(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học giải tích phẳng

Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong những năm gần đây, hình học giải tích phẳng ln là một trong
những vấn đề khó đối với học sinh khi tham gia các kỳ thi chọn học sinh giỏi
toán cấp tỉnh; đặc biệt là các vấn đề về cực trị. Việc rèn luyện kĩ năng giải quyết
các bài tốn cực trị cho học sinh có vai trị hết sức quan trọng. Giúp học sinh
phát triển tư duy, tính sáng tạo, hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức đã học
vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc
lập suy nghĩ và biết lựa chọn phương pháp tối ưu.
Trên thực tế, các vấn đề về cực trị đại số hay hình học đều gây cho học
sinh cảm giác khó khăn khi tiếp cận, chính vì vậy khơng ít học sinh khi học các
vấn đề về cực trị hình học lại càng gặp khó khăn hơn trong cách tiếp cận cũng
như giải quyết các vấn đề liên quan. Nhằm đáp ứng yêu cầu thực tiễn, giúp học
sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong việc học hình
học giải tích phẳng đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn
đề tài: Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của tơi là : Đa dạng hóa các loại hình, phương pháp
tiếp cận các bài toán về cực trị trong hình học giải tích phẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu mà tôi hướng đến trong đề tài này là: Học sinh lớp
10, trong đó trực tiếp là hai lớp tôi đang giảng dạy : 10A1 và 10A2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Tôi đã tiến hành lập phiếu thông
tin khảo sát tình hình học sinh về việc giải quyết bài tốn liên quan ở hai lớp tôi
đang trực tiếp giảng dạy là 10A1 và 10A2.
- Phương pháp thu thập thông tin: Tôi đã tiến hành thu thập các thông tin
liên quan đến đề tài thông qua các bài viết trên mạng Internet, SGK hình học 10.
Sau đó chọn lọc thơng tin phù hợp với đề tài của mình. Đồng thời thu thập
thông tin về phản ứng của học sinh đối với các bài toán liên quan.

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tiến hành thống kê các thơng tin,
số liệu để xử lí kết quả thu thập được, phục vụ cho việc phân tích, đánh giá trong
q trình nghiên cứu.

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

1


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
PHẦN 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Phép toán về véctơ và tọa độ trong mặt phẳng.
a. Tọa độ của vectơ và các phép toán: Cho
khi đó:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

.

b. Tọa độ của điểm: Cho A(xA;yA), B(xB;yB), khi đó:
1.

2.

2.1.2. Phương trình đường thẳng:
a. Phương trình tổng quát

.

b. Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng :

:

.
2.1.3. Phương trình đường trịn, elip:
1. Đường trịn:

. Tâm I(a;b), bán kính r.

2. Elip:
a. Phương trình chính tắc:

, (a>b>0).

b. Các yếu tố liên quan:

, c>0.

- Tiêu cự: F1F2=2c. Độ dài trục lớn A1A2=2a . Độ dài trục bé B1B2=2b.
- Hai tiêu điểm

. Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn

đỉnh trên trục bé

,

.

- Bán kính qua tiêu điểm:

. Tâm sai:

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

2


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi tại các lớp: 10A1 và 10A2 là
những lớp năng lực tư duy toán của các em tương đối tốt. Nên đối với các bài
tốn hình học giải tích phẳng thông thường, học sinh vận dụng được. Tuy nhiên,

khi gặp các dạng tốn về cực trị trong khơng gian Oxy thì khả năng giải quyết
cịn rất nhiều hạn chế dẫn đến việc các em khó khăn trong việc giải quyết các
bài tốn có tính mới lạ. Kết quả khảo sát cụ thể như sau:
Khi chưa hướng dẫn cách giải quyết bài tốn liên quan tới
cực trị trong giải tích phẳng
Lớp
Số HS biết cách làm
Số HS không biết cách làm
SL
%
SL
%
10A1 (48 HS)
05
10.4
43
89.6
10A2 (46 HS)
01
2.2
45
97.8
Từ kết quả trên ta thấy, tình trạng học sinh không tự giải quyết được vấn
đề chiếm tỷ lệ rất cao. Nguyên nhân:
Về phía học sinh: Phần lớn học sinh lo lắng và thậm chí là sợ các bài toàn
liện quan đến cực trị, mà cực trị hình học thì học sinh cịn yếu hơn nữa.
Về phía giáo viên: Thời lượng cho chương trình khơng đủ, nên khó bố trí
thời gian một cách linh hoạt cho vấn đề cần giải quyết. Việc đầu tư và thay đổi,
vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học mới chưa áp dụng được một cách
thường xuyên, liên tục.

