B 0; ;0 , C ; ;0 , D ;0;0
2 2 2
2
a a 2
a a a 2
a a 2
a 2
A 0;0;
, B 0; ;
, C ; ;
, D ;0;
2
2
2 2
2 2 2
2
a) Tính VABB ' C '
uuur a uuuur a a 2
uuur uuuur a 2 2
AB 0; ;0 , AB ' 0; ;
AB AB '
;0;0
2
2 2
4
uuuur a a a 2
AC ' ; ;
2 2 2
1 uuur uuuur uuuur 1 a 3 2 a 3 2
AB AB ' . AC '
Vậy: VABB ' C '
6
6 8
48
B'
C'
a
B
C
b) Tính d A; BCD '
uuur a
uuuur a a a 2
BC ;0;0 , BD ' ; ;
2
2 2 2
uuur uuuur
a2 2 a2
; là VTPT của mp(BCD)
BC BD ' 0;
4
4
r
a
Mp(BCD) đi qua B 0; ;0 và nhận n 0; 2;1 làm VTPT
2
a 2
0
Phương trình mp(BCD) là: 2 y z
2
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 9
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Vậy: d A; BCD '
a 2
2
3
a 6
6
Bài 2: (KHỐI D – 2009) Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA ' = 2a, A' C 3a . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng A ' C ' và I là giao điểm của AM và A’C.
a) Tính thể tích khối tứ diện IABC
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(IBC).
Giải
AA’C vuông tại A, nên
z
C'
B'
M
A'
I
AC = A ' C AA ' 9a 4a a 5
ABC vuông tại B, nên
2
2
2
2
BC AC 2 AB 2 5a 2 a 2 2a
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:
B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0)
A
B(0; 0; 2a), A(a; 0; 2a), C(0; 2a; 2a)
a
Vì M là trung điểm của A ' C ' M ; a; 2a
x
2
* Tìm I = AC AM
uuuur
Ta có A ' C a; 2a; 2a
r
Đường thẳng AC đi qua C(0; 2a; 0), nhận u 1;2; 2 làm VTCP
B
C
y
x t
Phương trình đường thẳng AC: y 2a 2t
z 2t
uuuur a
Ta có AM ; a; 2a
2
r
Đường thẳng AM đi qua A(a; 0; 0), nhận u 1; 2; 4 làm VTCP
x a t '
Phương trình đường thẳng AM y 2t '
z 4t '
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 10
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
2a
t a t '
t t ' a
t
3
Giải hệ phương trình: 2a 2t 2t ' 2t 2t ' 2a
2t 4t '
t 2t '
t ' a
3
a
2a 2a 4a
Với t =
I ; ;
3
3 3 3
a) Tính VIABC
uur 2a 2a 4a uuur
uuur
uuur uuur
BI ; ; , BC 0; 2a ; 0 , BA a ;0;0 BC BA 0;0; 2a 2
3 3 3
1 uuur uuur uur 1 8a3 4a3
Vậy: VIABC
BC BA BI
6
6
3
9
b) Tính d A , IBC
uur uuur 8a 2
4a 2
Ta có BI BC
;0;
là VTPT của mp(IBC)
3
3
r
Mp(IBC) đi qua B và nhận n 2;0; 1 làm VTPT có phương trình: 2x – z = 0
Vậy: d A, IBC =
2a
5
2a
5
Bài 3: (KHỐI D – 2008) Cho khối lăng trụ đứng
ABC.A' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông, AB = BC
= a, AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B ' C ' .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, BC.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:
B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0)
B(0; 0; a 2 ), A(a; 0; a 2 ), C(0; a; a 2 )
a
M là trung điểm của BC M 0; ; 0
2
z
C'
B'
A'
N
C
B
M
a) Tính VABC . A ' B ' C '
uuur
uuur
uuur uuur
BA a ;0;0 , BC 0; a ;0 BA BC 0;0; a 2
uuur
BB ' 0;0; a 2
Vậy: VABC . A ' B ' C '
1 uuur uuur uuur a3 2
BA BC BB '
2
2
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
A
x
Trang 11
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
b) Tính d(AM, BC)
uuuur
uuur
a uuuur
AM a ; ;0 , B ' C 0; a ; a 2 , AC a ; a ;0
2
uuuur uuuur
uuuur uuuur a 2 2
2a 4
a 2 14
4
4
2
2
2a a
AM B ' C
; a 2 ; a AM B ' C
4
2
2
a3 2
uuuur uuuur uuur
a3 2
AM B ' C AC
2
a 7
Vậy: d AM , B ' C
uuuur uuuur
2
7
a 14
AM B ' C
2
Bài 4: (KHỐI A – 2007) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD.
