(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV
HS
HH
PPVT
SGK, SBT
THPT
VD
VDC

:
:
:
:
:
:

Giáo viên
Học sinh
Hình học
Phương pháp véc tơ
Sách giáo khoa,sách bài tập
Trung học phổ thông
: Vận dụng
: Vận dụng cao

download by :

1

MỤC LỤC
Tran
g
A.Mở đầu ..........................................................................................................3
1. Lý do chọn đề tài …............................................................................................3
2. Nhiệm vụ của đề tài………………………………………… …………………3
3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………… .....3
4. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................3
B.Nội dung

............................................................................. …....4

1. Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học
1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)…………….4
1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:…………...4
2. Áp dụng trong thực tế dạy học
Các dạng bài tập thường gặp……………………………………..………….5
2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng…...15
3. Hiệu quả của sáng kiến……………………………………………………....23
C.Kêt luận.....................................................................................................24
Kiến nghị.................................................................................................25

download by :

2


HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen
thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,…. Ta còn gặp
các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều
kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và sử dụng
làm câu hỏi VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia .
Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản
trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ,
phương pháp đợ trong khơng gian. Đặc biệt khi nói đến các bài tốn về cực trị
trong hình học thì các em rất “e ngại” kể cả đối với học sinh khá, giỏi.
2. Nhiệm vụ của đề tài
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán
không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta
biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học th̀n túy, véctơ, phương
pháp tọa đợ, hình học giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen
thuộc.
Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thống bài
tập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ về
quen để bài tốn cực trị trong hình học giải tích khơng cịn ln ln là bài tốn
hóc búa, khó giải.
3. Đối tượng nghiên cứu
Từ kiến thức cơ bản và các ví dụ dễ hiểu, sau đó phát triển dần
thành các bài tốn phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài
này tập trung vào một số bài tốn cực trị hình học cụ thể trong
hình học giải tích lớp 12.

download by :

3


4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hình học giải tích trong chương trình SGK cơ
bản và nâng cao hình học lớp 12 đang được lưu hành. Tập trung chủ yếu vào các
bài toán ở mức độ VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia.
Với tinh thần u thích bộ mơn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các
em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên
cứu.Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài
toán cực trị trong hình học giải tích”.
B. NỘI DUNG
1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học
1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).
- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M
và vuông góc với (α))
- Tìm giao điểm H của MH và (α).
*Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua
mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M
lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ
M’.
1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:
-Viết phương trình tham số của d
- Gọi H
có tọa độ theo tham số t
- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi
-Tìm t, suy ra tọa độ của H.

2. Áp dụng trong thực tế dạy học
Các dạng bài tập thường gặp
2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho
trước.

download by :

4


Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0
và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt
phẳng (α) sao cho

có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:
-Tìm điểm I thỏa
-Biến đổi :
 Tìm vị trí của M khi

đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm
,
. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1)

có giá trị nhỏ nhất.

2)

có giá trị nhỏ nhất.

Giải: Gọi điểm G thỏa
1) Ta có

,

thì G là trọng tâm của tam giác ABC và
G(0;-2;1)
=

=

có giá trị

nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận
làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số MG
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0
Vậy với M(-2; 0; -2) thì

có giá trị nhỏ nhất.

2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa
Ta có
, vậy

download by :

5


Ta có:

=

=

có giá trị nhỏ nhất

khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)

Phương trình tham số MI:

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:

Vậy với

thì

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn
= k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho tổng T =
đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.
Lời giải:

- Tìm điểm I thỏa
-Biến đổi : T =
=
=

=
+

+2

+

Do
không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi
MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
Chú ý:
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ
nhất.
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ
nhất.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.

download by :

6

Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa

thì I là trung điểm AB và

Ta có: MA2 + MB2 =
=
Do
không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay
M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp

Phương trình tham số MI:

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:

Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA 2 + MB2 = 2MI2 +

, do AB2 không

đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu
vuông góc của I lên (α).
2)Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa
Hay

Ta có: MA2 - MB2 – MC2 =

Do
không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất
hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).

download by :

7


Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp
Phương trình tham số MJ:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:

thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.

Vậy với

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:

và các điểm

A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa
Hay:

Ta có MA2 - 2MB2 =
Do
không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất,
hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Đường thẳng d có vtcp

, phương trình tham số d:

download by :

8


,

khi M là hình chiếu

vng góc của I lên d nên
Vậy với

thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa
ABC và G(2; 1; 1).
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 =

thì G là trọng tâm tam giác

=
=
Do
không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
,
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì

Vậy với

thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm
A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ
nhất.
Lời giải:
1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α).
Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB.
2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α).
Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt
giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương
trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điểm M trên
mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải:

download by :

9


Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của
(α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận
làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số của AB:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0

Hay

là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2)
có giá trị lớn nhất.

Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía
của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là
giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận

làm

vecto chỉ phương
Phương trình tham số AA’:
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0

6t – 3 = 0 hay t =

Do H là trung điểm AA’ nên

download by :

10


A’B có vtcp
Phương trình tham số A’B:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0
Vậy với

hay

thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía
của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy
.Nên
đạt giá trị lớn nhất khi M
thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp
Phương trình tham số A’C:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0
Vậy với

thì

hay
có giá trị lớn nhất.

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm
điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận
Ví dụ 1: Cho đường thẳng

và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6;

-3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.

download by :

11


Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp
và
Ta có .
= 14 -10 – 4 = 0
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận
làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và
mp(P).

Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M d1, N d2
là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
- Lấy M

và N

( tọa độ theo tham số).

- Giải hệ phương trình

và

(

là các véctơ chỉ

phương của d1 và d2 ).
- Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng
,
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau
2) Tìm điểm M
và N
sao cho độ dài MN ngắn nhất.

download by :

12


Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp
d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp
Ta có [

]

= (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168

Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M

và N

sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài

đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
d1:
M

, d2:

nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N

nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)

- 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
Ta có
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:

.

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm điểm

M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông
góc của M lên AB
- Tam giác MAB có diện tích S =

đạt

giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là
đoạn vuông góc chung của AB và d.

download by :

13


Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp
AB qua A(1; 2; 3) và

với

(0; -2;-2) =

là véc tơ chỉ phương của AB

Phương trình tham số AB
M(2 + t; 4+ t; -2)

,H(1; 2+ t’;3+t’)

,

-t -1; t’ – t -2; t’ +5)

Ta có
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =

, AB =

Diện tích

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

. Trong các mặt cầu tiếp xúc

với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)
có bán kính nhỏ nhất.

Giải:

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N
Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R =
MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp
Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp
[

]

= (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2

Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và

nên d và Ox chéo nhau.
t’; -t; t – 2)

Ta có
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O

download by :

14


Mặt cầu (S) có tâm I (0

, bán kính R =

Phương trình mặt cầu (S):
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.

Bài toán 1:Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B
một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng
(α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng
cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α)) lớn nhất
bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua
A và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm
I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và
vuông góc với DI.
(α) nhận
làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0

2x + y – 5z + 15 = 0

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B.
Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu
(S) có bán kính lớn nhất.
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB
là véctơ pháp tuyến của (α)
R = AB=3
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.

download by :

15


Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình
mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
(α),
K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H≡ K,
khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc
với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương
trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn
nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua
hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC).
,
(ABC) có véctơ pháp tuyến
(α)cóvéctơpháptuyến
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
3x + 2y + z – 11 = 0
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm
đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ
nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy

d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

download by :

16


Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5)
một khoảng :
1) Nhỏ nhất .
2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
Phương trình BH:
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0
hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy
chỉ phương của ∆.

là véc tơ

Phương trình của ∆:
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông
góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương
Phương trình của ∆:

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:
1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ
A đến ∆1 lớn nhất.
3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ
A đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:

download by :

17


1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp

,

(α) đi qua B nhận
làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆ 1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm
B,H. Phương trình tham số AH:
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0

∆1 nhận
Ta thấy
và
phẳng (α))

làm véc tơ chỉ phương

không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mặt

Vậy phương trình ∆1:
3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆ 2 ) lớn
nhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có
∆2 nhận
làm véc tơ chỉ phương,
mặt khác
phẳng (α))

và

không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt

Phương trình ∆2:
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song
song hoặc nằm trên (α) và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi
qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là
lớn nhất.
Lời giải:

download by :

18


Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với
(α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và
BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d:

.

, mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0

và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao
cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Giải:Đường thẳng d có vtcp

(1; 2; -1), (α) có vtpt

(2; -1; 1)

Phương trình tham số d:
Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1
B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d
Phương trình tham số đường thẳng d1:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1
I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t),
(-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có

-1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0

Đường thẳng ∆ có vtcp

t = -1

I(-2; -1; 2)

= (-5; -10; 4)

Phương trình ∆:
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song song với (P),
hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất.

download by :

19


Giải:
Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0
=> d nằm trên (α).
Đường thẳng ∆ có vtcp

(2;1;-3), (α) có vtpt

(1;1;-1)

Phương trình tham số ∆:
Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình:
-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0

t=

B(0;

;

)

Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆
Phương trình tham số đường thẳng ∆1:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1
(1 + 2t; t - ; -3t).Ta có
=(

;

;

)=

H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t)

2 + 4t + t -

+ 9t = 0

t=

(26; -43; 3) =

Đường thẳng d có vtcp

= (40; 29; 69)

Phương trình d :
.
Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc
(α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên
(α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A và
tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d. Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm
cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆.
Ta có sin(d, ∆) =

≥

. Do vậy góc (d, ∆) nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là

đường thẳng AK.

download by :

20


Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆ d và ∆ có vtcp
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng
d:

.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một
góc lớn nhất.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một
góc nhỏ nhất.

