Các dạng bài tập về cực trị của hàm số

NỘI DUNG
PHẦN: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là
−∞
, b là
+∞
) và
( )
0
;x a b∈
•Nếu tồn tại số h>0 sao cho
( )
( )
0
f x f x<
với mọi
( )
0 0 0
; ,x x h x h x x∈ − + ≠

thì ta nói hàm số
( )
f x
đạt cực đại tại
0
x

•Nếu tồn tại số h>0 sao cho
( )
( )
0
f x f x>
với mọi
( )
0 0 0
; ,x x h x h x x∈ − + ≠

thì ta nói hàm số
( )
f x
đạt cực tiểu tại
0
x
Chú ý : Nếu hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực
tiểu tại x
0
thì
( )
0
' 0f x =
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số
( )

y f x=
liên tục trên khoảng K=(x
0
-h; x
0
+h) và có đạo hàm trên K
hoặc trên
{ }
0
\K x
, với h>0
• Nếu
( )
0
' 0f x >
trên khoảng
( )
0 0
;x h x−
và
( )
0
' 0f x <
trên khoảng
( )
0 0
;x x h+

thì x
0

là một điểm cực đại của hàm số
( )
f x
• Nếu
( )
0
' 0f x <
trên khoảng
( )
0 0
;x h x−
và
( )
0
' 0f x >
trên khoảng
( )
0 0
;x x h+

thì x
0
là một điểm cực tiểu của hàm số
( )
f x
x
0
x h−

0

x

0
x h+

x

0
x h−

0
x

0
x h+
( )
'f x
+
−
( )
'f x

−
+

( )
f x
f
CĐ
( )

f x


CT
f
Định lý 2
Giả sử hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm cấp hai trong khoảng
( )
0 0
;x h x h− +
, với h>0.
Khi đó :
• Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


>



thì x
0
là điểm cực tiểu
Trang 3
• Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


<


thì x
0
là điểm cực đại.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁCH 1: (Áp dụng Định lí 1) Các bước để xác định cực trị của hàm số là:
+ Tìm TXĐ
+ Tính

y'
, giải phương trình
y' 0=
+ Lập bảng xét dấu
y'
+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị để kết luận
CÁCH 2: (Áp dụng định lý 2)
+ Tìm TXĐ
+ Tính
( )
'f x
, giải phương trình
( )
' 0f x =
và kí hiệu
i
x
(i=1,2,….,n) là các
nghiệm của nó.
+ Tính
( )
''f x
và
( )
''
i
f x
+ Dựa vào dấu của
( )
''

i
f x
suy ra tính chất cực trị của
i
x
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số
3 2
1
3 2
3
y x x x= + − +
Lời giải
Tập xác định :
¡
Ta có
2
' 2 3y x x= + −
;
2
1
' 0 2 3 0
3
x
y x x
x
=

= ⇔ + − = ⇔


= −

Bảng biến thiên:
x
−∞
-3 1
+∞
y’ + 0
−
0 +
y 11
+∞

−∞

11
3
Vậy hàm số đạt cực đại tại x= -3 và y
CĐ
=11.
hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y
CT
=
1
3

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số
( )
2
os 3y f x c x= =

Lời giải
TXĐ :
¡
Ta có
( )
2
1 os6x
os 3
2
c
y f x c x
+
= = =
Trang 4

( )
( ) ( )
' 3sin6
' 0 sin6 0 6
6
f x x
k
f x x x k x k
π
π
= −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈¢
( )
( )
'' 18 os6x

-18 khi k=2m
'' 18 osk =
18 khi k=2m+1
6
f x c
k
f c m
π
π
= −

 
= − ∈

 ÷
 

¢
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm
3
m
x
π
=
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
( )
( )
2 1
6
m

x m
π
+
= ∈¢
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
a)
3
y 2x 6x 1= − +
b)
3 2
y x x x 2= − + + −
c)
4 2
y x 2x 1= − + +
d)
4 2
y 2x x 2= + −
Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số
a)
x 2
y
x 1
−
=
+
b)
2
x 3x 2
y

x 3
− +
=
−
c)
2
x 3x
y
x 1
+
=
−
d)
2
y 2x x= −
Bài 4. Tìm cực trị của các hàm số
a)
x x
y sin cos
2 2
= −
b)
2
y 5x 6 x 4= − +
c)
5 3
y 3x 20x 1= − +
d)
( )
2

y 2x 1 9 x
= + −
e)
3
2
x
y
x 6
=
−
f)
( )
3 3
y sin x cos x 0 x 2= + ≤ ≤ π
Trang 5
DẠNG 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠

