skkn phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
SÁNG KIN KINH NGHIM
" PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR
TRONG HÌNH HC GII TÍCH"

I - Lý do chn đ tài


Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và
tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ
này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh
phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri
rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo
khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang
tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này.
Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo
viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn
thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h
thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi
đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài,
t đó có cách gii ti u cho mt bài toán.
V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi
xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và
kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn
đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng
góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn.

II - Ni dung nghiên cu

Trong đ tài này tôi chia thành 3 ni dung chính:
Phn 1 : Bài toán vit phng trình mt phng
Phn 2: Bài toán vit phng trình đng thng
Phn 3: Các bài toán v đim
Vi mi ni dung đc trình bày theo mt h thng lô gic cht ch t các bài toán đn gin đn
phc tp, phân tích vn đ, phát trin vn đ đn phát trin bài toán.

III - Phm vi nghiên cu

Các kin thc trong khuôn kh chng trình toán THPT
IV - i tng áp dng:


1. Ôn tp kin thc c bn cho hc sinh 12
2. Ôn thi đi hc
3. Bi dng hc sinh
V - Tài liu tham kho:

1. Sách giáo khoa.
2. Các đ thi đi hc.
3. Tp chí Toán hc và tui tr
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
4. Mt s tài liu hình gii tích ca Phan Huy Khi.


VI-NI DUNG  TÀI

Phn I : Vit phng trình mt phng

C s lý thuyt:
 vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và
mt véc t pháp tuyn
ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán.
Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin

Bài toán 1:
Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht.

Phân tích:
Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn
khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh
khong cách t B đn mt phng (P).
 xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc
đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không
đi đó là giá tr đã bit AB.
B
A


Gii:
Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒
Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤
⇔
H
≡
A

⊥
(P) ⇒ AB
u
uur
là véc t pháp tuyn ca (P). Hay max BH = AB khi H A hay AB≡
n đây mt phng (P) hoàn toàn xác đnh là mt phng qua A và có véc t pháp tuyn AB
u
uur

Bài toán này đn gin, ta có th cho vô s ví d. Tuy nhiên, ý tng đn gin đó s gn nh
xuyên sut lp các bài toán v dng này.
Mt câu hi đt ra là : vy mt phng qua A và cách B mt khong nh nht có tn ti hay
không? bài toán đó có đc đt ra hay không?
Ta bit khong cách gia hai đi tng bt kì là không âm, vì vy giá tr nh nht (nu có)
luôn ln hn 0. Trong bài toán trên, d thy min d(B,(P))= 0
⇔
B
∈
(P) hay (P) đi qua A và B.
Do đó, có vô s mt phng tha mãn. Vì th bài toán này thng không đc đt ra, nu có
thng phi đi kèm mt điu kin khác
.
Bài toán 2
Cho mt đng thng ; Mt đim A không thuc đng thng. Vit phng trình mt
phng (P) qua và cách A mt khong ln nht.
Δ
Δ

Phân tích:

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Xác đnh khong cách t A ti (P) và so sánh vi
khong cách không đi. T đó liên h gia khong cách t
A ti , đa ti li gii sau: Δ
Li gii:
Gi H là hình chiu ca A trên (P), K là hình chiu ca A
trên
⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH
Δ
≤
AK ( không đi)
Du "=" xy ra H
≡ K hay max AH = AK
⇔

F
H
K
A

⇔
H K hay (P), tc là véc t pháp tuyn ca (P). ≡ AK
uuur
⊥ AK
uuur
Do đó, mt phng (P) hoàn toàn đc xác đnh là mt phng qua mt đim bt kì ca
Δ

và có
véc t pháp tuyn
AK
uuur
 thi đi hc khi A nm 2008 đc cho t bài toán này. T bài toán gc này ta cng có
th cho nhiu bài toán. Câu hi tng t nh bài toán trên là Vy mt phng qua
Δ
và cách A
mt khong nh nht có tn ti không? Câu tr li là d thy chính là mt phng cha
Δ
và A
và khong cách nh nht là 0. Do đó, thay cho cách hi vit phng trình mt phng qua
Δ
và A
thì bài toán có th đc phát trin theo cách trên là " tìm mt phng cha và cách A mt
khong nh nht" và cng có th xut hin di nhiu dng khác.
Δ

Ví d 1: Cho hai đng thng
12
x1t
x1 1 z3
: và : y 2 2 t
122
z2t
y
=− −
⎧
++−
⎪

Δ== Δ=+
⎨
−
⎪
=−
⎩
1

Vit phng trình mt phng (P) qua
Δ
và cách
2
Δ
mt khong ln nht.
Li gii:

D thy , do vy, khong cách t
2
1
//ΔΔ
1
Δ
ti (P) bng khong cách t mt đim bt kì
ca ti (P). Ly A(-4; -1; 3) , bài toán tr v: " Xác đnh mt phng (P) qua
1
Δ
1
∈Δ
2
Δ

và cách
A mt khong ln nht."
Theo bài toán trên, ta xác đnh hình chiu H ca A trên
2
Δ
, d có H(0; 0; 2).
mt phng (P) có véc t pháp tuyn
⇒ AH
u
uur
=( 4; 1; -1)
uuu
Vy (P) qua H và có vtpt có phng trình: 4x + y - z + 2 = 0 AH
r
Bài toán 3:
Cho hai đng thng ct nhau ti A. Vit phng trình mt phng (P) cha
12
và ΔΔ
2
Δ
và
hp vi mt góc ln nht.
1
Δ

Phân tích:
Xác đnh góc gia và (P) và so sánh vi mt góc không đi, t đó đa đn liên h vi
góc gia hai đng thng.
1
Δ

