hướng dẫn giải một số dạng tích phân thường gặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150.98 KB, 11 trang )
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI
Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương
Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:
( )
1
f x tan x .
2x 1 2x 1
= +
+ + −
( )
1
F x tan x dx.
2x 1 2x 1
= +
÷
+ + −
∫
Xét:
( )
1 2x 1 2x 1
f x tanx tanx
2
2x 1 2x 1
+ − −
= + = +
+ + −
Nên:
( )
1 1
F x tanxdx 2x 1dx 2x 1dx
2 2
= + + − −
∫ ∫ ∫
d(cos x) 1 1
dx 2x 1d(2x 1) 2x 1d(2x 1)
cos x 4 4
= − + + + − − −
∫ ∫ ∫
Vậy:
( )
1
F x ln cos x (2x 1) 2x 1 (2x 1) 2x 1 C
6
= − + + + − − − +
Bài 2: Tính tích phân:
3
1
dx
I
x 1 x 1
=
+ + −
∫
.
Ta có:
3 3 3 3
1 1 1 1
dx x 1 x 1 x 1 x 1
I dx dx dx
2 2 2
x 1 x 1
+ − − + −
= = = −
+ + −
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
3 3
3 3
2 2
1 1
1 1
1 1 1 1
x 1d(x 1) x 1d(x 1) (x 1) (x 1)
2 2 3 3
= + + − − − = + − −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
1 1 4
8 2 2 2 2 0 2 2 .
3 3 3
= − − − = −
Bài 3: Tính tích phân:
1
0
dx
I
x 3 x 1
=
+ + +
∫
.
Ta có:
1 1
0 0
dx x 3 x 1
I
2
x 3 x 1
+ − +
= =
+ + +
∫ ∫
dx
1 1
3 3
3 3
2 2
1 1
0 0
1 1 1 1 2 2
x 3 d(x 3) x 1d(x 1) (x 3) (x 1) 3 3 .
2 2 3 3 3
= + + − + + = + − + = − −
∫ ∫ ∫
Bài 4: Tính tích phân:
1
0
dx
I
1 x x
=
+ +
∫
.
Hồn tồn tương tự ta có:
( )
4
I 2 1 .
3
= −
Bài 5: Tính tích phân:
e
1
2 ln x
I dx
2x
+
=
∫
.
Ta có:
e
e e
3
2
1 1
1
2 ln x 1 1 2 1
I dx 2 ln x d(2 ln x) . (2 ln x) (3 3 2 2).
2x 2 2 3 3
+
= = + + = + = −
∫ ∫
Bài 6: Tính tích phân:
0
1
dx
I .
x 4 x 2
−
=
+ + +
∫
Làm tương tự như bài 1 ta có:
( )
1
I 9 2 2 3 3 .
3
= − −
- 1 -
Baứi 7: Tỡm hoù ngueõn haứm cuỷa:
2
dx
I
x x 1
=
.
Ta cú:
2
2
dx dx
I
1 5
x x 1
(x )
2 4
= =
t:
1
t x dt dx
2
= =
Khi ú:
2 2
dx dt
I
1 5 5
(x ) t
2 4 4
= =
.
Ta li t tip:
2
2
2 2 2
5
t t
5 t udt
4
u t t du 1 dt dt
4
5 5 5
t t t
4 4 4
+
= + = + = =
Nờn:
2
dt du
u
5
t
4
=
Vy:
2 2
du 5 1
I ln u C ln t t C ln x x x 1 C.
u 4 2
= = + = + + = + + +
Baứi 8: Tớnh tớch phaõn:
e
1
1 ln x
I dx
x
+
=
.
Ta cú:
( )
e
e e
3
2
1 1
1
1 ln x 2 2
I dx 1 ln x d(1 ln x) (1 ln x) 2 2 1 .
x 3 3
+
= = + + = + =
Baứi 9: Tớnh tớch phaõn:
1
3 2
0
I x 1 x dx.= +
Ta cú:
1 1 1
3 2 3 2 2 2 2
0 0 0
I x 1 x dx (x x x) 1 x dx x(x 1) 1 x x 1 x dx
= + = + + = + + +
1 1
3 3
2 2 2 2
2 2
0 0
1 1
1 1
3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 0
0 0
x(x 1) x 1 x dx x(x 1) x 1 x dx
1 1 1 2 1 2 2
x(x 1) d(x 1) 1 x d(1 x ) . (x 1) . (x 1) ( 2 1).
