cac bai toan cuc tri trong hinh hoc

Lời nói đầu
Lời nói đầu

Chúng tôi nghiên cứu đề tài “Các bài toán cực trị trong hình học thuộc
chương trình PTCS” vì các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học rất đa
dạng, đòi hòi ở học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách hợp lí nhiều
khi rất độc đáo, bất ngờ. Việc giải các bài toán dạng này sẽ đưa người học
xích gần lại với các bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “nhất “
trong những ràng buộc nào đó như nhiều nhất, ít nhất; xa nhất, gần nhất;
dài nhất, ngắn nhất; nhanh nhất, chập nhất…
Thông thường các bài toán dạng này không cho sẵn điều phải chứng minh
mà đòi hỏi học sinh phải tự tìm thấy kết quả của bài toán. Điều đó là không
dễ chút nào đối với các em. ,nhóm nghiên cứu tiểu luận “Các bài toán cực trị
trong hình học thuộc chương trình THCS” là muốn góp phần nhỏ trong việc
khơi dậy sự hứng thú khi học toán và cảm nhận niềm vui khi tự mình giải
được bài toán.
Lần đầu tiên làm tiểu luận khoa học, mặc dù rất cố gắng trong việc
nghiên cứu song khó tránh những thiếu sót. Nhóm biên soạn rất mong đợi
những nhưng xét quí giá, những góp ý chân thành của thầy cô và các bạn.

2
Chương1: Các bài toán cực trị trong hình học phẳng
vàmột số kiến thức để giải.
1. Bài toán cực trị trong hình học phẳng
1.1Thế nào là bài toán cực trị trong hình học?
• Các bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có
chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dài
đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, chu vi, ...) có GTLN hoặc GTNN.
• Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTLN, ta
phải chứng tỏ hai điều:

 Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f
≤
m với m là hằng số.
 Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H )
trên miền D sao cho f = m.

• Khi tìm vị trí của hình ( H ) trên miền D sao cho biểu thức f có GTNN, ta
phải chứng tỏ hai điều:
 Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f
≥
m với m là hằng số.
 Xác định vị trí của hình H ( chỉ cần chứng tỏ tồn tại một hình H )
trên miền D sao cho f = m.
1.2 Các dạng của bài toán cực trị hình học:
• Dạng 1: Bài toán về dựng hình.
Vi dụ: Xác định vị trí của dây đi qua điểm P trong một đường tròn sao
cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
• Dạng 2: Bài toán về chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác lồi nội tiếp cùng một
đường tròn, hình vuông có chu vi lớn nhất.
• Dạng 3: Bài toán về tính toán.
Ví dụ: Cho đường tròn ( O;R ) và điểm P nằm trong đường tròn có OP
= h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
1.3 Phương pháp giải:
• Các bài toán cực trị hình học, lời giải được trình bày theo hai cách sau:
 Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh rằng hình đó có đại lượng
cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác
( bài toán tìm GTLN ) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của mọi
hình khác ( bài toán tìm GTNN ).
 Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác

tương đương (nếu có). Rồi từ đó vận dụng kiến thức:
3
 Tìm GTLN, GTNN của A, với A là đại lượng nào đó
( góc, đoạn thẳng):
o Ta chứng minh được A ≥ m ( m không đổi ).
o Có một hình sao cho A = m.
o Kết luận GTLN của A là m.
o Ta chứng minh được A ≤ n ( n không đổi ).
o Có một hình sao cho A = n.
o Kết luận GTNN của A là n.
 Từ đó xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị.
• Chú ý: Thường giải các bài toán cực trị hình học trình bày theo cách 2.
2. Một số kiến thức cơ bản thường dùng để giải bài toán cực trị
trong hình học phẳng:
2.1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:
• Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
• Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
• Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh thứ
ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện
cũng lớn hơn và ngược lại.
2.2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình
chiếu:
• Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một
đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
• Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến
đường thẳng đó:
 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
 Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và
ngược lại.