2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện.
Các tình huống giải tốn đều được thể hiện trong khơng gian Oxy, được
trình bày theo trình tự: Đề bài – Lời giải hoặc hướng dẫn – Lời bình và các bài
tốn tương tự ( Nếu có ).
VD 1. Cho đường thẳng
; hai điểm A(2;1) và B(1;0). Tìm tọa độ
điểm M nằm trên
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
* Lời giải
Xét
; ta có: f(2;1).f(1;0)>0 nên A và B nằm cùng phía
so với .
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua . Tọa độ A’ là nghiệm của hệ:
Suy ra
Dễ thấy:
gia điểm của

và

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là
. Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
Suy ra

.

A
B
M

A’
Chú ý: Trường hợp 2 điểm A;B nằm khác phía so với
M chính là giao điểm của
với đường thằng AB.
Chúng ta xét một số bài toán mở rộng sau đây:

dễ dàng thấy

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

3


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(6;2) và đường thẳng
.Gọi P là giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC biết B là điểm thay
đổi trên tia Ox và C là điểm thay đổi trên d.
Tính P ?
A.
.
B.
.
C.
D.
.
* Lời giải
Gọi
lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox và qua d. Dễ tìm

được
và
, đồng thời ta có
. Do đó
,suy ra

khi

thẳng hàng theo thứ tự. Viết phương trình
thỏa mãn

, từ đó tìm được

thẳng hàng theo thứ tự.Vậy Chọn D

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
và các điểm
Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
đường trịn tâm O đi qua M và có bán kính là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

*Lời giải.
Ta có:
cùng một phía với đường thẳng d.
Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
(không đổi)
đạt giá trị nhỏ nhất là
Đường thẳng qua A và vng góc với d

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

4


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
A

B
M
d
I
A’

Xét hệ
A’ đối xứng với A qua d

là trung điểm của AA’

Xét hệ
VD 2. Cho đường thẳng
; hai điểm A(2;1) và B(1;0). Tìm tọa độ
điểm M nằm trên
sao cho
lớn nhất.
*Lời giải.
Ta có:
, đẳng thức xảy ra khi M,A,B thẳng hàng và M
nằm ngoài đoạn thẳng AB. Do đó M là giao điểm của
với đường thẳng AB
( Do A,B nằm cùng phía so với
nên tồn tại duy nhất điểm M như vậy).
Tọa độ điểm M thõa mãn hệ phương trình:
nên
.
Chúng ta xét bài tốn mở rộng sau đây:
Bài 1. Cho 2 điểm A(2;1) và B(1;2); đường thẳng
Tìm tọa độ
điểm M nằm trên
sao cho
lớn nhất.
*Lời giải.
Bài tốn có nét tương đồng như VD2, tuy nhiên trong trường hợp này, 2

điểm A và B nằm khác phía so với
. Nên phương án giải bài tốn có phần
khác biệt.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua
, ta có
. Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của
với
đường thẳng A’B. Dễ thấy tọa độ

.

VD 3. Cho đường tròn
, các điểm A(0;9); B(-1;6). Tìm tọa độ
điểm M thuộc (C) sao cho P=MA + 3MB đạt GTNN.
*Lời giải.
(C): Tâm O(0;0); bán kính R=3. Điều quan trọng của bài toán là dữ
kiện OA = 9 = 3R. Gọi K(1;0), ta có OM = 3OK. Nên
đồng dạng với
và AO = 3MO. Ta có: MA = 3 MK.
Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

5


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Suy ra:
. Đẳng thức xảy ra khi M thuộc đường
thẳng BC. Vậy M(0;3).