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Li gii:
Gi s (P) đã đc xác đnh. Gi M là đim bt kì
và H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và
. Khi đó (
1
∈Δ
2
Δ
฀
฀
112
,(P)) MAH , ( ; ) = MAK
α
ϕ
Δ= =ΔΔ =
(là góc không đi)
Ta có:
MH MK
sin , sin = và MK MH
MK MA
αϕ
=≥

nên
sin sin
α

ϕα
≤⇒≤
ϕ
( vì hàm sin
đng bin trong
0; và
2
π
ϕ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
không đi)
M
F
3
H
A
F
4
M
Suy ra :
max = khi H K
α
ϕ
≡
hay MK
⊥
(P) ⇒ MK
u

uuur
là véc t pháp tuyn ca (P), hay ta có th
thy mt phng véc t pháp tuyn ca (P) là
12
(; ) (P)ΔΔ ⊥ ⇒
12 2
;,nuuu
r
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎣⎦
⎣
⎦
ur uuruur
1

Vy (P) hoàn toàn đc xác đnh.

Nhn xét:
1. ng thng khi đó là hình chiu ca
2
Δ
Δ
trên (P). Do đó bài toán có th đc phát
trin di dng " Xác đnh mt phng (P) sao cho
2
Δ
là hình chiu vuông góc ca

1
Δ
trên (P).
Tuy nhiên khi đó mt phng (P) d dàng xác đnh hn.
2. Vì ta bit góc gia ( ;(P)) = (
1
Δ
'
1
Δ
;(P)) nu
'
11
//
Δ
Δ⇒
2 2
bài toán có th thay gi thit
chéo nhau. Khi đó, ta ly mt đim A thuc
1
, ΔΔ
Δ
, qua đó vit phng trình thì bài
toán tr v bài toán trên.
'
1
//ΔΔ
1
12 1 2
// ∨Δ≡Δ

2
3. Nu ΔΔ : mt phng cha
Δ
hoc cha
1
Δ
hoc song song
1
Δ
thì góc
gia và (P) luông bng 0. Do đó bài toán không đc đt ra cho hai v trí trên.
1
Δ
4. Nu ct : mt phng cha
1
Δ
2
Δ
1
Δ
và hp vi
2
Δ
mt góc nh nht chính là mt
phng cha 2 đng thng .
12
,ΔΔ
12
,ΔΔ
Nu chéo nhau: Mt phng cha

2
Δ
và hp vi
1
Δ
mt góc nh nht chính là mt
phng qua và song song .
2
Δ
1
Δ


Ví d 2:
Cho hai đng thng
1
x+1 y+3 z-2
: = =
3-2-
Δ
1
và
2
x- 2 y+1 z-1
: = =
23-
Δ
5

Vit phng trình mt phng (P) qua

2
Δ
và hp vi
1
Δ
mt góc ln nht.
Li gii

D thy chéo nhau. Ta ly đim A(2; -1; 1)
12
,ΔΔ
2
∈
Δ , qua A dng đng thng
có phng trình:
''
11
// ΔΔ⇒Δ
1
x- 2 y+1 z-1
==
32-
1
11 2 2
có vtcp (3; 2; 1), có vtcp (2;3; 5) uuΔ−−Δ −⇒
ur uur
.
Khi đó: và tr v bài toán trên.
'
12

AΔ∩Δ =
mt phng
'
12
(, )
Δ
Δ
có véc t pháp tuyn là
, chn . Áp dng kt qu bài toán trên ta có véc t pháp tuyên
ca mt phng (P) là : .
112
[ ; ] (13;13;13)nuu==
ur ur uur
1
(1;1;1)n =
ur
12
[; ] (8;7;1)nnu==−
ruruur
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Mt phng (P) qua A và có véc t pháp tuyn n
r
có phng trình:
8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 8x - 7y - z - 22 = 0
⇔

Chú ý:

1. Vi li gii ví d này, khi ta áp dng kt qu bài toán trên thì không nht thit phi xác
đnh song đ trình bày li gii c th mt bài toán khi xut hin đc lp ta phi ch ra đy đ
c s nh bài toán trên thì phi vit phng trình
'
1
Δ
'
1
Δ
.
2. Vi bài toán này, khi ging dy các thy cô giáo có th đt ra rt nhiu bài toán c th
t hai đng thng ct nhau hoc chéo nhau.

Bài toán 4:
Cho đng thng và mt phng (P) ct nhau. Xác đnh mt phng (Q) cha và hp vi
(P) mt góc nh nht.
Δ Δ

Phân tích:
Vì theo mt giao
tuyn. Vn theo ý tng đu tiên, ta xác đnh góc gia
(P) và (Q) và so sánh vi góc không đi trong bài toán
này là góc gia và (P).
( ) (Q) (P)PAΔ∩ = ⇒ ∩
Δ
Li gii:
Gi
A (
; M là đim bt kì trên
P)=Δ∩

Δ
. Gi s (Q)
đã xác đnh đc .
(Q) (P) = d⇒∩
Gi H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và d
F
A
M
H
K
⇒
d
góc gia hai mt phng (P) và (Q) là và góc gia
HK d ⇒⊥
฀
MKH
ϕ
=
Δ
và (P) là
( không đi).Ta có:
฀
= MAH
α

MH MH
, sin =
MA MK
αϕ
=sin

và MA ≥ MK
sin sin
α
ϕ
⇒≥
. Vì hàm sin đng bin trên
0;
2
π
⎡
⎢
⎣⎦
⎤
⎥
nên
α
ϕ
≥ (không đi).
min khi K A
ϕ
α
⇒= ≡
, hay d
⊥
Δ . Suy ra, mt phng (Q) ct (P) theo mt giao tuyn vuông
góc vi
Δ thì góc
ϕ
là góc nh nht.
Gi véc t pháp tuyn ca (P) là

n
r
và véc t ch phng ca
Δ
là
u
r
thì (Q) có véc t pháp tuyn
là
uu u r r
. Vy mt phng (Q) hoàn toàn xác đinh là mt phng qua mt đim ca
[[u; n];u]
Q
n =
r r
Δ
và
có véc t pháp tuyn
Q
n
uur
Ví d: Cho đng thng
x-3 y z-1
: = =
2-13
Δ
và mt phng (P) : x + y + z = 0
Vit phng trình mt phng (Q) cha
Δ
và hp vi (P) mt góc nh nht.