a) Chứng minh AM vuông góc với BP
b) Tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Giải
Gọi I là trung điểm AD
Vì SAD cân tại S, nên SI AD
AD SAD ABCD
Mà
SAD ABCD
SI (ABCD)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ,
trong đó:
a
2
a
2
z
S
M
B
A
y
I
N
D
P
C
x
a
2
a
2
I(0; 0; 0), A ;0;0 , B ; a ; 0 , C ; a ; 0 , D ; 0; 0 , S 0;0;
a 3
2
a a a 3
a a
, N 0; a ;0 , P ; ;0
2 2
4 2 4
M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD M ; ;
a) Chứng minh AM BP
uuuur
a a a 3 uuur
a
, BP a ; ;0
2
4 2 4
Ta có AM ; ;
uuuur uuur
Vì AM .BP
a2 a2
0 AM BC
4 4
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 12
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
b) Tính VCMNP
uuuur 3a a a 3 uuuur a a a 3 uuur 3a
a 3
MC ; ;
, MN ; ;
, MP ;0;
4
4
4
4 2
4 2
4
uuuur uuur a 2 3 a 2 3 3a 2
MN MP
;
;
8
8
8
1 uuuur uuur uuuur 1 a3 3 a3 3
Vậy: VCMNP MN MP MC
6
6
16
96
Bài 5: (KHỐI B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là
trung điểm của AE, N là rung điểm của BC.
a) Chứng minh MN vuông góc với BD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC.
Giải
Gọi O là trung điểm của AC và BD
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:
a 2
a 2
O(0; 0; 0), A
;0;0 , B 0;
;0 ,
2
2
a 2
a 2
C
;0;0 , D 0;
;0 , S(0; 0; t) (t > 0)
2
2
a 2
t
Gọi I là trung điểm của SA I
;0;
4
2
a 2 a 2
Vì I là trung điểm của DE E
;
; t
2
2
a 2 a 2
N là trung điểm của BC N
;
;0
4
4
a 2 a 2 t
M là trung điểm của AE M
;
;
2
4 2
z
E
S
I
M
y
A
D
O
B
N
C
x
a) Chứng minh MN BD
uuuur uuur
uuuur 3a 2
t uuur
MN
;0; , BD 0; a 2 ;0 MN . BD = 0 MN BD
2
4
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 13
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
b) Tính d(MN, AC)
uuuur 3a 2
uuur a 2 a 2
t uuur
MN
;0; , AC a 2 ;0;0 , NC
;
;0
2
4
4
4
uuuur uuur
at 2
MN AC 0;
;0
2
a 2t
uuuur uuur uuur
MN AC NC
4
a 2
Vậy: d MN , AC
uuuur uuur
4
at 2
MN AC
2
Bài 6: (KHỐI D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD
·
ABC BAD
900 ,
có đáy ABCD là hình thang, ·
BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhu hình vẽ, trong
đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; 2a; 0)
S 0;0; a 2
z
S
H
A
B
D
C
x
* Tìm tọa độ điểm H
uur
Ta có SB a ;0; a 2 là VTCP của đường thẳng SB
x a t
r
Đường thẳng SB qua B(a; 0; 0) và có VTCP u 1;0; 2 có phương trình y 0
z 2t
uuur
Vì H SB H a t ;0; 2t AH a t ;0; 2t
uuur r
a
Mặt khác AH SB AH .u 0 a t 2t 0 t
3
2a
a
a 2
Với t = H ;0;
3
3
3
* Chứng minh SCD vuông
uuur
uuur
Ta có CS a ; a ; a 2 , CD a ; a ;0
uuur uuur
uuur uuur
Vì CS.CD a2 a2 0 nên CS CD
Vậy: SCD vuông tại C
* Tính d(H, (SCD))
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 14
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
uuur uuur
Ta có CS CD a 2 2 ; a 2 2 ; 2a 2 là VTPT của mp(SCD)
r
Mp(SCD) đi qua S 0;0; a 2 và nhận n 1;1; 2 làm VTPT có phương trình:
x y 2 z 2a 0
2a 2a
2a
a
3
3
Vậy: d H , ( SDCD)
3
11 2
Bài 7: (KHỐI B – 2006) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA
vuông góc mp(ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AD và SC, I là
giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh (SAC) (SBM).