Chúng ta xét bài toán mở rộng sau đây:
Bài 1. Trong mặt phẳng
, cho đường trịn
và hai
điểm
. Điểm
thay đổi trên đường trịn
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
*Lời giải

I
P
N

M

B
A

có tâm

, bán kính

Ta có

nên

Gọi N là giao điểm của IA và

Ta có

,

nằm ngồi đường trịn

.

nằm trên đoạn

sao cho

đồng dạng với

Do đó
Gía trị nhỏ nhất của
trịn
.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ
các điểm

xảy ra khi

là giao điểm của

và đường

, cho đường tròn

và

. Điểm
thuộc
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng

A.

.

B.

. C.

.

D.

.

*Lời giải

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

6


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
B
M

A

J
I

Đường trịn
Do

có tâm

và bán kính

và

Gọi

.

nên hai điểm

là điểm thỏa mãn

nằm ngồi đường trịn

ta có

. Vì

.

nên điểm

nằm trong đường trịn.
Khi đó với mọi điểm

thuộc đường trịn

ta có

.
Vậyvới mọi điểm
thuộc
ta có:
đạt giá trị nhỏ nhất khi ba điểm
giữa và .

thẳng hàng và

Phương trình đường thẳng

và

trình

đi qua hai điểm

. Tọa độ giao điểm của đường thẳng

nghiệm của hệ
Do

hoặc

nằm giữa

Vậy

và

nên hai vectơ

và

nằm

có phương

và đường trịn

là

.
ngược hướng

.

.

VD 4. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường trịn
:
và hai đường thẳng
,
. Tìm
để hai đường thẳng
cắt
tại bốn điểm phân biệt tạo thành tứ giác có diện tích lớn nhất.
A.

. B.

hoặc

. C.

hoặc

.

D.

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

,

.
7


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
*Lời giải

Nhận xét:

,

có tâm
Gọi

,

vng góc với nhau tại gốc tọa độ
, bán kính

,

,

.

.

là các giao điểm của hai đường thẳng

lần lượt là hình chiếu vng góc của

lên

,

,

với

và

,

(hình vẽ).

.
Mà

.

Nên diện tích tư giác

.

lớn nhất khi và chỉ khi

, khi và chỉ khi

.
VD 5. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, Tam giác ABC nhọn có trực tâm là H
và

là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của các tia HB, HC lấy P, Q

sao cho AQHP là hình bình hành. Giả sử
đường thẳng

và đỉnh

, đỉnh A thuộc
tính giá trị

.

*Lời giải.
Phân tích: Vẽ hình theo giả thiết, dự đốn các tính chất đặc biệt để
giải quyết bài tốn.
Phát hiện :
.

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

8


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Đường thẳng AM qua

và có VTCP là

nên :

.
Tọa

độ

thỏa

hệ

:

.
Trung điểm của PQ là
của AH

cũng là trung điểm

.

Đường thẳng BC qua

và vng góc

với AH nên :
Đường thẳng BH qua

.

và nhận

làm VTCP nên :

.
Tọa độ điểm B thỏa :

.

Việc chứng minh
xin được nêu thêm như sau:
Cách 1 :Chứng minh :
.
Gọi E, F là chân đường cao của C, A; N là trung điểm của PQ và I là giao điểm
của AM và PQ.
Ta có :

đồng dạng với
.

Mà

nên :

mà
Cách 2 :Chứng minh :

đồng dạng với
. Suy ra

.

.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên :
Mà

( do AQHP là hình bình hành )

Nên :
Lại có :

đồng dạng với

.

.
Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

9


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Xét

( do

).

.
Suy ra

.