2 2 2 5 2 3 5
= + + = + +
= + + + + = + + =
Baứi 10: Tớnh tớch phaõn:
2
2 3
0
I x 1 x dx.= +
Ta cú:
(
)
2
2 2
3
2 3 3 3 3 3
2
0 0
0
1 1 2 2 52
I x 1 x dx 1 x d(1 x ) . (1 x ) 9 1 .
3 3 3 9 9
= + = + + = + = =
Baứi 11: Tớnh tớch phaõn:
1
3 2
0
I x 1 x dx.= +
t:
2
dt
t 1 x dt 2xdx xdx
2
= + = =
i cn:
x 0 t 1
x 1 t 2
= =
= =
( )
( )
2 1 .
15
2
5 3
3 1
2 2
2 2
1 1 1 t t 2
2 2
I t 1 t dt t t dt ( )
5
3
2 2 2
1 1
2
2
1
ữ
ữ
ữ
ữ
= = = =
- 2 -
Loại 2: Dùng Kỹ Thuật Phân Tích (Đổi biến cơ bản)
Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:
( )
10
x
f x .
x 1
=
+
Đặt:
= + ⇔ = + ⇒ =
10 9
10
t 1 x t 1 x dx 10x dt
Khi đó:
( )
10 9 19 9
18 8
10
x (t 1).10t t t
F x dx dt 10 (t t )dt 10 C
t 19 9
x 1
−
= = = − = − +
÷
+
∫ ∫ ∫
Vậy:
( ) ( ) ( )
= + − + +
19 9
10 10
10 10
F x 1 x 1 x C.
19 9
Bài 2: Tìm họ nguên hàm của hàm số:
3
3 2
f (x) x . 1 x= +
Đặt:
( )
2 3
2 3 2
3
2
2
x t 1
t 1 x t 1 x
3t dt
2xdx 3t dt xdx
2
= −
= + ⇔ = + ⇒
= ⇒ =
Khi đó:
( ) ( )
7 4
3
3 2 3 3 6 3
3 3 3 t t
F(x) x . 1 x dx t 1 t dt t t dt C.
2 2 2 7 4
= + = − = − = − +
÷
∫ ∫ ∫
Vậy:
= + − + +
7 4
3 3
3 3
F(x) (1 x) (1 x) C.
14 8
Bài 3: Tính tích phân:
7
3
3
2
0
x
I dx
1 x
=
+
∫
.
Đặt:
( )
2 3 2 2
3
3
t 1 x t 1 x xdx t .dx
2
= + ⇔ = + ⇒ =
Đổi cận:
=
=
⇒
=
=
x 0
t 1
t 2
x 7
Vậy:
( )
2
3 2
2 2
5 2
4
1 1
1
t 1 t
3 3 3 t t 141
I dt (t t)dt
2 t 2 2 5 2 20
−
= = − = − =
÷
∫ ∫
Bài 4: Tính tích phân:
1
4
0
I x . 1 x dx.= −
∫
Đặt:
2
2
x 1 t
t 1 x t 1 x
dx 2tdt
= −
= − ⇔ = − ⇒
= −
Đổi cận:
= =
⇒
= =
x 1 t 0
x 0 t 1
Vậy:
( )
( )
( ) ( )
0 1 1
4 4
2 2 2 2 4 6 8 2
1 0 0
I 1 t t 2tdt 2 1 t t dt 2 1 4t 6t 4t t t dt= − − = − = − + − +
∫ ∫ ∫
( )
1
1
3 5 7 9 11
2 4 6 8 10
0
0
t t t t t 256
2 t 4t 6t 4t t dt 2 4 6 4
3 5 7 9 11 3465
= − + − + = − + − + =
÷
∫
Bài 5: Tính tích phân:
1
0
dx
I .
