Tổng hợp lý thuyết trọng tâm về cực trị của hàm số

SF

cẦ

`

=

z

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

TONG HOP LY THUYET TRONG TAM VE CUC TRI CUA HAM SO
1. Dinh nghia

Định nghĩa 1. Hàm số ƒ (x) xác định trên tap DCR
* Điểm

xạc D

Xy € (a;b)
*Diém

được gọi là điểm cực đại của hàm số f (x)

(a;b) < D

sao cho

nếu tôn tại một khoảng

(a;b) < D

sao cho

va f (x) < ƒ(x).Vx c (a;b)\ {xy}.

X, € D dugc gọi là điểm cực tiểu của hàm số f (x)

Xạ€ (a;b)

nếu tôn tại một khoảng

va f (x) > ƒ(x).Vx c (a;b)\ {xo}.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
Dinh li 1 (Diéu kién cần ). Nếu hàm số f (x)

dat cuc tri tai diém xạ và hàm số ƒ có đạo hàm tại điểm

xy, thi f'(x))=0.
Tuy nhién ham số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm, chắng hạn với

ham y=|x

, đạt cực trị tạ x=0

nhưng khơng có đạo hàm tại đó.

Định lí 2 (Điều kiện đủ ). Ta có

+) Nếu ƒ'(x)<0,Vxe(ø;x¿) và ƒ '(x) >0, Vx c(x;b) thì hàm số ƒ (x) đạt cực tiểu tại điểm x,.
+) Nếu ƒ'(x)>0,Vxe(ø;x¿)và ƒ'(x)<0,Vxc(x¿:b) thì hàm số ƒ (+) đạt cực đại tại điểm x,.
Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y= ƒ (x) đôi dâu từ âm sang dương khi di qua x,
r

—oo

Lg

0

-

f(x)

20

+

+00

f(z)

+90

Ww

a
YCT

Ta nói, đơ thị hàm số có điểm cực tiểu 1a M (x3 yer).


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

rc

—0o

ro

f'(x)

0

+x

—

UcD
f(x)

a

Nw

—©O

—x

Nếu đạo hàm của hàm số y= ƒ (x) đối dâu từ dương sang âm khi đi qua x,

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M (xạ: y¿p).
Chú ý: Khơng cân xét có hay khơng đạo hàm tại xạ.
Định lí 3. Hàm số y = ƒ (x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa xạ mà ƒ (4) =0 và y= ƒ (x) có dao

hàm cấp hai khác khơng tại xạ. Khi đó,
«Ắ

Nếu ƒ (x4)

«Nếu

>0 thì hàm số y= ƒ (x) đạt cực tiểu tai Xp

ƒ (x,)<0 thì hàm số y= f(x) dat cuc đại tại x„.Từ đây, ta có phương pháp cực trị của

hàm số.

o_

Tính đạo hàm y', tìm những điểm tại đó y'=0 hoặc y° khơng xác định.

o_

Xét dấu y' dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Hoặc xét dấu y'(xạ) ( xạ là nghiệm của y”) đựa vào định lí 3 để kết luận. Hoặc xét dấu y (x„) (xạ là
nghiệm của y') dựa vào định lí 3 để kết luận.

Chú ý: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhát y= “*°”
cx+d

Ta có
;—

qđ—b€

ˆ (cxt+d)
Dâu của đạo hàm khơng phụ thuộc vào x, hay độc lập với x nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn

nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó hàm số ln khơng có cực trị.
3. Bài tốn cực trị với hàm đa thức bậc ba

Cho hàm số bậc ba y= ax` +bx” +cx+đ (#0) có đồ thị là (C).
Ta có yn =3ax” +2bx+e

(a z 0).

Số lượng điểm cực trị.
Hàm sô bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

Trang | 2


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

e

Hàm sơ có cực trỊ <>

phương trình y'=0

có cực đại <> có cực tiêu <> có cả cực đại và cực tiêu <> có hai cực trị <>

có hai nghiệm phân biệt = A >0.

e - Hàm số khơng có cực trị © phương trình y'=0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép © A <0.
Chú ý: Đường thăng đi qua hai điểm cực trị.
Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thăng đi qua hai điểm cực
trị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax` +bx”+cx+d cho y'=3ax?+2bx+c được thương

là q(x) và phần dự là r(x)= mx+n, ta được:
y=y'.q(x)+r(x)
Bước 2: Chứng mình đường thang (d): y = r(x)= mx+n là đường thắng đi qua hai điểm cực trị.
Giá sử M (x,:y,), N(3;;y„) trong dé x,,x, là hai nghiệm của phương trình

y'=0 nên y'(x)= y'()=0.