+
+ Điều kiện để hàm số không có cực trị là phương trình
y' 0=
vô nghiệm.
+ Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là
phương trình
y' 0=
có hai nghiệm phân biệt.
2. Với hàm số:
( )
4 2
y ax bx c a 0= + + ≠
+ Điều kiện để hàm số có đúng 1 cực trị là phương trình
y' 0=
có nghiệm duy nhất.
+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình
y' 0=
có 3 nghiệm phân biệt
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3 2
1
7 1 16
3
y x m x x m= − + + −
. Xác định m để hàm số có cực
đại và cực tiểu.
Lời giải
TXĐ: R

Ta có
( )
2
' 2 7 1 16y x m x= − + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0
( )
2
2 7 1 16 0x m x⇔ − + + =
có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua hai
nghiệm đó
( )
2
7 1 16 0m⇔ ∆ = + − >

2
5
7
49 14 15 0
3
7
−

<

⇔ + − > ⇔


>



m
m m
m

Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
2 2y x mx= + +
. Xác định m để hàm số:
a) Có ba cực trị.
b) Có một cực trị duy nhất.
Lời giải
TXĐ: R
Ta có
( )
3 2
' 4 4 4y x mx x x m
= + = +
Trang 6
a) Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0
( )
2
4 0x x m
⇔ + =
có ba
nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua ba nghiệm đó
2
0x m⇔ + =
có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ <
b) Hàm số có một cực trị duy nhất khi và chỉ khi x

2
+m =0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
0m⇔ ≥

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số
( )
3 2 2 3 2
y x 3mx 3 1 m x m m= − + + − + −
. Chứng minh rằng hàm số
luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Bài 2. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + +
có cực trị.
Bài 3. Tìm m để hàm số
( ) ( )
4 2
y m 1 x 2 m 1 x m 7= − + + + −
chỉ có cực đại mà không
có cực tiểu.
Bài 4. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
y mx m 9 x 10
= + − +
có 3 điểm cực trị.
Bài 5. Tìm m để hàm số

2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
không có cực trị.
Bài 6. Tìm m để hàm số
2 2 2
x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
có cực đại và cực tiểu.
DẠNG 3. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ (HOẶC CỰC ĐẠI,
Trang 7
HOẶC CỰC TIỂU) TẠI X = X
0
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Điều kiện cần: để hàm số y = f(x) đạt cực trị (hoặc cực đại, hoặc cực tiểu) tại x = x
0
là
( )
0
f ' x 0=
. Từ đó tìm được các giá trị của m.
+ Điều kiện đủ: Với m tìm được, sử dụng điều kiện đủ để kết luận các giá trị của m.

A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số
3 2
2 1y x x mx= − + +
đạt cực
tiểu tại x =1.
Lời giải
Ta có
2
' 3 4 .y x x m= − +
Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì y’(1)=0, suy ra m=1.
Với m=1 thì
3 2 2
2 1, ' 3 4 1, '' 6 4y x x x y x x y x= − + + = − + = −
Mà y’(1) =0 và
( )
'' 1 2 0y = >
nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1
Vậy m=1 là giá trị cần tìm
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
1
y x m m 2 x 3m 1 x m 5
3
= + − + + + + −
đạt cực trị tại
x = 2.
Bài 2. Cho hàm số

( )
3
3
y x m 3x m= − − +
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0.
Bài 3. Tìm m để hàm số
3 2
y mx 3x 5x 2= + + +
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 4. Xác định m để hàm số
2
x mx 1
y
x m
+ +
=
+
đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 5. Tìm các số thực m, n sao cho hàm số
( )
n
f x mx
x 1
= +
+
đạt cực đại tại điểm
x = -2 và f(-2) = -2
DẠNG 4. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM
SỐ

Trang 8
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
+ Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là
phương trình
y' 0=
có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x
1
, x
2
.
+ Khi đó các điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình
y' 0=
.
Chú ý: Ta thường áp dụng hệ thức Viet để tìm
1 2
1 2
S x x

P x .x
= +


=

( từ pt y’=0)
2. Với hàm số:
( )
4 2
y ax bx c a 0= + + ≠
+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình
y' 0=
có 3 nghiệm phân biệt
+ Khi đó điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình
y' 0=
.
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
3 2
3( 1) 9y x m x x m= − + + −
, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,x x
sao cho

1 2
2x x− ≤
.
Lời giải.
Ta có
2
' 3 6( 1) 9.y x m x= − + +
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx

⇔
phương trình
0'=y
có hai nghiệm phân biệt là
1 2
,x x

⇔

2
2( 1) 3 0x m x− + + =
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.
2
1 3
' ( 1) 3 0
1 3

m
m
m

> − +
⇔ ∆ = + − > ⇔

< − −



)1(
+) Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
=+=+ xxmxx

Khi đó
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4x x x x x x m− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤

2
( 1) 4 3 1 (2)m m⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
3 1 3m− ≤ < − −
và
1 3 1.m− + < ≤
Ví dụ 2: ĐỀ THI THỬ LẦN 1-2011- TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM

Cho hàm số
3 2
3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x
= − + + + −
(1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= - 1
Trang 9
2)Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua điểm I ( 0; 4)
Lời giải
2.Hàm số có CĐ, CT
⇔
pt
2
' 3 6( 1) 6 3 0y x m x m= − + + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
1, 2 1x x m= = +
với mọi m
Hai điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I (0 ,4) điều kiện cần
là
1 2
0 2 2 0 1
2
x x
m m
+
= ⇔ + = ⇔ = −

Điều kiện đủ : m=-1 hàm số khảo sát ở câu a có 2 điểm CĐ (-1 ;-2 ) CT(1;-6) đối

xứng qua điểm I (0 ;-4 )
Vậy m =-1 là giá trị cần tìm
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2 2
y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1= + − + − + − +
. Tìm m để hàm
số đạt cực trị tại 2 điểm
1 2
x ,x
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
x x
x x 2
+ = +
.
Bài 2. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2
y x cos 3sin x 8 1 cos2 x 1
3
= + α − α − + α +
. Chứng minh
rằng hàm số luôn có 2 cực trị. Giả sử hàm số đạt cực trị tại

1 2
x ,x
, chứng minh rằng:
2 2
1 2
x x 18+ ≤
.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
y x 3mx 1= + +
. Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm số
khi m thay đổi.
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + +
có cực đại,
cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Bài 5. Cho hàm số
2 2
x 2x m 2
y
x 1
+ + +
=
+
. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực
đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối
với trục hoành.
Bài 6. Cho hàm số

( )
( )
2 3 2
m 1 x 2mx m m 2
y
x m
+ − − − −
=
−
, với m là tham số khác -1.
Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng
( )
0;2
.
Bài 7. Cho hàm số
( )
3 2 2
1 1 3
1
3 2 4
y x mx m x= + + −
Trang 10
a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b, Gọi x
1
, x
2
là các điểm cực đại, cực tiểu. Tìm m để
2 2
1 2 1 2

x x x x+ = +
DẠNG 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
Trang 11
 Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu)
là phương trình
y' 0=
có hai nghiệm phân biệt.
 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( ) ( )
1 1 2 2
A x ;y và B x ;y
, trong đó
1 2
x ;x
là

các nghiệm của phương trình
y' 0=
.
Chú ý: Kĩ năng tính tung độ của các điểm cực trị khi hoành độ các điểm cực trị
không đẹp ( x
1
, x
2
vô tỷ).
a) Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠

• Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được y=y’.p(x)+r(x)
• Do tại các điểm cực trị thì y’=0 nên
( )
( )
1 1
2 2
y r x
y r x
=


=


• Hệ quả : đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương
trình là: y=r(x) hay

2
3 3 9
b bc
y c x d
a a
   
= − + −
 ÷  ÷
   
b) Với hàm số:
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
Ta có bổ đề sau:
Nếu
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=
và có
( )
( )

0
0
' 0
0
y x
v x

=


≠


thì
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0 0
'
'
u x u x
y x
v x v x
= =
Thật vậy:

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0
2
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
' . . '
' 0 0
' . . ' 0 ' . . '
' '
' '
u x v x u x v x
y x
v x
u x v x u x v x u x v x u x v x
u x u x u x
y x

v x v x v x
−
= ⇔ =
⇔ − = ⇔ =
⇔ = ⇔ =
Coi u(x)= ax
2
+ bx + c và v(x)= dx + e
Áp dụng với hàm số trên tại các điểm cực trị A, B thì

( )
( )
1
2
' 0
' 0
y x
y x
=


=


nên
( )
( )
( )
( )
( )

