(SKKN mới NHẤT) SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số hệ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG gặp đối với học SINH TRUNG học PHỔ THÔNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THƠNG

MỤC LỤC
1. Mở đầu…..............................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………….
Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………..
Chức
viên
1.3. Đối tượng nghiên cứu,
phạmvụ:
vi đềGiáo
tài………………………………
1.4. Phương pháp nghiên SKKN
cứu…………………………………………….
thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.........................................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………
2.1.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn …………………………………..
2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1…………………………………..
2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 ……………………… …………
2.1.4 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình bậc hai hai ẩn ………………………………………………………

2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ………………………………..
2.1.6 Biểu thức liên hợp……………………………………. ………….
2.1.7. Phương pháp đánh giá .…………………………….
THANH HÓA NĂM 2019 ……………
2.1.8 Phương pháp hàm số …………………………….. ……………..
2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………………….

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
5
5
6
6
0

download by :


2.2.1. Thực trạng vấn đề………………………………………………….

2.2.2. Kết quả của thực trạng……………………………………………
2.3. Giải quyết vấn đề …………………………………………………...
2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc
cụm ẩn…………………………………………………………
2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số …………………………………….
2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp……………………………………….
2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử
2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc
hai……………………………………………………………………….
2.3.6 Phương pháp rút thế ẩn hoặc cụm ẩn hoặc hằng số……………….
2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………… …………
2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số………………………… ………….
2.3.9 Phương pháp đánh giá………………………… ………………….
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……………………………….
3. Kết luận, kiến nghị………………………...........................................
Tài liệu tham khảo….................................................................................
Phụ lục……………………………………………………………………

6
6
6
6
8
9
11
12
13
15
16
16

17
18

1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Chuyên đề hệ phương trình là một phần quan trọng của chương trình Tốn ở
bậc THPT, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học
sinh giỏi các cấp. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều, song phần
lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân
là vì: Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, địi hỏi
người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác
nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện. Thứ hai, sách giáo khoa trình
bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá
1

download by :


nhiều chưa phân loại dựa trên cái gốc của bài tốn nên khi học, học sinh chưa có
sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng qt về hệ phương trình. Thứ ba,
đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài tốn
và tìm ra bài tốn xuất phát, chưa biết được bài tốn trong các đề thi do đâu mà
có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em.
Chính vì vậy bản thân đã chọn đề tài “Phương pháp giải một số hệ phương trình
thường gặp đối với học sinh trung học phổ thơng ” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các cách giải một bài toán về hệ phương trình trong chương trình
tốn bậc THPT. Từ đó tổng hợp thành các phương pháp cần thiết hay được áp
dụng khi giải hệ phương trình.
Tìm ra và tổng hợp được các phương pháp cơ bản được áp dụng để giải hệ

phương trình trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, áp dụng vào giải thành
thạo các bài toán về hệ trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học
sinh giỏi các cấp.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu và giải các bài toán hệ phương trình đại số, hệ phương trình mũ
và lơgarit, hệ phương trình lượng giác.
Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và quốc
tế, các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Các kỉ yếu, hội thảo chuyên đề về
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, của các trường chuyên trên cả nước.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số
liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là
(1)
Trong đó
là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số
đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ thì
được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).
Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó.
2

download by :

2.1.1.2. Phương pháp giải
Phương pháp rút thế.
Phương pháp cộng, trừ đại số.
Phương pháp dùng đồ thị.
Phương pháp dùng định thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

2.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại 1
2.1.2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có
dạng

Trong đó
2.1.2.2. Phương pháp giải

là các đa thức đối xứng với

Đưa hệ phương trình về dạng
Trong đó

Với điều kiện
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

.