b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình
vẽ, trong đó:
A(0; 0; 0), B a ;0;0 , C a ; a 2 ;0 ,
z
S
N
I
D 0; a 2 ;0 , S 0;0; a
M
A
D
B
C
x
M là trung điểm AD M 0;
a 2
;0
2
a a 2 a
N là trung điểm SC N ;
;
2 2 2
* Tìm I = BM AC
uuuur
a 2
BM a ;
;0 là VTCP của đường thẳng BM
2
r
Đường thẳng BM đi qua B(a; 0; 0) và nhận u 2; 2 ;0 làm VTCP
x a 2t
Phương trình đường thẳng BM: y 2t
z 0
uuur
AC a ; a 2 ;0 là VTCP của đường thẳng AC
r
Đường thẳng AC đi qua A(0; 0; 0) và nhận v 1; 2 ;0 làm VTCP
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 15
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
x t '
Phương trình đường thẳng AC: y 2t '
z 0
a
t
a 2t t '
2t t ' a
3
Giải hệ phương trình:
2t 2t ' t t '
t ' a
3
a a 2
a
Với t = I ;
;0
3
3 3
a) Chứng minh (SAC) (SBM)
uuur
r uuur uuur
uuur
AS 0;0; a , AC a ; a 2 ;0 n AB AC a 2 2 ; a 2 ;0 là VTPT của (SAC)
uuur
uuuur
a 2
BS a ;0; a , BM a ;
;0
2
ur uuur uuuur a 2 2
a2 2
2
m BS BM
;
a
;
là VTPT của (SBM)
2
2
r ur
Vì n.m 0 (SAC) (SBM)
b) Tính VANIB
uuur a a 2 a uur a a 2 a uuur a a 2 a
NA ;
; , NI ;
; , NB ;
;
2
2
2
6
6
2
2
2
2
uur uuur a 2 2 a 2 a 2 2
NI NB
; ;
6
3 6
1 uur uuur uuur 1 a3 2 a3 2 a3 2 a3 2
Vậy: VANIB NI NB NA
.
6
6 12
6
12
36
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 16
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
DẠNG 2: Bài toán cho trước hai đường cắt nhau vuông góc và chiều cao của hình
Bài 1: (KHỐI A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai
mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi
M là trung điểm của AB, mp qua SM và song song với
BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mp (SBC) và (ABC)
bằng 600.
a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN.
Giải
z
S
SAB ABC
SA ABC
Ta có SAC ABC
SAB SAC SA
B
C
N
M
SBC ABC BC
Lại có AB BC
SB BC
A
x
·
góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) bằng góc giữa SB và AB bằng góc SBA
= 600.