( )
1
1
1
1
2
2
2
2
'
2 .
'
'
2 .
'
u x
a x b
y x
v x d
u x
a x b
y x
v x d

+
= =



+


= =


Trang 12
Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu là

( )
( )
'
2
'
u x
a b
y x
v x d d
= = +
2. Với hàm số:
( )
4 2
y ax bx c a 0= + + ≠
+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình
y' 0=
có 3 nghiệm phân biệt
+ Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
A 0;c ; B x ;y và C x ;y
, trong đó 0 và
1 2

x ;x
là các nghiệm của phương trình
y' 0=
.
+ Chú ý: Ta luôn xác định được cụ thể các điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai
điểm cực trị nhỏ nhất.
Lời giải.
2. Giải phần a ta đã tìm được các điểm cực trị
Gọi điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)
Xét biểu thức P=3x-y-2
Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P= - 4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0
Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để
MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB: y = - 2x+2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
3 2
5
2 2 2
5
x
y x

y x
y

=

= −


⇔
 
= − +


=


=>
4 2
;
5 5
M
 
 ÷
 
Ví dụ 2 Cho hàm số
4 2 2
2 1 (1)y x m x= − +
( với m là tham số)
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân
Lời giải

TXĐ D=R
Trang 13
4 2 2 3 2
2 1 ' 4 4
0
' 0
y x m x y x m x
x
y
x m
= − + ⇒ = −
=

= ⇔

= ±

Để hàm số có ba cực trị
0m⇔ ≠
Giả sử ba điểm cực trị là
( )
( ) ( )
2 2
0;1 , ;1 , ;1A B m m C m m
− − −
Ta có
( ) ( )
4 4
; , ; à ABAB m m AC m m v AC= − = − − =
uuur uuur

Do vậy tam giác ABC vuông cân
2 8 6
0 0
. 0 1
0 1
m m
AB AC m
m m m
≠ ≠
 
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = ±
 
− + = =
 
uuur uuur
Vậy với m=
±
1 thì 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân
Ví dụ 3 Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m
thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng
d: x + 8y – 74 = 0.
Lời giải
Ta có y’ = - 3x
2
+ 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ m ≠ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3
(2 ;4 )AB m m=
uuur
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
(8; 1)u = −
r
.
Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d
⇔
I d
AB d
∈


⊥

⇔
3
8(2 3 1) 74 0
. 0
m m m

AB u

+ − − − =


=


uuur r
⇔ m = 2
Ví dụ 4. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
Trang 14
2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ
thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị
hàm số đến gốc tọa độ O.
Lời giải
2. Ta có
, 2 2
3 6 3( 1)y x mx m= − + −
Để hàm số có cực trị thì PT
,
0y =
có 2 nghiệm phân biệt

2 2
2 1 0x mx m⇔ − + − =
có 2 nhiệm phân biệt

1 0, m⇔ ∆ = > ∀

Khi đó y’=0 có hai nghiệm là
1 2
1, 1x m x m= − = +
Bảng biến thiên
x
−∞
m-1 m+1
+∞
y’ + 0
−
0 +
y 2-2m
+∞
−∞
-2-2m
Gọi điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số là B(m+1;-2-2m)
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m

m

= − +
= ⇔ + + = ⇔

= − −


Vậy có 2 giá trị của m là
3 2 2m = − −
và
3 2 2m = − +
.
Ví dụ 5 – ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2009-2010
Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
3x 3 1 1 3 1y f x x m x m= = − + − + +
Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua
hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x+y=0 một góc có
số đo 30
0
.
Lời giải
Ta có
( )
2
' 3x 6x+3 1-my = −
Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔

phương trình
( )
2
3x 6x+3 1-m 0− =
có hai nghiệm
phân biệt
0m⇔ >
Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:
Trang 15

( )
2
1
3 6 3 1 . 2 2 2
3
x
y x x m mx m
−
 
= − + − − + +
 
Tại các điểm cực đại, cực tiểu thì y’=0 nên phương trình đường thẳng đi qua điểm
cực đại và cực tiểu là y=-2mx+2m+2
Đường thẳng đi qua điểm CĐ và điểm CT tạo với đường thẳng x+y=0 một góc 30
0

0
2
2
2 1

3
os30
2
4 1. 2
4 8 1 0
m
c
m
m m
+
⇔ = =
+
⇔ − + =

2 3
2
2 3
2
m
m

−
=


⇔

+
=



thoả mãn điều kiện
Kết luận:
2 3
2
2 3
2
m
m

−
=



+
=


là giá trị cần tìm
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
2
3 3 1
1
x m x m
y
x
− + + +
=