1 x
=
+
∫
2
t x 2tdt dxĐặt: t = x ⇔ = ⇒ =
Đổi cận:
= =
⇒
= =
x 1 t 1
x 0 t 0
( )
+ −
= = = − = − + = −
+ + +
∫ ∫ ∫
1 1 1
1
0
0 0 0
2t 2(t 1) 2 t
Vây : I dt dt (2 )dt 2x 2ln1 t 2 2lnx.
1 t 1 t 1 t
Bài 6: Tính tích phân:
3
5 2
0
I x . 1 x dx.= +
∫
- 3 -
2 2
2 2 2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2xdx 2tdt hay xdx tdt
= −
= − ⇔ = − ⇒
= − = −
Đổi cận:
=
=
⇒
=
=
t 2
x 3
t 1
x 0
( ) ( )
2
2 2
7 5 3
2
2 4 2
1 1
1
t t t 848
1 t dt 2t t dt 2
7 5 3 105
2 6
Vaäy: I= t t
− = − + = − + =
÷
∫ ∫
Baøi 7: Tính tích phaân:
1
2 2
0
I x 1 x dx.= −
∫
Đặt:
x sin t ; (0 t ) dx cos tdt
2
π
= ≤ ≤ ⇒ =
Đổi cận:
x 1
t
2
x 0
t 0
π
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0
I sin t. 1 sin t.cos tdt sin t. cos t .cos tdt sin t.cos tdt do cos t 0
π π π
= − = = >
∫ ∫ ∫
2 2
2
2
0 0
0
1 1 1 cos 4t 1 1
sin 2tdt dt 1 sin 4t
4 4 2 8 4 16
π π
π
− π
= = = − =
÷
∫ ∫
.
Baøi 8: Tính tích phaân:
2
2 2
0
I x 4 x dx.= −
∫
.
Đặt:
2
dx 2cos tdt
x 2sin t ; (0 t )
4 x 2 cos t 2cos t do 0 t
2
2
=
π
= ≤ ≤ ⇒
π
− = = ≤ ≤
÷
Đổi cận:
x 2
t
2
x 0
t 0
π
=
=
⇒
=
=
Vậy:
2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
I 4sin t.2cos t.2cos tdt 16 sin t.cos tdt 4 sin 2tdt
π π π
= = =
∫ ∫ ∫
( )
2
2
0
0
1
2 1 cos4t d t 2 t sin 4t
4
π
π
= − = − = π
÷
∫
Baøi 9: Tính tích phaân:
1
0
I x 1 x dx.= −
∫
.
Đặt:
2
2
x 1 t
t 1 x t 1 x
dx 2tdt
= −
= − ⇔ = − ⇒
= −
Đổi cận:
= =
⇒
= =
x 1 t 0
x 0 t 1
Vậy:
( )
( )
( ) ( )
0 1 1
2 2 2 2 4
1 0 0
I 1 t 2tdt 2 1 t t dt 2 t t dt= − − = − = +
∫ ∫ ∫
1
3 5
0
t t 4
2
3 5 15
= − =
÷
Baøi 10: Tính tích phaân:
2
2
2
2
0
x
I dx.
1 x
=
−
∫
.
Đặt:
x sin t ; (0 t ) dx cos tdt
2
π
= ≤ ≤ ⇒ =
- 4 -
Đổi cận:
2
t
x
4
2
t 0
x 0
π
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( )
2 2
4 4
0 0
sin t sin t
I .cos tdt .cos tdt do cos t 0
cos t cos t
π π
= = >
∫ ∫
2 2
2
2
0 0
0
1 1 1 cos4t 1 1
sin 2t.dt .dt 1 sin4t
4 4 2 8 4 16
π π
π
− π
= = = − =
÷
∫ ∫
.
Baøi 11: Tính tích phaân:
7
2
dx
I
x 2 1
=
+ +
∫
.