VD 6. Trong mặt phẳng
, cho đường trịn
có phương trình
và đường thẳng
có phương trình
. Gọi
là điểm có khoảng cách lớn nhất tới
,
là điểm có khoảng cách nhỏ
nhất tới
. Tổng khoảng cách đó là:
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
*Lời giải

Ta có
khơng cắt
Gọi

là đường thẳng đi qua

và vng gócvới đường thẳng

. Khi đó

cắt
tại hai điểm M và N thỏa mãn yêu cầu đề bài cho.
Khi đó tổng khoảng cách cần tìm là

VD 7. Cho đường trịn
có phương trình
. Gọi là đường thẳng qua
cắt
tại hai điểm
nhất. Biết phương trình
giản và

có dạng là

và điểm
sao cho
lớn

với điều kiện

là phân số tối

Tính giá trị biểu thức
A.
.
*Lời giải
Ta có:

B.
,

.

C.

.

D.

.

,

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

10


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
. Dấu

xảy ra

vng cân tại đỉnh

Có

Kết hợp điều kiện

thì

VD 8 . Trong mặt phẳng Oxy, Cho tam giác ABC với
nội tiếp đường trịn (C) có tâm I. Từ điểm M trên đường thẳng
vẽ
tiếp tuyến với (C) tại N. Khi tam giác ABN có diện tích lớn nhất thì độ dài IM
ngắn nhất bằng
A.

B.

C.

D.

*Lời giải
Nhận thấy tam giác ABC vng tại C nên đường trịn (C) có tâm
và bán kính

.

Ta có:

nên

.

Do AB là đường kính nên
xảy ra khi ABN vuông cân tại N
Lúc này tiếp tuyến với (C) tại N sẽ song song với
một đoạn R.
Giả
sử
.
Ta

và cách AB
có:

.
Tọa độ M là giao điểm của d với các tiếp tuyến vừa tìm được.
Nên:

.Chọn đáp án B.

VD 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
có phương trình
tại hai điểm phân biệt

cho điểm

và đường tròn

. Đường thẳng cắt đường tròn
sao cho tam giác
đều. Biết rằng phương trình

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

11


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
của đường thẳng có dạng
. Biểu thức
có giá trị lớn
nhấtbằng
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
*Lời giải
B'

B

A
H

I

C

C'

Đường trịn
nên

có tâm

bán kính

. Vì

là trung trực của

hay đường thẳng

nên

là một vec tơ pháp tuyến của

Ta có

và

vng góc với

Áp dụng định lí cơ sin ta có:

.

.
.
.

Gọi

là trung điểm của

Nếu

thì

thẳng d là:
Nếu

Do đó

ta có
nên phương trình của đường

trường hợp này
thì

.

Suy ra

nên phương trình đường thẳng

này
.
Vậy giá trị lớn nhất của

là trung điểm của
là :

.
, trường hợp

.

VD 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
và
. Gọi
là hai điểm lần

lượt di chuyển trên
, di chuyển trên trục hoành. Tổng khoảng cách từ
tới
và
ngắn nhất là:
A.
B.
C.
D.
*Lời giải

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

12


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng

có tâm

bán kính

Gọi

.

có tâm

bán kính

là đường trịn đối xứng với

điểm đối xứng với

qua

qua trục

Khi đó với mọi

.
và

thuộc

là
ta có:

.
Vậy tổng khoảng cách từ
(xem hình vẽ)
Vậy
VD

11.

Trong

và

ngắn nhất khi

với hệ trục
. Lấy
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

mặt

tới

.

phẳng

B.

.

C.

thẳng hàng

Oxy, cho các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
là :
.

D.

.

*Lời giải
Đầu

tiên

hình vng.
Gọi

ta

lần

lượt

phát
hiện
tạo thành một
là

trung

điểm

của

.
Ta có
Do

.
đó
.
Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

13


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Dấu bằng xảy ra khi
lần lượt là trung điểm của
.
VD 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
và các điểm
. Biết
là
điểm trên
bằng:
A.

sao cho

nhỏ nhất, khi đó tổng
B.

C.

*Lời giải
là điểm thỏa mãn

Gọi

D.