−
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm
phía dưới trục hoành
Lời giải
TXĐ :
{ }
\ 1D = ¡
( )
( )
2
2
2
3 3 1
2 2 2
'
1
1
x m x m
x x m
y y
x
x
− + + +
− − +
= ⇒ =
−
−
Hàm số có cực đại, cực tiểu
' 0⇔ =y
có hai nghiệm phân biệt

2
2. 2 2 0⇔ − − + =x x m
(1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
,
1≠

1
2
m⇔ >
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
A x ;y ;B x ;y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Áp dụng bổ đề trên ta có
( ) ( )
1 1 2 2
y 2x m 3 ; y 2x m 3= − + = − +
Mà x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình (1)
Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (1) ta có
1 2
1 2
x x 2

x x 2m 2
+ =


= − +

Do đó
1 2
2
1 2
y y 2m 2
y y m 6m 5
+ = − −


= − +

Yêu cầu bài toán
1 1 2
2
2 1 2
2m 2 0
y 0 y y 0
y 0 y y 0
m 6m 5 0
− − <
< + <

 
⇔ ⇔ ⇔

  
< >
− + >
 

Trang 16
Kết hợp điều kiện
1
2
>m
ta được
1
m 1
2
m 5

< <


>

Vậy
1
m 1
2
< <
hoặc m>5 thỏa mãn đề bài
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số: 1, y=
3 2

3 2x x mx− − +
2, y=x
3
+mx
2
-1
a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.
Bài 2: Cho hàm số
( )
2 2
x mx m
y f x
x m
− + −
= =
−
a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho
3 2
y x mx 4= − + −
. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số và M(1;
10) thẳng hàng.
Bài 4. Cho
3 2
y x 3x 6x 8= − − +
, viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
Bài 5. Cho hàm số

( ) ( )
3 2
1
y x m 1 x 4m 1 x 1
3
= − + + + −
. Tìm m để hàm số có 2 cực
trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 3
3 1
y x mx m
2 2
= − +
có 2 điểm cực trị đối xứng
nhau qua d: y = x.
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
= − − + +
luôn có cực
đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ
thị hàm số trên nhỏ nhất.
Bài 8. Cho hàm số
3 2
y x 6x 3mx m 2= − + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại
1 1

A(x ,y )
và cực tiểu tại
( )
2 2
B x ,y
sao cho
( ) ( )
1 2
1 2 1 2
y y
0
x x x x 2
−
<
− +
.
Bài 9. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
y 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1= + − + − −
. Tìm m để đường thẳng đi
qua 2 điểm cực trị song song với đường thẳng
y 4x 2010= − +
.
Trang 17
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
y x 2mx 2m 4= − + +
có các điểm cực đại, cực
tiểu lập thành tam giác đều.

Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
1
y x 2mx m
4
= − +
có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực
trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng
32 2
.
Bài 12. Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m – 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 1.
Bài 13. Cho hàm số
4 2
1
y x mx 2m 1
4
= − + −
. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Viết phương trình Parabol (P) đi qua 3 điểm cực trị đó. Chứng minh rằng (P) luôn đi
qua 2 điểm cố định.
Bài 14. Cho hàm số
2
x mx m
y

x 1
− +
=
−
. Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có
cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi.
Bài 15. Cho hàm số
( )
2 2
x m 1 x m 4m 2
y
x 1
− + − + −
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham
số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 16. Cho hàm số
2
x 2mx 2
y
x 1
+ +
=
+
.Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm
cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng
x y 2 0+ + =

bằng nhau.
Bài 17. Cho hàm số
( )
2
3 1 4
2 1
x m x m
y
x
− + +
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
x y 1 0+ + =
.
Bài 18. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + −
. Tìm m để hàm số có cực
trị. Tìm điểm cố định của đường thẳng đi qua các điểm cực trị
Bài 19. Cho hàm số
( )
2 2 3
1 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=

+
.
Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và một điểm
cực trị thuộc góc phần tư thứ IV.
Bài 20. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m= + − + −
và B(0;-1). Gọi M
1
, M
2
là hai
điểm cực trị của hàm số, tìm m để M
1
, M
2
và B thẳng hàng.
Trang 18
Bài 21. Cho hàm số
( )
3 2
3 1 1y x x m m x= + + + +
. Tìm m để đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị nằm về hai phía của Oy.
Bài 22. Cho hàm số
2
1
x x m
y

x
− +
=
−
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai
điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Bài 23. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 2
3
y x mx m x m= − + − − +
. Tìm m để hàm số có hai cực
trị dương.
Bài 24. Gọi (Cm) là đồ thị hàm số
( )
1
*y mx
x
= +
Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm
cận xiên của (Cm) bằng
1
2
Bài 25. Cho hàm số
2
1x mx
y
x m