Ta có:
7 7 7
2 2 2
dx x 2 1 x 2 1
I dx dx
x 1
x 2 1 ( x 2 1)( x 2 1)
+ − + −
= = =
+
+ + + + + −
∫ ∫ ∫
7 7 7 7
7
2
2 2 2 2
x 2 dx x 2 x 2 8
dx dx ln x 1 dx ln
x 1 x 1 x 1 x 1 3
+ + +
= − = − + = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt:
2
2
x t 2
t x 2 t x 2
dx 2tdt
= −
= + ⇔ = + ⇒
=
Đổi cận:
x 7 t 3
x 2 t 2
= =
⇒
= =
Vậy: I=
3
7 3 3
2
2 2
2 2 2
2
x 2 8 t 8 1 8 1 t 1 8
.dx ln 2 .dt ln 2 (1 ).dt ln 2 t ln ln
x 1 3 3 3 2 t 1 3
t 1 t 1
+ −
− = − = + − = + −
÷
+ +
− −
∫ ∫ ∫
2 4ln 2 2ln3.= − +
Baøi 12: Tính tích phaân:
2
2
2
2
x 1
I dx.
x. x 1
−
−
+
=
+
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
2 2
x t 1
t x 1 t x 1
dx t.dt t.dt
2x.dx 2t.dt
x
x t 1
= −
= + ⇔ = + ⇒
= ⇔ = =
−
Đổi cận:
t 3
x 2
x 2
t 5
=
= −
⇒
= −
=
Vậy:
( ) ( )
3
3 3
2
2 2
5 5
5
2 3 3 5
t 1 1 t 1 1
I .dt (1 ).dt t ln 3 5 ln
2 t 1 2 2
t 1 t 1
− +
−
= = + = + = − +
÷
+
− −
∫ ∫
.
Baøi 13: Tính tích phaân:
7
3
3
0
x 1
I dx
3x 1
+
=
+
∫
Đặt:
3 2
3
t 3x 1 t 3x 1 t .dt dx= + ⇔ = + ⇒ =
Đổi cận:
7
t 2
x
3
t 1
x 0
=
=
⇒
=
=
Vậy:
2
2 2
3 5 2
2 4
1 1
1
1 t 1 1 1 t t 46
I .t .dt (t t)dt
3 t 3 3 5 2 15
−
= = − = − =
÷
∫ ∫
.
Baøi 14: Tính tích phaân:
1
2
1
dx
I
1 x 1 x
−
=
+ + +
∫
.
- 5 -
Đặt:
( )
2
2
2 2 2
2
t 1
x
2t
t x 1 x t x 1 x t x 1 x
1 1
dx dt
2
2t
−
=
= + + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇒
= +
÷
Đổi cận:
1 1 2
1
1 2
= = +
⇒
= −
= − +
x t
x
t
Vậy
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 t 1 1 dt 1 dt 1 1 1 1
I dt ln 1 t ( )dt
2 t (1 t) 2 (1 t) 2 t (1 t) 2 2 t t(1 t)
+
+ + + +
− +
− + − + − + − +
+
= = + = + + −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 t
ln 1 t ln 1
2 2 t 1 t
+
+
− +
− +
÷
= + + − − =
÷
+
Bài 15: Tính tích phân:
1
3 2
0
I x 1 x dx.= +
∫
Ta có:
1 1
3 2 2 2
0 0
I x 1 x dx x 1 x .xdx.= + = +
∫ ∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x t 1
t 1 x t 1 x
2xdx 2tdt xdx tdt
= −
= + ⇔ = + ⇒
= ⇔ =
Đổi cận:
x 1
t 2
x 0
t 1
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( ) ( )
2
2 2
5 3
2 2 4 2
1 1
1
t t 2
I t 1 t dt t t dt ( 2 1).
5 3 15
= − = − = − = +
÷
∫ ∫
Bài 16: Tính tích phân:
1
2
1
2
I 1 x dx.
−
= −
∫
Đặt:
x sin t dx cos tdt
= ⇒ =
Đổi cận:
x 1
t
2
1
x
t
2
6
π
=
=
⇒
π
= −
= −
Vậy:
1
2 2
2 2
1
2 6 6
I 1 x dx cos t .cos tdt cos tdt do : t ; cos t 0
6 2
π π
π π
− − −
π π
= − = = ∈ − ⇒ >
÷
∫ ∫ ∫
2
2
6
6
1 1 1 3
(1 cos2t)dt t sin 2t
2 2 2 3 8
π
π
π
π
−
−
π
= − = − = +
÷
∫
.