Li gii:
Áp dng bài toán trên, ta gi vtcp ca
là uΔ
r
(2; -1;3), véc t pháp tuyn ca (P) là
P
n
u
ur
(1; 1;1)
thì giao tuyên d ca (P) và (Q) có véc t ch phng là
d
u=[u;n]
P
u
urruur
= ( -4; 1; 3)
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) là
Qd
n=[u;u]
u
ur u urr
= (6; 18; 2) chn véc t pháp tuyn là
(3; 9; 1). Mt phng (Q) qua M(3; 0; 1)
⇒
1

n
ur
∈
Δ và có véc t pháp tuyn có phng trình là:
1
n
uur
3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 3x + 9y + z - 10 = 0 ⇔

Nhn xét:
1. Giao tuyn ca 2 mt phng là mt trong nhng bài toán vit phng trình đng
thng rt c bn: đng thng qua giao đim, nm trong mt phng và vuông góc vi đng
thng cho trc. Tuy nhiên khi đc nâng lên mt bc nh bài toán này đã đc tích hp nhiu
kin thc hn, đòi hi hc sinh hiu sâu hn các vn đ đã bit.
2. Mt phng qua và hp vi (P) mt góc ln nht có tn ti hay không? D thy đó là
bài toán quen thuc: " mt phng qua
Δ
Δ
và vuông góc vi (P) " ( góc ln nht bng 90
o
).
3. Vi Δ nm trong mt phng (P) hay song song vi (P) thì mt phng (Q) cha
Δ
và
hp vi (P) mt góc nh nht là 0
0
, và góc ln nht là 90
0
4. Vi bài toán gc trên, ta có th đa ra nhiu bài tp cùng ni dung cho hc sinh làm t
mt đng thng và 1 mt phng ct nhau.

Phn II: Bài toán vit phng trình đng thng

Bài toán 5:

Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đim B không thuc (P). Tìm đng thng
Δ

nm trong (P), Δ qua A và cách B mt khong ln nhât, nh nht.

Phân tích:
Vn ý tng t bài toán hi khong cách t B ti
, ta xác đnh khong cách t B ti
Δ
Δ
và so sánh vi
khong cách không đi. Trong bài toán này có 2
khong cách không đi là d(B,(P)) và BA.
Li gii:

Gi H, K tng ng là hình chiu ca B trên (P) và
Δ

⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK. Δ
F
H
D
A

M
Ta luôn có BK ≤AB không đi nên BK = AB khi K
≡
A, tc là khong cách t B ti
đng thng ln nht khi qua A và vuông góc vi AB.
Δ Δ
Mt khác BK≥ BH không đi minBK = BH khi K⇒
≡
H hay khong cách t B ti
đng thng nh nht khi qua A.
Δ Δ

Nhn xét:

1. Nh vy, cách cho bài toán này khá đn gin: cho mt phng (P) bt kì, ly mt đim
A thuc (P) và mt đim B không thuc (P). Vi câu hi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên đ
ta đ đim H không l, ta nên bt đu t vic ly H trong (P). Thông thng, ta ly H có ta đ
nguyên, sau đó vit phng trình đng thng d qua H và vuông góc vi (P); trên d ta mi ly B
có ta đ nguyên thi s đa đn mt kt qu đp hn.
2.  thi i hc khi B nm 2009 là mt dng ca bài toán này. Ta s xem xét mt vài ví
d sau di dn khác nhau ca bài toán trên, t vic to ra mt phng (P) hoc thay th (P)
bng các d kin tng đng, ta có th có cái nhìn đa chiu cho 1 bài toán.
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai

Ví D 1:
( đ thi tuyn sinh đi hc cao đng nm 2009 - khi B)
Cho mt phng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai đim A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các

đng thng đi qua A và song song vi (P), vit phng trình đng thng d sao cho khong
cách t B đn d là nh nht.
Phân tích:
Rõ ràng t ý tng ca bài toán trên cùng vi bài toán qua 1 đim tn ti duy nht mt
mt phng song song vi mt phng cho trc, ta đã đa đn mt bài toán c th và ít tng
minh hn.
Li gii:

Gi (Q) là mt phng song song vi mt phng (P) và qua A
⇒ (Q) có phng trình :
x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0
⇔
Áp dng kt qu bài toán trên, gi H là hình chiu ca B trên (P).
D dàng tính toán đc H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
9
7
;
9
11
;
9
1
⇒ AH

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
9
2
;
9
11
;
9
26

Vy đng thng cn tìm có phng trình :
2
1z
11
y
26
3x
−
+
−

==

Ví d 2:

Cho đng thng và hai đim A(2; -1; 1), B(0; 1;2).
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=
=
Δ
tz
ty
tx
2
1
2
:
Vit phng trình đng thng d qua A, vuông góc vi
Δ
và cách B mt khong ln
nht, nh nht.
Phân tích:
Mt phng (P) chính là mt phng qua A và vuông góc vi
Δ
. Khi đó bài toán tr v bài
toán 5. Áp dng bài toán trên, ta có li gii.
Li gii.
Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi
Δ
⇒ (P) có phng trình:

⇔
2x - y + z -6 = 0. 2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0
Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (P) và
Δ
, ta có d(B,d) = BK
1, BK
≤BA max BK = AB K⇒ ⇔
≡
A hay d qua A
và vuông góc vi AB
Có
AB (-2; 2; 1) và véc t pháp tuyn ca (P) là n (2; -
1; 1)
⇒ d có véc t ch phng
]n;AB[u =
= ( 3; 4; -2)
ng thng d cách B mt khong ln nht là đng
thng qua A và có véc t ch phng
u
( 3; 4; -2).
d
F
B
H
A
K

Phng trinh d là :
2
1z

4
1y
3
2x
−
−
=
+
=
−

2, BK
≥ BH (không đi) ⇒minBK = BH khi K
≡
H hay d là đng thng qua A và H
Gi
Δ
là đng thng qua B và vuông góc vi (P).
1 1
Δ
có phng trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=
=
tz

ty
tx
2
1
2
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
H = (P) nên ta đ H tha mãn h:

1
Δ
∩
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=

=
=
⇔
=−+−
+=
−=
=
6/17
6/1
3/5
6/5
06zyx2
t2z
t1y
t2x
z
y
x
t

⇒ H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
17
;

6
1
;
3
5
⇒ AH
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
6
11
;
6
7
;
3
1
⇒ chn véc t ch phng ca d là
d
u
(2; -14; -11)
ng thng d cách B mt khong nh nht có phng trình:

11
1z
14

1y
3
2x
−
−
=
−
+
=
−

Ví d 3:

Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đng thng d có phng trình .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
−=
tz
ty
tx
2
2
1
Trong các đng thng qua A và ct d, vit phng trình đng thng cách B mt khong
ln nht, nh nht.

Phân tích:
Mt phng (P) trong ví d này là mt phng qua d và A. Nh vy ví d đc xây dng t bài
toán trên và cách xác đnh mt phng qua 1 đim và 1 đng thng.

Li gii:
ng thng d qua M(1; -2; 0) và có véc t ch phng
u
(-1; 1; 2) ; MA (0; 6; 2)
Gi (P) là mt phng qua A và d
⇒ (P) có véc t pháp tuyn
]MA;u[n =
=(-10;2;-6)
(5; -1; 3) , khi đó (P) có phng trình: Chn véc t pháp tuyn ca (P) là
P
n
5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0
⇔
5x - y + 3z -7 = 0
ng thng qua A và ct d
Δ
Δ
nm trong (P). Theo kt qu bài toán trên ta có: ⇒
1, Δ cách B mt khong ln nht
⇔
Δ
vuông góc vi AB
BA (-2; -2; 2) ⇒ có véc t ch phng Δ
Δ
u

=
]n;AB[
P
= (-4; 16; 12)
Chn
1
u
(-1;4;3) là véc t ch phng ca
Δ
(
1
u
không cùng phng u )
ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình :
Δ
3
2z
4
4y
1
1x −
=
−
=
−
−

2, ng thng cách B mt khong ln nht
Δ
⇔

Δ
qua A và H ⇒ Xác đnh H :
Gi
Δ
là đng thng qua B và vuông góc vi (P).
1 1
Δ
có phng trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=
+−=
tz
ty
tx
34
2
51
H = (P) nên ta đ H tha mãn h:
1
Δ
∩
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
=−+−
+=
−=
+−=
07z3yx5
t34z
t2y
t51x
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
⇒ H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
35
146
;
35
68
;
7

5
⇒ AH
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
35
76
;
35
72
;
35
60

Chn véc t ch phng ca là
Δ
2
u
(15; 18; -19) (
2
u
không cùng phng
u
)
ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình :
Δ

19
2z
18
4y
15
1x
−
−
=
−
=
−


Bài toán 6:
Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đng thng d ct (P). Xác đnh đng thng
Δ

nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht.

Phân tích:
T cách xác đnh góc gia hai đng thng trong
không gian là góc gia hai đng thng cùng đi qua 1
đim ta xác đinh d' qua A và song song vi d. Khi đó
(d, ) = (d', ). Vy phi xác đnh góc gia d' và
Δ Δ
Δ
,
sau đó liên h vi góc không đi là góc gia d' và (P).
Li gii:

Gi d' là đng thng qua A và song song vi d , ta
có (d, ) = (d', ) và (d,(P)) = (d',(P))
Δ Δ
F
d'
O
d
H
A
M
Gi M là đim bt kì trên d', H và K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và Δ
⇒
góc gia d' và
Δ là
=
α
∠ MAK, góc gia d' và (P) là
=
ϕ
∠
MAH
1, Ta luôn có: sin
MA
MK
=
α
, sin
MA
HM
=

ϕ
và MK ≥MH ⇒ sin
α
≥sin
ϕ
⇒
α
≥
ϕ

⇒ min
α
=
ϕ
khi H K hay là đng thng qua A và H. Khi đó, véc t ch phng ca ≡
Δ
Δ
là:
Δ
u
=
]n];n;u[[
PPd
. Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh qua A và có véc t ch phng
Δ
Δ
u
.
2,
α

≤90
0
max⇒
α
=90
0
khi
Δ
vuông góc vi d' ⇒Véc t ch phng ca
Δ
là:
Δ
u
=
]n;u
Pd
[
. Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh.
Δ
Ví d:
Cho đng thng d :
3
2z
1
y
2
1x
−
+
==