2.3.Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác:
• Trong một tam giác, tổng dộ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ
dài cạnh còn lại.
• Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ
dài cạnh còn lại.
• Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ
hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lai.
2.4. Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc:
• Trong các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối hai điểm đó là ngắn
nhất.
4
2.5.Các bất đẳng thức trong đường tròn:
• Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
• Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng
cách đến tâm nhỏ hơn.
• Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc
ở tâm lớn hơn.
• Trong hai cung lớn của một đương tròn, cung lớn hơn khi va chỉ khi dây
2.6.Một số bất đẳng thức đại số:
•
2
x o≥
.
•
2
0x− ≤
.
•
2
( ) 4x y xy+ ≥

dấu “ = “ xảy ra
⇔
x y=
.
Suy ra, nếu x + y là hằng số thì xy lớn nhất
⇔
x y=
,
nếu xy là hằng số thì x + y nhỏ nhất
⇔
x y=
.
• Bất đẳng thức Côsi với hai số không âm:
2
a b
ab
+
≥
.
5
Chương 2: Các bài toán minh họa
Việc mở rộng hay khai thác một bài toán sau khi tìm ra lời giải sẽ có nhiều điều
lí thú trong quá trình dạy và học toán. Chúng tôi xin được trao đổi vấn đề này
cùng bạn đọc
2.1 Các bài toán về dựng hình
2.1.1 Bài toán 1:
Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B ( hình1 ).
Hãy tìm trên bờ sông một vị trí C để con đường bạn Tú đi là ngắn nhất.
Hình 1
Lời giải:

Gọi
'
A
là điểm đối xứng của A qua d,
'
A
luôn xác định được và
'
A
la điểm cố
định.
Xét 3 điểm C,A’, B ta có:
' '
CA CB A B+ ≥
Mà CA = CA’ (tính chất đối xứng trục).
Do đó
'
CA CB A B+ ≥
.
Dấu “=” xảy ra
⇔
C là giao điểm của d và A’B.
Khai thác:
Nhận xét 1: Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai điểm A, B nằm về hai phía của
đường thẳng d thì bài toán sẽ như thế nào? Từ đó ta sẽ được bài toán mới
là:”Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không cách đều d.
Xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho AM + MB là ngắn nhất”.
Hướng dẫn:
Điểm M phải là giao điểm của
đường thẳng d và đường thẳng AB,

vì khi đó ta có AC + BD = AB.
Còn trên đường thẳng d nếu dựng
một điểm N khác M thì theo
6
bất đẳng thức tam giác, ta có:
AN BN
+
> AB.
Nhận xét 2:
Nếu ta thay đổi yêu cầu bài toán thành tính GTLN thì bài toán sẽ như thế nào?
Như vậy ta lại được một bài toán mới:
• Bài 1:Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d và không
cách đều d. xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho
MA MB−
có
GTLN.
• Bài 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nữa mặt
phẳng có bờ là d và AB không song song với d. Xác định điểm M thuộc d
sao cho
MA MB−
có GTLN.
Nhận xét chung:
Có thể tổng quát bài toán này thành hai loại:
• Xác định điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất, trong đó A, B cùng phía
hoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước.
• Xác định điểm M sao cho
MA MB−
lớn nhất, trong đó A, B cùng phía
hoặc khác phía đối với đường thẳng d cho trước.
2.1.2 Bài toán 2:

Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm
C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
(1)
(Bài 72/67 SBT lớp 8 tập 1 năm 2005 ).
Lời giải:
Cách dựng:
 Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox.
 Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy.
 Ox, Oy cắt đoạn thẳng DE ở B, C.
 Tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh:
Gọi B’ là điểm bất kì trên Ox,
C’ là điểm bất kì trên Oy.
Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AD
, ' 'AB BD AB B D⇒ = =
.
Tương tự Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AE
, ' ' .AC CE AC C E⇒ = =
Chu vi tam giác ABC bằng:
AC + C’B’ + B’A = EC’ + C’B’ + B’D.
Do
' ' ' 'ED EC C B B D≤ + +
nên chu vi tam giác ABC bé hơn chu vi
tam giác A’B’C’.
7
Dấu “=” xảy ra khi
'C C≡
và
'B B≡
.