SAB vuông tại A, nên SA = AB.tan 600 2a 3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:
B(0; 0; 0), A 2a ;0; 0 , C(0; 2a; 0), S 2a ;0; 2a 3
M là trung điểm AB M(a; 0; 0)
N là trung điểm AC N(a; a; 0)
a) Tính VS .BCNM
uuur
uuuur
uuur
uuur
BC = (0; 2a; 0), BN a ; a ;0 , BM a ;0;0 , BS = 2a ;0; 2a 3
uuur uuur
uuur uuuur
BC BN 0;0; 2a 2 , BN BM 0;0; a 2
4a3 3 4a3 3
1 uuur uuur uuur
VSBCN
BC BN BS
6
6
6
3
2a 3 2a3 3
1 uuur uuuur uuur
VSBNM
BN BM BS
6
6
6
2
4a 3 2a 2 3
a3 3
Vậy: VS .BCNM VSBCN VSBNM
6
6
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 17
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
b) Tính d(AB, SN)
uuur
uuur
uuur
Ta có AN a; a;0 AB 2a;0;0 , SN a; a; 2a 3
uuur uuur
uuur uuur
AB SN 0; 4a 2 3; 2a 2 AB SN 48a 4 4a 4 52a 4 2a 2 13
uuur uuur uuur
AB SN . AN
4a 3 3 2a 39
Vậy: d AB, SN
uuur uuur
13
2a 2 13
AB SN
Bài 2: (KHỐI B – 2011) Cho hình lăng trụ
ABCD. A1B1C 1 D1 có đáy ABCD là hình chữ
z
D
nhật và AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu
vuông góc của điểm A1 trên mp(ABCD)
B
trùng với giao điểm của AC và BD. Góc
C
giữa hai mp(ADD1A1) và (ABCD) bằng
600.
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
y
A
H
b) Tính khoảng cách từ B1 đến
D
mp(A1BD).
I
Giải
B
C
x
Gọi I là giao điểm của AC và BD
A1I (ABCD)
Gọi H là trung điểm của AD AD IH (1)
Mặt khác AD A1I AD (A1IH) AD A1H (2)
A1HI là góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) ·
A1HI 600
Từ (1), (2) ·
A1
1
1
1
a
a 3
A1HI = .tan 600
A1HI vuông tại I A1I = HI.tan ·
2
2
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D( 0; a 3 ; 0),
uuur uuuur
3a a 3 a 3
;
A1 a ; a 3 ; a 3 , B1 ;
(do AB A1B1 )
2
2
2 2
2 2
a) Tính VABCD. A1B1C1D1
uuur
uuur
uuur uuur
AB a;0;0 , AD 0; a 3 ;0 AB AD 0;0; a 2 3
uuur a a 3 a 3
AA1 ;
;
2
2
2
uuur uuur uuur 3a3 3a3
Vậy: VABCD. A1B1C1D1 AB AD AA1
2
2
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 18
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
b) Tính d B1 ,( A1BD)
uuur a a 3 a 3 uuuur a a 3 a 3
A1B ;
;
;
, A1D ;
2
2
2
2
2
2
2
2
uuur uuuur 3a a 3
;
;0 là VTPT của mp((A1BD)
A1B A1D
2
2
r
Mp(A1BD) đi qua B(a; 0; 0) và nhận n 3;1;0 làm VTPT
Phương trình mp(A1BD) là:
Vậy: d B1 ,( A1BD)
3x + y- a 3 = 0
3a 3 a 3
a 3
2
2
3 1
a 3
2
Bài 3: (KHỐI D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a,
mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB = 2a 3
· 300 .
và SBC
z
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC).
Giải
Gọi H là hình chiếu của S trên BC SH BC
Mặt khác (SBC) (ABC) SH (ABC)
SBH vuông tại H
B
1
·
SH = SB.sin SBC
= 2a 3. a 3
2
3
·
A
3a
và BH = SB.cos SBC
= 2a 3.
2
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:
B(0; 0; 0), A(3a; 0; 0), C(0; 4a; 0), H(0; 3a; 0), S(0; 3a; a 3 )
S
H
C
x
a) Tính VSABC
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
BS (0; 3a; a 3 ), BA = (3a; 0; 0), BC = (0; 4a; 0) BA BC 0;0;12a 2
Vậy: VS . ABC
1 uuur uuur uuur 1
BA BC BS 12a 3 3 2a 3 3
6
6
b) Tính d(B,(SAC))
uur
uuur
SA 3a; 3a; a 3 , SC 0; a ; a 3
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 19
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
uur uuur
SA SC 4a 2 3;3a 2 3;3a 2 là VTPT của (SAC)
r
Mp(SAC) đi qua A(3a; 0; 0) và nhận n 4;3; 3 làm VTPT, có phương trình:
4x + 3y +
12a
6a 7
Vậy: d B,( SAC )
7
16 9 3
3 z – 12a = 0
Bài 4: (KHỐI A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H
là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 .