Bài 17: Tính tích phân:
1
mm m
0
dx
I
(1 x ). 1 x
=
+ +
∫
với m là số nguyên dương.
Đặt:
( )
( )
( )
1
m m m
m
m m m
m 1 m 1
m
m 1 m 1
m 1
m 1
m
m
x t 1 x t 1
t 1 x t 1 x
t dt t dt
x dx t dt dx
x
t 1
− −
− −
−
−
= − ⇔ = −
= + ⇔ = + ⇒
= ⇒ = =
−
Đổi cận:
m
x 1
t 2
x 0
t 1
=
=
⇒
=
=
- 6 -
Khi đó:
( )
( ) ( )
m m m
m 1
m 1
m
2 2 2
m
m 1
m 1 m 1
m 1
m 1 m 2 m
1 1 1
m m
t
t 1
t dt
I dt dt
t
t . t 1 t . t 1
−
−
−
− −
+
+
−
= = =
− −
∫ ∫ ∫
m m m
1 m
m
2 2 2
m
m 1 m 1
m 1
1 1 1
m m
m 1
2 m
m
m
1
1
dt dt
t
dt
t
1
1
t 1
t . t 1
t
t
−
− −
+
+
−
÷
= = =
−
−
÷
÷
∫ ∫ ∫
Ta lại đặt tiếp:
m m 1 m 1
1 m.dt du dt
u 1 du
t t m t
+ +
= − ⇒ = ⇔ =
Đổi cận:
m
1
u
t 2
2
t 1
u 0
=
=
⇒
=
=
Vậy:
m
1 m
1
m
2
1 1
1
1 m 1
2
1 m 1
2 2
m
2
m m
m m
m 1
m
1 o o
0
0
1
1
u 1 1 u 1
t
I dt du u du u
1
t m m m
2
m
−
−
−
+
−
÷
÷
= = = = = =
÷
÷
∫ ∫ ∫
Baøi 18: Tính tích phaân:
1
0
x.dx
I
2x 1
=
+
∫
.
Đặt:
2
2
t 1
x
t 2x 1 t 2x 1
2
dx t.dt
−
=
= + ⇔ = + ⇒
=
Đổi cận:
x 1
t 3
x 0
t 1
=
=
⇒
=
=
Vậy:
2
3
3 3
3
2
1 1
1
t 1
1 1 t 1
2
I .tdt (t 1).dt t
t 2 2 3 3
−
= = − = − =
÷
∫ ∫
Baøi 19: Tính tích phaân:
4
2
7
dx
I
x. x 9
=
+
∫
.
Ta coù:
4 4
2 2 2
7 7
dx x.dx
I
x. x 9 x . x 9
= =
+ +
∫ ∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x t 9
t x 9 t x 9
2x.dx 2t.dt x.dx t.dt
= −
= + ⇔ = + ⇒
= ⇔ =
Đổi cận:
x 4
t 5
t 4
x 7
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( ) ( )
5
5 5
2 2
4 4
4
t.dt dt 1 t 3 1 7
I ln ln
6 t 3 6 4
t 9 .t t 9
−
= = = =
+
− −
∫ ∫
Baøi 20: Tính tích phaân:
8
3
3
2
1
I f ( )dx
x
=
∫
bieát
( )
3
2
x
f x
x 1
=
−
.
- 7 -
Ta coù:
8 8 8 8
3 3 3 3
2
2 2 2 2
3 3 3 3
2
2 2 2 2
1
1 x x
x
I f ( )dx dx dx dx
x
1
x 1 x (1 x ) 1 1 x
1
x
−
= = = =
− − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt: Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2xdx 2t.dt xdx t.dt
= −
= − ⇔ = − ⇒
− = ⇔ − =
Đổi cận:
8 1
x t
2 2
1
3
t
x
3
2
= =
⇒
=
=
Vây:
( )
1 1
1
3 3
3
2
2
1
1 1
2
2 2
t.dt dt 1 t 1 1 3
ln ln
2 t 1 2 2
t 1
t t 1
−
= = =
+
−
−
∫ ∫
.