2.1.3. Hệ phương trình đối xứng loại 2
2.1.3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có
dạng

Trong đó
là các đa thức khơng đối xứng với

2.1.3.2. Phương pháp giải
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình
Viết phương trình trên về dạng
Suy ra
hoặc
.
Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình

3

download by :


Hoặc

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

2.1.4. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình bậc hai hai ẩn
2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai hai ẩn là hệ phương trình có dạng

2.1.4.2. Phương pháp giải
Từ phương trình bậc nhất của hệ rút một ẩn theo ẩn cịn lại thế vào phương trình
bậc hai.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2.1.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
2.1.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có
dạng

2.1.5.2 Phương pháp giải
Cách 1. Kiểm tra với
có thỏa mãn hệ phương trình khơng, đặt
thế
vào hệ và chia vế cho vế của hệ ta tìm được và từ đó tìm được
.
Cách 2. Khử hệ số hạng chứa
hoặc
ở một phương trình của hệ sau đó rút
thế.
Cách 3. Khử hệ số tự do các phương trình của hệ đưa về dạng
.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

2.1.6. Biểu thức liên hợp
Hai biểu thức
và
Khi đó ta có
Hai biểu thức
và

gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
4

download by :


Khi đó ta có

Hai biểu thức
và
Khi đó ta có
Tổng quát: Hai biểu thức
và
thức liên hợp với nhau.
Khi đó
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
gọi là hai biểu
với

là số tự nhiên.

2.1.7. Phương pháp đánh giá
Một số bất đẳng thức thường sử dụng

với mọi giá trị của , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

với mọi giá trị của
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



với mọi giá trị của
Cho

và

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thì

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Cho
khơng âm thì

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ra khi và chỉ khi

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

với mọi giá trị của

dấu bằng xảy

với mọi giá trị của

Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014). Giải hệ phương trình

2.1.8. Phương pháp hàm số
Tính chất 1. Nếu là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng
thì phương trình
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
5

download by :

Tính chất 2.Nếu
là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng
thì phương trình
tương đương
với mọi
thuộc
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề
Trong q trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ơn thi học sinh giỏi, ôn luyện
thi đại học – cao đẳng , tơi nhận thấy phần hệ phương trình đại số là học sinh
tương đối gặp khó khăn trong cách giải, khơng biết phải sử lý tình huống như
thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết.
2.2.2. Kết quả của thực trạng
Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi
học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới
thì các em sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối
đẹp.
Từ thực trạng và kết quả trên, để cơng việc giải tốn hệ phương trình đại số
của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy
với đề tài :“ Phương pháp giải hệ một số hệ phương trình thường gặp đối với
học sinh trung học phổ thông ”.
2.3. Giải quyết vấn đề
Một bài hệ phương trình có rất nhiều hướng giải nhưng mấu chốt của bài
tốn là tìm hướng biến đổi ban đầu như thế nào. Đó là điều quan trọng nhất và
nó quyết định cơng việc giải tiếp theo, giống như mở một sợ dây mà tìm được
nốt thắt. Do đó để giải thành cơng một bài hệ phương trình tác giả đã đưa ra một

số phương pháp cơ bản trong quá trình giải hệ.
2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc cụm
ẩn
Ví dụ 2.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2009). Giải hệ phương trình

Lời giải. Với

thì hệ trở thành

Hệ trên vơ nghiệm.
Với
thì hệ trở thành

6

download by :


Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau

Đặt
(*)
Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau

Từ phương trình thứ nhất ta có

thế vào phương trình thứ hai ta có

Giải phương trình trên ta có
hoặc

Với
thì
theo cách đặt (*) ta có

.

Hay

Hệ phương trình trên tương đương với hệ

Ta thấy hệ phương trình trên vơ nghiệm.
Với
thì
theo cách đặt (*) ta có

7

download by :


Hệ trên tương đương với hệ phương trình sau

Giải hệ trên ta được

và

hoặc

và

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

và

.

Nhận xét. Ta thấy nhờ chia vế của mỗi phương trình cho ẩn, mà ta có thể đưa
một hệ phương trình phức tạp thành một hệ phương trình đơn giản, cho lời giải
nhanh chóng, bài tốn được giải quyết. So với giải bằng cách thông thường rút
thế ẩn hoặc ẩn từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai được
một phương trình bậc bốn phức tạp thậm trí khơng giải được.
2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số
Ví dụ 2.3.2 (đề thi chuyên Lam Sơn, năm 2006). Giải hệ phương trình

Lời giải. Trừ vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được
Phương trình trên tương đương với
Giải phương trình trên ta được
Hệ đã cho tương đương với hai hệ

hoặc
(I)

Hoặc

(II)

Ta có (I) tương đương với hệ

Giải hệ trên ta được
và

Ta có (II) tương đương với hệ

hoặc

và

8

download by :