−
và mt phng (P) : 2x + y + z +1 = 0. im A(0;2;1) thuc
(P). Vit phng trình đng thng
Δ
nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht,
nh nht.
Li gii:
d có véc t ch phng
u
(2;1;-3); (P) có véc t pháp tuyn n (2;1;1).
Theo kt qu bài toán trên:
1,
Δ hp vi d mt góc ln nht khi
Δ
vuông góc vi d véc t ch phng ca ⇒
Δ
là:
=
Δ
u ]n;u[
= (4; -8; 0). Chn
1
u
=(1;-2;0 ) là véc t ch phng ca
Δ
.
Ta có phng trình :
Δ
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=
−=
=
1
22
z
ty
tx
2,
Δ
hp vi d mt góc nh nht khi
Δ
song song vi hình chiu ca d trên (P)
⇒véc t ch phng ca là:
Δ
2
u
=
]n;u[
1
= (2; -1; 5). Vy phng trình là: Δ
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai

5

1z
1
2y
2
x −
=
−
=
−

Chú ý:
Nu d//(P) hoc d nm trong (P) thì đng thng nm trong (P), đi qua A và hp vi d
mt góc ln nht là 90
0
, góc nh nht là 0
0
.

Bài toán 7:

Cho mt phng (P) và đim A thuc (P). ng thng d ct (P) ti mt đim khác A.
Xác đnh đng thng nm trong (P), đi qua A sao cho khong cách gia và d là ln
nht.
Δ Δ

Phân tích:
T khong cách gia hai đng thng là khong
cách gia đng thng và mt phng cha đng
thng còn li và song song vi đng đng thng
xác đnh đng thng d' qua A và d'//d mt

phng cha và d' song song d
⇒ ⇒
Δ
⇒
d(d, Δ ) = d(d;(d'; )). Δ
Vn t ý tng : bài toán hi khong cánh gia d
và , ta xác đnh khong cánh đó và so sánh vi
khong cách không đi.
Δ
d'
d
J
M
F
C
B

Li gii: Gi d' là đng thng qua A và d'//d.
Gi s đã xác đnh
⇒ d' và cùng nm trong mt mt phng (Q). Δ
⇒
Δ
Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (Q) và d' BH
≤
BK ⇒ max BH = BK
⇔
H
≡
K
hay (Q) nhn

B
K
làm véc t pháp tuyn.
Hoc gi I là hình chiu ca A trên d AI // BK
⇒ ⇒
AI là véc t pháp tuyn ca mt phng (Q)
(Q) hoàn toàn xác đnh là giao tuyn ca (Q) và (P) ⇒
⇒ ⇒ Δ
Δ
hoàn toàn xác đnh.

Ví d :
Cho mt phng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đng thng d :
1
z
2
1y
3
3x
=
−
+
=
−
. im
A(0;2;3) nm trong (P). Vit phng trình đng thng
Δ
đi qua A sao cho khong cách gia d
và là ln nht.
Δ

Li gii: Theo kt qu bài toán trên:
Gi B = d (P), d xác đnh đc B(-3; 3; -2) ∩
≠
A ( hoc thay ta đ A và phng trình d
A
∉d).
⇒
(P) có véc t pháp tuyn
P
n
(2; 1;-1).
Gi I là hình chiu ca A trên d
⇒ I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
7
6
;
7
5
;
7
3
⇒ IA
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
7
27
;
7
9
;
7
3

Chn véc t pháp tuyn ca (Q) là
Q
n (1; -3;9). Vì
Δ
là giao tuyn ca (Q) và (P) nên ⇒
véc t ch phng ca là: Δ
u
= ]n;[
Q
P
n =(-12; 19; 7)
⇒ Δ
qua A và có véc t ch phng ca
u
có phng trình:

7
3z
19
2y
12
x −
=
−
=
−

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Nhn xét:
1, Tt c 7 bài toán trên có th gii bng phng pháp gii tích, tìm giá tr ln nht, nh
nht t công thc tính khong cách, góc Phng pháp thì rt rõ ràng nhung tính toán li rt
phc tp. Con đng s dng yu t hình hc không gian nh trên làm cho bài toán tr nên d
dàng và thú v hn.
2. T các bài toán gc đó không nhng ta có th cho các bài toán c th mà còn nhiu
điu ta có th tp cho hc sinh có cái nhìn đa chiu ca mt bài toán hoc sáng to các bài toán
khác t vic thay th các gi thit tng đng.




Phn III: Các bài toán v đim

Ta đã biêt bài toán rt c bn sau trong mt phng:

"Cho đng thng và hai đim A,B. Tìm trên
Δ
Δ
đim M sao cho MA+MB đt giá tr
nh nht."
Li gii bài toán đc chia 2 trng hp:
TH1: A, B khác phía M = AB
Δ ⇒
∩
Δ
. Ta d dàng chng minh đc và xác đnh đc
M.
TH2: A, B cùng phia Gi A
Δ
⇒
1
là đim đi xng A qua
Δ
M = A⇒
1
B
∩
Δ
. Ta d
dàng chng minh đc và xác đnh đc M.
Tuy nhiên câu hi đt ra là ti sao ta đa đn vic ly đi xng. Câu tr li là d hiu vi
hu ht hc sinh đó là vic ta tìm 1 đim A
1
thay th vai trò ca A (
Δ∈