(1)

Ta có (1)
Gọi

là điểm thỏa mãn

(2)

Ta có (2)
y

J

5

M

E

2

x

1
3

O

Ta có
vì
, với
khác phía so với
. Khi đó
thẳng hàng và
thuộc đoạn

. Ta có
. Dấu

thuộc đoạn

xảy ra

.

thẳng hàng và
vì

nằm

.

nên

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

14


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
VD 13. Cho hình bình ABCD có A  0;1 ; B  3; 4  Tâm I nằm trên parabol có
2
phương trình y   x  1 0  xI  3 . khi diện tích hình binh hành ABCD đạt giá trị
lớn nhất thì tọa độ C  a, b  , tọa độ D  c, d  , Tính a  b  c  d ?
A. 2 .
B. 1 .
C.1 .
D. 0
*Lời giải

S ABCD  4 S IAB  2.d  I , AB  .AB

Vì AB khơng đổi nên S ABCD lớn nhất khi khoảng cách từ I đến AB lớn nhất.
Phương trình đường thẳng AB là x  y  1  0



Gọi I x;  x  1

2

,

x   x  1  1
2

d  I , AB  

2



 x 2  3x
2



 x 2  3x vì 0  x  3
I
2



đạt được khi x  2 vậy I  2 ; 4 
3 1

3

7 
1

 D  0;   C  3;    a  b  c  d  1
2
2 


VD 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Đường thẳng (d) đi qua M( 3; -2)
cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b) và

sao cho:

nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức

là

A.

B.

đạt giá trị

C.

D.

*Lời giải
Từ giả thiết ta có d:

.Vì M

d nên:

(1)

Theo BĐT Bunhiacopski : 1 =
Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

15


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Hay

≥

đẳng thức xảy ra

Vậy

nhỏ nhất khi

VD 15. Cho đường tròn
và đường thẳng
tiếp xúc với
và

là hai điểm thuộc
sao cho
tính
để tổng các khoảng cách từ
đến là nhỏ nhất.
A.

.

B.
*Lời giải
Ta có:

.

C.

.

D.

tiếp xúc với
khi khoảng cách từ tâm
bằng bán kính
của
.

thẳng

. Giả sử

. Hãy
.

đến đường

. (1)
Vậy khi

thì

tiếp xúc với

Khoảng cách từ

đến

Khoảng cách từ

đến

là

lớn nhất (chú ý khi

Gọi
, cắt

.
lần lượt là các điểm mà
.

ta có:

.

là

Suy ra
nhất khi

Gọi

.

.
. Tổng này nhỏ
thì
hay
cắt

; tiếp xúc với
.

.

.
cắt

tại

nên:

cắt

tại

nên:

.
.

Khi đó:

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

16


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng

VD 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho đường tròn
hai điểm
Giả sử điểm
thuộc
sao cho biểu thức cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
A.

B.

C.

:

D.

*Lời giải
y

M

6
5
4

A
K

I

3
2
1

x
-6

-5

-3

-4

-2

-1

O

1

2

3

4

5

6

-1
-2
-3
-4
-5

B

Ta có
đoạn

có tâm
sao cho

Ta có tam giác

-6

, bán kính

Ta có

, lấy điểm

trong

Khi đó ta có
và

đồng dạng với nhau nên ta có

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

17

Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
Do đó

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng và

nằm giữa

Ta có phương trình đường thẳng

Giải hệ trên và kết hợp với

Vậy

cần tìm là giao của đường thẳng
. Tọa độ điểm

nằm giữa

và

là nghiệm của hệ

ta có

.Suy ra

Vậy

2.4. Hiệu quả thực nghiệm.
* Đối với học sinh: Đa số học sinh nhận biết và nắm được kỹ năng giải quyết
các bài toán liên quan đến cực trị trong hình học giải tích phẳng, khơng cịn lúng
túng khi xử lí dạng bài tốn này.
* Đối với hoạt động dạy và học:
- Việc củng cố kiến thức của bài học có hiệu quả cao hơn, khắc sâu được kiến
thức và kỹ năng giải quyết bài toán liên quan đến cực trị hình học trong giải tích
phẳng cho học sinh.
- Học sinh chủ động tham gia xây dựng bài.
*Đối với bản thân giáo viên : Xây dựng được hệ thống kiến thức bổ trợ cho q
trình ơn thi THPT Quốc gia và thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh các bộ mơn văn
hóa. Có thêm kinh nghiệm giảng dạy, tăng thêm động lực để tạo hứng thú học
tập cho học sinh.
Kết qủa cụ thể qua các lớp tôi trực tiếp giảng dạy như sau:
Khi chưa áp dụng
Sau khi áp dụng
Số HS cịn
Số HS biết
Số HS khơng
Số HS biết
Lớp
lúng túng
cách làm
biết cách làm
cách làm
khi làm bài
SL
%
SL
%