Từ phương trình thứ nhất ta có

Thế vào phương trình thứ hai ta được

Phương trình vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
và
Nhận xét. Nhờ trừ vế mà ta thu được mối quan hệ giữa các ẩn, nên có thể giải
quyết được bài tốn một cách ngắn gọn. So với cách giải thơng thường rút ẩn
từ phương trình thứ hai thế vào phương trình thứ nhất rất phức tạp, khó khăn
trong q trình biến đổi.
2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp.
Ví dụ 2.3.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2014). Giải hệ phương trình
(

)

Lời giải. Điều kiện

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình
Hay

Do

Nên phương trình trên trở thành
hoặc
Với
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
Với
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
(1)
Giải phương trình (1).
Điều kiện
9

download by :


Ta có phương trình

tương đương với phương trình

Hay

Suy ra

.

Khi đó giải phương trình trên ta có

Kết hợp với điều kiện ta có

hoặc
suy ra

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

và

Ví dụ 2.3.3.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2018).
Giải hệ phương trình

Lời giải. Điều kiện

Nhận thấy nếu
thì từ phương trình thứ nhất suy ra
Thay
vào phương trình thứ hai ta thấy khơng thỏa mãn.
Vậy với điều kiện
thì ta có
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình
Hay

Suy ra
(1)
Với điều kiện đã cho phương trình thứ hai của hệ tương đương
10

download by :

Xét hàm số

trên nửa khoảng

thì ta có

Ta có

suy ra

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có

Vậy nên ta có

Do đó từ phương trình (1) ta có
được

thế vào phương trình thứ hai của hệ ta

Giải phương trình trên kết hợp với

thì ta có

hoặc

Thử lại điều kiện, ta có hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
và

2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử
Ví dụ 2.3.4 (đề thi Đại học khối A, năm 2011). Giải hệ phương trình

11

download by :


Lời giải. Ta có phương trình thứ hai tương đương với
hay
hoặc
Với xy  1 thì từ phương trình thứ nhất ta có
Giải phương trình này ta được
hay
hoặc
Khi
thì
khi
thì
Với
thì từ phương trình thứ nhất ta có
Hay
Phân tích thành nhân tử ta được
Suy ra
hoặc
xy

1
Với
ta đã xét ở trên.

Với
suy ra
thế vào

.
.

ta được

hoặc
Khi
Khi

thì
thì

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt

2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc
hai
Ví dụ 2.3.5 (đề thi Đại học khối B, năm 2013). Giải hệ phương trình

Lời giải. Điều kiện

Phương trình thứ nhất của hệ có thể viết thành
(1)
Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn cịn ẩn
Giải phương trình này ta được
hoặc
Với

thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

là tham số.

Nhân biểu thức liên hợp ta được
12

download by :


Do

Nên giải phương trình trên ta được
hoặc
Khi
thì
khi
thì
Với
thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Nhân biểu thức liên hợp ta được

Do

Nên phương trình tương đương với
suy ra
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
và
Nhận xét. Nhờ xem phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn
cịn ẩn là tham số thì ta có thể nhanh chóng tìm ta mối quan hệ giữa các ẩn.

Từ đó bài tốn được giải quyết. Nếu khơng dùng phương trình bậc hai thì rất
khó phân tích thành nhân tử và tìm nhân tử chung.
2.3.6 Phương pháp rút thế ẩn hoặc cụm ẩn hoặc hằng số.
Ví dụ 2.3.6.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2008). Giải hệ phương trình

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ sau

Từ phương trình thứ hai, thế vào phương trình thứ nhất ta được

Khai triển và rút gọn ta được phương trình
Giải phương trình trên ta được
hoặc
Với
khơng thỏa mãn hệ phương trình.
Với

thì
13

download by :


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Nhận xét. Nhờ rút cụm ẩn

ở phương trình thứ hai thế vào

phương trình thứ nhất ta được một phương trình bậc bốn ẩn
giải được. Bài
toán đã được giải quyết xong và cho lời giải ngắn gọn.