∀
M : MA
1
= MA), nhng
A
1
và B khác phía, đ tr v bài toán ta đã bit  trng hp 1.Nhng vic m rng ý tng đó
cho nhng bài toán khác trong không gian không phi hc sinh nào cng thc hin đc.
Nu m rng bài toán này sang không gian, thay đng thng bi mt phng (P) thì
bài toán tng t, không h gây khó khn ngay c vi hc sinh trung bình. Nhng nu m rng
trong không gian mà vn là đng thng thì bài toán s tr nên khó khn hn trong mt phng.
Δ
Ta s xem xét vn đ này di 2 góc nhìn sau đây

Bài toán 8:
Cho đng thng và hai đim A, B. Tìm trên Δ
Δ
đim M sao cho MA + MB là nh nht.
Cách 1:
Phân tích
Ta bt đu ý tng t vic quy v mt phng. Nu đ
trong không gian thì không có khái nim 2 đim cùng
phía hay khác phia vi đng thng
Nu xác đnh (P) là mt phng cha A và
Δ
, ta s tìm
ttrong (P) mt đim thay th B, đng nhiên phi khác
phía A
⇒ Bài toán đã đa đc v nh trong mt
phng

M
A
I
B
H
K
Li gii
Gi (P) là mt phng cha A và
Δ
; I là đim trong mt phng (P) sao cho IH
⊥
Δ
;
IH = BH và I khác phía vi A so vi đng thng
Δ
. Khi đó, ta d dàng chng minh đc
M = AI ∩ Δ
Tht vy: Gi M' là đim bt kì thuc
Δ
⇒ MB = MI và M'B = M'I
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Ta có: M'A + M'B = M'A + M'I AI mà AI = MA + MI = MA + MB ≥
⇒ M'A + M'B ≥ MA + MB
⇒ M đc xác đnh nh trên tha mãn bài toán : MA + MB nh nht.
Tuy nhiên vi cách gii trên khó khn trong vic tìm ta đ đim I khi thc hành
Ta chú ý: Gi K là hình chiu ca A trên
Δ

⇒ AK // IH ⇒ ta có:
BH
AK
IH
AK
MH
MA
==
⇒
MH.
BH
AK
MA −=
⇒ M chia AH theo t s k =
BH
AK
−

T đó đa ta đn bài toán : Xác đnh hình chiu K, H ca A, B trên
Δ
và đim M chia AH theo
t s k =
BH
AK
−

Vy M hoàn toàn xác đnh.
Cách 2:

Bài toán cn xác đnh đim

Δ
∈
M và biu din M theo tham s ca Δ
Tính MA + MB theo công thc khong cách
Vit li MA + MB =
2
2
2
2
2
1
2
1
BABA +++
, sao cho B
1,
BB
2
luông là hng s, A
1,
A
2
ph
thuc t
Khi đó s dng bt đng thc véc t: vuvu +≥+ . Nh vy, đ du " = " xy ra thì các
véc t
v,u
phi tha mãn
vu +
không ph thuc t,

v,u
cùng hng. T ý tng đó ta chn
v,u

sao cho |
u
| =
2
2
2
2
2
1
2
1
BABA +++
và xác đnh đc M.

Ví d: Cho đng thng
⎪
⎨
và A(1; 0 ;-1) , B(2; 1;1)
Δ
⎪
⎩
⎧
=
−=
+=
tz

ty
tx
4
1
21
M
AMB+
uuur uuur
1. Tìm trên đim M sao cho
Δ là nh nht
2. Tìm trên đim I sao cho 2IAΔ
2
+ 3IB
2
là nh nht
3. Tìm trên đim N sao cho NA+ NB là nh nht Δ
4. Tìm trên đim K sao cho Δ
AKKB−

Li gii:

1. Ta có:
M
AMB+
uuur uuur
M
J
uuur
= 2 vi J là trung đim ca AB ⇒
M

AMB+
u
uur uuur
nh nht
⇔
MJ nh
nht hay M là hình chiu ca J trên ⇔
JM ⊥Δ
Δ
.
Hoc ta có th xác đnh M( 1+ 2t; 1-t; t ) ⇒
(2;1 ;1 )
M
At t t
=
−−+−−
u
uur


(1 2 ; ;1 )
M
Bttt
=
−−
u
uur

⇒
(1 4 ; 2 1 ; 2 )

M
AMB tt t+=− −−
uuur uuur
⇒
()()
22
2
14 2 1 4
M
AMB t t t+=−+−+
u
uur uuur

=
2
24 12 2tt
−
+

Xét hàm s f(t) = . Có f'(t) = 48t - 12
2
24 12 2tt−+
⇒
1
'( ) 0
4
ft t
=
<=> =

⇒
D có :
1
min ( )
4
ft f
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
⇒
M
AMB+
u
uur uuur
nh nht
⇔

1
4
t
=
⇒ M
331
;;
244
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
2.
(
12;1 ;
)
I
Ittt∈Δ => + −
⇒ IA
2
= 4t
2
+ (1- t )
2
+( t+1)
2
= 6 t
2
+ 2.
IB
2
= (2t -1)
2
+ t
2
+( t -1)
2
= 6 t

2
- 6t

+ 2.
⇒ 2IA
2
+ 3IB
2
= 12t
2
+ 4+ 18t
2
- 18t

+ 6 = 30t
2
- 18t

+ 10
Bng cách xét hàm g(t) = 30t
2
- 18t

+ 10 ⇒ g'(t) = 60t - 18 g' (t) = 0 ⇔ ⇒
3
10
t =

⇒ D có: im
87 3

;;
51010
I
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
tha mãn bài toán.
( Nhng vn đ đn gin, c bn trong khuôn kh bài vit đc b qua vic chng minh )
3. Tìm sao cho NA + NB nh nht
N ∈Δ
⇒ N( 1+2t; 1- t; t)
N ∈Δ
NA + NB
()() () ()
22 2
22
41121tt t t tt=+−+++−++−
2
1