Khi đó vì M.N thuộc (C) nên
» =y).4(x)+r(x)=r(x)=—r(x)=mwx +n>—>M e(4).
y; =y,).4(x;)+r(%,)=r(x,)—r(x,)=mx,+n => N €(d).
Tức là (d) là đường thắng đi qua hai điểm cực trị.
4. Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm bậc 4 trùng phuong y= ax*+bx° +c (a#0) c6 y'=4ax’ +2bx=2x(2ax’ +d).
x=0
y=00|

,

b

x“=-—.
2a

Số lượng điểm cực trị.
Hàm số bậc bốn ln có cực trị
e« - Hàm số có ba cực trị
<> _-?

2a

`

e

A

có cả cực đại và cực tiểu <> phương trình y'=0

vụ,
,

A

:

`

Ham s6 cé mot cuc tri <> phuong trinh y'=0

Chi ¥: Khi ham so co ba diém cwc tri A(0;c),B
4

4

°*

.

`

có ba nghiệm phân biệt

A

ia

wa

.

Z

A

oA

A

b

cé mét nghiém duy nhât <> ——— <0.
2a

"an" yị
a
b

|,C| —

"5a" yy | thì:
a
b

`é

MAY

Trang | 3


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

e - B,C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nam trên trục Oy. Do đó tam giác ABC cân tai A.

Ví dụ: Cho hàm số ƒ (x) có bảng biến thiên như sau:

#

|—oœc

—2

f'(x)

+

0
l

Sa

fiz)

2
—

+00

0

+

Sa”

c3

+-oo

—0o

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. x=-3.
B. x=1.
C. x=2.
D. x=-2.

Lời giải
Chọn D

Nhận thây ƒ '(x) đối dau tir dau dương sang dâu âm khi đi qua x=—2 suy ra x=—2 là điểm cực đại của
hàm số.

5. Bài tập

Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số y= ƒ (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên:
x | —z

y

=

—l

0

-

0

-

1

0

IS Z⁄ X z

+x
+
+X

Khang dinh nao sau day 1a dung?
A. Ham số đạt cực đại tại x=0.
B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất băng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng —3.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng —1 va 1.
Lời giải
Chon A

Vì f (x) xdc dinh tai x=0 va fn(x) d6i dau tir duong sang 4m khi đi qua x =0.
Câu 2. Hàm số y= f (x) có đơ thị như hình vẽ. Khăng định nào sau đây đúng?

Trang | 4

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (1;—1).
B. Đơ thị hàm số có điểm cực tiểu là (15-1).
C. Đơ thị hàm số có điểm cực tiểu là (—1;3).
D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (151).
Lời giải
Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đơ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1;-1) và điểm cực đại là (—1;3).
Câu 3. Cho hàm số y= ƒ (x) xác định trên và có bảng xét dâu của đạo hàm như sau.
y'

|

-

0

+

|

-

0

+

Khi đó số điểm cực trị của hàm s6 y= f (x) la

A.
B.
C.
D.
Lời

3.
2.
4.
1.
giải

Chọn A

Do hàm số xác định trên R và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x,: x;: x; nên hàm số y= ƒ (3%)
có ba điểm cực trị.

Mức độ 2
Câu 1. Cho hàm số y= f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

A.2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.

Lời giải
Chọn B

Tập xác định D= R\{x,}.
Theo định lí vê điêu kiện đủ đê hàm sơ có cực trỊ và dựa vào bảng biên thiên ta có các điệm cực trỊ của

hàm sô là: x;; x„; x;.

Câu 2. Cho ham sé y= f(x) lién te trén R vied dao ham /'(x)=

~1)(x-2)

Ma

X—

Ut (x-3)) Hoi ham

sỐ y= ƒ (x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
Lời giải
Chon C

x=l
Ta có #%œ)=0<=

x=2.

x=3

Bảng xét dấu của ƒ '(x) nhu sau:

tl.
f'(2)
Do

f'(x)

1
1+6

2

3
vo

đổi dấu khi x qua 1,3,4

4
c

‘sen

|e

nên hàm số y = f (x) có 3 điểm cực trị.