(α) có vectơ pháp tuyến

Giải:
, d có vectơ

M(-2; 1; 3). Ta thấy A (α) mặt khác
nằm trên (α).
1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất khi ∆1 d
Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương

qua điểm

nên d không song song hoặc

= (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)

Phương trình tham số của ∆1:
2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d
Phương trình d1:

, lấy điểm B(2; 3; -1) d1.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
Phương trình tham số của BK

, tọa độ của K ứng với t là nghiệm của

phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- 1 – t) – 7 = 0
9t + 4 = 0 hay t =
∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và K,
∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương

download by :

21


Phương trình ∆2 :

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d:

.

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc
nhỏ nhất.
Giải:

Đường thẳng d có vectơ
Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d ∆ nằm trên (α)
(α) nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ
Phương trình tham số của BH
phương trình: 4t -2 + t + t – 2 = 0

, tọa độ của H ứng với t là nghiệm của
6t – 4 = 0

hay H(

)

∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và H,
∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương
Phương trình ∆ :

3. Hiệu quả của đề tài
Những điều tôi đã thực hiện như nêu ở trên đã có một số tác dụng đối với học
sinh,cụ thể là : Các em tỏ ra rất say mê, hứng thú với dạng tốn này. đó có thể coi
là một thành cơng của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã khảo sát lại cho
các em học sinh lớp 12A4,12A5. Kết quả như sau:
Không
Nhận biết,
nhận
nhưng không
biết biết vận dụng

Nhận biết và
biết vận dụng,
chưa giải được

Nhận biết và
biết vận dụng ,
giải được bài

download by :

22


được
0
0.0

Số lượng
Tỉ lệ ( %)

hoàn chỉnh
27
30

3
3.3

hoàn chỉnh
60

66,7

Rõ ràng là các em đã có sự tiến bộ. Như vậy chắc chắn phương pháp mà tôi
nêu ra trong đề tài đã giúp các em phận loại được bài tập và nắm khá vững phương
pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi.
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy,
trong một chừng mực nào đó tơi có thể bớt băn khoăn khi học trị của mình có thể
làm tốt các bài tốn: “ Cực trị trong hình học giải tích lớp 12 ”
Vận dụng chuyên đề này học sinh có thể giải được một số câu VD, VDC trong
đề thi TN THPT Quốc Gia, ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (Đề Thi thử CHUYÊN ĐH VINH) Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai điểm

,

và đường thẳng

. Tìm véctơ

chỉ phương của đường thẳng đi qua , vng góc với đường thẳng
thời cách điểm một khoảng bé nhất.
A.
.
B.
. C.
D.
.
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ toạ độ
. Biết

,

, cho 4 điểm

, để

đồng

,

,

đạt giá trị nhỏ nhất thì

bằng
A.

B.

C.

D.

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm
A  1; 2;3 ; B  0;1;1 ; C  1;0;  2  . Điểm M  P  : x  y  z  2  0 sao cho giá trị của biểu thức
T  MA2  2MB 2  3MC 2 nhỏ nhất. Khi đó, điểm M cách  Q  :2 x  y  2 z  3  0 một
khoảng bằng
A.

121

.
54

B. 24.

C.

2 5
.
3

D.

101
.
54

Và rất nhiều bài toán tương tự cũng được giaỉ quyết một cách rất hiệu quả.

download by :

23


C. KẾT LUẬN
Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết
học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức
này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách
hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học
sinh.

Kiến nghị
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh ln là mục đích cao
cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi mong ước được chia sẻ
với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau:
Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý,
ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc khơng dễ. Do đó đây chỉ là một chuyên đề
trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp
phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho
học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận
dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến
thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là
rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài tốn khó mà dần gây
hứng thú say mê mơn tốn, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn
người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài tốn điển hình.
Đặc biệt, chuyên đề này chỉ thực sự hiệu quả khi được giảng dạy cho đối
tượng học sinh khá, giỏi . Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và
đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn./.

download by :

24


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thọ Xuân, ngày

tháng 5 năm 2018

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Lê Văn Hà
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.
Thọ Xuân, Ngày tháng 5 năm 2018
Thay mặt HĐKH cơ sở
Chủ Tịch

download by :

25