22
6266ttt=++−+2


2
2
11

626
22
tt
⎛⎞
=++−+
⎜⎟
⎝⎠

Chn
(
)
11
6;2 6( );
2
2
v t
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠
rr
⇒
63
;
2
2
uv
⎛⎞
+=
⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠
rr
ut
69
6
42
NA NB u v u v+=+≥+=+=
rr rr
⇒
Du "=" xy ra
u
và cùng hng ⇔
r
v
r
62 1
12
1
1
3
6
22
t
ttt
t
⇔

=
<=> = − <=> =

⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

⇒ NA + NB nh nht khi
521
;;
333
N
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Chú ý:
1. T bài toán trên ta có th xét bài toán :
Tìm GTNN ca hàm s: f(x)
22
62662 min()xxx fx=++−+ => =6

2. Gii phng trình
22
626626xxx++ − +=
đa đn nghim
1
2
x =


4. |KA-KB| ln nht :Hoàn toàn tng t phn (3)

22
| KA KB| | 6t 2 6t 6t 2 |
−
=+−−+

2
2
11
6t 2 6 t
22
⎛⎞
+− − +
⎜⎟
⎝⎠
chn véc t
()
11
u6t;2;v6tt;
2
2
⎛⎞
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ur ur

=

⇒
61 31
uv ; uv 2
222
2
⎛⎞
−= => − = +=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ur ur ur ur
, t bt đng thc véc t
|u| |v| u v−≤−
u
uruururur

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Ta có |KA KB| |u| |v| u v 2−=−≤−=
u
uruururur
, du “=” xy ra khi hai véc t cùng hng
u; v
ur ur
⇔
6t 2 t
2
11

1
t
6t
2
2
2
= <=> =
⎛⎞
−
−
⎜⎟
⎝⎠
t=1 K(3;0;1) tho mãn bài toán. ⇔ ⇒
Cách 2: (Phn 3) Theo kt qu bài toán trên
Gi H và I tng ng là hình chiu ca A và B trên ∆ ta d dàng xác đnh đc
11
I2; ;
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;
H(1;1;0) ;
1
AH 2 ; BI
2
==

AH
KH KI

BI
=> = −
uuur uur

KH 2KI=> = −
u
uur uur
; Theo công thc to đ đim chia ta
cng xác đnh đc
521
K;;
333
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


Nhn xét:
1. Cách gii này con đng khá t nhiên và đi t mt phng sang, tuy nhiên v lý lun
tng đi dài dòng mc dù là lý lun chung cho các bài toán tng t, v mt tính toán cng khá
nhiu (Tính to đ hai hình chiu ca A, B, tính đ dài các đon thng AH, BI, tính to đ đim
chia, khi hai hình chiu có to đ không nguyên thì tính toán khá nng n so vi cách gii trc
2. Cách gii trc ngn gn hn, m rng đc sang nhiu bài toán nh bài toán tìm
GTNN và bài toán gii phng trình hay bt phng trình.
Nên trong quá trình gii thiu ta thng phi gii thiu cách gii có nhiu u đim sau khi gii
thiu cách gii bng con đng t nhiên song li khá phc tp trong tính toán.


Bài toán 9:
Cho các đim A, B, C và mt phng (P) các s thc

,,
α
βγ
cho trc sao cho
. Tìm đim M trên mt phng (P) sao cho
0α+β+γ≠
MA MB MCα+β+γ
u
uuuruuuuruuuur
đt giá tr nh
nht.
Li gii:
Xác đnh I sao cho
α+
⇒d dàng xác đnh đc đim I, khi đó
IA IB IC 0β+γ=
uur uuruuru
r
MA MB MC MIα+β+γ =α+β+γ
uuuur uuuur uuuur
(1) do đó MA MB MCα+β+γ
u
uuuruuuuruuuur
đt giá tr nh nht khi và ch khi
MI nh nht M là hình chiu ca I trên (P)
⇔
,,γ
Chú ý : Trong (1) ta s dng công thc thu gn véc t, đim I chính là tâm t c ca h 3 đim
A, B, C ng vi b 3 s
αβ

.
Ta cng có th m rng cho h n đimA
1
, A
2
, A
3
,…A
n
. ng vi b n s thc .
i
α
T bài toán trên ta có th ra vô s bài toán c th áp dng.

Ví d :
Trong không gian cho các đim A(-1;2;3), B(2;3;-2), C(0;-2;-1), D(1;0;1) và mt phng
(P) có phng trình : x - y + 2z -1= 0.
Tìm đim M trên (P) sao cho
2MA 3MB 2MC 3MD−+ +
u
uuuruuuur uuuur uuuur
nh nht.
Li gii: Gi I(x;y;z) là đim sao cho
2IA 3IB 2IC 3ID 0
−
++=
u
ur u uruuuruurur
⇒
22x63x2x33x 0

42y93y42y3y0
62z63z22z33z 0
−
−−+−+−=
⎧
⎪
−−+−−−=
⎨
⎪
−
++ −− +− =
⎩

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Gii h phng trình, tìm đc I
)
4
13
;
4
9
;
4
5
( −−
. Theo bài toán trên, ta có
2MA 3MB 2MC 3MD−+ +

uuuuruuuur uuuur uuuur
=
4
MI đt giá tr nh nht khi và ch khi MI nh nht M là hình
chiu ca I trên (P).
⇔
D dàng xác đnh đc M
)
12
13
;
6
7
;
3
7
( −−
.