a) Tính thể tích khối chóp S.CDNM
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM
và SC theo a.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
a
M là trung điểm của AB M ; 0; 0
2
a
N là trung điểm của AD N 0; ; 0
2
z
S
N
A
y
D
H
M
B
C
x
* Tìm H = CN DM
uuur
a
Ta có CN a; ;0
2
r
Đường thẳng CN đi qua C(a; a; 0), nhận u 2;1;0 làm VTCP
x a 2t
Phương trình đường thẳng CN: y a t
z 0
uuuur a
Ta có DM ; a;0
2
r
Đường thẳng DM đi qua D(0; a; 0), nhận v 1; 2;0 làm VTCP
x t '
Phương trình đường thẳng DM: y a 2t '
z 0
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 20
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
2a
a 2t t '
t
2t t ' a
5
Giải hệ phương trình: a t a 2t '
t 2t ' 0
0 0
t ' a
5
a
a 3a
a 3a
Với t =
H ; ;0 S ; ; a 3
5
5 5
5 5
a) Tính VS .CDMN
uuuur a
uuur a 2a
a uuur
uuur
DM ; a;0 , DN 0; ;0 , DC a ;0;0 , DS ; ; a 3
2
5
2
5
2
uuuur uuur
a uuuur uuur
DM DN 0;0; , DM DC 0;0; a 2
4
VSDNM
1 uuuur uuur uuur 1 a3 3 a3 3
DM DN DS
6
6
4
24
1 uuuur uuur uuur 1 3
a3 3
DM DC DS a 3
6
6
6
3
a 3 a 3 3 5a 3 3
Vậy: VS .CDMN VS .DNM VS .DMC
24
6
24
VSDMC
b) Tính d( DM,SC)
uuuur a
uuur 4a 2a
uuur
Ta có DM ; a;0 , SC ; ; a 3 , DC a ;0;0
5 5
2
uuuur
uuur
DM SC a 2 3 ;
Vậy: d(DM, SC) =
uuuur uuur
3a 4
a 2 19
a2 3 2
a4
; a DM SC 3a 4
4
2
2
DMuuuur SCuuurDC
uuuur
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
uuur uuur
DM SC
a3 3
2a 3 3
a 2 19
19
2
Trang 21
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Bài 5: (KHỐI D – 2010) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, SA = a. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC
AC, AH =
. Gọi CM là đường cao của
4
SAC.
a) Chứng minh M là trung điểm của SA
b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC
Giải
AC
a 2
Vì AH =
=
4
4
3 AC
3a 2
HC =
=
4
4
SAH vuông tại H, nên
SH SA2 AH 2 a 2
z
S
M
D
A
H
B
C
x
2a 2 a 14
16
4
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:
a a a a a 14
; ; 0 , S ; ;
4
4 4 4 4
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), H
a) Chứng minh M là trung điểm của SA
* Tìm M là hình chiếu của C trên SA
a 14
là VTCP của SA
4
r
Đường thẳng SA đi qua A(0; 0; 0) và nhận u 1 ;1; 14
uur
a
a
Ta có SA ; ;
4
4
uuuur
x t
y t
z 14t
Vì M SA M t ; t ; 14t CM t a ; t a ; 14t
làm VTCP, có phương trình:
uuuur r
uuuur r
a
Ta có CM u CM .u 0 t a t a 14t 0 t
8
a a 14a
a
Với t = M ; ;
M là trung điểm của SA
8
8 8 8
b) Tính VSMBC
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 22
y
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
uuuur 7a a a 14 uuur
uuuur uuur a 2 14
7a 2
BC
0;
a
;0
,
BM ; ;
BM
BC
;0;
8
8
8 8 8
uuur 3a a a 14
BS ; ;
4 4 4
1
a 3 14
Vậy: VSMBC VS . ABC
2
48
Bài 6: (KHỐI A – 2008) Cho lăng trụ tam giác
ABC.A' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) là
trung điểm của cạnh BC.