Trang | 6

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

Câu 3. Cho hàm số y= ƒ (x) xác định trên R và có đơ thị hàm số y= ƒn(+) là đường cong ở hình

bên. Hỏi hàm số y= ƒ (x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Ụ

+

O

\

-

A. 6.
B. 3.
C. 4.
D.5.
Lời giải
Chọn B

Dựa vào đồ thị y= ƒ '(x) ta thấy phương trình ƒ '(x)=0 có 4 nghiệm nhưng giá trị ƒ '(x) chỉ đổi dau 3
lần.
Vậy hàm số y= ƒ (x) có 3 điểm cực trị.
Mức độ 3
Câu 1. Cho hàm số y=f (x)

liên tục trên lR có đạo hàm

ƒ '(x) liên tục trên IR và có bảng xét dấu như

f(z)

x

0

0

l

+

0

tS

r

”

hình vẽ bên

0

+

Hỏi hàm số y= ƒ (x” — 2|¬|) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
A.4.
B.7.
C. 9,
D. 11.
Loi giai

Trang | 7


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

Chon C

Tập xác định của hàm sé: D=R.

* y= h(x)=F
(laf 2h)
y= h()=S (laf ~210) 7-2-2).
lx=l
_

x=-l

x=1

x=2

x=-l

h'(x)=0<

hị =?Ð|=0e

.2

x-1+JÐ

Meakin
I~2I=2

| _ ¡ vg
|p
lx=-I-x3

Ta thấy phương trình »'(x)=0 có 8 nghiệm đơn (I1).
h'(x) khơng tổn tại tại x=0 mà x = 0 thuộc tập xác định đông thời qua đó ¡'(x) đối dau (2).
Từ (1)

va (2) suy ra ham số đã cho có 9 điểm cực trị.

Câu 2. Cho hàm số y= ƒ (x) là một hàm đa thức có bảng xét dấu ƒ '(x) như sau
x

—œ

Z#(xì

1
~

0

1
_

0

+œ
~

Số điểm cực trị của hàm số ø (x) =\f (x7 -l|)
A. 5.
B. 3.
C. 1.
D. 7.
Lời giải
Chon A
Ta có ø (x) =f G

—|x) =f (|x{

-|x{)

dương của hàm số ƒ (x) cộng thêm 1.

. Số điểm cực trị của hàm số f (|)

bằng hai lần số điểm cực trị

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

Xét hàm số h(x)= (~x)>h'(x)=(2x-1)'(x~x)=0ôâ

x-x=-lâ
x

>

-x=1

x=

14/5

Bang xột dau ham s6 h(x) =f (x7 x)
x

(xỡ

1
2

1--/5

#

>

0

+

0

Hm số h(x) =f G —x)

1+-/S

+

3

~

0

+

có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số ø (x) =f (x7 —|x]) = f (|x| -|x\) có 5

điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số ƒ '(x)=(x—2) (x°-4x+3) voi mọi xe l. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m để hàm số y= f(x —10x+m+9)

có 5 điểm cực tri

A. 18.

B. l6.
C. 15.
D. 19.
Lịi giải
Chọn B

x=2

Ta có ƒ'(x)=0 | x=1, x=2 là nghiệm kép nên khi qua giá trị x=2 thi fn(x)
x=3

không bị đổi dấu.

Dat g(x)=
f(x -10x+m+9) khi dd g'(x)= f'(u).(2x-10) voi w= x°-10x+m+9.
2x-10=0
Nên z'(x)=0©

(z

2

10x+zm+9~2)

x -10x+m+9=1
x -10x+m+9=3

x=5
2

=0

os

(x

2

10x+m+9

_

2)

To

0

x’ -10x+m+8=0(1)
x’ -10x+m+6=0(2)

Ham sé y= f (x*-10x+m+9) c6 5 điểm cực trị khi và chỉ khi ø'(x) đổi dấu 5 lần
Hay phương trình (1) và phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 5

Trang |9


¬

on |

Cc

e cờ

:

-

=

À4

:

` Bs

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

——

A,>0
A', >0

\n(5) 20"
p(5)#0
(Với h(x)=x°-10x+m+8

va p(x)=x° -10x+m+6).

17-m>0
19-m>0

<>

—l7+m

<>?m
< l7.

z0

-19+m#0

Vay co 16 gid tri nguyén duong m thỏa mãn.

Mức độ 4
Câu 1. Cho hàm số y= ƒ (x)., hàm số y= f'(x) c6 dé thị như hình bên. Hàm số
:

_

sŒ) =2/| Ssm +
2

:

'h (5sin x—Ú

nN

as

C.
D.

oo

B.

\+©©

VA

A.

Lời giải
Chọn B

12

„

+3

có bao nhiêu điêm cực trỊ trên khoảng

(0;27Z).

Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

vA

vA

Ta có: eo =So0s xf (821)
inx—1
na

“`...

Sos x(Ssin x1),
c...

| cosx=0
=>

r0.