Ví dụ 2.3.6.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa, năm 2008).
Giải hệ phương trình

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ sau

Thế phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta được phương trình
Phân tích thành phương trình
Giải phương trình trên ta được
Với
Với
Với

hoặc

hoặc

thì phương trình thứ nhất suy ra
thì phương trình thứ nhất suy ra
suy ra

thế vào phương trình thứ nhất ta có

Giải phương trình trên ta được
Khi
thì
, khi
thì
Với

suy ra

Khi đó suy ra

hoặc

thế vào phương trình thứ nhất ta có

Giải phương trình ta được

Khi

hoặc

hoặc
hoặc

thì
14

download by :


Khi

thì

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm phân biệt
và
2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 2.3.7 Giải hệ phương trình

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ

Đặt

Hệ trở thành

Từ phương trình thứ nhất suy ra

thế vào phương trình thứ hai ta được

Giải phương trình trên ta được

hoặc

Với
Với

và
và

suy ra
suy ra

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

và
và
và

Nhận xét. Nhờ đặt ẩn phụ mà ta có thể giải bài tốn này một cách nhanh chóng
so với cách giải thơng thường rút thế sẽ rất khó khăn, vì khi đó phương trình thu
được có nghiệm xấu.
2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số
Ví dụ 2.3.8 (đề thi Đại học khối A, năm 2013). Giải hệ phương trình
15

download by :


(
Lời giải. Điều kiện
Từ phương trình thứ hai ta có
Đặt
thì
Phương trình thứ nhất trở thành
(1)
Xét hàm số
Ta có

)

suy ra

liên tục và xác định trên
với mọi

Nên hàm số
Do đó (1) tương đương với
hai của hệ ta được

đồng biến trên
nghĩa là

thế vào phương trình thứ

(2)
Xét hàm số
trên
Ta có
đúng với mọi
Mà
nên (2) có hai nghiệm phân biệt
hoặc
Với
thì
với
thì
Vậy hệ phương trình có nghiệm hai nghiệm phân biệt
2.3.9 Phương pháp đánh giá
Ví dụ 2.3.9 ([4]). Giải hệ phương trình

và

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta thấy
Nếu
thì
nên phương trình thứ hai vơ nghiệm.

Nếu
thì
nên phương trình thứ hai vơ nghiệm.
Nếu
thì
nên phương trình thứ hai thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Nhận xét. Đây là một bài tốn khó, nếu rút thế theo cách thơng thường sẽ ra
một phương trình bậc chín rất phức tạp, thậm chí khơng giải được, qua sử dụng
16

download by :


kỹ năng đánh giá ta đã giải quyết nhanh chóng được bài toán và cho kết quả rất
ngắn gọn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương
đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài tốn về hệ phương trình đại
số , các em đã thích dần với bài tập giải hệ phương trình đại số, học tập hăng
say và tích cực hơn rất nhiều tạo cho các em một niềm tin khi giải tốn, góp
phần nâng cao kết quả thi đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộ mơn Tốn.
Đề tài đã được các thành viên trong tổ Tốn góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã
được các thầy cô áp dụng rộng rãi với các đối tượng học sinh lớp mình phụ
trách, đem lại hiệu quả rất thiết thực trong giảng dạy bộ mơn Tốn ở Trường
THPT hiện nay.So với cách làm cũ khơng chỉ giải các hệ phương trình bình
thường, khơng giúp cho các em thấy được dạng qn thuộc, những kỷ năng cần
thiết nào . Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì nhìn vào bài
tốn giải hệ phương trình thì các em đã phần nào thấy được cách giải.
Trong năm học 2015 -2016, 2016 -2017, 2017 -2018, 2018-2019 tôi đã

thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp 12A1,12A2 và12C4, 12C6 kết quả cụ
thể như sau:
Loại
Đối tượng
Áp dụng thường xuyên
ở lớp 12 A1
Áp dụng thường xuyên
ở lớp 12 A2
Không áp dụng thường
xuyên ở lớp 12C4
Khơng áp dụng thường
xun ở lớp 12C6

Loại
giỏi

Loại
khá

Loại
trung
bình

Loại yếu

20 %

50 %

30 %

0%

15 %

50 %

30 %

5%

0%

30 %

50 %

20 %

0%

20 %

55 %

25%

3. Kết luận và kiến nghị :
17

download by :