a) Tính thể tích khối chóp A’ABC
b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA’
và B’C’.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C 0; a 3 ;0
A'
C'
B'
A
y
C
I
a a 3
;0
I là trung điểm của BC I ;
2 2
* Tìm A
z
B
x
uuur
uuur
uuur uuur
AB a ;0;0 , AC 0; a 3 ;0 AB AC 0;0; a 2 3 là VTPT của (ABC)
a
x 2
a 3
AI (ABC) và đi qua I Phương trình đường thẳng AI là: y
2
z 3t t 0
a a 3
Vì A AI A ' ;
; 3t
2 2
2
2
a 3a
3t 2 4a 2 t 2 a 2 t a vì t 0
Mặt khác AA ' 2a
4
4
a a 3
Với t = a A ' ;
; a 3
2 2
a) Tính VA ' ABC
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
Trang 23
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
uuur
uuur
uuur
a a 3
; a 3
2 2
Ta có AB AC 0;0; a 2 3 , AA ' ;
Vậy: VA ' ABC
1 uuur uuur uuur 1 3 a3
AB AC AA ' 3a .
6
6
2
b) Tính cos(AA, BC)
a a 3
uuuuur uuur
; a 3 , B ' C ' BC a ; a 3 ;0
2 2
a 2 3a 2
uuur uuuuur
AA '. B ' C '
2
2
a2
1
uuuuuu
r
Vậy: cos AA ', B ' C ' uuur
2
2
2a.2a 4
AA ' . B ' C '
a 3a
3a 2 . a 2 3a 2
4
4
uuur
Ta có AA ' ;
DẠNG 3: Bài toán cho trước chiều cao của hình
z
Bài 1: (KHỐI A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
S
của trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh
AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABC) bằng 600.
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BC theo a.
Giải
A
Ta có SH (ABC)
O
·
SCH
là góc giữa đường thẳng SC và (ABC)
H
0
·
SCH = 60
B
Gọi O là trung điểm của cạnh AB, vẽ Oz // SH
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trong đó:
a
a
a 3
;0
O(0; 0; 0), A ;0;0 , B ;0;0 , C 0;
2
2
2
uuur 1 uuur a
a
Ta có OH OB ;0;0 H ;0;0
3
6
6
uuur a a 3
a 2 3a 2
7a 2 a 7
CH ;
;0 CH
6
2
36
4
9
3
a 7
a 21
. 3
SHC vuông tại H SH = CH. tan600 =
3
3
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
y
C
x
Trang 24
Chuyên đề: Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
a
a 21
Mặt khác SH (ABC) S ;0;
3
6
a) Tính VSABC
uuur 2a
uuur a a 3
a 21 uuur
AS
;0;
; 0
, AB a ;0; 0 , AC ;
3
3
2
2
2
uuur uuur
a 3
AB AC 0;0;
2
Vậy: VSABC
1 uuur uuur uuur 1 3a 3 7 a 3 7
AB AC AS
6
6 6
12
b) Tính d( SA,BC)
uur 2a
a 21 uuur a a 3 uuur
; 0 , AB a ;0; 0
Ta có SA ;0;
, BC ;
3
3
2
2
2
2
2
uur uuur 2a 2 6
uur uuur a 7 a 21
a 3
;
;
SA BC
SA BC
3
6
3
2
a3 7
uur uuur uuur
SA BC . AB
2
a 42
Vậy d SA , BC
2
uur uuur
8
2a 6
SA BC
3
Bài 2: (KHỐI B – 2012) Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên cạnh SC.
a) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Giải
Gọi O là trung điểm AB, G là tâm của ABC
Ta có SG (ABC)
SGC vuông tại G
3a 2 a 33
SG = SC CG 4a
9
3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:
a 3
a
a
;0 ,
O(0; 0; 0), A ;0;0 , B ;0;0 , C 0;
2
2
2
2
2
Gv: Đặng Thị Hồng Vân
2
z
S
H
A
C
G
O
B
x
Trang 25
y