VII. KT QU Ã T C

Khi áp dng đ tài sáng kin kinh nghim này cho đi tng hc sinh ôn thi đi hc, tôi nhn
thy:
Th nht: ây là mt mng kin thc khó và trng tâm, có th áp dng cho din rng vi đi
tng hc sinh ôn thi đi hc.
Th hai: Hc sinh hng thú khi tìm hiu vn đ, không còn cm giác s bài toán cc tr trong
hình hc gii tích, nhiu em còn sôi ni phát biu, tho lun và tìm ra nhiu điu mi m t đ
tài này. Các em có cái nhìn tng quát và có h thng nên vn dng mt cách linh hot trong
tng bài toán c th. iu quan trng là các em đnh hng cách gii ngay t đu và đu phát
hin ra li gii ngn gn và ti u cho mi bài toán.

Th ba: Khi áp dng xong đ tài này, kh nng v hình ca các em khá tt, trí tng tng
không gian phong phú, li t duy sâu sc to nn tng chc chn đ các em hc tip mng kin
thc khác.
Kt qu thu đc:  tài này đã đc tôi dn hoàn thin và áp dng qua nhiu nm hc:
Nm 2008: Lp 12 chuyên Toán và 12 chuyên Hoá trng THPT chuyên Tnh Lào Cai qua
2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii tích, trc và sau khi áp dng có ni dung này.

Trc khi áp dng Sau khi áp dung
Lp
S hc sinh kim tra S hc sinh
làm đc.
S hc sinh kim
tra
S hc sinh làm đc.
12 Toán 35 6 35 29
12 Hoá 34 3 33 22

Nm 2009: Lp 12 chuyên Lý qua 2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii tích, trc và sau
khi áp dng có ni dung này.

Trc khi áp dng Sau khi áp dung
Lp
S hc sinh kim tra S hc sinh
làm đc.
S hc sinh kim
tra
S hc sinh làm đc.
12 Lý 33 4 33 24

Nm 2011: Lp 12 A1 trng THPT s 3 TPLC qua 2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii

tích, trc và sau khi áp dng có ni dung này.

Trc khi áp dng Sau khi áp dung
Lp
S hc sinh kim tra S hc sinh
làm đc.
S hc sinh kim
tra
S hc sinh làm đc.
12A1 25 1 25 16
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Nh vy có th kt lun sau khi áp dng đ tài sáng kin kinh nghim này hc sinh đã t tin,t
l hc sinh làm đc bài toán này là rt cao so vi trc khi áp dng.

VIII. KT LUN VÀ KIN NGH

Sáng kin kinh nghim ca tôi đã gii quyt đc mt s vn đ sau
1.Giúp hc sinh có cái nhìn tng quát và có h thng v bài toán cc tr trong hình hc
gii tích, t đó có k nng gii thành tho các bài toán thuc ch đ này và hn th có th làm
công c đ gii mt s loi bài toán khác nh bt đng thc, gii phng trình….
2. Gii quyt đc tng đi trit đ bài toán cc tr hình hc trong hình hc gii tích.
3. Thông qua vic phân tích, tìm con đng ti u cho bài toán, m rng bài toán to cho
các em kh nng làm vic đc lp, sáng to, phát huy ti đa tính tích cc ca hc sinh theo
đúng tinh thn đi mi phng pháp ca B giáo dc và đào to. iu quan trong là to cho
các em nim tin, khc phc đc tâm lý s bài toán cc tr hình hc.
Qua thc t ging dy chuyên đ này tôi thy các em hc sinh không nhng nm vng v
phng pháp, bit cách vn dng vào nhng bài toán c th mà còn rt hng thú khi hc

chuyên đ này.



Mt s đ xut

Mi bài toán thng có nhiu cách gii, vic hc sinh phát hin ra nhng cách gii khác nhau
cn đc khuyn khích. Song trong nhng cách gii đó cn phân tích rõ u đim và hn ch t đó
chn đc cách gii ti u. c bit cn chú ý ti nhng cách gii bài bn, có phng pháp và có
th áp dng phng pháp đó cho nhiu bài toán khác. Vi tinh thn nh vy và theo hng này
các thy cô giáo và các em hc sinh có th tìm ra đc nhiu kinh nghim hay vi đ tài khác
nhau. Chng hn, các bài toán v ng dng phng pháp tìm giá tr ln nht nh nht theo bt
đng thc véc t vào bài toán tìm giá tr ln nht nh nht trong gii tích, gii phng trình hay
bt phng trình…



LI KT:
Trên đây là mt vn đ nh v ni dung bài toán cc tr hình hc mà tôi mun đ cp
đn. iu tôi mun làm  đây là mt s phng pháp tìm li gii cho bài toán, qua đó xây dng
các bài toán mi. T đó giúp các em hc sinh hiu sâu, hiu rõ vn đ và thy rng vic gii các
bài toán nh trên nh nhàng hn rt nhiu.
Qua đúc rút nhng kinh nghim trong ging dy các đi tng hc sinh, tôi đã áp dng và
đánh giá là hc sinh đã tip nhn nhng kin thc trên và đt kt qu nht đnh. Tuy nhiên cng
không tránh khi nhng sai sót, hn ch. Tôi rt mong nhn nhng đóng góp ca t chuyên môn,
các bn đng nghip và c các em hc sinh. Xin cm n mi ý kin phê bình và đóng góp.
Tôi s vn tip tc hoàn thin vn đ và s có thêm nhng ý tng mi.

ánh giá ca t chuyên môn Lào Cai, ngày 20 tháng 4 nm 2011
Ngi thc hin

Nguyn Th Ngc Minh