SL
%
SL
%
10A1 (48
05
10.4
43
89.6
32
67
16
33
HS)
10A2 (46
01
2.2
45
97.8
22
48
24
52
HS)
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn trong chương trình phổ thơng, học
hình học đối với học sinh đã là một vấn đề khó khăn, thì việc giải quyết các bài
toán cực trị, đặc biệt là cực trị hình học cịn khó khăn hơn; trong khi đó, các kỳ
Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

18


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
thi THPT Quốc gia cũng như thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn thì vấn đề
này lại khơng thể thiếu đượ. Chính vì vậy, đối với dạng tốn này, địi hỏi giáo
viên phải đầu tư kỹ càng, tập trung nghiên cứu tìm tịi giải pháp để giải đáp các
khúc mắc của học sinh. Tạo cho học sinh sự tự tin trong học tập, từ đó rèn luyện
kỹ năng để giải quyết các bài tốn có liên quan, nhằm giúp các em đạt kết quả
cao nhất trong học tập. Với những kinh nghiệm và giải pháp của bản thân khi
giảng dạy dạng bài tốn này, tơi hy vọng nó sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo
cho các đồng nghiệp để từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn
tốn.
3.2. Kiến nghị.
- Đối với giáo viên: Mỗi đồng chí cán bộ giáo viên khi tham gia giảng
dạy, đặc biệt là giảng dạy bộ mơn tốn cần căn cứ vào nhiệm vụ cụ thể, điều
kiện thực tế của nhà trường và đặc biệt là năng lực thực tế của học sinh để có
những giải pháp hợp lý cho riêng từng phần, nhóm kiến thức giảng dạy. Thường
xuyên trau dồi kiến thức thông qua các hình thức, phương thức khác nhau: Như
sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn, qua mạng xã hội, nguồn tư liệu trên Internet,
qua đó đúc rút kinh nghiệm và có những giải pháp hợp lý trong giảng dạy phù
hợp với từng đối tượng học sinh cụ thể.
- Đối với nhà trường cần trang bị thêm cơ sở vật chất: Máy chiếu, phần
mềm vẽ hình, trọn đề ... Tất cả những điều kiện trên sẽ là một nguồn động viên,
kích thích sự say mê, sáng tạo trong hoạt động dạy và học nhằm nâng cao chất
lượng giảng dạy của mỗi giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam kết : Đây là SKKN
của bản thân tôi, không copy.
(Tác giả ký và ghi rõ họ tên)

Kiều Văn Cường

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục (2000)
2. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội (2003)
3. Các bài viết trên các trang mạng Internet như: Toanmath.com, mathvn.com,
diendantoanhoc.net, toanhocbactrungnam.vn

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

19


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Kiều Văn Cường

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Cẩm Thủy 1

T
T

1.

Kết quả
đánh
giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Cấp đánh giá
xếp loại

Tên đề tài SKKN

Một số phương pháp tìm cơng Ngành GD tỉnh
thức tổng qt của dãy số
Thanh Hóa

C

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

Năm học
đánh giá
xếp loại

2008-2009

20


Phương pháp giải các bài tốn cực trị trong hình học giải tích phẳng
MỤC LỤC
Cấu trúc

Trang

1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG

2

2.1. Cơ sở lí luận

2

2.2. Thực trạng vấn đề

2

2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện

3

2.4. Hiệu quả thực nghiệm

18

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

18

3.1. Kết luận

18

3.2. Kiến nghị

18

Giáo viên: Kiều Văn Cường - Trường THPT Cẩm Thủy 1

download by :

21