Khai thác:
Nhận xét 1: Nếu ta thay đổi dữ liệu bài toán đi một ít, thêm vào điều
kiện: OB = OC thì ta sẽ được một bài toán mới: “cho góc xOy và điểm A nằm
trong góc.Xác định điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho :
OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất. ( góc xOy khác
180
Ο
).
Nhận xét 2: Vấn đề đặt ra tiếp theo, nếu ta lại thay đổi dữ liệu :
OB = OC thành 2OB = OC thì bài toán sẽ như thế nào? Ta được bài toán khác
là: Cho góc nhọn xOy, A là điểm cố định nằm trong góc đó. B và C theo thứ tự
là hai điểm thay đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho 2OB = OC. Tìm vị trí của B,
C để 2AB + AC nhỏ nhất.
Nhận xét 3:Các bài toán trên không quan tâm đến vị trí của ba điểm A,
B, C như thế nào với nhau, bây giờ chúng ta thử quan tâm đến vị trí của ba
điểm, chẳng hạn như ba điểm đó thẳng hàng thì bài toán sẽ trở nên như thế nào?
Có giải được hay không?
Bài toán: Cho góc xOy và A là điểm cố định nằm trong góc đó. Một
đường thẳng d đi qua A và cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Tìm vị trí của đường
thẳng d để
1 1
AM AN
+
là lớn nhất.
Nhận xét 4: Ta tiếp tục biến đổi bài toán bằng việc thay từ một điểm
nằm trong góc thành hai điểm nằm trong góc, ta lại được một bài toán mới nữa:
“Cho hai điểm A, B nằm trong góc nhọn xOy. Xác định điểm M trên Ox và
điểm N trên Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
Nhận xét 5: Nếu ta cho điểm A nằm ngoài góc thì bài toán có giải được
không? Chúng ta thử giải bài toán: “cho góc xOy và điểm A nằm ngoài góc

xOy. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có
chu vi nhỏ nhất.
Nhận xét chung:Góc xOy có thể xảy ra các trường hợp: góc nhọn, góc
vuông, góc bẹt. Từ đó dẫn đến những bài toán cụ thể có yêu cầu như các bài
toán trên. Bạn đọc thử tìm hiểu và tiếp tục mở rộng thêm.
2.1.3 Bài toán 3:
Cho đường tròn ( O; R ). A là một điểm cố định trong đường tròn ( A
≠
O) .
Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn (O) sao cho góc OBA là lớn nhất.
Lời giải:
Vẽ dây cung BC của đường tròn (O) qua A.
8
Tam giác OBC cân ( OB = OC ).
180
2
C
∧
Ο
∧
−ΒΟ
⇒ ΟΒΑ =
.
Cách 1: Vẽ OH vuông góc với BC.
Do A thuộc BC nên
OH OA
≤
( OA không đổi ).
Dấu “ = “ xảy ra khi
H A≡

AB OA⇔ ⊥
tại A.
Cách 2: Ta có góc OBA lớn nhất
⇔
góc BOC nhỏ nhất
⇔
cung BC nhỏ nhất
⇔
dây BC nhỏ nhất
⇔
OH lớn nhất
H A AB OA⇔ ≡ ⇔ ⊥
tại A.
Khai thác:
Nếu thay đổi yêu cầu bài toán ta sẽ được một bài toán mới: “ cho ( O; R ). A là
một điểm cố định trong đường tròn. Tìm điểm B trên đường tròn (O) sao cho
chu vi tam giác OAB là lớn nhất.
2.2 Các bài toán về chứng minh
2.2.1 Bài toán 1:
Cho đường tròn (O), I nằm trong đường tròn. Chứng minh dây AB vuông góc
OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.
(Bài 27/133 SBT lớp 8 -Tập 1 năm 2005)
Lời giải
Cách 1:
Gọi CD là dây bất kì (khác dây AB) đi qua
Kẻ OK
⊥
CD.
Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK.
Do OI > OK nên AB <CD (liên hệ giữa dây và

khoảng cách từ tâm đến dây).
Như vậy, trong các dây đi qua I, dây AB
vuông góc OI tại I có độ dài nhỏ nhất.

Cách 2:
Xét dây AB bất kì đi qua I.
Kẻ OK
⊥
AB.
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Ta có AB nhỏ nhất
⇔
OK lớn nhất.
Ta lại có : OK
≤
OI
OK = OI
⇔
K
≡
I.
Do đó maxOK = OI, khi đó AB
⊥
OI tại I.
9
I
O
A
B
K

I
O
D
C
K
A
B