L

2

2

cosx=0

-

2
3SmY-Ì_—
|
2

=

5snx-l

5sinx-l=-6
| Ssinx-1=-2
=

|_
1
| SX =75
=

1

5sinx—-l=—

sinx=+

2
3
.
S5sin x—1 =]
ee
|

2

.
5sinx—-l=2

3
.
3
sin
x =—5

_

-

7
[

cos x = 0

ot
3z
x=—vx=—

2

sInx=—ÌÏ

c

| cosx=0

va

2

2

sin x= ——5c»|*=Z~—arcsin(1= Vx=2Z+arcsin(1~5 (Vi 0sinx=2

L

5 Jt mmm(jJvxer-eeenD]
x=ørcsin|

3
.
sin
x =—

5

L

x=ørcsin|

— |Vx=Z— arcsin| —
3
3

(2)— |Vx=Z—
5

; (2)

arcsin| —
5

Suy ra phương trình ø'(x)=0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x= a là nghiệm kép.

Trang | 11


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

Vậy hàm số y= ø (x) co 7 cuc tri.

Câu 2. Cho hàm số bậc bốn ƒ(+) có bảng biến thiên như sau
#

—œ

ƒ\z)

“

-Ì

+

0

0

J
—œ

—

0

\

1
+

+œ

0

—

7S
—?

—œ

Số điểm cực trị của hàm số g(+) = z7 [ f(x+ DĨ

A. 11.
B. 9.
C.7.
D. 5.
Lời giải
Chọn B

g'œ) =2x[ƒŒx+D[ +42?[ƒ/Gœ+D]./@+Ð=2x[#G+D].[#Œ+D+2x/'@+D|
ø(z+)=0 ta được
+ THỊ:

x=0
xX=a<-2

+ TH2:

ƒ(x+l)=0<>

x=be(-2;-l)
x=cc(-l;0)
x=đ>0

+ TH3:

ƒ(x+l)+2x.ƒ(x+l)=0.

Từ bảng biến thiên ta có hàm s tha man 1a f(x) =5x* +10x? 2

= +l)+2x.q+x+D=0ôâ/(x)= +J)+2(zx+1).'%x+)2%+J)=0
Vi £=x+1 ta có: hŒ)=—5ˆ +10 —2+2/(—20?” +20r)— 2(—20r”+20r)=0

<> -45/° +40” + 50/7” — 40r—2=0
Lập bảng biến thiên ta suy ra có 4 nghiệm

7 => 4 nghiệm

x

Vậy có 9 cực trỊ.

Câu 3. Cho hàm số bậc ba y = ƒ (x) có đồ thị của hàm đạo hàm ƒ '(x) như hình vẽ và ƒ(b)=1.Số giá
trỊ nguyên của me [-5:5] để hàm số ø (x) = if? (x)+4ƒ (x) +n

có đúng 5 điểm cực trị là

Trang | 12


¬

HOC

e cờ

:

-

a

À4

P

) Bs

Vững vàng men tảng, Khai sáng tương lai

——

A. 9.
B.7.
C. 8.
D. 10.
Lời giải
Chon A

Ta có bảng biến thiên của f (x)
+

—œec

£(z)
I(*)

+
_—

“

1É

oOo

o

f(a)

—=

+.

+
a

>>

#(b) =1

Xét hàm số h(x)= # (x)+4ƒ(x)+m
=h{3)= 2f '(x) f (x)+4f'(x)

=> h'(x)=2f'(x)|
f (x)+2|
h'(x)=0=
2f '(x)| f(x)+2]=0

[Ben

Pt có 3 nghiệm phân biệt có

3 điểm cực trị

Xét h(x)=0

> f(x) +4f (x) =-m(2)
Dé g(x)=|h(x)|c6 5 diém cực trị khi và chỉ khi PT (2) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt
Xét hàm số /(x)= ƒ”(x)+4ƒ(x)
Ta có Bảng biến thiên của t(x):

Trang | 13


a

HOC

r=

£(z)

x)

:

cờ

si

-4

Nó

p

+x

À4

++

A,

~~

o

-

mm
_

0

[=
3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

-

.—”

+

TT”

Từ YCBT <>/(x)=—m có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb
<>mc {-5;-4; —3;—2;—];031; 2;3}.

Trang | 14


Vững vàng nên tảng, Khai sáng tương lai

HOC247-

Vững vàng nên tang, Khai sdng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng mỉnh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyén Thi Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%
- _ Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPỀTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiêng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.
- - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TDN-NTH-GĐ)), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng 7S.7Trđn Nam Dũng, 1S. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyên
Đức Tấn.
II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia

- - Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: 7S. Lê Bá Khánh

Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
Ill.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí

HOC247 TV kênh Video bịi giảng miễn phí
- - HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tat cả
các môn học với nội dung bài giảng chỉ tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kénh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa dé thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 15