+ +
=
+
. Xác định m để hàm số có hai giá trị cực trị trái
dấu.
Bài 26. Cho hàm số
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều trục Oy.
Bài 27. Cho hàm số
( )
( )
2
3 3 1
1
x m x m
y f x
x
− + + +
= =
−
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số cùng
dương.
Bài 28. Cho hàm số
( )
( )
2
3 2 4
1

x m x m
y f x
x
− + + +
= =
−
Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại cực tiểu
của đồ thị nhỏ hơn 3.
Bài 29. Cho hàm số
3 2 3
3 1
.
2 2
y x mx m= − +
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
b, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
c, Xác định m để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số trên tại ba điểm phân biệt A,B,C
sao cho AB=BC.
(ĐH Huế 2001-2002. ĐS b, m=
2±
; c, m=0, m=
2±
)
Bài 30. Cho hàm số y=
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1x m x m m x− + + + +
Trang 19
CMR với mọi m hàm số trên luôn đạt cực trị tại x
1

, x
2
và x
2
-x
1
không phụ thuộc vào
tham số m. (HV Ngân Hàng 2001-2002)
Bài 31. Cho hàm số y=
3 2
3 3x x− +
Viết phương trình đường thẳng mà các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
trên đối xứng với nhau qua đường thẳng đó. (ĐS: x-2y+1=0)
Bài 32. Cho hàm số y=
3 2
1
1
3
x mx x m− − + +
CMR với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu
Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
(HV Quan hệ Quốc tế 2001-2002. ĐS m=0)
Bài 33. Cho hàm số y=
3 2 2
3x x m x m− + +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=
1 5
2 2
x −
(ĐH QGHN 2001-2002. ĐS m=0)

Bài 34. Cho hàm số y=
2
x 2mx 2
x 1
+ +
+
Với m =? thì đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT và khoảng cách từ các điểm đó đến
đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau.
(ĐH SP HN 2001-2002. ĐS m=1/2)
Bài 35. Cho hàm số y=
( )
2
2 4 4 1
1
mx m x m
x
+ − + −
−
Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị trong miền x>0.
(ĐH Đà Lạt 2001-2002. ĐS m<-1)
Bài 36. Cho hàm số y=
2
8
1
x mx m
x
+ − +
−
1. Khảo sát hàm số với m=-1 (C).
2. Viết phương trình parabol đi qua cực đại cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đường

thẳng có phương trình 2x-y-10=0.
3. Trong trường hợp tổng quát hãy xác định m để điểm CĐ, CT của hàm số đã cho ở
về 2 phía của đường thẳng 9x-7y-1=0.
(ĐH AN 1999-2000. ĐS b, y=x
2
-9; c, -3<m<9/7)
Bài 37. Cho hàm số y=
( )
3 2 2
3 2 3 4x mx m m x
− + + − +
\
Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có điểm CĐ, CT ở về hai phiá của trục tung.
(ĐS : -3<m<1)
Trang 20
Bài 38. Cho hàm số
( )
2 2
2 3 4x m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị này trái dấu nhau
(ĐS : m>9/4)
Bài 39. Tìm m để hàm số
2
2x mx m
y

x m
+ −
=
+
có cực trị.
(ĐS : -1<m<0)
Bài 40. Cho hàm số y=
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2x m x m m x m m
− + + + + − +
mTìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua
các điểm cực đại và cực tiểu.
Bài 41. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10= + − +y mx m x
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.
(ĐH Khối
−
B năm 2002)
Bài 42. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số
( )
2
1 1
1

+ + + +
=
+
x m x m
y
x
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
. (ĐH Khối
−
B năm 2005)
Bài 43. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1= − − + − − −y x x m x m
(1), m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
cách đều gốc tọa độ O.
ĐS : b)
1
2
= ±m
.(ĐH Khối
−
B năm 2007)
Bài 44. Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m là tham số)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS:
2
2= − +y x m m
.(ĐH Khối
−
A 2002)
Bài 45. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:
1
= +y mx
x
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)
đến tiệm cận xiên bằng
1
2
.
ĐS: m=1.(ĐH Khối
−
A 2005)
Trang 21
Bài 46. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2

+ + + +
=
+
x m x m m
y
x
(1).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6= − ±m
.(ĐH Khối
−
A năm 2007)


Trang 22