Đề tài đã đưa ra một số phương pháp thường gặp khi giải một bài tốn về
hệ phương trình trong chương trình tốn học THPT qua các kỳ thi học sinh giỏi
cấp tỉnh, Quốc gia và tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Xây dựng và chọn lọc
các ví dụ minh họa sinh động .
Đề tài sẽ góp phần hình thành những kỹ năng giải toán cần thiết cho các học
sinh THPT và là tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi thiết thực đối với các thầy cơ
giáo dạy tốn bậc THPT, để từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập, tạo
niềm tin, khuyến khích sự say mê khám phá vẻ đẹp của Tốn.
Cơng tác nghiên cứu khoa học ở các cấp cần được phát huy hơn nữa, để công
tác dạy và học ngày càng đạt hiệu quả cao. Để có những bài giảng hay ,sáng
kiến đổi mới trong giảng dạy bộ mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học, phù hợp với sự phát triển của Đất nước.
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi về
chun mơn,xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải
xem sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn là cơng việc để trau dồi về chuyên môn, tự
học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ.
Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiện tốt thì
cần có những buổi sinh hoạt, xêmina về tốn học để các em học sinh bày tỏ
quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sai lầm của nhau
thông qua các bài giải
Đề tài chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu xót và để hồn thiện hơn nữa
tác giả rất mong được sự bổ xung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi

viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả

Nguyễn Xuân Dũng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
18

download by :


[1] Phan Đức Chính, Lê Thống Nhất, Đào Tam, Vũ Dương Thụy (1993), Các
bài giảng luyện thi mơn tốn tập hai, nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Phạm Kim Chung, Dương Văn Sơn, Đào Văn Trung (2014), Rèn luyện kỹ
năng và tư duy giải tốn hệ phương trình, nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[3] Đặng Thành Nam (2014), Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, nhà xuất
bản ĐHQG Hà Nội.
[4] Báo toán học và tuổi trẻ.
[5] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học,
Cao đẳng mơn Tốn.
[6]. Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2018 của Bộ GD&ĐT.
[7]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc.
[8]. Nguồn Internet.

PHỤ LỤC

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

Lời giải. Cộng hai vế của hệ phương đã cho ta được phương trình

hay
.
Với
thế vào phương trình thứ nhất của hệ thì ta có
.
19

download by :


Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

.

Lời giải. Hệ phương trình tương đương với

Đặt

Với điều kiện
Hệ phương trình trở thành

Cộng vế hai phương trình của hệ ta được
Giải phương trình trên ta được
hoặc
.
Với
thì
khơng thỏa mãn điều kiện.
Với

thì
theo cách đặt ta có

Giải hệ phương trình trên ta được

hoặc

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

.
và

.

Lời giải. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được
Phương trình trên có thể viết thành
hay
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

20

download by :


Từ phương trình thứ nhất suy ra

thế vào phương trình thư hai ta được

Giải phương trình trên ta được

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

Lời giải. Từ phương trình thứ nhất ta có
ta được
Suy ra
Giải phương trình trên ta được
hoặc
Với
thì
.
Với
thì
.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

Lời giải. Với

thế vào phương trình thứ hai

.

và

.

thì hệ trở thành

Hệ trên vơ nghiệm nên
.
Đặt
thì hệ trở thành

Suy ra
(1)
Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ ta được

21

download by :


Biến đổi phương trình trên ta được phương trình sau
Giải phương trình trên ta được
Với
Khi
Với

hoặc

.

thế vào phương trình thứ nhất của hệ (1) ta được
thì
khi

thì

và

thế vào phương trình thứ nhất của hệ (1) ta được
và

Khi

thì

khi

thì

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

Lời giải. Điều kiện

Phương trình thứ nhất tương đương với phương trình

Hay

Phương trình trên có thể viết thành

22

download by :

hoặc
Do

.
nên ta có

Suy ra phương trình

vơ nghiệm.
Vậy

suy ra

thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Phương trình trên tương đương với phương trình
Nhân biểu thức liên hợp ta được

Phương trình trên tương đương với hai phương trình
hoặc

Do
nên phương trình trên vơ nghiệm.
Với
thì
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

.

Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014). Giải hệ phương trình

Lời giải. Điều kiện

.

Cách 1. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta viết thành
Phương trình trên có thể viết thành
23

download by :


Phương trình xảy ra khi

Suy ra

Thay vào phương trình thứ hai ta được
(1)
Bằng cách nhân liên hợp ta được phương trình (1) tương đương với phương
trình

Hay

Suy ra
hoặc

Do
nên phương trình trên vơ nghiệm.

Với
thì
.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
.
Cách 2. Từ phương trình thứ nhất của hệ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Cộng hai vế với nhau ta được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

24

download by :