Baøi 21: Tính tích phaân:
2
3
0
x 1
I dx
3x 2
+
=
+
∫
Đặt:
3
3
3
2
t 2
x
t 3x 2 t 3x 2
3
dx t .dx
−
=
= + ⇔ = + ⇒
=
Đổi cận:
3
t 2
x 2
x 0
t 2
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( )
3 3
3
2
2 2
3 5 2
3
2 4
2 2
2
t 1 1 1 t t 84 9 4
.t dt t t .dt
3.t 3 3 5 2 30
+ −
= − = − =
÷
∫ ∫
.
Baøi 22: Tính tích phaân:
2
0
cos x
I dx
7 cos 2x
π
=
+
∫
.
Ta coù:
2 2 2
2 2 2
0 0 0
cos xdx cos xdx 1 cos xdx
I
7 cos 2x 2
8 2sin x 2 sin x
π π π
= = =
+
+ +
∫ ∫ ∫
Đặt:
t sin x dt cos xdx
= ⇒ =
Đổi cận:
t 1
x
2
t 0
x 0
π
=
=
⇒
=
=
Khi đó:
1
2 2
0
1 dt
I
2
2 t
=
−
∫
Ta lại đặt:
2 2 2 2
du 2cos tdt
u sin 2t 0 t
2
2 u 2 2sin t 2 cos t 2cos t
=
π
= ≤ ≤ ⇒
÷
− = − = =
Đổi cận:
x 1
t
6
x 0
t 0
π
=
=
⇒
=
=
Vậy:
6 6
6
0 0
0
1 2cos tdt 1 1
I dt .t
2cos t
2 2 2 6 2
π π
π
π
= = = =
∫ ∫
Baøi 23: Tính tích phaân:
1
3 2
0
I x 1 x dx.= −
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t
t 1 x t 1 x
dx tdt
= −
= − ⇔ = − ⇒
= −
- 8 -
Đổi cận:
= =
⇒
= =
x 1 t 0
x 0 t 1
Vậy:
( )
1
1 1 0 1
3 5
3 2 2 2 2 2 2 4
0 0 1 0
0
t t 2
I x 1 x dx x 1 x .xdx 1 t t dt (t t )dt
3 5 15
= + = + = − − = − = − =
÷
∫ ∫ ∫ ∫
Baøi 24: Tính tích phaân:
( )
a
2 2 2
0
I x a x dx ; a 0= − >
∫
Đặt:
2 2 2 2
du a.cost.dt
u a.sint 0 t
2
a u 2 2sin t a cost a.cost
=
π
= ≤ ≤ ⇒
÷
− = − = =
Đổi cận:
x 1
t
2
x 0
t 0
π
=
=
⇒
=
=
Vậy:
4 4 4 2
2 2 2
2
4 2 2 2
0 0 0
0
a a 1 cos 4t a 1 .a
I a sin t.cos tdt sin 2tdt dt t sin 4t
4 4 2 8 4 16
π π π
π
− π
= = = = − =
÷
∫ ∫ ∫
Baøi 25: Tính tích phaân:
ln 3
x
0
dx
I
e 1
=
+
∫
.
Đặt:
x 2
x
x
x 2
e t 1
t e 1
2tdt 2tdt
e .dx 2tdt
e t 1
= +
= + ⇒
= ⇔ =
+
Đổi cận:
t 2
x lnx
x 0
t 2
=
=
⇒
=
=
Vậy:
2
2 2
2 2
2
2 2
2 dt 1 t 1 3 2 2
.dt 2 2. ln ln
2 t 1 3
t 1 t 1
− +
= = =
+
− −
∫ ∫
Baøi 26: Tính tích phaân:
2
2
2
3
dx
I
x. x 1
=
−
∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x 1 t
t x 1 t x 1
dx tdt
= −
= − ⇔ = − ⇒
=
Đổi cận:
t 1
x 2
1
2
t
x
3
3
=
=
⇒
=
=
Khi đó:
( )
2 1
2
2 2
2 1
3 3
xdx tdt
I
t 1 t
x . x 1
= =
+
−
∫ ∫
Ta lại đặt:
( )
2
t tan u t dt 1 tan u du
2 2
π π
= − < < ⇒ = +
÷
Đổi cận:
t 1
u
4
1
t
u
3
6
π
=
=
⇒
=
π
=
Vậy:
2
4 4
4
2
6
6 6
1 tan u
I du du u
1 tan u 12
π π
π
π
π π
+ π
= = = =
+
∫ ∫
.
Baøi 27: Tính tích phaân:
1
15 8
0
I x 1 3x dx.= +
∫
- 9 -
Đặt:
2
8
8 2 8
7 7
t 1
x
3
t 1 3x t 1 3x
t.dt
24x dx 2t.dt x dx
12
−
=
= + ⇔ = + ⇒
= ⇔ =
Đổi cận:
x 1 t 2
x 0 t 1
= =
⇒
= =
Vậy:
( )
2
2
5 3
4 2
1
1
1 1 t t 29
I t t dt
36 36 5 3 270
= − = − =
÷
∫
Baøi 28: Tính tích phaân:
ln 2
2x
x
0
e
I dx.
e 1
=
+
∫
Đặt:
( )
x 2
x
x 2x x 2
e t 1
t e 1
e dx 2tdt e dx e 2tdt t 1 2tdt
= +
= + ⇒
= ⇔ = = −
Đổi cận:
x ln2 t 3
x 0
t 2
= =
⇒
=
=
Vậy:
( )
3
3
3
2
2
2
t 2 2
I 2 t 1 dt 2 t
3 3
= − = − =
÷
∫
Baøi 29: Tính tích phaân:
1
3
2
0
x dx
I
x x 1
=
+ +
∫
Ta có:
(
)
1 1 1 1 1
3
3 2 4 3 2 3 2
2
0 0 0 0 0
x dx 1
I x x 1 x dx x dx x x 1dx x x 1dx
5
x x 1
= = + − = − + + = − + − +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Đặt:
2 2
2 2 2
x t 1
t x 1 t x 1
xdx tdt
= −
= + ⇔ = + ⇒
=
Đổi cận:
x 1
t 2
x 0
t 1
=
=
⇒
=
=
Vậy:
( )
( )
2
2 2
5 3
2 2 4 2
1 1
1
2 2 1
t t 2 2 2
I t 1 t .dt (t t )dt
5 3 15 15 15
+
= − = − = − = + =
÷
∫ ∫
Baøi 30: Tính tích phaân:
2
3
1
dx
I
x. 1 x
=
+
∫
Đặt:
3 2
3 2 3
2
x 1 t
t 1 x t 1 x
2
x dx tdt
3
+ =
= + ⇔ = + ⇒
=
Đổi cận:
=
=
⇒
=
=
t 3
x 2
x 1
t 2
Vậy:
3
3
2
2
2
2 dt 2 1 t 1 1 3 2 2
I .dt . ln ln
3 3 2 t 1 3 2
t 1
− −
= = =
+
−
∫
Baøi 31: Tính tích phaân:
1
2 3
0
I (1 x ) dx.= −
∫
Ta có:
1 1
2 3 2 2
0 0
I (1 x ) dx 1 x 1 x dx.= − = − −
∫ ∫
Do:
[ ]
2
x 0;1 1 x 0∈ ⇒ − ≥
nên
2 2
1 x 1 x− = −
Đặt:
2 2
1 x 1 sin t cos t cos t
x sin t ; (0 t )
2
dx cos tdt
π
− = − = =
= ≤ ≤ ⇒
=
- 10 -
Đổi cận:
π
=
=
⇒
=
=
x 1
t
2
x 0
t 0
Vậy:
2
2 2 2
4 2
0 0 0
1 cos2t 1
I cos tdt dt (1 2cos2t cos 2t)dt
2 4
π π π
+
= = = + +
÷
∫ ∫ ∫
2
2
0
0
1 3 1 1 3 1 3
( 2cos 2t cos4t)dt ( t sin 2t sin 4t)
4 2 2 4 2 8 16
π
π
π
= + + = + + =
∫
- 11 -
